专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 1 47 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1.（2024·河南南阳·三模）如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接交于，连接，由题意得出是的中位线，则，从而得到当最小值，最小，即当运动到时，最小，此时也为最小，求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ， ∵，，∴，，∴， ∵点是的中点，∴，∴是的中位线，∴， ∴当最小值，最小，∴当运动到时，最小，此时也为最小， ∵，∴的最小值为，故选：A． 例2．（2024九年级·浙江·专题练习）如图，为的直径，C为上一点，其中，，P为上的动点，连接，取中点Q，连接，则线段的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，作于H．首先证明点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，当点Q在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作于H． ∵，∴，∴，∴点Q的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点Q在的延长线上时，的值最大（也可以通过求解） 在中，∵，∴，， 在中，，∴CQ的最大值为，故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 例3.（2023·江苏宿迁·二模）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接，通过证明，得出，从而得出点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；则当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值，易证为等边三角形，求出，即可求出． 【详解】解：连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接， ∵绕点B逆时针旋转得到，∴，， ∵为等边三角形，∴，， ∴，即， 在和中，，∴， ∵，四边形为正方形，∴，则，∴， ∴点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；∴当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值， 在中，根据勾股定理可得：， ∵，，  ∴为等边三角形，∴， ∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查看瓜豆模型——圆生圆模型，解题的关键是确定从动点Q的运动轨迹，以及熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． 例4.（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，已知正方形的边长为3，点P在以点C为圆心，半径为2的上运动，同时点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是 ． 【答案】5 【分析】连接，以A为圆心，以为半径画圆，延长交于E．根据正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质求出的长度，根据三角形三边关系确定当点Q与点E重合时，取得最大值，最后根据线段的和差关系计算即可． 【详解】解：如下图所示，连接，以A为圆心，以为半径画圆，延长交于E． ∵正方形的边长为3，的半径为2，． ∵点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，． ．∴，即． ∴．．． ∵P是上任意一点，∴点Q在上移动．∴． ∴当点Q与点E重合时，取得最大值为．．故答案为：5． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质，三角形三边关系，线段的和差关系，综合应用这些知识点是解题关键． 例5．（2024·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足，连结BF．当点E与点D重合时，BF的值为 ．点E在上运动过程中，BF存在最大值为 ． 【答案】 / 【分析】根据题意可知当点E与点D重合时，点F在AC上，且可求出的长，从而可求出CF的长，即在中，利用勾股定理求出BF的长即可；连接AF、BE，由题意即可求出．再根据，，可得出，即证明，得出．从而可求出AF的长，即说明点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动．则可知当点F在BA的延长线上时BF最大，最大值为．在中，利用勾股定理求出AB的值，即得出答案． 【详解】根据题意可知，当点E与点D重合时，点F在AC上，如图， ∵，∴． ∴在中，；如图，连接AF、BE ∵，，∴． ∵，，∴， ∴，∴． ∵，∴，即AF的长为定值．∴点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动． ∴当点F在BA的延长线上时BF最大，且值为． 在中，，∴．故答案为：，． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形相似的判定和性质，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键．在解决第二个空时，证明出点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动是关键． 例6.（2023·江苏·九年级专题练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为　　． 解：如图，作，使得，，则，，， ，，，， ，，即（定长）， 点是定点，是定长，点在半径为1的上， ，的最大值为，故答案为． 例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取的中点，连接，，证明在以为圆心，为半径的圆上，即可得到答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵为的中点，，∴，∴在以为圆心，为半径的圆上， 当C，Q，G三点共线时，最大，， ∵，，，∴，∴， ∴，即的最大值为．故选A 例8．（2023·北京·一模）在平面直角坐标系中、的半径为1，为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．(1)如图，已知点，点，点为点的“对应点”．①在图中画出点；②求证：．(2)点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示） 【答案】(1)①见解析；②见解析(2) 【分析】（1）①根据题意作图即可；②如图所示，过点作轴于T，证明，得到，进而求出，进一步求出，利用勾股定理求出的长即可得到结论；（2）如图1所示，取，连接， 证明，推出，得到在以为圆心，半径为的圆上运动，进一步证明点Q在以为圆心，半径为的圆上运动；如图2所示，连接交于，延长交于，利用勾股定理得到，则，，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图所示，点Q即为所求； ②如图所示，过点作轴于T，由旋转的性质可得， ∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵关于点的对称点为Q，∴，∴， ∵，∴； （2）解：如图1所示，取，连接，∴，∴， ∵，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵点与点Q关于点对称，点关于点的对称点为， ∴点Q在以为圆心，半径为的圆上运动， 如图2所示，连接交于，延长交于， ∵，，∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最值问题，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定等等，确定点的轨迹进而确定点Q的轨迹是解题的关键． 1．（2024·山东济南·校考一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先证明，从而，再根据，可求，可知点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，从而可求BH最小值． 【详解】解：如图，取AD中点O，连接OG，以AO为斜边作等腰直角三角形AOM， 则，在和中， ，∴（SAS），∴， ∵，∴，∴， 是直角三角形，∴，∵为等腰直角三角形， ∴，∴， 又∵， ∴，∴，∴， ∴点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆， 如图，连接BM，交圆M于，过点M作于点P， ∵，， ∴，∴为等腰直角三角形， ∵，∴AP=MP==1，∴BP=4-1=3， 在中，，∴． ∴BH的最小值为．故选：C． 【点睛】本题考查最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是以A为圆心，以2为半径的圆上一  动点，连结CE，点P为CE的中点，连结BP，若AC=，BD=，则BP的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OP，根据平行四边形对角线互相平分知AO＝CO＝AC＝a、BO＝DO＝BD＝b，由点P为CE中点得知随着点E的运点，点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆，据此解答可得． 【详解】如图，连接OP， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO＝AC＝a，BO＝DO＝BD＝b， ∵点P为CE中点， ∴OP∥AE，且OP＝AE＝1， ∴随着点E的运点，点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆， 则当⊙O与OD交于点P时，BP最大，为BO＋OP＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握平行四边形的性质、中位线定理及点的运动轨迹问题是解题的关键． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，三角形中位线的性质；根据题意，可得在为直径的圆上运动，取的中点，，连接，延长交于点，连接，取的中点，连接；勾股定理求得，根据，求得的最大值，即可求解． 【详解】如图所示，取的中点，，连接，延长交于点，连接，取的中点，连接； ∵点为坐标平面内一点，， ∴ ∴在为直径的圆上运动， 当点C与点F重合时，最长，即为 ∵点，的坐标分别为，，是的中点，是的中点 当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大， ∴， ∴ ∴     即点与点重合时，最大，最大值为 故选：D． 4．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，拋物线与轴交于A、B两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内的一动点，且满足，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（  ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【分析】解方程得，利用抛物线的性质得到C点为的中点，再根据圆周角定理得到点P在以为直径的圆上，圆心Q点的坐标为，接着计算出，的半径为2，延长交于F，此时最大，最大值为，连接，利用三角形的中位线性质得到，从而得到的最大值． 【详解】解方程得，∴， ∵抛物线的对称轴与x轴交于点C，∴C点为的中点， ∵，∴点P在以为直径的圆上，圆心Q点的坐标为，如图， ，的半径为2，延长交于F，此时最大，最大值为， 连接，∵M是线段的中点，∴为的中位线，∴， ∴当点P和点F重合时，的最大值为．故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和圆周角定理． 5．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在轴上，点的坐标为．在中，，，，连接，点是中点，连接．将以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、坐标与图形、三角形三边关系、解直角三角形，取中点，连接，，先求出，由三角形中位线定理得出，由勾股定理得出，由三角形三边关系得出，当运动到上时，，即可得出答案． 【详解】解：如图，取中点，连接，， ， 在中，，，， ， ， 点是中点，点是中点， 是的中位线， ， 点的坐标为，的一条直角边在轴上， ，， 在中，，， ， 在中，，当运动到上时，， ， 线段的最小值为， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ ，则点F与点C的最小距离为 ． 【答案】3﹣1　． 【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，根据已知条件易证△AFG∽△EAD，根据相似三角形的性质求得FG=1；即可得点F在以点G为圆心，半径为1的圆上，所以当点F在线段GC上时，点F与点C的距离最小，由此即可求得点F与点C的最小距离. 【详解】如图，取AB的中点G，连接FG， ∵AB=4，AD=6，∴AG=2，； 在Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ ，∴,∴, ∵∠EAF＝∠BAD＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△AFG∽△EAD，∴, ∵DE=3,∴FG=1；∵点E为⊙D上一动点，∴点F在以点G为圆心，半径为1的圆上， ∴当点F在线段GC上时，点F与点C的距离最小， 在Rt△GBC中，BC=6，GB=3，由勾股定理求得GC=3，∴FC=3﹣1． 即点F与点C的最小距离为3﹣1．故答案为3﹣1． 【点睛】本题考查了最短距离问题，证得点F在以点G为圆心，半径为1的圆上及当点F在线段GC上时，点F与点C的距离最小是解决问题的关键. 7．（2024·浙江·一模）如图，已知正方形ABCD的边长为3，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将DE绕点D按逆时针旋转90°，得到DF，连接AF，则AF的最小值是 ． 【答案】3﹣1． 【分析】根据题意先证明△ADE≌△CDF，则CF=AE=1，根据三角形三边关系得：AF＞AC-CF，即AF＞AC-1，可知：当F在AC上时，AF最小，所以由勾股定理可得AC的长，可求得AF的最小值． 【详解】详解：如图1，连接FC，AF， ∵ED⊥DF， ∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠ADC=90°， ∴∠ADF+∠CDF=90°， ∴∠EDA=∠CDF， 在△ADE和△CDF中， ∵， ∴△ADE≌△CDF， ∴CF=AE=1， ∴AF＞AC﹣CF，即AF＞AC﹣1， ∴当F在AC上时，AF最小，如图2， ∵正方形ABCD的边长为3， ∴AC=3， ∴AF的最小值是3﹣1； 故答案为3﹣1． 【点睛】此题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是AF最大时，AF过点C．难点是找出AF最大时，点E的位置，是一道中等难度的试题． 8（2024·浙江金华·二模）如图，在正方形中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形（为顺时针排列），连接，则的长为 ，的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形从而确定点的运动轨迹是解题的关键． 如图所示，连接，先证明，，进而证明得到，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，故当三等共线，最大，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，∵四边形是正方形，∴，， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴点在以点为圆心， 为半径的圆上运动， ∴当三等共线时，最大，∴的最大值为； 故答案为：， ． 9．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，点P为矩形内一点，且，所以点P在的劣弧上运动，根据点绕点逆时针旋转到点，所以，，则，所以当最小时，最小，然后连接，交于P，此时，最小，则也最小，最后过点O作于E，交延长线于F，利用勾股定理求出，的长，从而求得，即可求解． 【详解】解：在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，如图，    ∵点P为矩形内一点，且，∴点P在的劣弧上运动， ∵点绕点逆时针旋转到点，∴，， ∴∴当最小时，，连接，交于P，此时，最小，则也最小， 在中，∵，，∴，∴， 过点O作于E，交延长线于F，∴， ∵，，∴ ∵矩形∴∴∴四边形正方形， ∴，∴， 在中，由勾股定理，得， ∴∴，故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆满的性质，勾股定理，作出辅助圆，得出取最小值的点P位置是解题的关键． 10．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，    的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形，，， 是的中点，，， 由旋转得：，， ，的值最小为．故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 11．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当 填度数度时，可以取最大值，最大值等于 ． 【答案】 【分析】连接、．先证明，则，，点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，当、、在同一直线上上最长，据此解答即可． 【详解】解：如图一，连接、． 是等腰直角三角形，，， 将绕点逆时针旋转得到，，，， ，，． ， 如图二，点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动， 当、、在同一直线上最长，， 故答案为：； 【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，点到圆上距离的最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 12．（2024·北京东城·九年级校联考期末）如图，在中，，，，点是边的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到，点是边上的一动点，则长度的最大值与最小值的差为 ． 【答案】/ 【分析】由直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，可得，即点在以为圆心，为半径的圆上，则当点，点，点共线，且时，长度最小, 当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大，然后求得最大值与最小值的差即可求解． 【详解】解：，，，， 将绕点按顺时针方向旋转，得到，点是边的中点， ，，点在以为圆心，为半径的圆上， 如图，当点，点，点共线，且时，长度最小， ，，最小值为． 当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大，则最大值为 长度的最大值与最小值的差为故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质、圆的基本认识，确定点的轨迹是本题的关键． 13．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为 ． 【答案】8 【分析】连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作于点N，发现点C的运动轨迹是以M为圆心，2为半径的圆，利用相似三角形的性质求出MN的长，当点C与重合时，的面积最小，求出最小面积即可． 【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作于点N， ∵，， ∴， ∴点C的运动轨迹是以M为圆心，2为半径的圆， 设交MN于， ∵直线与x轴、y轴分别交于点D、E， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即，解得， 当点C与重合时，的面积最小， ． 故答案是：8． 【点睛】本题考查动点问题，解题的关键是找出动点C的轨迹是圆，利用相似三角形的性质求出圆上一点到定直线的距离． 14．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，E是上的任意一点，将线段绕点D顺时针方向旋转并缩短到原来的一半，得到线段，连接，则的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】通过证可得，由勾股定理可得，根据三角形三边关系求的最小值即可； 【详解】解：如图，取中点T，连接，      ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，正确作出辅助线，证明是解题的关键． 15．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点Р在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，则点Р沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确判断出点M的运动轨迹，属于中考常考题型． 如图，设的中点为O，连接，判断出点M的运动轨迹，利用勾股定理求出进而求解． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，作于H，    ， 是的中点，，，， ∴点M的运动轨迹是以为直径的⊙T，设⊙T交于点E，交于点F，连接，则是直径， ∴点M的运动轨迹在以为直径的上（即上），， ，， 连接，与交于点M，    在中，， ，当时，此时最小， ， 故答案为：． 16．（2023·天津九年级期中）如图，⊙O的直径AB为2，C为⊙O上的一个定点，∠ABC＝30°，动点P从A出发，沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D，连接AD，则线段AD的最大值为 _________． 【答案】## 【分析】由同弦等角可知点D在以BC为弦的⊙O′（红弧线）上运动，从而构造辅助圆，故当A、O′、D共线时，AD的值最大．求出此时AD的值即可解决问题． 【详解】解： ∵AB是直径，∠ABC＝30°，AB＝2， ∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠P＝60°，，， ∵在Rt△PCD中，∠PCD＝90°，∠P＝60°，∴∠PDC＝30°， ∴点D在以BC为弦的⊙O′（红弧线）上运动， ∴当A、O′、D共线时，AD的值最大．如图，连接CO′、BO′， ∵∠BO′C＝2∠CDB＝60°，O′C＝O′B，∴△O′BC是等边三角形， ∴,∠CBO′＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO′＝90°， ∴，∴, ∴线段AD的最大值为．故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型． 17．（2023·浙江九年级课时练习）如图1，在中，，以点B为圆心，半径作圆．点Р为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接．（1）求的度数，并证明； （2）若点P在上时，①在图2中画出；②连接，求的长； （3）点P在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请直接写出取得最大值或最小值时的度数；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；证明见解析；（2）①见解析；②；（3）取得最大值时，；取得最小值时，． 【分析】（1）利用锐角三角函数求出即可；先判断出，再判断出，即可得出结论；（2）①利用垂直和线段的关系即可画出图形；②先求出，进而得出，再利用相似求出，即可得出结论；（3）先求出是定值，判断出点在以点为圆心，1为半径的圆上，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵在中，，， ，； ②，，，，， ，，，； （2）①如图1所示； ②如图2，连接，由（1）知，， ，， ，，， 点在上，，； 又∵， ∴在中，，，根据勾股定理得，； （3）由（1）知，，，，是定值， 点是在以点为圆心，半径为的圆上，①如图3， 点在的延长线上，此时，取得最大值，， ，，取得最大值时，； ②如图4，点在线段上时，取得最小值， ，，取得最小值时，． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出是解本题的关键． 18．（2023·河北廊坊·统考二模）已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形，，以A为圆心，2为半径作半圆A，交所在直线于点M，N．点E是半圆A上仟意一点．连接，把绕点B顺时针旋转90°到的位置，连接，． (1)求证：；(2)当与半圆A相切时，求弧的长；(3)直接写出面积的最大值． 【答案】(1)见解析(2)(3)4 【分析】（1）根据旋转性质，结合已知，证明，得到，证明即可．（2）根据切线的性质，三角函数，求得，代入弧长公式计算即可． （3）根据题意，得点D在以点C为圆心，以2为半径的半圆上运动，当时，的高取得最大值，此时也取得最大值． 【详解】（1）∵是等腰直角三角形，，∴． 由旋转可得， ∴，∴， ∵，∴． （2）∵与半圆A相切，∴， ∵，∴，∴，∴． （3）根据题意，得点D在以点C为圆心，以2为半径的半圆上运动， 过点D作于点Q，∴， 当时，的高取得最大值，此时也取得最大值． ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数，弧长公式，圆的最值，熟练掌握特殊角的三角函数，弧长公式，圆的最值是解题的关键． 19．（2023·广东·九年级专题练习）如图1，在中，，，，以点为圆心，为半径作圆．点为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接，． （1）求的度数，并证明； （2）如图2，若点在上时，连接，求的长； （3）点在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请求出当取得最大值或最小值时，的度数；若没有，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）有．① 当取得最大值时，；②当取得最小值时，． 【分析】（1）利用锐角三角函数求出∠BAC，先判断出，再判断出，即可得出结论；（2）先求出∠PAC，进而得出∠PAB＝90°，再利用相似求出AP，即可得出结论；（3）先求出AP＝1是定值，判断出点P在以点A为圆心，1为半径的圆上，分当点在的延长线上时和当点在线段上时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）在中，，，，， ，，， ，，，； （2）由（1）知，，， ，， ，，，， ，在中，，， 由勾股定理得； （3）有．由（1）知，， ，，是定值， 点是在以点为圆心，半径为的圆上， ①如图所示，当点在的延长线上时，取得最大值， ．，． 当取得最大值时，； ②如图所示，当点在线段上时，取得最小值， ，， 当取得最小值时，． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出△APC∽△BPC是解本题的关键． 20．（2022·福建·九年级专题练习）如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．(1)求点Q的运动总长度；(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）如图，设 结合题意可得：，结合正三角形的性质求解 再利用弧长公式进行计算即可； （2）解：如图，取的中点N，连接NM，NC，MC，过N作于K，过O作于E，证明M在以N为圆心，半径为1的圆N上运动，可得当C，N，M三点共线时，CM最大，从而可得答案． （1）解：如图，设 结合题意可得：， 为等边三角形， 而三点共线， 解得： 运动的总长度为： （2）解：如图，取的中点N，连接NM，NC，MC，过N作于K，过O作于E， 为PB的中点， ∴M在以N为圆心，半径为1的圆N上运动， ∴当C，N，M三点共线时，CM最大， 同理可得： 则 ∴的最大值为： 【点睛】本题考查的是弧长的计算，弧与圆心角的关系，圆的基本性质，正多边形的性质，勾股定理的应用，熟练的构造辅助圆，再求解线段的最大值是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 1 47 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1.（2024·河南南阳·三模）如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 例2．（2024九年级·浙江·专题练习）如图，为的直径，C为上一点，其中，，P为上的动点，连接，取中点Q，连接，则线段的最大值为（　　） A． B． C． D． 例3.（2023·江苏宿迁·二模）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 例4.（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，已知正方形的边长为3，点P在以点C为圆心，半径为2的上运动，同时点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是 ． 例5．（2024·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足，连结BF．当点E与点D重合时，BF的值为 ．点E在上运动过程中，BF存在最大值为 ． 例6.（2023·江苏·九年级专题练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为　　． 例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 例8．（2023·北京·一模）在平面直角坐标系中、的半径为1，为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．(1)如图，已知点，点，点为点的“对应点”．①在图中画出点；②求证：．(2)点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示） 1．（2024·山东济南·校考一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是以A为圆心，以2为半径的圆上一  动点，连结CE，点P为CE的中点，连结BP，若AC=，BD=，则BP的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，拋物线与轴交于A、B两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内的一动点，且满足，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（  ） A．5 B． C． D．3 5．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在轴上，点的坐标为．在中，，，，连接，点是中点，连接．将以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是 ． 6．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ ，则点F与点C的最小距离为 ． 7．（2024·浙江·一模）如图，已知正方形ABCD的边长为3，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将DE绕点D按逆时针旋转90°，得到DF，连接AF，则AF的最小值是 ． 8（2024·浙江金华·二模）如图，在正方形中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形（为顺时针排列），连接，则的长为 ，的最大值为 ． 9．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为 ．    10．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    11．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当 填度数度时，可以取最大值，最大值等于 ． 12．（2024·北京东城·九年级校联考期末）如图，在中，，，，点是边的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到，点是边上的一动点，则长度的最大值与最小值的差为 ． 13．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为 ． 14．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，E是上的任意一点，将线段绕点D顺时针方向旋转并缩短到原来的一半，得到线段，连接，则的最小值是 ．    15．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点Р在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，则点Р沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段的最小值为 ．    16．（2023·天津九年级期中）如图，⊙O的直径AB为2，C为⊙O上的一个定点，∠ABC＝30°，动点P从A出发，沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D，连接AD，则线段AD的最大值为 _________． 17．（2023·浙江九年级课时练习）如图1，在中，，以点B为圆心，半径作圆．点Р为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接．（1）求的度数，并证明； （2）若点P在上时，①在图2中画出；②连接，求的长； （3）点P在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请直接写出取得最大值或最小值时的度数；若没有，请说明理由． 18．（2023·河北廊坊·统考二模）已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形，，以A为圆心，2为半径作半圆A，交所在直线于点M，N．点E是半圆A上仟意一点．连接，把绕点B顺时针旋转90°到的位置，连接，． (1)求证：；(2)当与半圆A相切时，求弧的长；(3)直接写出面积的最大值． 19．（2023·广东·九年级专题练习）如图1，在中，，，，以点为圆心，为半径作圆．点为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接，． （1）求的度数，并证明；（2）如图2，若点在上时，连接，求的长； （3）点在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请求出当取得最大值或最小值时，的度数；若没有，请说明理由． 20．（2022·福建·九年级专题练习）如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．(1)求点Q的运动总长度；(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$