2024-2025学年沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数单元复习题

沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数单元复习题 一、单选题(共10题；共40分) 1．（4分）反比例函数，那么下列各点中在此函数图象上的点是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）如下表是二次函数的几组对应值： 6.17 6.18 6.19 6.20 0.01 0.02 根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）二次函数的图象的最高点坐标是，则的值分别是（　　） A．2，4 B． C． D． 4．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数与的图像大致是（　　） A． B． C． D． 5．（4分） 反比例函数图象过点，则k是（　　） A．6 B．－6 C．5 D．－5 6．（4分）把抛物线向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（　　） A． B． C． D． 7．（4分）二次的数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（4分）如图表示两种材料的电阻与温度的关系，下列说法错误的是（　　） A．当时，两种材料的电阻大小相同 B．两种材料的电阻都是随着温度的增大而减小 C．当温度低于时，半导体热敏电阻的电阻值在以上 D．当铂热电阻的电阻值超过时，温度在以上 9．（4分）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=，则该同学此次投掷实心球的成绩是（　　） A．2m B．6m C．8m D．10m 10．（4分）抛物线（，，是常数，）经过，，三点，且．下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 二、填空题(共4题；共20分) 11．（5分）把抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的新抛物线的解析式为　 　． 12．（5分）如图，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，∠ADO＝30°，OA＝2，反比例函数y＝经过CD的中点M，那么k＝　 　． 13．（5分）为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒消毒液（含氯消毒剂）进行消杀，资料表明空气中氯含量不低于，才能有效杀灭新冠病毒．如图，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量与时间成正比例，消毒液挥发时，y与t成反比例，则此次消杀的有效作用时间是　 　min． 14．（5分）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别交，于点、．若四边形的面积为12，则的值为　 　． 三、解答题(共4题；共32分) 15．（8分）已知函数是关于x的二次函数． （1）（4分）求m的值； （2）（4分）函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？ 16．（8分）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C． （1）（4分）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）（4分）求的面积． 17．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点， （1）（4分）求反比例函数的表达式； （2）（4分）已知点为反比例函数图象上一点，，求点的坐标. 18．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数，图象经过、两点． （1）（4分）求二次函数的解析式及它的顶点坐标； （2）（4分）设点是抛物线上的一个动点，横坐标为． ①当，求的纵坐标的取值范围； ②过点做轴，交直线于，当线段的长随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 四、综合题(共5题；共58分) 19．（10分）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）（3分）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）（3分）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ （3）（4分）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围． 20．（10分）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． （1）（5分）求抛物线的解析式； （2）（5分）点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 21．（12分）图1为广安某新建公园的抛物线形拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米时，拱顶离水面的距离为米． 当地政府拟在公园投放游船供游客乘坐，图3是游船载重最少时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．测得相关数据如下：米，米，米，米．为确保安全，拟在桥底P，Q两处设置航行警戒线，要求： ①游船底部HI在点P，Q之间通行； ②载重最少时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．若以所在直线为轴，点D为原点建立直角坐标系，请解答以下问题： （1）（6分）求这条抛物线的函数表达式； （2）（6分）求警戒线之间宽度的最大值．（当最大时，船身H与P重合，或I与Q重合） 22．（12分）根据以下素材，探索完成任务． 如何探测弹射飞机的轨道设计 素材1：图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集发现飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：）随飞行时间t（单位：）的变化满足一次函数关系；飞行高度y（单位：）随飞行时间t（单位：）的变化满足二次函数关系．数据如下表所示． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行的水平距离 0 8 16 24 32 … 飞行高度 0 18 32 42 48 … 素材2：图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为飞机回收区域，已知．． 问题解决： 任务1：确定函数表达式． ①直接写出x关于t的函数表达式：_______． ②求出y关于t的函数表达式． 任务2：探究飞行距离．当飞机落地（高度为）时，求飞行的水平距离． 任务3：确定弹射口高度h．当飞机落到回收区域内（不包括端点A，B）时，请写出发射台弹射口高度h的变化范围：________． 23．（14分）如图，经过原点的抛物线（、为常数，）与轴相交于另一点．在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为点． （1）（4分）求抛物线的解析式； （2）（4分）如图2，点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点．设和的面积分别为和，求的最大值． （3）（6分）如图3抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵反比例函数的解析式为， ∴， ∵，A不符合题意； ∵，B不符合题意； ∵，C符合题意； ∵，D不符合题意， 故答案为：C 【分析】根据反比例函数的图象结合题意即可求解。 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵ 反比例函数图象过点， ∴， 解得k=6. 故答案为：A. 【分析】将点的坐标代入函数即可求出k的值. 6．【答案】D 【解析】【解答】抛物线 向右平移2个单位 得 然后向下平移1个单位 得 故答案为：D 【分析】抛物线平移，根据“左加右减、上加下减”的口诀即可得出平移后的解析式。 7．【答案】A 8．【答案】B 【解析】【解答】解：A、由图象可知：当T=a时，两种材料的电阻大小相同，此选项不符合题意； B、铂热电阻的电阻值随着温度的增大而增大，原说法错误，此选项符合题意； C、由图象可知：当温度低于时，半导体热敏电阻的电阻值在以上，此选项不符合题意； D、由图象可知： 当铂热电阻的电阻值超过时，温度在以上，此选项不符合题意. 故答案为：B. 【分析】观察图象，根据两种材料的电阻R与温度T的函数图象的交点以及增减性依次判断即可求解. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离， ∴令y=0，则=0， 整理得：x2-8x-20=0， 解得：x1=10，x2=-2（舍去）， ∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m， 故答案为：D． 【分析】将y=0代入，可得x2-8x-20=0，再求出x的值即可。 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵（，，是常数）经过， ∴a+b+c=1， ∵ ，所以与y轴的交点在y轴的负半轴. ∵与x轴交于点，，且， ∴开口向下，图象大概如图： ∴a<0. ∴b=-a-c+1=1-(a+c)>0. ∴abc>0，选项①错误； ∵c<0，a<0， ∴方程的两个根m和n满足：， ∴m和n同号， ∵n>3， ∴m>0. ∴对称轴：， ∵开口向下， ∴， 即， ∴，故选项②正确； 当n=5时，由25a+5b+c=0， 可得. ∵点 在该抛物线上，c<0 ∴，故选项③正确； ∵ 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∵a+b+c=1， 代入得：， ∴a=c. ∵，是抛物线与x轴的两个交点， 故的两个根为m和n， ∴. 故 ∵， ∴ .故选项④正确. 综上：正确的选项有②③④ 故答案为：C. 【分析】根据经过点（1，1），c<0以及与x轴的交点（n，0），． 可知抛物线开口向下，a<0.把点（1，1）代入可得a+b+c=1，于是有b=1-(a+c)>0. 据此可判断①； 根据a和c同负可判断m，n同正，于是对称轴在点（1，1）右侧，可得最大值，不等式两边同×4a，可得结论并判断②； 把（5，0）代入抛物线解析式，用c表示出a和b，根据点 在抛物线上，代入解析式表示出t ，即可判断③； 根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，得整理可得a=c，于是有mn=1，用n表示出m，根据n的取值范围可得m的取值范围，即可判断④. 11．【答案】 12．【答案】+6 【解析】【解答】解：过点D作DN∥x轴，过点MP⊥DN于点P，如图， ∵ ∠ADO=30°，OA=2， ∴ AD=2OA=4， 由勾股定理得，OD== ∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ ∠ADC=90°，CD=AD=4， ∵ ∠ADO=30°， ∴ ∠CDN=30°， ∵ M是CD的中点， ∴ DM=CD=2， ∴ MP=1， 由勾股定理得，DP==， ∴ P（，+1）， ∵ 反比例函数y=经过M， ∴ k=×（+1）=6+. 故答案为：+6. 【分析】根据30°的直角三角形的性质得AD=4，根据正方形的性质得∠ADC=90°，CD=AD=4，再根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求得M的坐标，再将其代入反比例函数，即可求得. 13．【答案】35.75 【解析】【解答】解：依题意，时，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量与时间成正比例， 设函数解析式为， 将点代入得，，解得：， ∴解析式为，当时，， 当时，与成反比例，设解析式为， 将点代入得，， 解得， ∴解析式为，当时， ∴此次消杀的有效作用时间是， 故答案为：． 【分析】设函数解析式为，将点代入得，当时，，当时，与成反比例，设解析式为，将点代入得解析式为，当时，，于是可得答案。 14．【答案】4 【解析】【解答】解：过点作轴于点，作轴于点 ∴四边形ONMG是矩形 ∴ ∵函数图象在第一象限 ∴ ∴ 同理：， ∵OM=MB= ∴ ∴++S四边形ODBE= 解得：． 故答案为4. 【分析】 过点作轴于点，作轴于点，根据反比例函数系数k的几何意义得到，，因此，再割补法++S四边形ODBE，列出方程：，解出k即可. 15．【答案】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得：或． 故答案为：或. （2）解：∵该函数的对称轴为y轴，点，，且， ∴在对称轴右边，y随x的增大而减小， ∴，解得 ∴． 故答案为：. 【解析】【分析】（1）利用二次函数的定义（我们把形如y=ax2+bx+c，且a≠0的解析式称为二次函数）可得：，再求解即可； （2）利用二次函数的性质与系数的关系（①当二次函数的图象开口向上时，离对称轴越远的点的函数值越大；②当二次函数的图象开口向下时，离对称轴越远的点的函数值越小）可得，再求出m的值即可. （1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得：或． （2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且， ∴在对称轴右边，y随x的增大而减小， ∴，解得 ∴． 16．【答案】（1）直线的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）6 17．【答案】（1）解：由题意，将代入中， ∴． ∴． ∴． 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为 （2）解：对于， 当时，， ∴， ∵， ∴，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D， ∵， ∴， 即， 解得， ∴点P的纵坐标为或， 将代入得：， 或代入得， ∴点或． 【解析】【分析】（1）由一次函数解析式可以求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式，待定系数法求得反比例函数； （2）根据题意先求出C点坐标，可计算出三角形OAC的面积，观察图形：三角形OBP的面积已知、底是OB，高是P点的纵坐标，则纵坐标可求且为2个值，因为高的数值是正是负都不影响面积的数值，所以注意应有2个值符合要求；代入反比例函数可求出点的坐标。 18．【答案】（1），顶点坐标为 （2）①；②或 19．【答案】（1）； （2）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元； （3）． 20．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 又点与在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为 （2）解：①由（1）知，二次函数的解析式为， 抛物线与轴的交点的坐标为，与轴的另一交点为， 则，， 设点坐标为， ， ， ， 则， 当时，， 当时，， 点的坐标为或； ②如图， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 设点坐标为，， 则点坐标为， ， 当时，线段的长度有最大值． 【解析】【分析】（1）将点(-3，0)与(2，5)分别代入y=ax2+bx+c(a≠0)可得两个关于字母a、b、c的方程，进而根据对称轴直线公式结合对称轴直线为x=-2可得出一个关于字母a、b的方程，联立三方程求解可得a、b、c的值，从而求出抛物线的解析式； （2）①先由抛物线上点的坐标特点求出点C与点B的坐标，同时设P（x，x2+2x-3），然后结合三角形的面积计算方法，由S△POC=4S△BOC列出方程，求解得出x的值，即可求出点P的坐标； ②利用待定系数法求出直线AC的解析式，设点Q（x，-x-3），-3≤x≤0，则点D（x，x2+2x-3），根据两点间的距离公式表示出QD，再根据二次函数的性质即可求出QD的最大值. 21．【答案】（1）； （2）最大值为16.6米． 22．【答案】任务1：①；②y关于t的函数表达式为；任务2：飞机落地时，飞行的水平距离为；任务3：． 23．【答案】（1）解：直线经过点， ， ， 把，分别代入，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴交直线于点，设，则的纵坐标为， 直线的解析式为， ， ， ，点是点关于抛物线对称轴直线的对称点， 轴，， ， ， ， ， 当时，的最大值为． （3）解：存在点，使得． ， 抛物线的顶点为， 如图，当点在直线的上方时， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立，得：， 解得：（舍去），， ； 当点在直线的下方时，如图，过点作轴于点，过点作于点，交于点，连接交抛物线于点，则，， 点是的中点，即， 是线段的垂直平分线， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得：， 设直线的解析式为则， 解得：， ∴直线的解析式为，与联立，得， 解得：（舍去），， ； 综上所述，存在点，使得，点的坐标为或； 【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点A、B的坐标代入求出a、b的值即可； （2）过点作轴交直线于点，设，则的纵坐标为，先证出，可得，再求出，最后利用二次函数的性质求解即可； （3）分类讨论：①当点在直线的上方时，②当点在直线的下方时，再分别画出图象并求解即可。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$