2025年广东省九年级中考数学一轮考点复习课件：第16讲二次函数的综合运用

第三章　函数 第16讲　二次函数的综合运用 中考热点1　二次函数的最值的实际应用　【高频考点·常在第20、21题 考查】 例1：(2024·广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”， 2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以 每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均 每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应 增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？ 并求出其最大值. 解：设该果商定价x万元时每天的“利润”为w万元，每天的“销售收 入”为y万元. 根据题意，得w＝(x－2)[100＋50(5－x)]＝－50(x－4.5)2＋312.5. ∵－50＜0，∴w随x的增大而减小. ∴当x＝4.5时，w有最大值，最大值为312.5. 根据题意，得y＝x[100＋50(5－x)]＝－50(x－3.5)2＋612.5. ∵－50＜0， ∴y随x的增大而减小. ∴当x＝3.5时，y有最大值，最大值为612.5. 答：该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”最大，其最大值为 312.5万元；定价为3.5万元时才能使每天的“销售收入”最大，其最大 值为612.5万元. 解：设该果商定价x万元时每天的“利润”为w万元，每天的“销售收 入”为y万元. 根据题意，得w＝(x－2)[100＋50(5－x)]＝－50(x－4.5)2＋312.5. ∵－50＜0，∴w随x的增大而减小. ∴当x＝4.5时，w有最大值，最大值为312.5. 根据题意，得y＝x[100＋50(5－x)]＝－50(x－3.5)2＋612.5. ∵－50＜0， ∴y随x的增大而减小. ∴当x＝3.5时，y有最大值，最大值为612.5. 答：该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”最大，其最大值为 312.5万元；定价为3.5万元时才能使每天的“销售收入”最大，其最大 值为612.5万元. [变式1](1)【课标新增·会求二次函数的最值，能解决相应的实际问题】根 据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40 m/s的速度将小球沿与地面 成30°角的方向击出，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位： s)之间的函数关系是h＝－5t2＋20t，当飞行时间t为 s时，小球达 到最高点， 最高点离地面 m. 2　 20　 (2)如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)围 成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD. ①如果要围成面积为45 m2的花圃，求AB的长； 解：(2)①设AB的长为x m，则BC的长为(24－3x)m. 则0＜24－3x≤10，解得 ≤x＜8. 根据题意，得x(24－3x)＝45，解得x1＝3，x2＝5. ∵ ≤x＜8，∴AB的长为5 m. 解：(2)①设AB的长为x m，则BC的长为(24－3x)m. 则0＜24－3x≤10，解得 ≤x＜8. 根据题意，得x(24－3x)＝45，解得x1＝3，x2＝5. ∵ ≤x＜8，∴AB的长为5 m. [变式1](1)【课标新增·会求二次函数的最值，能解决相应的实际问题】根 据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40 m/s的速度将小球沿与地面 成30°角的方向击出，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位： s)之间的函数关系是h＝－5t2＋20t，当飞行时间t为 s时，小球达 到最高点， 最高点离地面 m. 2　 20　 (2)如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)围 成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD. ②如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积. 解：(2)②根据题意，得面积 S＝x(24－3x)＝－3(x－4)2＋48. ∵ ≤x＜8，对称轴为直线x＝4，开口向下， ∴当x＝ 时，S有最大值为 . 答：最大面积为 m2. 解：(2)②根据题意，得面积 S＝x(24－3x)＝－3(x－4)2＋48. ∵ ≤x＜8，对称轴为直线x＝4，开口向下， ∴当x＝ 时，S有最大值为 . 答：最大面积为 m2. 中考热点2　二次函数中的抛物线形问题 例2：如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管， 在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水 平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水 管应多长？ 解：根据题意，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋3. 代入点(3，0)，可得a＝－ ， ∴y＝－ (x－1)2＋3. 当x＝0时，y＝ . 答：水管应长为 m. 解：根据题意，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋3. 代入点(3，0)，可得a＝－ ， ∴y＝－ (x－1)2＋3. 当x＝0时，y＝ . 答：水管应长为 m. [变式2](1)一辆汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间t(单 位：s)的函数解析式是s＝－2t2＋18t，汽车行驶 s后会停下来. 4.5　 (2)(2024·温州模拟)一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门， 球射向球门的路线是抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高 点，此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m，现以点O为原点，建 立如图所示的平面直角坐标系. ①求抛物线的函数解析式，并通过计算判断球能否射进球门；(忽略其他 因素) 解：(2)①根据题意，设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋3. 代入点A(8，0)，可得a＝－ ， 解：(2)①根据题意，设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋3. 代入点A(8，0)，可得a＝－ ， ∴抛物线的函数解析式为 y＝－ (x－2)2＋3. 当x＝0时，y＝ ＞2.44， ∴不能射进球门. ∴抛物线的函数解析式为 y＝－ (x－2)2＋3. 当x＝0时，y＝ ＞2.44， ∴不能射进球门. (2)(2024·温州模拟)一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门， 球射向球门的路线是抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高 点，此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m，现以点O为原点，建 立如图所示的平面直角坐标系. ②对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则 当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方 2.25 m处？ 解：(2)②设移动b m，则移动后的抛物线解析式为y ＝－ (x－2－b)2＋3. 把点(0，2.25)代入，解得b＝1或b＝－5(不符合题 意，舍去). ∴应向正后方移动1 m. 解：(2)②设移动b m，则移动后的抛物线解析式为y ＝－ (x－2－b)2＋3. 把点(0，2.25)代入，解得b＝1或b＝－5(不符合题 意，舍去). ∴应向正后方移动1 m. 中考热点3　二次函数与几何综合　【高频压轴考点·二次函数综合，常 在最后一题考查】 例3：如图，一次函数y＝kx＋1与二次函数y＝x2＋mx＋n的图象交点 为A(－1，0)，B(4，5). (1)求抛物线的解析式； 解：(1)将点A(－1，0)，B(4，5)代入y＝x2＋mx＋n，得 解：(1)将点A(－1，0)，B(4，5)代入y＝x2＋mx＋n， 得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. 解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. 例3：如图，一次函数y＝kx＋1与二次函数y＝x2＋mx＋n的图象交点 为A(－1，0)，B(4，5). (2)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴， 交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值及此时点D的坐标； 解：(2)将点A(－1，0)代入y＝kx＋1，得k＝1， ∴一次函数的解析式为y＝x＋1. 设点D(a，a2－2a－3)，则点E(a，a＋1). ∴DE＝(a＋1)－(a2－2a－3)＝－a2＋3a＋4＝－ ＋ (－1＜a ＜4). ∵－1＜0， ∴当a＝ 时，线段DE长度的最大值为 ，此时点D的坐标为 . 解：(2)将点A(－1，0)代入y＝kx＋1，得k＝1， ∴一次函数的解析式为y＝x＋1. 设点D(a，a2－2a－3)，则点E(a，a＋1). ∴DE＝(a＋1)－(a2－2a－3)＝－a2＋3a＋4＝－ ＋ (－1＜a＜4). ∵－1＜0， ∴当a＝ 时，线段DE长度的最大值为 ，此时点D的坐标为 . 例3：如图，一次函数y＝kx＋1与二次函数y＝x2＋mx＋n的图象交点 为A(－1，0)，B(4，5). (3)抛物线上是否存在点F，使△ABF为以AB为直角边的直角三角形？ 若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(3)存在.点F的坐标为(2，－3)或(－3，12). 解：(3)存在.点F的坐标为(2，－3)或(－3，12). [变式3](1)(2023·广东改编)如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的 三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为 ⁠. －2　 (2)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点， 与y轴交于点C(0，3)，其顶点为点D，连接AC. ①求这条抛物线所对应的二次函数的解析式及顶点D的坐标； 解：①∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)，C(0， 3)， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－(x－1)2＋4， ∴顶点D的坐标为(1，4). 解：①∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)，C(0，3)， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. ∵y＝－(x－1)2＋4，∴顶点D的坐标为(1，4). (2)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点， 与y轴交于点C(0，3)，其顶点为点D，连接AC. ②点P为抛物线对称轴上一点，若PB＋PC的和最小，求点P的坐标； 解：②由①，得抛物线对称轴为直线x＝1，则点P的横坐标为1. ∵点A，B关于抛物线对称，∴PB＝PA. ∴PB＋PC的最小值即为PA＋PC的最小值. ∴当点P为直线AC与对称轴的交点时，PB＋PC的和最小. 设直线AC的解析式为y＝kx＋d. 把A(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋d，得 解得 ∴直线AC的解析式为y＝－x＋3. 当x＝1时，y＝2.∴点P的坐标为(1，2). 解：②由①，得抛物线对称轴为直线x＝1，则点P的横坐标为1. ∵点A，B关于抛物线对称，∴PB＝PA. ∴PB＋PC的最小值即为PA＋PC的最小值. ∴当点P为直线AC与对称轴的交点时，PB＋PC的和最小. 设直线AC的解析式为y＝kx＋d. 把A(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋d，得 解得 ∴直线AC的解析式为y＝－x＋3. 当x＝1时，y＝2.∴点P的坐标为(1，2). (2)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点， 与y轴交于点C(0，3)，其顶点为点D，连接AC. ③在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点 A，C，E，F为顶点，AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标. 解：③如图，过点F作FG⊥DE于点G. ∵以点A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形， ∴AC＝EF，AC∥EF. ∵OA∥FG， ∴∠OAC＝∠GFE. ∴△OAC≌△GFE. ∴OA＝GF＝3. 设点F(m，－m2＋2m＋3)，则点G(1，－m2＋2m＋3). ∴GF＝｜m－1｜＝3，解得m＝－2或m＝4. 当m＝－2时，－m2＋2m＋3＝－5，∴点F1(－2，－5)； 当m＝4时，－m2＋2m＋3＝－5，∴点F2(4，－5). 综上所述，点F的坐标为(－2，－5)或(4，－5). 解：③如图，过点F作FG⊥DE于点G. ∵以点A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形， ∴AC＝EF，AC∥EF. ∵OA∥FG， ∴∠OAC＝∠GFE. ∴△OAC≌△GFE. ∴OA＝GF＝3. 设点F(m，－m2＋2m＋3)，则点G(1，－m2＋2m＋3). ∴GF＝｜m－1｜＝3，解得m＝－2或m＝4. 当m＝－2时，－m2＋2m＋3＝－5，∴点F1(－2，－5)； 当m＝4时，－m2＋2m＋3＝－5，∴点F2(4，－5). 综上所述，点F的坐标为(－2，－5)或(4，－5). $$