2025年湖南省中考数学一轮复习题型探究-题型6　几何综合探究问题

2025年湖南省中考数学一轮复习题型探究- 题型6 几何综合探究问题 学生版 类型1　动点、动线类探究 【例1】(2024·烟台中考)如图,水平放置的矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,菱形EFGH的顶点E,G在同一水平线上,点G与AB的中点重合,EF=2 cm,∠E=60°,现将菱形EFGH以1 cm/s的速度沿BC方向匀速运动,当点E运动到CD上时停止.在这个运动过程中,菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系图象大致是( ) 【变式训练】 1.(2024·齐齐哈尔中考)如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=12,动点E,F同时从点A出发,分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动,且速度大小相同,当点E停止运动时,点F也随之停止运动,连接EF,以EF为边向下作正方形EFGH,设点E运动的路程为x(0<x<12),正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y.下列图象能反映y与x之间函数关系的是( ) 2.(2024·吉林中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=3 cm,AD是△ABC的角平分线.动点P从点A出发,以 cm/s的速度沿折线AD-DB向终点B运动.过点P作PQ∥AB,交AC于点Q,以PQ为边作等边三角形PQE,且点C,E在PQ同侧,设点P的运动时间为t(s)(t>0),△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S(cm2). (1)当点P在线段AD上运动时,判断△APQ的形状(不必证明),并直接写出AQ的长(用含t的代数式表示). (2)当点E与点C重合时,求t的值. (3)求S关于t的函数解析式,并写出自变量t的取值范围. 类型2　图形折叠、旋转类探究 【例2】(2024·山东中考)一副三角板分别记作△ABC和△DEF,其中∠ABC= ∠DEF=90°,∠BAC=45°,∠EDF=30°,AC=DE.作BM⊥AC于点M,EN⊥DF于点N,如图1. (1)求证:BM=EN; (2)在同一平面内,将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置,点C与点E重合记为C,点A与点D重合,将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后,延长BM交直线DF于点P. ①当α=30°时,如图3,求证:四边形CNPM为正方形; ②当30°<α<60°时,写出线段MP,DP,CD之间的数量关系,并证明;当60°<α<120°时,直接写出线段MP,DP,CD之间的数量关系. 【变式训练】 3.(2024·广安中考)如图,矩形纸片的长为4,宽为3,矩形内已用虚线画出网格线,每个小正方形的边长均为1,小正方形的顶点称为格点,现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁,使其分成两块纸片,请在下列备用图中,用实线画出符合相应要求的剪裁线. 注:①剪裁过程中,在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁; ②在各种剪法中,若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况. 4.(2024·德阳中考)一次折纸实践活动中,小王同学准备了一张边长为4(单位:dm)的正方形纸片ABCD,他在边AB和AD上分别取点E和点M,使AE=BE,AM=1,又在线段MD上任取一点N(点N可与端点重合),再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N,随后连接DA1,小王同学通过多次实践得到以下结论: ①当点N在线段MD上运动时,点A1在以E为圆心的圆弧上运动; ②当DA1达到最大值时,A1到直线AD的距离达到最大; ③DA1的最小值为2-2; ④DA1达到最小值时,MN=5-. 你认为小王同学得到的结论正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2024·山西中考)综合与探究 问题情境:如图1,四边形ABCD是菱形,过点A作AE⊥BC于点E,过点C作CF⊥AD于点F. 猜想证明: (1)判断四边形AECF的形状,并说明理由; 深入探究: (2)将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转,得到△AHG,点E,B的对应点分别为点G,H. ①如图2,当线段AH经过点C时,GH所在直线分别与线段AD,CD交于点M,N.猜想线段CH与MD的数量关系,并说明理由; ②当直线GH与直线CD垂直时,直线GH分别与直线AD,CD交于点M,N,直线AH与线段CD交于点Q.若AB=5,BE=4,直接写出四边形AMNQ的面积. 类型3　图形形状变化类探究 【例3】规定:有一角重合,该角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”,如图,四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形. (1)问题猜想:如图①,嵌套四边形ABCD,AMPN都是正方形,现把正方形AMPN顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N',连接BM',DN'交于点O,则BM'与DN'的数量关系为　　　　　　,位置关系为　　　　　.  (2)类比探究:如图②,将(1)中的正方形换成菱形,∠BAD=∠MAN=60°,其他条件不变,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请说明理由;若不成立,请给出正确的结论,并说明理由. (3)拓展延伸:如图③,将(1)中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2∶1的矩形,旋转角换成α(90°<α<180°),其他条件不变,请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系. 【变式训练】 6.(2023·益阳沅江模拟)在平行四边形ABCD中,AD=8,DC=6,∠FED的顶点在BC上,EF交直线AB于F点. (1)如图1,若∠FED=∠B=90°,EF=ED,连接DF,求DF的长. (2)如图2,∠B=∠FED=60°,当=时,求证:E是BC的中点. (3)如图3,若∠ABC=90°,对角线AC,BD交于点O,点C关于BD的对称点为C',连接OC'交AD于点G,连接AC',C'C,C'D,求AG的长,请直接写出答案. 类型4　操作类探究 【例4】折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,如折小花、飞机、小船等,在折纸过程中,我们通过研究图形的性质发展空间观念,在思考问题的过程中建立几何直观. 【操作发现】(1)如图1将一个正方形先沿EF折叠得到图2,再将图2进行第二次折叠,使点E和点F重合,折痕与正方形的边交于点M,N,如图3,打开这张正方形的纸得到两条折痕EF和MN,如图4这两条折痕的位置关系为　　　　,= 　　　　.  【探究证明】(2)如图5,将AB=1,AD=3的长方形按(1)的方式进行折叠,同样得到两条折痕EF和MN,(1)中的结论是否还成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由. 【拓展延伸】(3)Rt△ABC中,BC=1,AC=3,将△ABC沿着斜边AB翻折后得到的三角形与原来三角形组合成一个四边形ACBD,将四边形ACBD分别沿着过顶点A和顶点D的直线折叠得到两条互相垂直的折痕,交四边形的另两条边于点N和点M,=　　　　.  【变式训练】 7.(2024·绥化中考)综合与实践 问题情境 在一次综合与实践课上,老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象.纸片△ABC和△DEF满足∠ACB=∠EDF=90°,AC=BC=DF=DE=2 cm. 下面是创新小组的探究过程. 操作发现 (1)如图1,取AB的中点O,将两张纸片放置在同一平面内,使点O与点F重合.当旋转△DEF纸片交AC边于点H、交BC边于点G时,设AH=x(1<x<2),BG=y,请你探究出y与x的函数关系式,并写出解答过程. 问题解决 (2)如图2,在(1)的条件下连接GH,发现△CGH的周长是一个定值.请你写出这个定值,并说明理由. 拓展延伸 (3)如图3,当点F在AB边上运动(不包括端点A,B),且始终保持∠AFE=60°.请你直接写出△DEF纸片的斜边EF与△ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值 　　　　(结果保留根号).  2025年湖南省中考数学一轮复习题型探究- 题型6 几何综合探究问题 教师版 类型1　动点、动线类探究 【例1】(2024·烟台中考)如图,水平放置的矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,菱形EFGH的顶点E,G在同一水平线上,点G与AB的中点重合,EF=2 cm,∠E=60°,现将菱形EFGH以1 cm/s的速度沿BC方向匀速运动,当点E运动到CD上时停止.在这个运动过程中,菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系图象大致是(D) 【变式训练】 1.(2024·齐齐哈尔中考)如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=12,动点E,F同时从点A出发,分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动,且速度大小相同,当点E停止运动时,点F也随之停止运动,连接EF,以EF为边向下作正方形EFGH,设点E运动的路程为x(0<x<12),正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y.下列图象能反映y与x之间函数关系的是(A) 2.(2024·吉林中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=3 cm,AD是△ABC的角平分线.动点P从点A出发,以 cm/s的速度沿折线AD-DB向终点B运动.过点P作PQ∥AB,交AC于点Q,以PQ为边作等边三角形PQE,且点C,E在PQ同侧,设点P的运动时间为t(s)(t>0),△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S(cm2). (1)当点P在线段AD上运动时,判断△APQ的形状(不必证明),并直接写出AQ的长(用含t的代数式表示). (2)当点E与点C重合时,求t的值. (3)求S关于t的函数解析式,并写出自变量t的取值范围. 【解析】(1) 过点Q作QH⊥AD于点H,由题意得:AP=t cm. ∵∠C=90°,∠B=30°, ∴∠BAC=60°, ∵AD平分∠BAC, ∴∠PAQ=∠BAD=30°, ∵PQ∥AB,∴∠APQ=∠BAD=30°, ∴∠PAQ=∠APQ,∴QA=QP,∴△APQ为等腰三角形, ∵QH⊥AP,∴HA=AP=t cm, ∴在Rt△AHQ中,AQ==t cm; (2)如图, ∵△PQE为等边三角形, ∴QE=QP, 由(1)得QA=QP, ∴QE=QA, 即AE=2AQ=2t=3,∴t=. (3)当点P在AD上,点E在AC上时,重合部分为△PQE,过点P作PG⊥QE于点G, ∵∠PAQ=30°, ∴PG=AP=t, ∵△PQE是等边三角形, ∴QE=PQ=AQ=t, ∴S=QE·PG=t2, 由(2)知当点E与点C重合时,t=, ∴S=t2(0<t≤); 当点P在AD上,点E在AC延长线上时,记PE与BC交于点F,此时重合部分为四边形FPQC,如图, ∵△PQE是等边三角形, ∴∠E=60°, 而CE=AE-AC=2t-3, ∴CF=CE·tan E=(2t-3), ∴S△FCE=CE·CF=(2t-3)×(2t-3)=(2t-3)2, ∴S=S△PQE-S△FCE=t2-(2t-3)2=-t2+6t-, 当点P与点D重合时,在Rt△ADC中,AD==2=AP=t,∴t=2, ∴S=-t2+6t-<t<2). 当点P在DB上,重合部分为△PQC,如图, ∵∠DAC=30°,∠DCA=90°, 由上知DC=, ∴AD=2, ∴此时PD=t-2, ∴PC=CD+PD=t-=(t-1), ∵△PQE是等边三角形, ∴∠PQE=60°, ∴QC==PC=t-1, ∴S=QC·PC=(t-1)2, ∵∠B=∠BAD=30°, ∴DA=DB=2, ∴当点P与点B重合时,t=AD+DB=4, 解得t=4, ∴S=(t-1)2(2≤t<4), 综上所述: S=. 类型2　图形折叠、旋转类探究 【例2】(2024·山东中考)一副三角板分别记作△ABC和△DEF,其中∠ABC= ∠DEF=90°,∠BAC=45°,∠EDF=30°,AC=DE.作BM⊥AC于点M,EN⊥DF于点N,如图1. (1)求证:BM=EN; (2)在同一平面内,将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置,点C与点E重合记为C,点A与点D重合,将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后,延长BM交直线DF于点P. ①当α=30°时,如图3,求证:四边形CNPM为正方形; ②当30°<α<60°时,写出线段MP,DP,CD之间的数量关系,并证明;当60°<α<120°时,直接写出线段MP,DP,CD之间的数量关系. 【自主解答】(1)设AC=DE=a, ∵∠ABC=∠DEF=90°,∠BAC=45°, ∴∠A=∠C=45°, ∴AB=BC, ∵BM⊥AC, ∴BM=AM=CM=AC=a, ∵∠EDF=30°,EN⊥DF, ∴EN=DE=a, ∴BM=EN; (2)①∵∠D=30°,CN⊥DF, ∴∠CND=90°,∠DCN=90°-30°=60°, ∵α=∠ACD=30°, ∴∠ACN=90°, ∵BM⊥AC, ∴∠PMC=∠BMC=90°, ∴四边形PMCN为矩形, ∵BM=EN,即BM=CN, 而BM=CM, ∴CM=CN, ∴四边形PMCN是正方形; ②当30°<α<60°时,线段MP,DP,CD之间的数量关系为=;当60°<α<120°时,线段MP,DP,CD之间的数量关系为=.理由如下: 如图1,当30°<α<60°时,连接CP, 由(1)可得:CM=CN,∠PMC=∠PNC=90°, ∵CP=CP, ∴Rt△PMC≌Rt△PNC(HL), ∴PM=PN, ∴MP+DP=PN+DP=DN, ∵∠D=30°, ∴cos D===cos 30°=, ∴=; 如图2,当60°<α<120°时,连接CP, 由(1)可得:CM=CN,∠PMC=∠PNC=90°, ∵CP=CP, ∴Rt△PMC≌Rt△PNC(HL), ∴PM=PN, ∴DN=PN-DP=MP-DP, ∵∠CDF=30°, ∴cos ∠CDF===cos 30°=, ∴=, 综上,当30°<α<60°时,线段MP,DP,CD之间的数量关系为=;当60°<α<120°时,线段MP,DP,CD之间的数量关系为=. 【变式训练】 3.(2024·广安中考)如图,矩形纸片的长为4,宽为3,矩形内已用虚线画出网格线,每个小正方形的边长均为1,小正方形的顶点称为格点,现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁,使其分成两块纸片,请在下列备用图中,用实线画出符合相应要求的剪裁线. 注:①剪裁过程中,在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁; ②在各种剪法中,若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况. 【解析】方法如图所示(答案不唯一): 4.(2024·德阳中考)一次折纸实践活动中,小王同学准备了一张边长为4(单位:dm)的正方形纸片ABCD,他在边AB和AD上分别取点E和点M,使AE=BE,AM=1,又在线段MD上任取一点N(点N可与端点重合),再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N,随后连接DA1,小王同学通过多次实践得到以下结论: ①当点N在线段MD上运动时,点A1在以E为圆心的圆弧上运动; ②当DA1达到最大值时,A1到直线AD的距离达到最大; ③DA1的最小值为2-2; ④DA1达到最小值时,MN=5-. 你认为小王同学得到的结论正确的个数是(C) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2024·山西中考)综合与探究 问题情境:如图1,四边形ABCD是菱形,过点A作AE⊥BC于点E,过点C作CF⊥AD于点F. 猜想证明: (1)判断四边形AECF的形状,并说明理由; 深入探究: (2)将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转,得到△AHG,点E,B的对应点分别为点G,H. ①如图2,当线段AH经过点C时,GH所在直线分别与线段AD,CD交于点M,N.猜想线段CH与MD的数量关系,并说明理由; ②当直线GH与直线CD垂直时,直线GH分别与直线AD,CD交于点M,N,直线AH与线段CD交于点Q.若AB=5,BE=4,直接写出四边形AMNQ的面积. 【解析】(1)四边形AECF为矩形.理由如下: ∵AE⊥BC,CF⊥AD, ∴∠AEC=90°,∠AFC=90°, ∵四边形ABCD为菱形,∴AD∥BC, ∴∠AFC+∠ECF=180°,∴∠ECF=180°-∠AFC=90°,∴四边形AECF为矩形. (2)①CH=MD.理由如下: 证法一: ∵四边形ABCD为菱形, ∴AB=AD,∠B=∠D. ∵△ABE旋转得到△AHG, ∴AB=AH,∠B=∠H. ∴AH=AD,∠H=∠D. ∵∠HAM=∠DAC, ∴△HAM≌△DAC(ASA),∴AM=AC, ∴AH-AC=AD-AM, ∴CH=MD. 证法二: 如图,连接HD. ∵四边形ABCD为菱形, ∴AB=AD,∠B=∠ADC, ∵△ABE旋转得到△AHG, ∴AB=AH,∠B=∠AHM, ∴AH=AD,∠AHM=∠ADC, ∴∠AHD=∠ADH, ∴∠AHD-∠AHM=∠ADH-∠ADC, ∴∠MHD=∠CDH, ∵DH=HD,∴△CDH≌△MHD(ASA), ∴CH=MD. ②情况一:如图,当点G旋转至BA的延长线上时,GH⊥CD,此时=. ∵AB=5,BE=4, ∴由勾股定理可得AE=3, ∵△ABE旋转到△AHG, ∴AG=AE=3,GH=BE=4,∠H=∠B, ∵GN⊥CD,∴GN=AE=3,∴NH=1, ∵AD∥BC,∴∠GAM=∠B, ∴tan ∠GAM=tan B,即=, 解得GM=,则MH=, ∵tan H=tan B, ∴在Rt△QNH中,QN=, ∴=S△AMH-S△QNH=MH·AG-NH·QN=. 情况二:如图,当点G旋转至BA上时,GH⊥CD,此时=. 同第一种情况的计算思路可得:NH=7,QN=,AG=3,MH=, ∴=S△QNH-S△AMH=NH·QN-MH·AG=. 综上,四边形AMNQ的面积为或. 类型3　图形形状变化类探究 【例3】规定:有一角重合,该角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”,如图,四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形. (1)问题猜想:如图①,嵌套四边形ABCD,AMPN都是正方形,现把正方形AMPN顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N',连接BM',DN'交于点O,则BM'与DN'的数量关系为　　　　　　,位置关系为　　　　　.  (2)类比探究:如图②,将(1)中的正方形换成菱形,∠BAD=∠MAN=60°,其他条件不变,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请说明理由;若不成立,请给出正确的结论,并说明理由. (3)拓展延伸:如图③,将(1)中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2∶1的矩形,旋转角换成α(90°<α<180°),其他条件不变,请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系. 【自主解答】(1)设AB与DN'交于点E(图略), 由旋转的性质可得∠BAM'=∠DAN'=150°,∵四边形ABCD,AM'P'N'都是正方形,∴AB=AD,AM'=AN', ∴△ABM'≌△ADN'(SAS). ∴BM'=DN',∠ABM'=∠ADN', 又∵∠BEO=∠DEA, ∴∠BOD=∠BAD=90°, ∴BM'=DN',BM'⊥DN'. 答案:BM'=DN'　BM'⊥DN' (2)BM'=DN'成立,BM'⊥DN'不成立,BM'与DN'相交,且夹角为60°. 理由:设AB与DN'交于点E(图略),由旋转的性质可得∠BAM'=∠DAN'=150°. ∵四边形ABCD,AM'P'N'都是菱形, ∴AB=AD,AM'=AN', ∴△ABM'≌△ADN'(SAS). ∴BM'=DN',∠ABM'=∠ADN', 又∵∠BEO=∠DEA, ∴∠BOD=∠BAD=60°, 故BM'与DN'相交,且夹角为60°. (3)设AB与DN'交于点E(图略), ∵四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2∶1的矩形, 又∠BAM'=∠DAN'=α, ∴△ABM'∽△ADN', ∴∠ABM'=∠ADN',BM'∶DN'=2∶1,即BM'=2DN', 又∵∠BEO=∠DEA, ∴∠BOD=∠BAD=90°, ∴BM'=2DN',BM'⊥DN'. 【变式训练】 6.(2023·益阳沅江模拟)在平行四边形ABCD中,AD=8,DC=6,∠FED的顶点在BC上,EF交直线AB于F点. (1)如图1,若∠FED=∠B=90°,EF=ED,连接DF,求DF的长. (2)如图2,∠B=∠FED=60°,当=时,求证:E是BC的中点. (3)如图3,若∠ABC=90°,对角线AC,BD交于点O,点C关于BD的对称点为C',连接OC'交AD于点G,连接AC',C'C,C'D,求AG的长,请直接写出答案. 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∠B=90°, ∴∠C=90°. ∵∠FED=90°, ∴∠FEB+∠DEC=90°, 又∠DEC+∠EDC=90°, ∴∠FEB=∠CDE. 又EF=ED, ∴△BEF≌△CDE. ∴BE=CD=6, ∵BC=8,∴CE=2, 在Rt△DEC中,DE=2, ∴DF=4. (2)如图,在AB上取点G,使BG=BE,连接EG,则△BEG为等边三角形, ∴∠BGE=∠BEG=60°, ∴∠EGF=180°-∠BGE=120°. ∵四边形ABCD为平行四边形,∠B=60°, ∴∠C=120°=∠EGF, ∴∠CED+∠CDE=60°. ∵∠DEF=60°,∠BEG=60°, ∴∠GEF+∠CED=180°-60°-60°=60°, ∴∠CDE=∠GEF, ∴△CDE∽△GEF, ∴==, ∵DC=6, ∴GE=4, ∴BE=4,EC=BC-BE=4, ∴E是BC的中点. (3)由题意得,BD为线段CC'的垂直平分线,设CC'与BD交点为M, ∵∠ABC=90°, ∴平行四边形ABCD为矩形, ∴BD==10,OC=AC=BD=5,CM==, ∴OM==, ∵点O为AC的中点,点M为CC'的中点, ∴AC'=2OM=,且AC'∥BD, ∴△AGC'∽△DGO, ∴===, ∴AG=. 类型4　操作类探究 【例4】折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,如折小花、飞机、小船等,在折纸过程中,我们通过研究图形的性质发展空间观念,在思考问题的过程中建立几何直观. 【操作发现】(1)如图1将一个正方形先沿EF折叠得到图2,再将图2进行第二次折叠,使点E和点F重合,折痕与正方形的边交于点M,N,如图3,打开这张正方形的纸得到两条折痕EF和MN,如图4这两条折痕的位置关系为　　　　,= 　　　　.  【探究证明】(2)如图5,将AB=1,AD=3的长方形按(1)的方式进行折叠,同样得到两条折痕EF和MN,(1)中的结论是否还成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由. 【拓展延伸】(3)Rt△ABC中,BC=1,AC=3,将△ABC沿着斜边AB翻折后得到的三角形与原来三角形组合成一个四边形ACBD,将四边形ACBD分别沿着过顶点A和顶点D的直线折叠得到两条互相垂直的折痕,交四边形的另两条边于点N和点M,=　　　　.  【自主解答】(1)如图,过点M作MG⊥BC于G,过点E作EH⊥CD于H, 则MG=EH,∠MGN=∠EHF, 由折叠知,∠MOE=90°,即MN⊥EF, ∴∠GMN=∠HEF, ∴△MGN≌△EHF(ASA),∴MN=EF, ∴=1. 答案:垂直　1 (2)位置关系成立,=1不成立.理由如下: 过点M作MG⊥BC于G,过点E作EH⊥CD于H, 则∠EHF=∠MGN, 由折叠知,∠MOE=90°,即EF⊥MN, ∴∠HEF=∠GMN, ∴△EHF∽△MGN, ∴===3. (3)连接CD,交AB于G, ∵AC=AD,BC=BD,∴AB垂直平分CD, ∵AN⊥DM,∴∠BAN=∠CDM, ∵∠ACB=∠CGB=90°, ∴∠MCD=∠ABN, ∴△DCM∽△ABN,∴=, ∵Rt△ABC中,BC=1,AC=3, ∴AB=, ∴CG===, ∴CD=2CG=,∴==, ∴=. 答案: 【变式训练】 7.(2024·绥化中考)综合与实践 问题情境 在一次综合与实践课上,老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象.纸片△ABC和△DEF满足∠ACB=∠EDF=90°,AC=BC=DF=DE=2 cm. 下面是创新小组的探究过程. 操作发现 (1)如图1,取AB的中点O,将两张纸片放置在同一平面内,使点O与点F重合.当旋转△DEF纸片交AC边于点H、交BC边于点G时,设AH=x(1<x<2),BG=y,请你探究出y与x的函数关系式,并写出解答过程. 问题解决 (2)如图2,在(1)的条件下连接GH,发现△CGH的周长是一个定值.请你写出这个定值,并说明理由. 拓展延伸 (3)如图3,当点F在AB边上运动(不包括端点A,B),且始终保持∠AFE=60°.请你直接写出△DEF纸片的斜边EF与△ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值 　　　　(结果保留根号).  【解析】(1)∵∠ACB=∠EDF=90°,且AC=BC=DF=DE=2 cm, ∴∠A=∠B=∠DFE=45°, ∴∠AFH+∠BFG=∠BFG+∠FGB=135°, ∴∠AFH=∠FGB, ∴△AFH∽△BGF, ∴=, ∴AH·BG=AF·BF, 在Rt△ACB中,AC=BC=2, ∴AB===2, ∵O是AB的中点,点O与点F重合, ∴AF=BF=, ∴xy=×, ∴y=, ∴y与x的函数关系式为y=(1<x<2). (2)△CGH的周长为定值2,理由如下: ∵AC=BC=2,AH=x,BG=y, ∴CH=2-x,CG=2-y, 在Rt△HCG中, GH====, 将(1)中xy=2代入得:GH===|x+y-2|, ∵1<x<2,y=, ∴1<y<2, ∴x+y>2, ∴GH=x+y-2, ∴△CHG的周长=CH+CG+GH=2-x+2-y+x+y-2=2. (3)①过点F作FN⊥AC于点N,作FH的垂直平分线交FN于点M,连接MH,如图, ∵∠AFE=60°,∠A=45°, ∴∠AHF=75°, ∵M是FH垂直平分线上的点, ∴FM=MH, ∵∠FNH=90°, ∴∠NFH=15°, ∵FM=MH, ∴∠NFH=∠MHF=15°, ∴∠NMH=30°, 在Rt△MNH中,设NH=k, ∴MH=MF=2k, ∴MN==k, ∴FN=MF+MN=(2+)k, 在Rt△FNH中, tan ∠FHN=tan 75°===2+; ②过点F作FN⊥BC于点N,作FG的垂直平分线交BG于点M,连接FM, ∵∠AFE=60°,∠B=45°, ∴∠FGB=∠AFE-∠B=15°, ∵GM=MF, ∴∠FGB=∠GFM=15°, ∴∠FMB=30°, 在Rt△FNM中,设FN=t, ∴GM=MF=2t, 由勾股定理得MN==t, ∴GN=GM+MN=(2+)t, 在Rt△FNG中, tan ∠FGN=tan 15°===2-, 综上所述,所求正切值为2+或2-. 答案:2+或2- - 21 - 学科网（北京）股份有限公司 $$