专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 1 47 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1.（2024·山东临沂·校考一模）如图，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，AD=5，P是半径为的上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（        ） A．8 B． C．9 D． 例2．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最大值为 ． 例3.（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是上任意一点，点在外，已知，是等边三角形，则的面积的最大值为    例4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C．5 D．6 例5．（2024·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 例6．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（　　） A． B． C． D． 例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 例8．（23-24九年级上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，N是线段上一点．对于平面内一点P给出如下定义：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，我们称点是点P的“平移点”，点Q为点P的“移对点”．在平面直角坐标系中，已知的半径为2． (1)若点，点N是的中点，点，则点P的“平移点”的坐标是_____，点P的“移对点”Q的坐标是______；(2)如图，点，点N是OM的中点，点．在图中用直尺与圆规作出点P的“移对点”点Q，并求点Q的坐标（不写作法，保留作图痕迹）； (3)若点是上一点，N是线段OM上一点，且，P是外一点，点Q为点P的“移对点”，连接PQ．当点M在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差． 1．（2024·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，为原点，，的半径为1，是上一动点，以为边作等边，且点在第一象限，设的坐标为，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，，以点B为圆心，作半径为2的圆，点C在上，连接作等腰直角三角形，使，，则的面积的最大值为（ ） A． B． C．4 D．8 5．（2024·广东广州·二模）如图，已知的半径长为，为直径，点是一动点，，连结，以为斜边，在上方构造直角三角形且满足，． （1）若是的切线，求 ．（2）求的最大值为 ． 6．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，是的直径，交于点C，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为6，则长的最大值是 ．    7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，，点在边上且，点是矩形内一动点，满足，连接，将绕点逆时针旋转并延长至，使，连接，则的最小值为 ． 8．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，点A、B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为 ．    9．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在等边和等边中，，，以为邻边作平行四边形，连接．若将绕点C旋转一周，则线段的最小值是 ． 10.（2024·盐城市校考一模）如图，在直角坐标系中，点A坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），以B点为圆心，2长为半径的圆交轴于C、D两点，若P是⊙B上一动点，连接PA，以PA为一直角边作Rt△PAQ，使得，连接DQ，则DQ的最小值为 11．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ． 12．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与x轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，，点D是的中点，连接，则线段的最大值为 ． 13．（2023·贵州铜仁·三模）如图，在矩形中，，，Q是矩形左侧一点，连接、，且，连接，E为的中点，连接，则的最大值为 ．    14．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以D为圆心，2为半径的，E为上一动点，连接AE，以AE为直角边向下作，使∠EAF=90°，，则点C与点F的最小距离为 ． 15．（2024·浙江金华·二模）如图，在正方形中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形（为顺时针排列），连接，则的长为 ，的最大值为 ． 16．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为 ．    17．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    18．（2024·广东汕头·九年级校考期中）如下图，在正方形中，，点是以为直径的圆上的点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最大值与最小值的和 ．    19．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．(1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．①在图中画出点；②连接交线段于点求证： (2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示） 20．（2024·江苏泰州·一模）已知：在矩形中，，，点G是边的中点，连接．以点A为圆心、2为半径作，点E是上的一个动点，连接、．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接、、． 知识回顾（1）如图1，当点E在直线的左侧时，试证明，并求出的长； 初步探索（2）直接写出的最小值是 ，最大值是 ； 操作并思考（3）如图2，当点E落在边上时，试猜想和有怎样的位置关系，并说明理由； （4）若点E到G、F之间的距离相等，请根据图1、图3两种情况，求的长．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 1 47 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1.（2024·山东临沂·校考一模）如图，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，AD=5，P是半径为的上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（        ） A．8 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】连接BP，根据三角形中位线定理可得，从而得到当BP最大时，DE最大，再由当PB过圆心A时，PB最大，即可求解． 【详解】解：如图，连接BP，∵AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，∴BD=CD=12， ∵E是PC的中点，∴，∴当BP最大时，DE最大， ∵P是半径为的上一动点，∴当PB过圆心A时，PB最大，此时P、A、B三点共线， ∵AD=5，BD=12，∴AB=13，∴PB的最大值为13+3=16，∴DE的最大值为8．故选：A 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当PB取最大值时，DE的长最大是解题的关键． 例2．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点，，∴，∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大， 在中，∵，，∴， ∴，∴的最大值为，故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 例3.（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是上任意一点，点在外，已知，是等边三角形，则的面积的最大值为    【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点的位置变换是解题的关键． 如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边作等边，连接，    ∵是等边三角形，∴， ∵是等边三角形，∴， ∴，且，，∴，∴， ∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值， ∴在中，，，，∴， ∴，且，∴， ∴，故答案为：． 例4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2， 点B是上一点，则点是上一点，当点三点共线，即点在上时，最小． 【详解】解：如图，把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2，    ，， ，，，， 过作于点，， 在中，， 点B是上一点，则点是上一点，， 当点三点共线，即点在上时，最小， ，故线段的最小值为．故选：A． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题的关键是作出正确的辅助线，运用数形结合的思想方法． 例5．（2024·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，取的中点，连接，，，DE由，推出，因为，可得，推出点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】如图，取的中点，连接，，，DE． ∵，，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆， ∵，∴，∴，∴的最小值为．故选：A． 【点睛】本题是一个动点问题，考查了矩形、圆、三角形相似的判定和性质、两点间线段最短等知识，本题的难点是点G的运动轨迹的探索，关键是构造两个相似的三角形． 例6．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系；作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ，，，，， ，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上， ，的最大值为，故选：C． 例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取的中点，连接，，证明在以为圆心，为半径的圆上，即可得到答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵为的中点，，∴，∴在以为圆心，为半径的圆上， 当C，Q，G三点共线时，最大，， ∵，，，∴，∴， ∴，即的最大值为．故选A 例8．（23-24九年级上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，N是线段上一点．对于平面内一点P给出如下定义：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，我们称点是点P的“平移点”，点Q为点P的“移对点”．在平面直角坐标系中，已知的半径为2． (1)若点，点N是的中点，点，则点P的“平移点”的坐标是_____，点P的“移对点”Q的坐标是______；(2)如图，点，点N是OM的中点，点．在图中用直尺与圆规作出点P的“移对点”点Q，并求点Q的坐标（不写作法，保留作图痕迹）； (3)若点是上一点，N是线段OM上一点，且，P是外一点，点Q为点P的“移对点”，连接PQ．当点M在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差． 【答案】(1)，(2)作图见解析，(3)PQ长的最大值与最小值的差是 【分析】（1）根据题中所给的“平移点”和 “移对点”的定义即可解答；（2）先画出点，以点N为圆心，长为半径画弧，交于x轴交于点Q，点Q即为所求，先求出点的坐标，根据中心对称的定义即可求出点Q的坐标；（3）连接并延长，过点Q作的平行线，交的延长线于点A和点B，先根据中位线定理得出，再根据平行四边形的性质得出，最后根据三角形三边之间的关系，即可得将最大值和最小值表示出来． 【详解】（1）解：∵，，∴点P的“平移点”的坐标是，即：， ∵点N是的中点，∴，点关于点N的对称点坐标为：， ∴P的“移对点”Q的坐标是：故答案为：，． （2）作图如下． 连接PQ．∵，，∴点P的“平移点”的坐标是，即：，∴， 过点N作于H，则四边形是矩形．∴，， ∵，，∴且．∴． ∴点Q在x轴上且．∴．∴． （3）∵的半径为2，∴，∵，∴， ∵点，设点P的坐标为，∴ ∴，， ∴，同理可得：，∴四边形为平行四边形， 连接并延长，过点Q作的平行线，交的延长线于点A和点B， ∵，，∴，∵，， ∴四边形为平行四边形，∴，∴， ∵，∴长的最大值与最小值的差为：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合问题，解题的关键是正确理解题意，明白“平移点”和“移对点”的定义，根据题意做出辅助线，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的性质，中心对称的性质． 1．（2024·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】以为边向上作等边三角形，连接，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段的最大距离，即可求出面积的最大值． 【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接， ∵，∴，即， 在和中，，∴，∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离，∵是边长为4的等边三角形，∴点M到的距离为， ∴点D到的最大距离为，∴的面积最大值是，故选A． 【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称—最小距离和问题，正方形的性质，勾股定理，取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于，根据勾股定理求出，再结合四点共线时最小即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 当、、、四点共线时，的值最小，的最小值为， ∴的最小值为， 故选：B． 3．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，为原点，，的半径为1，是上一动点，以为边作等边，且点在第一象限，设的坐标为，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的切线的性质和判定、等边三角形的性质、三角函数，作轴于，得出，根据得出与轴相切，设切点为，当点与点重合时，的值最小，结合等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作轴于，   ，的坐标为，且点在第一象限， ， ，的半径为1， 与轴相切，设切点为， 当点与点重合时，的值最小， 是等边三角形， ， ， 的坐标为， ， 故选：A． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，，以点B为圆心，作半径为2的圆，点C在上，连接作等腰直角三角形，使，，则的面积的最大值为（ ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】如图，以为边向下作等腰直角三角形，且，连接，证明，可得，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，结合的面积最大，可得到的距离最大，从而可得答案． 【详解】解：如图，以为边向下作等腰直角三角形，且，，连接， ∴，， 同理：，，∴，， ∴，∴，而，∴， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵的面积最大，∴到的距离最大，∴当即，，共线时最大， 最大值为：，∴的面积最大面积为．故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆的确定，熟练的构建相似三角形得到D的运动轨迹是解本题的关键． 5．（2024·广东广州·二模）如图，已知的半径长为，为直径，点是一动点，，连结，以为斜边，在上方构造直角三角形且满足，． （1）若是的切线，求 ． （2）求的最大值为 ． 【答案】 或 / 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定； （1）分情况讨论，分别画出图形，解直角三角形，即可求解； （2）以为斜边构造直角三角形且满足，，证明，得出进而得出，进而根据点到圆上的距离最值问题，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵的半径长为，为直径，，∴ 又∵是的切线，∴，∴ ∵，．∴, ∵∴∴ 在中，； 如图所示，过点作于点， ∵，∴ ∵，∴，∴ 在中，故答案为：或． （2）如图所示，以为斜边构造直角三角形且满足，， 则 ∵，∴，∴即 又∵∴∴ ∴∴，∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴的最大值为故答案为：． 6．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，是的直径，交于点C，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为6，则长的最大值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是及三角形的中位线的性质；连接，，取中点，连接、，是⊙的直径，可推出，根据中位线的性质可知，则在以为直径的圆上，当与点重合时，最大，根据求出长代入即可． 【详解】解：连接，，    ∵是⊙的直径， ∴， ∵为的中点，为的中点，则， ∴ ∴， 取中点，连接， ∴在以为直径的圆上， ∴当过点重合时，最大， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，，点在边上且，点是矩形内一动点，满足，连接，将绕点逆时针旋转并延长至，使，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取中点O，在矩形内部过点O作，且，连接，，则，则，故点P在以O为圆心，3为半径的圆弧上运动，可证明，再证明，则，而在中，由勾股定理得，因此，所以，那么点F在以K为圆心，为半径的圆弧上，由，得到当点位于延长线上时，最小，延长交于点，可得四边形为矩形，则，，在中，由勾股定理得，故最小值为． 【详解】解：取中点O，在矩形内部过点O作，且，连接，，如图： ∵四边形是矩形，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P在以O为圆心，3为半径的圆弧上运动， 由旋转得，， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴点F在以K为圆心，为半径的圆弧上， ∵， ∴， ∴当点位于延长线上时，最小，延长交于点，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的定义，直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识点，难度较大，需要确定动点的轨迹是解题的关键． 8．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，点A、B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】先判断出点C的运动轨迹是在半径为2的上，在y轴负半轴取点D，使，连接，则是的中位线，进而可得当最大时，即最大，而D，B，C三点共线时，当C在的延长线上时，最大，此时取得最大值，计算即可求出结果． 【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在上，且半径为2， 在y轴负半轴取点D，使，连接，    ∵， ∴是的中位线， ∴， 当最大时，即最大， 而D，B，C三点共线时，当C在的延长线上时，最大，此时取得最大值， ∵， ∴， ∴， ∴，即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标和图形以及三角形的中位线，定点定长构造辅助圆，解题关键是确定点C的运动轨迹． 9．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在等边和等边中，，，以为邻边作平行四边形，连接．若将绕点C旋转一周，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】过点F作，过点C作，二线交于点G，根据平行四边形的性质，得到点F在以G为圆心，以长为半径的圆上，利用圆的性质，确定最小值即可． 【详解】解：如图，过点F作，过点C作，二线交于点G， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点F在以G为圆心，以为半径的圆上， ∴当A、F、G三点共线时，最小， ∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， ∴互相垂直平分， 设交点为H， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴线段的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆的性质，特殊角的三角函数值，熟练菱形的判定和性质，圆的性质是解题的关键． 10.（2024·盐城市校考一模）如图，在直角坐标系中，点A坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），以B点为圆心，2长为半径的圆交轴于C、D两点，若P是⊙B上一动点，连接PA，以PA为一直角边作Rt△PAQ，使得，连接DQ，则DQ的最小值为 【答案】 【详解】解：如图，取点M（2，-2），连接AM，MQ、PB， ∵∠MAB=∠QAP=90°，∴∠MAQ=∠BAP， ∵，∴△MAQ∽△BAP，∴MQ= PB=1，∴Q点在以M为圆心，以1为半径的圆上， 由图象可得：DQ的最小值为：DM-MQ，AD=OD-OA=6+2-2=6， 由勾股定理可得：DM=，∴DQ的最小值等于：−1. 11．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识；运用三角形中位线定理是本题的关键和难点． 连接，根据函数解析式，求坐标，然后求出，是线段的中点，是线段的中点，故是的中位线，当、、三点共线，且点在之间时，最大，即可求解． 【详解】解：连接，， ∵抛物线与轴交于、两点，令即，解得或， ，，∵，，， 是线段的中点，是线段的中点，故是的中位线，， 最大，即最大，即、、三点共线，且点在之间时，最大， ，，故答案为：． 12．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与x轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，，点D是的中点，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线、勾股定理、垂直定理，根据垂径定理及中点得是的中位线，，当是的直径时，线段取得最大值，在中，根据勾股定理得，进而可得，进而可求解，熟练掌握相关知识点，找准线段的最大值的位置是解题的关键． 【详解】解： ，点坐标为，， 点D是的中点，，是的中位线，， 当是的直径时，线段取得最大值，如图：点M坐标为，， 在中，根据勾股定理得：， ，，故答案为：． 13．（2023·贵州铜仁·三模）如图，在矩形中，，，Q是矩形左侧一点，连接、，且，连接，E为的中点，连接，则的最大值为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了点到圆的最值，勾股定理，三角形中位线定理，延长到点F，使，取中点O，连接并延长交于点Q，取中点G，连接，则，半径为2，利用勾股定理求得，可得的最大值，根据中位线定理可得的最大值． 【详解】解：延长到点F，使，取中点O，连接并延长交于点Q，取中点G，连接，则，半径为2，    点E为中点，点C为中点，为中位线， ，， ，， 为圆上一动点，此时为最大值，的最大值为．故答案为：6． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以D为圆心，2为半径的，E为上一动点，连接AE，以AE为直角边向下作，使∠EAF=90°，，则点C与点F的最小距离为 ． 【答案】 【分析】如图，在AB上取AH=2，连结ED，FH，根据已知条件易证△AFH∽△AED，根据相似三角形的性质求得FH=1；即可得点F在以点H为圆心，半径为1的圆上，所以当点F在线段HC上时，点F与点C的距离最小，由此即可求得点F与点C的最小距离． 【详解】解：如图，在AB上取AH=2，连结ED，FH， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴△AFH∽△AED， ∴， ∵DE=2， ∴FH=1， ∴点F在以H为圆心，以为半径的圆上运动， 连结HC， 当点F在HC上时FC最短， 在BCH，∠CBH＝90°， 由勾股定理， CF最短距离=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短距离问题，矩形性质，锐角三角函数，相似三角形判定与性质，圆，勾股定理，证得点F在以点H为圆心，半径为1的圆上及当点F在线段HC上时，点F与点C的距离最小是解决问题的关键． 15．（2024·浙江金华·二模）如图，在正方形中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形（为顺时针排列），连接，则的长为 ，的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形从而确定点的运动轨迹是解题的关键． 如图所示，连接，先证明，，进而证明得到，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，故当三等共线，最大，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，∵四边形是正方形，∴，， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴点在以点为圆心， 为半径的圆上运动， ∴当三等共线时，最大，∴的最大值为； 故答案为：， ． 16．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，点P为矩形内一点，且，所以点P在的劣弧上运动，根据点绕点逆时针旋转到点，所以，，则，所以当最小时，最小，然后连接，交于P，此时，最小，则也最小，最后过点O作于E，交延长线于F，利用勾股定理求出，的长，从而求得，即可求解． 【详解】解：在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，如图，    ∵点P为矩形内一点，且，∴点P在的劣弧上运动， ∵点绕点逆时针旋转到点，∴，， ∴∴当最小时，，连接，交于P，此时，最小，则也最小， 在中，∵，，∴，∴， 过点O作于E，交延长线于F，∴， ∵，，∴ ∵矩形∴∴∴四边形正方形， ∴，∴， 在中，由勾股定理，得， ∴∴，故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆满的性质，勾股定理，作出辅助圆，得出取最小值的点P位置是解题的关键． 17．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，    的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形，，， 是的中点，，， 由旋转得：，， ，的值最小为．故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 18．（2024·广东汕头·九年级校考期中）如下图，在正方形中，，点是以为直径的圆上的点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最大值与最小值的和 ．    【答案】 【分析】连接、，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，根据旋转的性质得出，进而可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，则线段的最大值与最小值的和为，进而勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接、，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，       ∵线段绕点逆时针旋转，绕点逆时针旋转， ∴，，∴， ∴， ∴∴ 则点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴线段的最大值与最小值的和为 在中， ∴， 如图所示，过点作交的延长线于点，过点作于点， 则四边形是矩形，∴， 在与中，，∴ ∴，，在中，， ∴线段的最大值与最小值的和为，故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，求一点到圆上的距离的最值，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 19．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”． ①在图中画出点；②连接交线段于点求证： (2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）①先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点Q的坐标；②延长ON至点，连接AQ，利用AAS证明，得到，再计算出OA，OM，ON，即可求出；（2）连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，结合对称的性质得出NM为的中位线，推出，得出，则． (1)解：①点Q如下图所示． ∵点，∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，∴， ∵点关于点的对称点为，，∴点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点，在坐标系内找出该点即可； ②证明：如图延长ON至点，连接AQ， ∵ ，∴，在与中， ，∴，∴， ∵ ，，，∴，，， ∴，∴，∴；    (2)解：如图所示，连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使， ∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，∴， ∵点关于点的对称点为，∴，又∵，∴OM∥ST， ∴NM为的中位线，∴，， ∵，∴，∴，    在中，，结合题意，，， ∴，即长的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点的轨迹是解题的关键． 20．（2024·江苏泰州·一模）已知：在矩形中，，，点G是边的中点，连接．以点A为圆心、2为半径作，点E是上的一个动点，连接、．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接、、． 知识回顾（1）如图1，当点E在直线的左侧时，试证明，并求出的长； 初步探索（2）直接写出的最小值是 ，最大值是 ； 操作并思考（3）如图2，当点E落在边上时，试猜想和有怎样的位置关系，并说明理由； （4）若点E到G、F之间的距离相等，请根据图1、图3两种情况，求的长．    【答案】（1）见解析，；（2）；（3），见解析；（4） 【分析】（1）证明，，可得，再利用相似三角形的性质可得答案； （2）证明在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的交点为，，再进一步可得答案； （3）过作于，证明，由，可得，再证明，从而进一步可得结论； （4）连接， 证明，而，可得，，可得；同理可得：，，，从而可得答案； 【详解】解：（1）∵矩形中，，，点G是边的中点， ∴，，∴，， ∵，，∴，， ∴，，∴，∴，∵，∴； （2）如图，∵，∴在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的交点为，，       ∴，∴，， ∴的最小值为，的最大值为； （3）如图，过作于，∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； （4）如图，连接，∵，，，∴，而，    ∴，∴， ∵，∴，，∴； 如图，同理可得：，∴，，∴； 综上：当时，． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$