精品解析：吉林省四平市实验中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷

四平市实验中学2024~2025学年度第二次月考试卷 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第五章第4节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】把变成0到360度内的角即可判断. 【详解】因为，所以角的终边在第三象限. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. R 【答案】B 【解析】 【分析】解指数不等式，再由并集、补集运算即可求解. 【详解】由题意可得，， 所以． 故选：B． 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合对数函数的单调性判断即得. 【详解】取，满足，而； 反之，，取，满足，而， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式以及面积公式计算可得结果. 【详解】易知圆心角，由弧长，得， 所以该扇形的面积为. 故选：D. 5. 是三角形的一个内角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平方关系，列出方程组求解即可. 【详解】由解得或（舍去，是三角形的一个内角）． 故． 故选：A． 6. 经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中且.若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次求时的值，由此可得，再求其比值. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 故；故， 所以. 故选：A. 7. 函数的图象与的图象的交点个数为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数图像即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象， 由图可知，两函数的图象的交点个数为4. 故选：C. 8. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，将函数变形成，再结合二次函数值域求解. 【详解】函数中，，， 则 ， 而，因此， 所以函数的值域为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据诱导公式化简判断四个选项即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC． 10. 若，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由对数函数的单调性得，结合单调性和不等式性质判断四个选项即可. 【详解】因为函数在上单调递减，所以，则，所以，A正确； 由，得，则，但与1的大小关系不确定，所以B错误； 由，得，则1，所以，C正确； 由，得，所以，但与1的大小关系不确定，所以D错误． 故选：AC． 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇偶性定义判断A，根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断B，由复合函数的单调性判断C，计算后即可判断D． 【详解】当时，，定义域为，因为，所以为偶函数，A正确； 因为，所以，则有最大值，没有最小值，B错误； 因为在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，C正确； 当时，，所以的图象恒过定点，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可知， ，所以，解得， 故答案为：． 13. 若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据底数大于1的对数函数的性质，得出满足条件的图象只需满足即可得解. 【详解】根据对数函数的性质可知，函数在定义域上单调递增， 要使函数的图象经过第一、二、三象限， 则，即，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 定义在上的奇函数满足，当时，，则函数的零点的个数为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】先由和函数奇偶性求得函数的周期，进而结合和作出函数在区间上的图象，再由周期性作出在上的函数，同时作出函数的图像，根据零点定义可将题目问题转化成两个函数和图像交点个数问题，则求出两函数图像交点个数即可得解. 【详解】因为， 所以，可得函数是周期为4的奇函数， 因为，可得的图象关于直线对称， 当时，，又易知，所以时，， 由对称性可先画出函数在区间上的图象， 根据函数为奇函数且周期为4，可以画出函数在上的图象， 由，得， 分别画出函数和的图象，如图， 由，又，，而， 可以得到函数和的图象有5个交点，所以函数零点的个数为5. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数. （1）求的最小正周期，图象的对称中心； （2）求的单调递减区间. 【答案】（1）；. （2），. 【解析】 【分析】（1）根据周期公式求周期，令，，求得对称轴； （2）根据余弦函数单调区间求法求出单调区间. 【小问1详解】 的最小正周期为； 令，，解得，， 故的图象的对称中心为. 【小问2详解】 令，， 解得，， 故的单调递减区间为，. 16. 已知幂函数满足． （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义，结合求出解析式； （2）根据幂函数的定义域以及单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 由是幂函数， 可得，解得或； 当时，在上单调递减，不满足； 当时，在上单调递增，满足， 故． 【小问2详解】 由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 17. 已知函数. （1）若为奇函数，证明：； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） 的定义域为， 对，都有， 又为奇函数，则必有， 即， 整理可得， 因为，所以，命题得证． （2） 当时，为增函数； 当时，为常函数无单调性； 当时，为减函数． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可； （2）根据单调性的定义证明的单调性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，，且， ， 易知，，又在上为增函数，，可得， 当时，，为增函数； 当时，，为常函数无单调性； 当时，，为减函数． 18. 为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本万元，当年产量（单位：万件）低于万件时，流动成本（万元），当年产量（单位：万件）不低于时，（万元）.经调研，每件水果箱售价为元，每年加工的水果箱能全部售完. （1）求年利润关于年产量（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润年销售额固定成本流动成本） （2）求年产量（单位：万件）为多少时，年利润取得最大值，并求出的最大值. 【答案】（1） （2）年产量为万件时，年利润取得最大值万元 【解析】 【分析】(1)根据年利润年销售额固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可； (2)当时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当时，利用基本不等式求最大值，最后综合即可． 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 此时，； 当时，， 当且仅当，即时，取得等号． 因为，所以年产量为万件时，年利润取得最大值万元． 19. 现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有（且）. （1）当时，计算； （2）证明：，，，都有； （3）设，若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）5 （2）证明：因为， ， 所以. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算即可； （2）根据新定义及对数的运算性质证明； （3）根据新定义化简函数解析式，再由对数型复合函数的性质求值域即可得解. 【小问1详解】 解：当时，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由新运算可知， . 令，则在上单调递减， 由于在上的值域为，所以，则， 所以在上单调递增，则，即， 整理得，，所以， 将代入，得， 同理得，. 所以，是函数在上的两个不同的零点， 则，解得, 所以， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四平市实验中学2024~2025学年度第二次月考试卷 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第五章第4节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. R 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 是三角形的一个内角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中且.若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 函数的图象与的图象的交点个数为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 8. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则_____． 13. 若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为___________. 14. 定义在上的奇函数满足，当时，，则函数的零点的个数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数. （1）求的最小正周期，图象的对称中心； （2）求的单调递减区间. 16. 已知幂函数满足． （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知函数. （1）若为奇函数，证明：； （2）讨论的单调性. 18. 为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本万元，当年产量（单位：万件）低于万件时，流动成本（万元），当年产量（单位：万件）不低于时，（万元）.经调研，每件水果箱售价为元，每年加工的水果箱能全部售完. （1）求年利润关于年产量（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润年销售额固定成本流动成本） （2）求年产量（单位：万件）为多少时，年利润取得最大值，并求出的最大值. 19. 现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有（且）. （1）当时，计算； （2）证明：，，，都有； （3）设，若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $