4.1 数列的概念（第1课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第三章　函数的概念与性质 　 3.1.2　函数的表示法（3） 4.1.1 数列的概念 学习目标 1.了解数列的有关概念及分类; 2.了解数列的几种简单的表示方法(列表、 图象、通项公式、递推公式); 3.了解数列是自变量为正整数的一类函数． 4.核心素养：数学推理、数学运算。 难点 重点 会用通项公式写出数列的任意一项 易错点 章前导入 对数列的研究源于现实生产、生活的需要 . 例如，一棵树在某一时刻的高度是，如果在每年的同一时刻都记录下这棵树的高度, 并按先后顺序排列起来, 就得到一列数. 人们常用这样的一列数有序地表达一类事物，或者记录一个过程 . 像这样按照确定的顺序排列的一列数称为数列 . 如果用正整数表示事物发展过程的先后顺序，并且把这样的正整数看作自变量的取值，把事物的对应值看作相应的函数值，那么数列就是定义在正整数集(或正整数集的有限子集)上的一类离散函数，数列无论在理论研究还是在实际应用中都非常重要. 3 新课导入 本章我们将学习数列的概念和表示方法，并研究两类特殊的数列—等差数列和等比数列，探索它们的取值规律，建立它们的通项公式、前项和公式，并应用它们解决一些问题. 我们将把数列看成一类特殊的函数，并用函数的思想方法研究数列. 我们还将学习数学归纳法，这是一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法. 数学抽象、数学运算、逻辑推理、数学建模 4 在现实生活和数学学习中, 我们经常需要根据问题的意义, 通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象. 例如： 1.王芳从1岁到17岁, 每年生日那天测量身高, 将这些身高数据(单位：cm)依次排成一列数： 75 , 87 , 96 , 103 , 110 , 116 , 120 , 128 , 138 , 145 , 153 , 158 , 160 , 162 , 163 , 165 , 168 . ① 记王芳第i岁时的身高为hi , 那么h1=75, h2=87, ┉, h17=168. 我们发现，hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即h1=75是排在第1位的数， h2=87是排在第2位的数, ┉, h17=168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置. 所以, ①是具有确定顺序的一列数. 不能交换位置， 具有确定顺序. 首先，请同学们回顾一下义务教育阶段我们学习的两类基本图形：多边形和圆,对这两类图形的研究,是从图形的形状出发,依据图形中点、线、面的关系，研究图形的性质。这种方法通常称为综合法。 2.在两河流域发掘的一块泥版(编号 K90,约产生于公元前 7 世纪)上，有一列依次表示一个月中从第 1 天到第 15 天每天月亮可见部分的数： 5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240． ② 注：把满月分成240份，从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示. 9 10 11 13 12 14 15 1 2 4 5 6 7 8 3 这些数之间能交换位置吗？ 不能交换位置， 具有确定顺序. 所以，②也是具有确定顺序的一列数. ③ 归纳: 上面三个例子的共同特征是什么？ 你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？ 所以，③也是具有确定顺序的一列数. 不能交换位置， 具有确定顺序. 1. 都是一列数； 2. 都有一定的顺序 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 数列中的每一个数都叫做数列的项. 项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项 (或首项)，常用符号a1表示, 第二个位置上的数叫做这个数列的第2项, 用符号a2表示…,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项, 用符号an表示. 一、数列的概念： 我们常把数列的一般形式写成 a1，a2，a3，…，an，…. (n∈N*)简记作{an} 。 首先，请同学们回顾一下义务教育阶段我们学习的两类基本图形：多边形和圆,对这两类图形的研究,是从图形的形状出发,依据图形中点、线、面的关系，研究图形的性质。这种方法通常称为综合法。 例如：若用{an}来表示“2，1，3”这个数列，则a2=____； 1 思考1：能不能把数列“2，1，3”记为{2，1，3}？ 不行，{2，1，3}是一个集合，集合中的元素是没有顺序的 思考2： {an} 与an的意思一样吗？ {an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ； an表示数列{an}中的第n项. 思考3：数列与集合的概念有何区别 (1)数列{an}中的数一定是数，而集合中的元素不一定是数； (2)数列{an}中的数是有一定顺序的，而集合中的元素没有顺序； (3)数列{an}中的数可以重复，而集合中的元素不能重复。 集合讲究：无序性、互异性、 确定性（元素确定）， 数列讲究：有序性、可重复性、确定性（确定的数）. 通过上述三个具体例子，我们已经归纳了数列的概念，你能从中发现数列的每一项an与该项的序号n具有怎样的对应关系？ ①75，87，……，168 ②5，10，……240 ③,… 项 序号 1， 2， ……， 17 1， 2，……，15 1， 2， 3, …, 数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数. 数列本质上是特殊的函数. ①数列是以序号为自变量,以对应的项为函数值的函数即 ②定义域为正整数集或它的有限子集 , , , , … , … 序号 项 1 2 3 4 ... n ... 数列与函数的关系 由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系: 序号 1 2 3 ··· n ··· 项 a1 a2 a3 ··· an ··· 所以数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1, 2, ··· , n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an ，记为an = f(n). 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)， f(2) , ··· , f(n), ··· 就是数列{an}. 另一方面，对于函数y=f(x)，如果f(n) (n∈N*)有意义，那么f(1)， f(2) , ··· , f(n), ···构成了一个数列{f(n)}. 以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数. 数列有哪些表示方法？ 本质：函数 列表法 图像法 解析法 75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. 数列③可以表示为 = 75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. 追问 数列图象有什么特点？ 数列的图象是一系列孤立的点,所以数列是一类离散函数. 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 递增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 摆动数列: 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于 它的前一项的数列 常数列：各项相等的数列 与函数类似，我们可以定义数列的单调性： 二.数列的分类 15 数列：1，2，4，8，16，… 1 2 3 4 5 6 7 8 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 O ● ● ● ● ● 递增数列 通过图象观察性质 1 2 3 4 5 6 7 8 9 O 数列： ● ● ● ● ● ● ● 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 递减数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O 1 2 3 4 5 6 7 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 数列：1，-1，1，-1，1，-1，1， 摆动数列 -1 1．下列说法中，正确的是(　　) A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 C C 练习： 数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用一个公式表示? 如果数列{an}的第 n 项an与与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，简称通项 。 例如数列：1, 4, 9, 16, ···的通项公式是 填空：(1) 2，4， ，16，32， ，128，… ，通项公式为________; 意义：通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项. 三、数列的通项公式： 20 例题小结 注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项” 如：数列{n2}的第11项是121. ②一些数列的通项公式不是唯一的； 如：数列1，-1，1，-1，… ③不是每一个数列都能写出它的通项公式. 如：1，24，8，3，19 思考 数列5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240有通项公式吗？ 为什么？ 21 三、典例解析 例1 根据下列数列{an}的通项公式 , 写出前5项 , 并画出 它们的图象： 解:(1)当通项公式中的n=1 , 2 , 3 , 4 , 5时 , 数列{an}的前5项依次为1 , 3 , 6 , 10 , 15. 图象如图所示. 首先，请同学们回顾一下义务教育阶段我们学习的两类基本图形：多边形和圆,对这两类图形的研究,是从图形的形状出发,依据图形中点、线、面的关系，研究图形的性质。这种方法通常称为综合法。 例1 根据下列数列{an}的通项公式 , 写出前5项 , 并画出 它们的图象： 解:(1)当通项公式中的n=1 , 2 , 3 , 4 , 5时 , 数列{an}的前5项依次为 1 , 0 , -1 , 0 , 1. 图象如图所示. 首先，请同学们回顾一下义务教育阶段我们学习的两类基本图形：多边形和圆,对这两类图形的研究,是从图形的形状出发,依据图形中点、线、面的关系，研究图形的性质。这种方法通常称为综合法。 1. 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象: (1) 所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列; (2) 当自变量x依次取1, 2, 3, ‧‧‧时，函数f(x) =2x +1的值构成的数列; 课本P5 2. 根据数列{an }的通项公式填表: n 1 2 ‧‧‧ 5 ‧‧‧ ‧‧‧ ‧‧‧ n an ‧‧‧ ‧‧‧ 153 ‧‧‧ 273 ‧‧‧ 3(3+4n) 21 33 69 12 22 3. 除数函数(divisor function) y=d(n)(n∈N*)的函数值等于n的正因数的个数, 例如, d(1)=1, d(4)=3. 写出数列d(1), d(2) , ‧‧‧, d(n), ‧‧‧的前10项. 课本P5 典例分析 [例2] 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式. (1) 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负, 解： 所以它的一个通项公式是 (2)这个数列的奇数项是2，偶数项是0, 所以它的一个通项公式是 反思 你还能写出其他的解析式吗？ 难道不止一个？ 常见数列通项公式求法： (1)常见数列：正整数列，奇数列，偶数列，平方数列等直接写通项公式； (2) 分数列：观察分子、分母的特点后写通项公式； (3) 指数数列：观察底数、指数的特点后写通项公式； (4) 各项符号一正一负： (5) 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n项，又是这个数列中所有各项的一般表示. 它反映了一个数列项{}与项数的一种对应关系（函数关系） 随堂练习 1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，-1，1，-1 (2)9，99，999，9999 (3)0.9，0.99，0.999，0.9999 (5)-1，2，-3，4 随堂练习 2、设数列为 是该数列的( ) A. 第9项 B. 第10项 C. 第11项 D. 第12项 C 3、以下四个数中，是数列{n(n＋1)}中的一项的是( ) A. 380 B. 39 C. 32 D. 18 A (5)(多选题)已知数列{an}的前4项为2, 0, 2, 0, 则依此归纳该数列的通项公式可能是(　 ) A.an=(-1)n-1+1 B.an= C.an=2sin D.an=cos(n-1)π+1 ABD (4)数列0.3, 0.33, 0.333, 0.3333,…的一个通项公式是(　) A.an= (10n-1) B.an= (10n-1) C.an= D.an= (10n-1) C (6)已知数列{an}的通项公式为an= , 则其最大项和最小项分别为(　) A. 1, - B.0, - C., - D.1, - A (7)已知函数f(x) =的定义域为R, 数列{an}(n∈N*)满足an=f(n), 且{an}是递增数列, 则实数a的取值范围是　　　　.  (3, +∞) (8)已知数列{an}的通项公式为an= , 若数列{an}为递减数列, 则实数k的取值范围为(　) A.(3,+∞) B.(2,+∞) C.(1,+∞) D.(0,+∞) D 4. 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式: 课本P5 拓广探索 例3 例3 研究一：利用函数探究数列 例题分析 如何判断数列的单调性？ 思考： ——利用函数的单调性或数列单调性定义 数列递增 例题分析 研究二：利用数列的单调性探究最大（小）项 数列最值项： 1、利用函数的单调性 本节课学习的主要内容有： 1、数列的有关概念； 2、数列的通项公式； 3、数列的实质； 4、本节课的能力要求是： (1)会由通项公式求数列的任一项； (2)会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式. (3)检验某数是否是该数列中的一项. 课堂小结： （1）按项数多少分： （2）按项的大小分： 项数有限的数列叫 ________ _； 项数无限的数列叫________ ； 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫 _______ ； 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫 _______ ； 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫___________； 各项相等的数列叫__________. 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 5、数列的分类 四、归纳总结 数列 概念 表示方法 数列是一种特殊的函数 表格 图象 通项公式 首先，请同学们回顾一下义务教育阶段我们学习的两类基本图形：多边形和圆,对这两类图形的研究,是从图形的形状出发,依据图形中点、线、面的关系，研究图形的性质。这种方法通常称为综合法。 问1：类比函数的单调性的证明方法，如何判断数列的单调性？ 作差法： 作商法： 函数法：将通项公式转化为函数的形式，通过函数的单调性来确定数列的单调性. 拓展研究 判断数列的单调性 例题讲解 判断数列的单调性 【 】 课堂练习 课堂练习 { { 拓展研究 求数列的最大（小）项 例题讲解 { 求数列的最大（小）项 46 课堂练习 47 课堂练习 48 Lavf58.9.100 2．下列数列中，即是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．1，，，，… B．sin ，sin ，sin ，sin ，… C．－1，－，－，－，… D．1，2，3，4，…，30 探究：已知函数f(x)＝eq \f(1－2x,x＋1)(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)． (1)求证：an>－2； (2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 解：(1)因为f(x)＝eq \f(1－2x,x＋1)＝eq \f(3－2x＋1,x＋1)＝－2＋eq \f(3,x＋1)， 所以an＝－2＋eq \f(3,n＋1). 因为n∈N*，所以an>－2. (2)数列{an}为递减数列．理由如下： 因为an＝－2＋eq \f(3,n＋1)，所以 an＋1－an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋\f(3,n＋2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋\f(3,n＋1))) ＝eq \f(3,n＋2)－eq \f(3,n＋1)＝eq \f(－3,n＋2n＋1)<0 即an＋1<an 所以数列{an}为递减数列． 先化简fx的解析式，再构造{an}，然后判断an＋1－an的符号. $$