专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 1 47 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1.（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，中，于点是半径为4的上一动点，连接，若是的中点，连接，则长的最大值为（    ）    A．8 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当取最大值时，的长最大是解题的关键．连接，根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理得到，则当取最大值时，的长最大，求得的最大值，即可求得长的最大值． 【详解】解：连接，  ，，， 点为的中点，是的中位线，，当取最大值时，的长最大， 是半径为2的上一动点，当过圆心时，最大，，，， 的半径为4，的最大值为，长的最大值为，故选：． 例2．（2023九年级广东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最大值为（　　） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】连接，由垂径定理得，再由圆周角定理得点C在以为直径的圆上（点O、A除外），以为直角作⊙P，过P点作直线于H，交⊙P于M、N，利用一次函数解析式确定，，则，然后证，利用相似比求出的长，得的长，当C点与M点重合时，的面积最大，即可求． 【详解】解：连接，如图，∵点C为弦的中点，，， ∴点C在以为直径的圆上（点O、A除外）， 以为直径作⊙P，过P点作直线于H，交⊙P于M、N， 当时，，则，当时，，解得，则， ，，，，，， ，，，，即，解得， ，，当C点与M点重合时，面积的最大值为7，故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和一次函数的性质． 例3.（2023.广西九年级期中）如图，，点O在线段上，，的半径为1，点P是上一动点，以为一边作等边，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：如图，在上方以为一边作等边，连接， 和都是等边三角形，， ，即， 在和中，，，， 点在以点为圆心，长为半径的圆上，如图，设与交于点，过点作于点，则，则当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ，，是等边三角形，， ，， 在中，，则， 即的最小值为，故答案为：． 例4.（2023·辽宁本溪·模拟预测）如图，已知为等腰直角三角形，，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为上一动点，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接、，根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ，旋转角为，，， 在和中，，，， 在等腰中，，，在中，有， 当三点共线时取到等号，此时不是三角形，但符合题意． 所以，的取值范围是：，∴的最小值是．故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的认识，三角形的三边关系，熟记各性质并作辅助线构造成全等三角形是解题的关键． 例5．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为 ． 【答案】/ 【分析】如图，取的中点，连接，，，由，推出，可得，推出点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，勾股定理求出，再利用两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，，∴， ∵四边形是矩形∴，， 四边形是矩形，，， ，，，， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ，，， 的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 例6．（23-24九年级·重庆·阶段练习）如图，，为的中点，的半径为1，点是上一动点，以为直角边的等腰直角三角形（点、、按逆时针方向排列），则线段的长的取值范围为　　　　． 【答案】 【解答】解：如图，作，在上截取，连接、、、． ，，，， 是等腰直角三角形，，， ，，，， ，点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆，， 的最大值为，的最小值，． 例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取的中点，连接，，证明在以为圆心，为半径的圆上，即可得到答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵为的中点，，∴，∴在以为圆心，为半径的圆上， 当C，Q，G三点共线时，最大，， ∵，，，∴，∴， ∴，即的最大值为．故选A 例8．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转，得到点，称点为点的反转点． (1)如图，点，，点，点为点的反转点．①当时，在图中画出点，并写出点的坐标为________；②当时，求线段长的取值范围； (2)已知的半径为，点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点．若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）①记点关于点的对称点为，则，过点分别作轴的垂线，垂足为，可证明，继而可求，②由得，故点的轨迹为一条线段，而，则，由得，可求，则，而，令，抛物线开口向上，当，，即，当时，，时，，，即可求解； （2）固定变量，假设点P为第一象限定点，过点P作点的对称点记为M，连接， 则为的中位线，则，故点轨迹为以M为圆心，为半径的圆，连接，将绕点B逆时针旋转得到，则，点N为定点，可证明，故，则点Q的轨迹为以N为圆心，为半径的圆，连接，由得，说明线段长的最大值和最小值的差只与半径有关，与点P的具体位置无关． 【详解】（1）解：①当时，点，画图如下： ∵记点关于点的对称点为，而，∴由旋转得， ∴，过点分别作轴的垂线，垂足为，∴， ∴，∴∴ ∴，∴，∴， ②由得， ∴点的轨迹为一条线段，而，则，由得， ∴，∴∴ 而，令，抛物线开口向上，∴当，，即， 当时，，时，，∴，的取值范围为：； （2）解：如图，固定变量，假设点P为第一象限定点， 过点P作点的对称点记为M，连接，则点M为定点， 则为的中位线，∴∴点轨迹为以M为圆心，为半径的圆， 连接，将绕点B逆时针旋转得到，则，点N为定点， 由题意得，∴，∴， ∴，∴点Q的轨迹为以N为圆心，为半径的圆， 连接，由得， 说明线段长的最大值和最小值的差只与半径有关，与点P的具体位置无关． 【点睛】本题考查新定义，旋转的不变性，全等三角形的判定与性质，二次函数求最值，三角形的中位线定理，正确理解题意，对于多变量问题采取固定变量法，将问题进行转化思考，难点在于找到动点的轨迹． 1．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为6的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵点M为中点，点A为中点， ∴是的中位线， ∴； 在中，， ∴， ∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转， ∴点C在以O为圆心，半径为6的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，解直角三角形，三角形中位线定理，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】P为中点，D为中点，所以是的中位线，则，当最大时，则最大．由圆的性质可知，当G、C、B三点共线时，最大，分别求出B、C的坐标，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，如图所示：    ∵P为中点，D为中点，∴是的中位线，∴，∴当最大时，最大， 由圆的性质可知，当G、C、B三点共线且点在上时，最大， 把代入得：，解得：或， ∴，，∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得：，∴，∴， ∵半径为2，∴的最大值为， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、三角形的中位线定理、勾股定理，一点到圆上一点的最值问题等等，通过构造三角形中位线把求的最大值转换成求出的最大值是解题的关键． 3．（2024年成都市树德实验中学西区中考数学诊断试题）如图，，，点是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点落在点处，连接，以为斜边在直线的左侧或者下方构造等腰直角三角形，则点从运动到的过程中，线段的最小值是 ，当从点运动到点时，点的运动总路径长是 ． 【答案】 【分析】由，可得在以为圆心，为半径的圆上运动从运动到，当、、共线时，最小；连接，，可证明∽，从而得出，故点在以为圆心，为半径的圆上运动，当点从点运动到点时，点运动，进一步求得结果． 【详解】解：如图，连接，而，， ∴，由折叠得：， 点在以为圆心，为半径的圆上运动从运动到， 当、、共线时，最小，，连接， ，，，同理：， ，，， ，∽，，， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图， 当点从点运动到点时，点运动， ，点运动的路径长为：，故答案为：，． 【点睛】本题考查了轴对称性质，等腰直角三角形性质，相似三角形判定和性质，确定圆的条件，圆的周长公式等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 4.（2023·深圳外国语学校中考模拟）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，E是上的任意一点，将线段绕点D顺时针方向旋转并缩短到原来的一半，得到线段，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】通过证可得，由勾股定理可得，根据三角形三边关系求的最小值即可； 【详解】解：如图，取中点T，连接，      ∵四边形是正方形，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴的最小值为 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，，是矩形左侧一点，连接、，且，连接，为的中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】延长至F，使，连接，点O为的中点，以点O为圆心，为直径作圆，连接，延长线交于点，交于点G，连接；由且点Q在矩形的左侧知，点Q是在上运动，由题意及辅助线作法知，为的中位线，则，当F、O、Q三点共线时，最长，最大值为的长度；利用相似三角形的性质可求得的长，从而求得，最后求出的长，从而可求得的最大值． 【详解】如图，延长至F，使，连接，点O为的中点，以点O为圆心，为直径作圆，连接，延长线交于点，交于点G，连接， ∵， ∴点Q是在以点O为圆心，为直径的圆上运动， ∵Q是矩形左侧一点， ∴点Q是在上运动， ∵， ∴点C为的中点， ∵点E为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴当F、O、Q三点共线时，最长， 此时的最大值为的长度， ∵， ∴， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的基本知识，确定出点Q的运动路径、求的最大值转化为求的最大值是解题的关键与难点． 6．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，其中，P为上的动点，连接，取中点Q，连，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论、半圆所对的圆周角是直角、勾股定理、含30°角的直角三角形等知识点，正确寻找点Q的运动轨迹、构造辅助圆解决问题成为解题的关键．如图：连接，作于H，先证明点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，当点Q在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于H， ∵Q是中点， ∴， 根据垂径定理的推论可得， ∴， ∴点Q的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点Q在的延长线上时，的值最大， ∵在直角中，， ∴，， ∴，， 又∵在直角中，， ∴， ∴，即的最大值为． 故答案为：． 7．（2024·浙江金华·二模）如图，在正方形中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形（为顺时针排列），连接，则的长为 ，的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形从而确定点的运动轨迹是解题的关键． 如图所示，连接，先证明，，进而证明得到，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，故当三等共线，最大，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，∵四边形是正方形，∴，， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴点在以点为圆心， 为半径的圆上运动， ∴当三等共线时，最大，∴的最大值为； 故答案为：， ． 8．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，点P为矩形内一点，且，所以点P在的劣弧上运动，根据点绕点逆时针旋转到点，所以，，则，所以当最小时，最小，然后连接，交于P，此时，最小，则也最小，最后过点O作于E，交延长线于F，利用勾股定理求出，的长，从而求得，即可求解． 【详解】解：在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，如图，    ∵点P为矩形内一点，且，∴点P在的劣弧上运动， ∵点绕点逆时针旋转到点，∴，， ∴∴当最小时，，连接，交于P，此时，最小，则也最小， 在中，∵，，∴，∴， 过点O作于E，交延长线于F，∴， ∵，，∴ ∵矩形∴∴∴四边形正方形， ∴，∴， 在中，由勾股定理，得， ∴∴，故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆满的性质，勾股定理，作出辅助圆，得出取最小值的点P位置是解题的关键． 9．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，    的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形，，， 是的中点，，， 由旋转得：，， ，的值最小为．故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 10．（2023·福建福州·学校考模拟预测）如图，已知正方形的边长为3，动点P满足，将点P绕点D按逆时针方向旋转 90°，得到点Q，连接，则的最大值是 ．    【答案】5 【分析】连接，根据正方形的性质可得根据旋转的性质可得从而可得然后可证从而利用全等三角形的性质可得进而可知点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2 的圆，最后可得当点Q在的延长线时，的值最大，进行解答即可. 【详解】  连接，∵四边形是正方形，    由旋转得：     即 ∴点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2 的圆， ∴当点Q在的延长线时，的值最大，如图所示： ∴的最大值=故答案为：5 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，点与圆的位置关系，旋转的性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键. 11．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，正方形的边长为6，正方形的边长为，将正方形 绕点C旋转，和相交于点K，则的最大值是 ．连结，当点C正好是的内心时，的长是 ．    【答案】 / 【分析】连接，，和，，交于点O，，交于点M，作于Q，作于R，证明，从而确定点K在以为直径的圆上运动；根据内心特征，确定内心点C到的距离，进一步得出结果． 【详解】解：如图，    连接，，和，，交于点O，，交于点M，作于Q，作于R， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，，，，， ∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴点K在以为直径的圆O上运动，   ∴当为圆O直径时，最大，此时点K于点C重合，∴， 当点C为的内心时，  ，，分别平分，和，∴， ∵，∴，， ∴，∴点B、C、F共线，∴， ∴， ∵，  ∴，∴， ∴，故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关综合知识，添加合适的辅助线． 12．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图，，线段的两个端点分别在射线、上滑动，且，以为直角边在点的异侧作，且，，问滑动过程中的最大值为 ． 【答案】 【分析】先由题意判断：过点A、O、B三点的圆E的半径大小不变，如图1，连接，则当O、C、E三点共线时，最大，作辅助线如图2，根据圆周角定理、等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求出圆的半径和即可． 【详解】解：由于，，所以过点A、O、B三点的圆E的半径大小不变，故本题也可看作是固定不动，当定角在圆上运动时，求的最大值，如图1，连接， 则当O、C、E三点共线时，最大，如图2，连接，作于点F， ∵，∴，∴， ∴，在直角三角形中，∵，， ∴，∴，∴， 过点B作于点G，则， ∴，∴，∴， 即的最大值为．故答案为：． 【点睛】本题是圆的最值问题，主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及解直角三角形的知识等内容，弄清题意、作出辅助圆是解题的关键． 13．（2023春·河北唐山·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，由EG＝2，确定在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE， 再证明（SAS）， 可得可得当三点共线时，最短，则最短，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，由EG＝2，可得在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE， ∵正方形ABCD，∴ ∴ ∵DE=DF， ∴（SAS）， ∴ ∴当三点共线时，最短，则最短， ∵位BC 中点， ∴ 此时 此时 所以CF的最小值为： 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键． 14．（2024·江苏·九年级统考期中）如图，正方形中，，是的中点．以点为圆心，长为半径画圆，点是上一动点，点是边上一动点，连接，若点是的中点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】取点B关于直线的对称点M，连接 、 两线交于点O，连接 ，由勾股定理求得，根据即可求得的最小值． 【详解】解∶取点B关于直线的对称点M，连接 、 两线交于点O，连接 ， ， ，过O作于点N， ∵点Q是的中点，∴， ∴点Q在以O为圆心，l为半径的上运动， ∵四边形是正方形，∴ ，∴， ∵ ，∴ ， ∴， ∵， ∴当M、F、Q、O四点共线时， 的值最小， ∴的最小值为．故答案为∶． 【点睛】本题考查圆的有关性质的应用，正方形的性质，两点之间线段最短公理的应用，勾股定理，解题的关键是正确确定点Q的运动轨迹． 15．（2023·重庆·九年级假期作业）如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ．    【答案】2 【分析】连接．首先证明，由此推出点在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，此时的值最小． 【详解】解：如图，连接．，，，， 点在以为圆心，为半径的上运动， 连接交于，此时的值最小．此时与交点为． 所对圆周角为，，过点作，垂足为，      是等腰三角形，∴，， ∴，，，， ，，故答案为：2．   【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题． 16．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在矩形中，，Q是矩形左侧一点，连接、，且，连接，E为的中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】延长至F，使，连接，点O为的中点，以点O为圆心，为直径作圆，连接，延长线交于点，交于点G，连接；由且点Q在矩形的左侧知，点Q是在上运动，由题意及辅助线作法知，为的中位线，则，当F、O、Q三点共线时，最长，最大值为的长度；利用相似三角形的性质可求得的长，从而求得，最后求出的长，从而可求得的最大值． 【详解】如图，延长至F，使，连接，点O为的中点，以点O为圆心，为直径作圆，连接，延长线交于点，交于点G，连接， ∵，∴点Q是在以点O为圆心，为直径的圆上运动， ∵Q是矩形左侧一点，∴点Q是在上运动， ∵，∴点C为的中点， ∵点E为的中点，∴为的中位线，∴， ∵，∴当F、O、Q三点共线时，最长，此时的最大值为的长度， ∵，∴，∵四边形为矩形，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，设，则，∴，解得：，∴，， 在中，由勾股定理得， ∴，∴，∴．故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的基本知识，确定出点Q的运动路径、求的最大值转化为求的最大值是解题的关键与难点． 17．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当 填度数度时，可以取最大值，最大值等于 ． 【答案】 【分析】连接、．先证明，则，，点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，当、、在同一直线上上最长，据此解答即可． 【详解】解：如图一，连接、． 是等腰直角三角形，，， 将绕点逆时针旋转得到，，，， ，，．， 如图二， 点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动， 当、、在同一直线上最长，，故答案为：； 【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，点到圆上距离的最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 18．（2024·河北唐山·二模）如图，在正方形中，， 以点C 为圆心，1为半径作圆，交于点E，P 是上的任意一点，将点P 绕点D 顺时针方向旋转，得到点Q，连接，． (1)连接，求证：； (2)当与相切于正方形外部时，求线段被所截弦的长； (3)当时，求劣弧的长度 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)劣弧的长度为 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定与性质、圆的切线的性质及勾股定理的应用， （1）直接证明即可证明结论； （2）设与交于点F，连接，证明，根据勾股定理求出即可； （3）作交延长线于点H，设，则，在中， ，列方程并求出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）证明：如图： 在正方形中，， ， ， ， ； （2）设与交于点F，连接， 与相切于点P， 在中， ； （3）如下图，作交延长线于点H， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 劣弧的长度． 19．（2024九年级·重庆·专题练习）如图1，在中，，，，以点为圆心，为半径作圆．点为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接，． （1）求的度数，并证明； （2）如图2，若点在上时，连接，求的长； （3）点在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请求出当取得最大值或最小值时，的度数；若没有，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）有．① 当取得最大值时，；②当取得最小值时，． 【分析】（1）利用锐角三角函数求出∠BAC，先判断出，再判断出，即可得出结论； （2）先求出∠PAC，进而得出∠PAB＝90°，再利用相似求出AP，即可得出结论； （3）先求出AP＝1是定值，判断出点P在以点A为圆心，1为半径的圆上，分当点在的延长线上时和当点在线段上时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）在中，，， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）由（1）知，， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得； （3）有．由（1）知，， ， ， 是定值， 点是在以点为圆心，半径为的圆上， ①如图所示，当点在的延长线上时，取得最大值， ． ， ． 当取得最大值时，； ②如图所示，当点在线段上时，取得最小值， ， ， 当取得最小值时，． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出△APC∽△BPC是解本题的关键． 20．（2024·江苏泰州·一模）已知：在矩形中，，，点G是边的中点，连接．以点A为圆心、2为半径作，点E是上的一个动点，连接、．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接、、．    知识回顾（1）如图1，当点E在直线的左侧时，试证明，并求出的长； 初步探索（2）直接写出的最小值是 ，最大值是 ； 操作并思考（3）如图2，当点E落在边上时，试猜想和有怎样的位置关系，并说明理由； （4）若点E到G、F之间的距离相等，请根据图1、图3两种情况，求的长． 【答案】（1）见解析，；（2）；（3），见解析；（4） 【分析】（1）证明，，可得，再利用相似三角形的性质可得答案； （2）证明在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的交点为，，再进一步可得答案； （3）过作于，证明，由，可得，再证明，从而进一步可得结论； （4）连接， 证明，而，可得，，可得；同理可得：，，，从而可得答案； 【详解】解：（1）∵矩形中，，，点G是边的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，∵， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， 记与的交点为，，    ∴， ∴，， ∴的最小值为，的最大值为； （3）如图，过作于，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）如图，连接，∵，，， ∴，而，    ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； 如图，同理可得：， ∴，， ∴； 综上：当时，． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 1 47 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1.（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，中，于点是半径为4的上一动点，连接，若是的中点，连接，则长的最大值为（    ）    A．8 B． C．9 D． 例2．（2023九年级广东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最大值为（　　） A．2 B．5 C．6 D．7 例3.（2023.广西九年级期中）如图，，点O在线段上，，的半径为1，点P是上一动点，以为一边作等边，则的最小值为_____． 例4.（2023·辽宁本溪·模拟预测）如图，已知为等腰直角三角形，，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为上一动点，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，的最小值是 ． 例5．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为 ． 例6．（23-24九年级·重庆·阶段练习）如图，，为的中点，的半径为1，点是上一动点，以为直角边的等腰直角三角形（点、、按逆时针方向排列），则线段的长的取值范围为　　　　． 例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 例8．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转，得到点，称点为点的反转点． (1)如图，点，，点，点为点的反转点．①当时，在图中画出点，并写出点的坐标为________；②当时，求线段长的取值范围； (2)已知的半径为，点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点．若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差． 1．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ） A．3 B． C． D．2 2．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 3．（2024年成都市树德实验中学西区中考数学诊断试题）如图，，，点是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点落在点处，连接，以为斜边在直线的左侧或者下方构造等腰直角三角形，则点从运动到的过程中，线段的最小值是 ，当从点运动到点时，点的运动总路径长是 ． 4.（2023·深圳外国语学校中考模拟）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，E是上的任意一点，将线段绕点D顺时针方向旋转并缩短到原来的一半，得到线段，连接，则的最小值是 ．    5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，，是矩形左侧一点，连接、，且，连接，为的中点，连接，则的最大值为 ． 6．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，其中，P为上的动点，连接，取中点Q，连，则线段的最大值为 ． 7．（2024·浙江金华·二模）如图，在正方形中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形（为顺时针排列），连接，则的长为 ，的最大值为 ． 8．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为 ．    9．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    10．（2023·福建福州·学校考模拟预测）如图，已知正方形的边长为3，动点P满足，将点P绕点D按逆时针方向旋转 90°，得到点Q，连接，则的最大值是 ．    11．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，正方形的边长为6，正方形的边长为，将正方形 绕点C旋转，和相交于点K，则的最大值是 ．连结，当点C正好是的内心时，的长是 ．    12．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图，，线段的两个端点分别在射线、上滑动，且，以为直角边在点的异侧作，且，，问滑动过程中的最大值为 ． 13．（2023春·河北唐山·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ． 14．（2024·江苏·九年级统考期中）如图，正方形中，，是的中点．以点为圆心，长为半径画圆，点是上一动点，点是边上一动点，连接，若点是的中点，连接、，则的最小值为 ． 15．（2023·重庆·九年级假期作业）如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ．    16．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在矩形中，，Q是矩形左侧一点，连接、，且，连接，E为的中点，连接，则的最大值为 ． 17．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当 填度数度时，可以取最大值，最大值等于 ． 18．（2024·河北唐山·二模）如图，在正方形中，， 以点C 为圆心，1为半径作圆，交于点E，P 是上的任意一点，将点P 绕点D 顺时针方向旋转，得到点Q，连接，． (1)连接，求证：；(2)当与相切于正方形外部时，求线段被所截弦的长； (3)当时，求劣弧的长度 ． 19．（2024九年级·重庆·专题练习）如图1，在中，，，，以点为圆心，为半径作圆．点为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接，． （1）求的度数，并证明； （2）如图2，若点在上时，连接，求的长； （3）点在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请求出当取得最大值或最小值时，的度数；若没有，请说明理由． 20．（2024·江苏泰州·一模）已知：在矩形中，，，点G是边的中点，连接．以点A为圆心、2为半径作，点E是上的一个动点，连接、．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接、、．    知识回顾（1）如图1，当点E在直线的左侧时，试证明，并求出的长； 初步探索（2）直接写出的最小值是 ，最大值是 ； 操作并思考（3）如图2，当点E落在边上时，试猜想和有怎样的位置关系，并说明理由； （4）若点E到G、F之间的距离相等，请根据图1、图3两种情况，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$