9.2.3 向量的数量积 习题课课件-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第9章 平面向量 9.2 向量运算 9.2.3 向量的数量积 1 题型分析 题型一 向量的数量积的定义及运算律 1.（2024江苏苏州开学考试）设,为非零向量,则“”是“存在负数 ,使得 ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 由,可得,的夹角为钝角或 ,不一定能推出 ; 由存在负数 ,使得,可得,共线且反向,夹角为 ,则 , 所以“”是“存在负数 ,使得 ”的必要不充分条件. 2 2.（2024辽宁辽阳阶段练习）如图,网格纸上的每个小正方形的边 长均为1,下列关于向量,,, 的判断正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 由题图可知,, 夹角为锐角,由平面向量数量积的定义得 ,故A错误； ,夹角为钝角,则 ,故B错误； ,夹角为锐角,则 ,故C正确； ,夹角为锐角,则 ,故D错误. 3 3.（2024江苏扬州仪征中学模拟,多选）下列关于向量,, 的运算,一定成立的有 ( ) AC A. B. C. D. 【解析】 由平面向量数量积的运算性质可以判断本选项一定成立； （两向量数量积的结果是数）与共线,与共线,而与 不一定共线, 所以 不一定成立,因此本选项不一定成立； ,所以本选项一定成立； 当时, ,所以本选项不一定成立. . . 4 小知识 （1）数量积的结果为数量,不再是向量,数量积的运算符号“·”既不能省略不写,也不能写 成“×”,数乘的结果是向量,前面的数字是系数,所以系数和向量之间的符号可以省略不写； （2）向量数量积的正负由两个向量的夹角 决定:当 是锐角或 时,数量积为正；当 是钝角或 时,数量积为负；当 是直角时,数量积等于零. 5 题型二 向量数量积的简单计算问题 4.（2024湖北武汉一中月考）已知两个单位向量,的夹角为 ,则 ( ) A A. B.1 C. D. 【解析】 . 6 5.（2024江苏盐城五校联考）已知中,,, ,则 _______. 【解析】 目标式 涉及的向量模及夹角都已知,可直接运用数量积的定义计算结果. 因为 ,,,所以 . 7 6.（2024天津五中月考）在平行四边形中,,, ,点在 上,满足,则 ____. 【解析】 目标式涉及的向量不共起点,模及夹角也未知.可考虑用已知向量 , 线性表示,,从而转化为与, 有关的数量积问题. 8 如图，因为在平行四边形中,, , , 点在上,满足 , 所以 . 因为 , , 所以 . 9 小课堂 向量数量积的求法 （1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹 角,其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键; （2）根据数量积的运算律求解,向量的加、减与数量积的混合运 算类似于多项式的乘法运算. 10 题型三 投影向量及其应用 题组一 7.（2024广东珠海一中期末）在等边三角形中,,则向量 在向量 上的投影向量为( ) B A. B. C. D. 【解析】 由题可知 , ,所以向量在向量上的投影向量为 . 11 小知识 在上的投影向量可能与同向,可能与反向,也可能为0,它的方向取决于 的范围.具体 情况,可借助下面的图形进行分析: 的范围 图形 ___________________________ ___________________________ ________________________ ____________________________ ___________________________ 在 上的投 影向量 与 同向 与 同向 0 与 反向 与 反向 12 8.（2024江苏宿迁期中）若非零向量,满足,,则在 上的投影向量为______.（用 表示） 【解析】 由,可得,即 , 将两边平方得,即,所以在 上的投影向 量为 . 13 提醒 ①向量在向量上的投影向量是与向量 平行的向量. ②投影向量的求法:任意的非零向量在另一非零向量上的投影向量等于 （ 为向量,的夹角,为与 同向的单位向量）. 14 题组二 9.（2024江苏南京一中期中）已知,分别是等边的边,的中点,,点 在线段上移动（含端点）,则 的值不可能是( ) D A. B.2 C. D. 【解析】 数量积中不变，符合投影法的使用，只需分析在 上的投影即可. 由题意， ， 易知为的中位线，且，所以 的边长为2， 结合投影可知，，，故 . 15 10.（2024江苏扬州模拟）已知菱形的边长为2, ,动点在 边上 （包括端点）,则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】 如图,目标式中,是定向量, 是动向量,此时 可考虑用投影法求解（一动一定作投影）. 过点C作于点，过点B作交的延长线于点 ， 由图可知，当点与点C重合时,有最大值,此时在 上 的投影向量为,即,；当点与点B重合时, 有最小值,此 时在上的投影向量为,即, ,所以 的取值范 围是 . . . . . 16 题型四 应用极化恒等式求数量积 11.（2024河南商丘一高期末）如图,已知边长为4的正方形 的中心与半径为的圆的圆心重合,点是圆 上的 一点,则 的值为( ) C A.16 B.18 C.20 D.22 17 【解析】 由题意知 . 极化恒等式.连接,, ,所以 . 12.（2024云南保山期末）如图,已知正方形 的边长为4,若动 点在以为直径的半圆上（正方形 内部,含边界）,则 的取值范围为( ) B A. B. C. D. , 是动向量,且所在三角形的第三边已知,可利用极 化恒等式,结合向量的线性运算求解. 19 【解析】 取的中点,连接, ,如图所示, 所以的取值范围是,即 , 又 , 所以 . 20 小知识 （1）极化恒等式多用于向量的数量积； （2）注意在三角形、平行四边形中的应用. 21 13.（2024福建莆田十中期中）如图,在等腰直角三角形 中, 斜边,为线段上的动点（包含端点）,为 的中 点.将线段绕着点旋转得到线段,则 的最小值为 ( ) C A. B. C. D. , 是动向量,且所在三角形的第三边已知,可利用极化恒等式,结合向量的 线性运算求解. 22 【解析】 如图，连接 （构造中线）, 则（使用极化恒等式）,当 时,最小,可求得 , 结合,得的最小值为 . . . . . 23 题型五 向量模的相关计算 14.（2024浙江宁波镇海中学期末）已知,,且,的夹角为 ,则 ( ) D A.1 B. C.2 D. 【解析】 由题意得 , 所以 （两边平方求模） , 故 . . . 24 15.（2024江苏五市十一校阶段联考）已知向量,满足 ,则 ( ) C A.13 B.7 C. D. 【解析】 看到模,可先考虑平方.由得 , 即,得 , 所以 . 25 16.（2024江苏泰州模拟）在平行四边形中, ,, ,若 ,则 的最小值为( ) B A. B. C.1 D. 【解析】 由 可得 , 因为,所以当时,,即的最小值为 . 26 小课堂 解决向量模的问题常用的策略 （1）应用向量不等式 ; （2）应用模的平方 . 27 题型六 向量夹角的计算 17.（2024山东青岛期中）已知非零向量,满足:向量与向量垂直,且向量 与向量垂直,则与 的夹角为( ) C A. B. C. D. 28 【解析】 因为向量与向量 垂直, 所以 , 所以 . 因为向量与向量垂直,所以,所以 , 所以,即 , 所以, , 又, , 所以,,即与的夹角为 . 29 18.（2024广东省湛江二中期中）在平行四边形中,,,若 , ,则与 夹角的余弦值是____. 【解析】 如图, 在平行四边形中,,, , 则,（转化为关于与 的 线性表示）. . . 30 设与的夹角为 , 由 ,得 , 所以,解得 . 所以与夹角的余弦值是 . 31 提醒 求向量与 夹角的思路 （1）求向量与夹角的关键是计算·及 ,在此基础上结合数量积的定义或性质计 算,最后借助,求出 的值. （2）在个别含有,与的等量关系中,常利用消元思想计算 的值. 32 题型七 利用向量数量积判断平面图形形状 19.若四边形满足, ,则该四边形一定是( ) C A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.直角梯形 【解析】 因为,所以 , 故,且 , 故四边形 为平行四边形. 由，得 , 即 , 所以平行四边形的对角线互相垂直,故四边形 为菱形. 33 20.（2024江苏徐州三中月考）若是 所在平面内的一点,且满足 ,则 的形状为( ) D A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 34 【解析】 , , , 即 , 即 （两边同时展开）, 故, , 故 为直角三角形, 不一定等于 , 不一定为等腰直角三角形. . . 21.（2024江西景德镇期中）已知中,, ,则此三 角形为( ) B A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】 因为 , 所以 , 即,即 , 即,所以 为等腰三角形. 表示与同向的单位向量,表示与 同向的单位向量, 36 设,,则 , 因为,所以,所以 , 即,即,,所以, , 又,,所以, , 即与的夹角为 , 所以 , 所以 为等边三角形. 37 提醒 用向量方法解决平面几何问题的步骤 38 能力提升 1.（2024北京景山学校期中）已知,则“”是“ ”的 ( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 因为，为非零向量,且 , （关于模的等式两边 平方,从而得到数量积关系）,所以“”是“ ”的充要条件. . . 39 2. （2024江苏连云港阶段练习）设两个向量,满足,,, 之间 的夹角为 ,若向量与向量的夹角为钝角,则实数 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 40 【解析】 因为,,与的夹角为 , 所以 , 因为向量与向量 的夹角为钝角, 所以（注意数量积小于0包括夹角为 ,需要排除掉）， 且不能反向共线, 则 , 解得 . 若向量与向量反向共线,则有， , 即解得（舍去）或所以 , 综上可得,实数的取值范围是 . . . 41 避坑 若两向量的夹角为锐角（钝角）,则这两向量的数量积为正（负）,反之不成立.因为两向 量同向（反向）共线时,夹角为 ,其数量积也为正（负）. 42 3.（2024河北石家庄一中月考）在平行四边形中,, ,则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】 设与同方向的单位向量,与同方向的单位向量,与 同 方向的单位向量 , 由题意得, , 所以 , 43 即 , 所以 , 所以 , 因为,所以 , 所以 , 即 . 44 4.（2024上海普陀区期末）在中, ,则下列说法一定 正确的是( ) D A.若,则是锐角三角形 B.若,则 是钝角三角形 C.若,则是锐角三角形 D.若,则 是钝角三角形 45 【解析】 因为 , 即 , 又 时,三角形一定不是直角三角形, 则有, , 即 . 若,则 ,B,C为锐角,但是不能判断A的大小,故A,B错误； 若,则,B,C中必有一个钝角,故此时 是钝角三角形,C错误, D正确. 46 5.美术课对于陶冶人的情操、发展学生的艺术兴趣和爱好、培养学生的艺术特长、提高 学生的审美素养具有积极作用.如图,这是某学生关于“杯子”的联想创意图,它是由一个正 方形和三个半圆组成的,其中,是正方形的两个顶点,是三段圆弧上的动点,若 , 则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 47 【解析】 如图,作,,垂足分别为D,,且 与左半圆 相切,切点为C,与右半圆相切,切点为 . , （一动一定作投影）,其中 ,为在 上的投影, 因为,所以 . 当与重合时,, 的值最大（数形结合,确定 , 的最值）, 最大值为 , 此时取得最大值,最大值为 ； 当与C重合时,,的值最小,最小值为 , 此时取得最小值,最小值为 ， 故的取值范围是 . . . . . 48 6.［大招5］（2024山东青岛一中月考）如图,已知圆 的半径为2, 弦,为圆上一动点,则 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 49 【解析】 取的中点D,连接， ,如图， 则 （, 是两个动向量,且所在三角形的第三边已知,所以也可直接利用极化恒等式快速 求解）, . . 50 又 , 所以, , 即 , 所以, . 故的取值范围为 . 51 7.（2024江苏盐城期中,多选）已知向量,满足,, ,则下列结论 正确的是( ) ABD A.与的夹角为 B. C. D. 【解析】 由两边平方,得,因为, ,所 以 ； 由可得, , 又, ,故与的夹角为 ； ,则与 不垂直； ,即 . 52 8.（2024江苏扬州期中,多选）如图,已知正八边形 的边长 为2, 是正八边形边上任意一点,则下列说法正确的是( ) AD A. B.在方向上的投影向量为 C.若函数,则函数的最大值为 D. 53 【解析】 如图1，延长,交于点 ,正八边形的每个内角为 ,则每个外角为 , 即,所以 , 因此 . ； 由图1可知, , 因此在方向上的投影向量即为 ； 54 由图1可知,, , 所以由题意可知函数 , 当时,取得最小值, ； 55 如图2，过点作直线的垂线,垂足为 ,因 此 , 易知当点在直线上时, 取得最大值 , 当点在直线上时,取得最小值 , 即 . 56 9.（2024江苏南通期中）已知为坐标原点,函数的图象与 轴的 一个交点为,与轴交于点,且,则 _ ___. 【解析】 由,得,,解得,,即, , 而,则,于是, , 又 ,所以 . 57 10.（2024江苏省南通中学期中）设,,都是单位向量,且,则 的 最小值为_______. 【解析】 因为, ,所以 , 所以 （利用三角函数性质求数量积最值） 当与 方向相同时,等号成立, 所以的最小值为 . . . 58 11.［大招6］（2024河南期中联考）在直角中, ,点 为平面内一动点,且 满足,,,则 的最大值为_________. 【解析】 如图所示,取的中点为,连接并延长到点 ,使得 ,连接,,, , 则四边形为矩形, , , , , 59 , 同理得 ， 故（矩形大法）,即 , ,则 , 由矩形的对角线相等可得的最大值为 . . . 60 小课堂 平面向量解决几何最值或取值范围问题,通常有两种思路: ①形化,即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题,然后 根据平面图形的特征直接求解； ②数化,即利用平面向量的线性运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的 解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程等有关知识进行求解. 61 12.（2024江苏南京一中期中）已知,为单位向量,设向量, . （1） 若,求与 的夹角； 【答案】 因为, 为单位向量, 所以 , 因为 , 所以 , 又,所以 , ,所以 . 设与的夹角为 ,则 , 因为 ,所以 . 62 （2） 若,设向量,的夹角为 ,求 的最小值. 【答案】 因为,所以 , 即 , 又,所以 , 所以 ,令（利用换元法减少运算量）,则 , , . . 63 因为,所以,所以 , 即 的最小值为 . 13.（2024江苏常州阶段练习）如图,在直角梯形 中,已知 ,,,动点,分别在线段 和上,且, . （1） 当时,求 的值； 65 【答案】 当 时, 依题意知,,, ， 则, . , ， 所以 ， 因此 . 因为,, , 所以, , 所以 . （2） 求向量, 的夹角； 【答案】 因为, , 所以 ， . 则 . 因为,, , 所以 , 故向量,的夹角为 . 68 （3） 求 的取值范围. 69 【答案】 由（2）知, , . 则 . 因为,, , 所以 , 由题意知, , 所以的取值范围是 , 所以的取值范围是 . 70 情境素养 1. （2024江苏扬州三校联考）根据《周髀算 经》记载,公元前十一世纪,数学家商高就提出了 “勾三股四 弦五”,故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾 股定理的正整数组 ,任意一组勾股数都可以表示为如 C A. B. C. D. 下的形式：其中,, 均为正整数,且 .如图所示,中,,,三边对应的勾股数中, ,点 在线段上,,则 ( ) 71 【解析】 由题意可得显然, , 所以在直角中, . 若,则,即 , 此时,与 矛盾,不符合题意； 若,则,即 , 此时,符合 . 综上所述, . 则,, , 72 所以 , 所以 . 2. （2024浙江宁波期中）已知,,是平面向量, 是单位向量,若非零向量 与的夹角为,向量满足,则 的最小值是( ) A A. B. C. D. 【解析】 设, 共起点, 由 , 可得 （因式分解确定垂直关系）, 所以与 垂直,如图, . . 74 由向量减法的几何意义可知,向量 的终点落在图中的圆上, 由题意可知的终点在图中所示的射线上,所以 是从圆上的点到射线上的点形成的 向量, 要求的最小值,只需求圆心到射线的距离减去圆的半径,故 的最小值为 . 75 $$