期末（一模）25题几何综合压轴40题（考题猜想，4种必考题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

期末（一模）25题几何综合压轴40题（考题猜想，4种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．三角形综合题（共7题） 1．（2023秋•徐汇区期末）如图，在中，，，点是边上的动点（点不与点重合），以为斜边在直线上方作等腰直角三角形． （1）当点是边的中点时，求的值； （2）联结，点在边上运动的过程中，的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的大小； （3）设与的交点为，点是边上的一点，且，如果点到直线的距离等于线段的长度，求的面积． 【分析】（1）作于点，由勾股定理求出的长，则可得出答案； （2）连接，证出，，，四点共圆，得出，由等腰直角三角形的性质可得出答案； （3）过点作于点，于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，，设，则，求出的值，则可得出答案． 【解答】解：（1）作于点， ，， ， 点是边的中点， ， ， ， ， ； （2）的大小不变化． 连接， ， ，，，四点共圆， ， 为等腰直角三角形， ， ． （3）过点作于点，于点，连接， 点到直线的距离等于线段的长度， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， 设，则， ， ， ． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2024•闵行区）如图，在中，，以，为边在外部作等边三角形和等边三角形，且联结． （1）如图1，联结，，求证：； （2）如图2，延长交线段于点． ①当点为线段中点时，求的值； ②请用直尺和圆规在直线上方作等边三角形（不要求写作法，保留作图痕迹，并写明结论），当点在的内部时，求的取值范围． 【分析】（1）由等边三角形的性质得出相等的边和相等的角，再利用角的和得出，从而得出全等． （2）①根据已知条件得出，再根据得出的结论证明，从而得出是等边三角形，求出即可． ②作等边三角形，由作法可以证明是等边三角形，分类讨论当在边上时，当在边上时，分别求出的值，即可得出的取值范围． 【解答】（1）证明：等边三角形和等边三角形， ，，， ， ； （2）解：①如图2，延长到点，使，连接、， 是的中点， ， ， ， ，， ，都是等边三角形， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， ， ． ②如图3，分别以、为圆心，长为半径在上方画弧，两弧交于点，连接、， 则为所求作的等边三角形， 由作图可知，所以为等边三角形， 当在边上且为中点时，由①知： 可得， 当在边上时，如图4，延长交于点，过点作的平行线，交延长线于点，交延长线于点，延长、交于点， ，， ， ，， ， ， ， 和是等边三角形， 设，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ，化简得， ， ， 的取值范围是． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，尺规作图，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 3．（2023秋•金山区期末）已知：如图，在中，，，，与边相交于点． （1）求证：； （2）如果，求的值； （3）如果是直角三角形，求的正切值． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质得到，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论； （2）过点作于点，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理得到，设，则，，利用勾股定理和（1）的结论解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，过点作于点，利用平行线等分线段定理，勾股定理和直角三角形的边角关系定理解答即可；当时，利用平行四边形的判定和正方形的判定与性质求得即可． 【解答】（1）证明：， ， ， ． ， ， ，， ， ， ． ，， ， ， ． ，， ； （2）解：过点作于点，如图， ， ． ， ， 设，则，， ， ， ． 由（1）知：， ， ， ； （3）解：①当时，过点作于点，如图， ， ． ，， ， 由（1）知：， ， 设，则， ， ， ． 的正切值； ②当时，如图， ，， ， 由（1）知：， ， 四边形为平行四边形， ，， 平行四边形为正方形， ， 的正切值为1． 综上，的正切值为1或． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的斜边上的中线的性质，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，平行线等分线段定理，作出等腰三角形的底边上的高线是解决此类问题常添加的辅助线． 4．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知，的内部有一点，且，过点作交于点，与交于点． （1）如果，求的长； （2）设，，求与的函数关系式，并写出定义域； （3）如果，求的面积． 【分析】（1）过作于，由勾股定理得的值，根据相似三角形的判定，可得，根据相似三角形的判定得，即可得的值． （2）过作于，过作于，由（1）知，可得，即，根据圆的性质过圆心垂直于弦的直线也平分弦，可得，在中，，，化简得； （3）如图3，连接、，与交于，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，且是等腰△，即是弦边的中点，根据平行四边形对角线互相平分，可得、均为等腰△，即，，即可得出结果． 【解答】解：（1）如图1， 过作于， 则有， 设， 则， 在中有， 解之得（舍，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）如图2， ， 、、三点共圆， 过作于，过作于， 由（1）知， ， ， 弦， （圆的性质，过圆心垂直于弦的直线也平分该弦）， ， ， 即， 化简移项得， 其中最大为的长为， ， 即； （3）如图3， 连接、，与交于， 平行且等于， 四边形是平行四边形且是等腰△， 是弦边的中点， ，， ， 、均为等腰△， ， ， ． 【点评】本题考查圆的应用，解本题的关键要掌握圆的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等． 5．（2024•崇明区）已知中，，，，点是边上的一个动点（不与点、重合），点是边上的一点，且满足，过点作交的延长线于． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，联结，设，，求关于的函数解析式并写出定义域； （3）过点作射线的垂线，垂足为，射线与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 【分析】（1）由勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求的长； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：（1），， ， ，，， ， ， ， ； （2），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是边上的一个动点（不与点、重合）， ； （3）如图3，当点在线段上时，则，过点作于， ， ，， 设，则， ， ， ， 又，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图4，当点线段的延长线上时，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或1． 【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 6．（2023秋•嘉定区期末）如图1，在和中，，，，． （1）求证：； （2）已知点在边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点． ①如图2，设，，求与的函数关系式，并写出定义域； ②当是等腰三角形时，求的长． 【分析】（1）由勾股定理得，再证，然后证，即可得出结论； （2）①证，得，则，然后证，得，即可得出结论； ②当是等腰三角形时，也是等腰三角形，分三种情况，、当时，、当时，、当时，分别求出的长，即可解决问题． 【解答】（1）证明：，，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：①，，， ， ， ， 即， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 即与的函数关系式为； ②由（2）可知，， 当是等腰三角形时，也是等腰三角形， 分三种情况： 、当时，， ，， ， ， ， ， 解得：； 、当时，， ， 解得：； 、当时， 如图3，过作于点， 则， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，的长为或10或7． 【点评】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 7．（2022秋•长宁区期末）已知：在中，，，点、分别在射线、射线上，且满足． （1）当点在线段上时，如图1． ①如果，求的长； ②设、两点的距离为，，求关于的函数关系式，并写出定义域． （2）当时，求的面积．（直接写出结论，不必给出求解过程） 【分析】（1）①证明，得，即，可解得的长为4或12； ②由，有，可得，，而，知，故，即可得到答案； （2）过作于，过作于，由，，，，结合（1）知当，即时，，，证明，可得，故的面积为，当在延长线上时，同理可得的面积为． 【解答】解：（1）①， ， ，且， ， ， ， ，， ，， 解得或， 的长为4或12； ②由（1）， ， 、两点的距离为， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）过作于，过作于， 当在边上时，如图： ，， ， ， 由（1）知当，即时， ，， 于，， ，， ， ， ， ， 的面积为， 当在延长线上时，如图： 由可得， 由可得， 的面积为， 综上所述，的面积为或． 【点评】本题考查三角形综合应用，涉及三角形相似的判定与性质，三角形面积，动点问题等，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理及应用． 二．四边形综合题（共10题） 8．（2021秋•嘉定区期末）在平行四边形中，对角线与边垂直，，四边形的周长是16，点是在延长线上的一点，点是在射线上的一点，． （1）如图1，如果点与点重合，求的余切值； （2）如图2，点在边上的一点．设，，求关于的函数关系式并写出它的定义域； （3）如果，求的面积． 【分析】（1）设，则，由勾股定理求出，由四边形的周长求出，求出的长，则可得出答案； （2）证明，由相似三角形的性质得出，得出，，，，由比例线段可得出答案； （3）分两种情况：①当点在边上，②当点在的延长线上，求出的长，由相似三角形的性质及三角形面积公式可得出答案． 【解答】解：（1）如果点与点重合，设与交于点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，设， ， ， ， 四边形的周长是16， ， 即， ， ，，， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：， ，， ， ， ， ， 由题意，得，，，， ， ， 定义域是：． （3）解：点在射线上都能得到：， ， ①当点在边上， ，， ， 由题意，得， ， ， ， ， ②当点在的延长线上， ，， ， 由题意，得， ， ， ． 综上所述，的面积是或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 9．（2023秋•浦东新区期末）如图，已知正方形的边长为6，点是射线上一点（点不与点、重合），过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、． （1）当点在边上时，如果，求的余切值； （2）当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当时，求的面积． 【分析】（1）根据全等三角形、相似三角形的性质以及锐角三角函数的定义进行计算即可； （2）利用等腰三角形的性质，相似三角形的性质得出，再根据勾股定理得出即可； （3）利用相似三角形的判定和性质求出的边上的高即可． 【解答】（1）解：如图1， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 设，则，， ， 解得或， 经检验，，都是原方程的根， 或， 在中， 或， 答：的余切值为2或3； （2）如图2，由（1）得， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ； （3）当点在上时，如图1，过点作，垂足为， ， ， 由（1）可知，当时，， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 的面积为； 当点在的延长线上时，如图2，过点作，垂足为， 由（1）可得，， 由得，， 解得， ， 由得， ， 即， 解得， 的面积为； 综上所述，的面积为或． 【点评】本题考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数，掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义是正确解答的前提． 10．（2023秋•杨浦区期末）如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点． （1）求证：； （2）连接． ①当时，求的值； ②如果是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 【分析】（1）由正方形的性质得，，则，所以，，则，所以； （2）①作于点，则，而，所以，则，可证明，得，作于点，可证明，则，因为，所以，则； ②分两种情况讨论，一是，则，可推导出，则，作于点，可证明，所以，则，所以，则，可求得，在上取一点，连接，使，则，所以，，则；二是，则，可证明点在上，则，求得，则，进而证明，得，可证明，则，所以． 【解答】（1）证明：四边形是正方形，， ，， ， ，， ， ， ， ． （2）解：①如图1，作于点，则， ， ， ， ， ， ， 作于点，则， ， ， ， ， ， ， 的值是2． ②如图2，是等腰三角形，且，则， ， ，， ， ， 作于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 在上取一点，连接，使，则， ， ， ， ， ； 如图3，是等腰三角形，且，则， ， ， ， ， 点在正方形的对角线上， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的正切值为或． 【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 11．（2022秋•青浦区校级期末）如图1，梯形中，，，，，，在边上，连接，． （1）求的长； （2）如图2，作，交于点，交于点，若，，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）在（2）的条件下，若是等腰三角形，求的值． 【分析】（1）过点作于点，证明四边形为矩形，则，，再根据勾股定理定理即可求出； （2）连接，先用等面积法求出，再证明，从而得出，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据可得为等腰三角形，分或或三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）过点作于点， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 在中，根据勾股定理得：． （2）解：连接， ，， ， 即， 解得：， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， 整理得：． （3）由（2）可得， 为等腰三角形， 为等腰三角形， 当时，； 当时，过点作于点， 由（1）可得：， ， ， ， ，， ，不符合题意，舍去； 当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， 综上：或． 【点评】本题主要考查了四边形和三角形的综合应用，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题的关键是熟练掌握各个相关知识点并灵活运用，根据题意正确作出辅助线，构造直角三角形那个和全等三角形求解． 12．（2022秋•徐汇区期末）已知：在梯形中，，，，，点是边上一点，，点是边上的一动点，连接，作，使得，射线与边交于点，与的延长线交于点，设，． （1）求的长； （2）试求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）连接，如果是等腰三角形，试求的长． 【分析】（1）作等腰梯形的高、，得矩形，，则； （2）先由三角形内角和定理得出，由等腰梯形在同一底上的两个角相等得出，则，根据相似三角形对应边成比例得出关于的函数关系式，并写出定义域； （3）分三种情况：①；②；③． 【解答】解：（1）如图， 作等腰梯形的高、，得矩形，， 所以； （2）如图．，， ， 是等腰梯形， ， ， ， ； ； （3）分三种情况： ①如果，如图，过作平行线交底边于，则． 在与中， ， ， ，； ②如果，如图，过作平行线交底边于，则． 在与中， ， ， ， 又， 过点做的高， 则， ， ， 解得； 即； ③如果，同理可得， ， ， 过点做的高， 则， ， ， 解得， ； （舍去）， 综上所述：或时，是等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰梯形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，第（3）问进行分类讨论是解题的关键． 13．（2022秋•金山区校级期末）已知的余切值为2，，点是线段上一动点（点不与点、重合），以点为顶点的正方形的另两个顶点、都在射线上，且点在点的右侧，联结，并延长交射线于点． （1）联结，求证：； （2）如图1，当点在线段上时，如果的正切值为2，求线段的长； （3）联结，当为等腰三角形时，求线段的长． 【分析】（1）联结，根据三角函数的定义可得出结论； （2）由题意可知，所以，再由三角函数的定义和相似三角形的性质可得结论； （3）根据题意，需要分三种情况，画图出行，分别求解即可． 【解答】（1）证明：如图，联结， 四边形是正方形， ， 的余切值为2， ， 设，则， ， ．即． （2）解：由（1）知，，， 的正切值为2， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得； （3）解：设正方形的边长为． 根据题意，需要分三种情况： ①，如图， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得； ②，如图， ，即， ， ， ， ， ，即， 解得； ③，如图， 设，则， 在中，由勾股定理可得，， 解得， ， ， ， ，即， 解得． 综上，当为等腰三角形时，求线段的长为：或或． 【点评】本题属于几何综合题，主要考查正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，分类讨论思想等相关知识，根据题意求出与正方形边长的关系是解题关键． 14．（2022秋•黄浦区期末）已知，如图1，在四边形中，，，． （1）当时（如图，求的长； （2）联结，交边于点， ①设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②当是等腰三角形时，求的长． 【分析】（1）由锐角三角函数定义得，再由勾股定理得，然后证，即可解决问题； （2）①过作于点，由三角形面积得，再由勾股定理得，然后证，即可解决问题； ②分两种情况，、当时，过作于点，过作于点，则，四边形是矩形，再证，即可求解； 、当时，过作直线于点，证，得，设，则，然后由勾股定理得出方程，解方程，即可得出结论． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 即的长为； （2）①如图1，过作于点，则， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， 即， ， 即关于的函数解析式为； ②， ， ，， ， 分两种情况： 、当时，如图3， 过作于点，过作于点， 则，四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； 、当时，如图4， 过作直线于点， 则， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：，（不符合题意舍去）， ； 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、梯形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 15．（2021秋•青浦区期末）在四边形中，，，，，（如图）．点是射线上一点，点是边上一点，联结、，且． （1）求线段的长； （2）当时，求线段的长； （3）当点在线段的延长线上时，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【分析】（1）如图1，过点、分别作、，垂足分别为点、点．根据矩形的性质得到，，解直角三角形即可得到结论； （2）如图1，过点作，垂足为点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论； （3）如图2，过点作，交的延长线于点．根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，过点作，垂足为点，根据矩形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）如图1，过点、分别作、，垂足分别为点、点． ， ， 四边形是矩形， ，， 在中， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ； （2）如图1，过点作，垂足为点， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， ， ． ， ， ． ， ， 在中，， ， ； （3）如图2，过点作，交的延长线于点． ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， ， ， ， 过点作，垂足为点， 则四边形是矩形， ， ． ， ． ． 【点评】本题考查了四边形综合题，梯形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 16．（2023秋•静安区期末）已知梯形中，，，，，．点在射线上，点在射线上（点、点均不与点重合），且，联结，设，的面积为． （1）如图1所示，求的值； （2）如图2所示，点在线段上，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）当是等腰三角形时，求的长． 【分析】（1）作于，作于，设，则，根据得，从而，求得，进一步求得结果； （2）作于，可得出，，从而得出，进而表示出，进一步得出结果； （3）分为三种情形：当时，可推出，从而求得，进而得出；当时，或，从而得出；当时，作于，根据，从而求得，从而求得，从而得出结果． 【解答】解：（1）如图1， 作于，作于， ， ， 四边形是平行四边形， 是矩形， ， ， 设，则， 由得， ， ， ， ， ， ； （2）如图2， 作于， ， ， 由（1）知：， ， ， ， ； 由得， 定义域为：； （3）， 当时，如图3， ， ， ， 当时，或， 或， 当时，如图4， 作于， ， ， ， ， ， 综上所述：或或或． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，等腰三角形的分类和性质，矩形的判定和性质等知识，解决问题的关键是等腰三角形的正确分类和求值． 17．（2021秋•崇明区期末）已知：如图，正方形的边长为1，在射线上取一点，联结，将绕点逆时针旋转，点落在处，联结，与对角线所在的直线交于点，与射线交于点． （1）当时，求的值； （2）当点在线段上，如果，，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）联结，直线与直线交于点，当时，求的值． 【分析】（1）如图1中，过点作于点．解直角三角形求出，即可； （2）如图2中，过点作于点，于点．证明，构建关系式，可得结论； （3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，过点作于点．如图中，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点．分别求解即可． 【解答】解：（1）如图1中，过点作于点． 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2中，过点作于点，于点． ， ， ，， ， ， 在中，， ，， ， ，，， ， ， ， ； （3）如图中，当点在线段上时，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意． ． 如图中，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意． ， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 三．相似三角形的判定与性质（共4题） 18．（2023秋•松江区期末）在中，．点是射线上一点（不与、重合），点在线段上，直线交直线于点，． （1）如图，如果点在的延长线上． ①求证：； ②联结，如果，，求的长． （2）如果，求：的值． 【分析】（1）①由，得，因为，所以，得，由，得，所以，则，即可证明； ②由，得，则，可证明，得，所以，而，得，所以，则，求得，于是得，求得； （2）分两种情况讨论，一是当点在的延长线上，联结，作交的延长线于点，可证明，得，再证明，得，则；二是当点在线段上，作交的延长线于点，则，可证明，得，则，，所以，则，而，所以，求得，再证明，得，则． 【解答】（1）①证明：如图1，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． ②解：如图1，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 的长是． （2）解：如图2，点在的延长线上， 联结，作交的延长线于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图3，点在线段上，作交的延长线于点， ，，且， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得 或， 若，则， 点与点重合，点与点重合， 不符合题意，舍去， ， ， ， ， 综上所述，的值为1或． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 19．（2022秋•嘉定区校级期末）在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且． （1）如图，求证：是和的比例中项； （2）当点在线段的延长线上时，联结，且与互相垂直，求的长． 【分析】（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）利用，得出比例式求得线段，，利用求得线段，利用（1）的结论求得线段，则． 【解答】（1）证明：， ． 四边形为矩形， ， ， ， ， ． ， ， ． ， 是和的比例中项； （2）解：如图， ． 与互相垂直， ， ． ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． ， ． 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ． 由（1）知：， ， ． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 20．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边于点． （1）①求证：； ②若，求的值： （2）若，，求的长． 【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，由直角三角形的性质得出，根据相似三角形的判定定理可得出结论； ②得出．过点作于点，设，则，则可得出答案； （2）①如图3，当点在上时，证明四边形是矩形．设，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案； ②如图4，当点在上时，设，则，设，由相似三角形的性质得出，证明，得出比例线段，可得出方程，解方程可得出答案． 【解答】（1）①证明：如图1， ， ． ， ． 是斜边上的中线， ， ， ， ； ②解：如图2，若， 在中，， ． 过点作于点， 设， 则， 在中，， ， ， ； （2）设， 则， 设， ， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， ， ， 将代入， 整理得，， 解得，或（舍去）． ． 【点评】本题考查了相似形综合题，掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题的关键． 21．（2023秋•长宁区期末）已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． （1）求的长； （2）如图1，如果，求的值； （3）如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及和的关系，可以得出，，据此求出长即可； （2）根据与相似，可以求出和的长，过作交于，根据平行线分线段成比例及可求出； （3）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可以得出也是等腰三角形，所以，然后根据平行线分线段成比例求解即可． 【解答】解：（1），平分， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）由（1）知，， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 过作交于，如图： ， ， 同理，， ； （3）， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 同理，， ， ． 另外，时，作中垂线交于点，同理可证得．此时． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例以及等腰三角形的判定与性质，属于综合题，正确判断相似条件是本题解题的关键． 四．相似形综合题（共19题） 22．（2023秋•虹口区期末）如图①，在中，，，点在边的延长线上，联结，点在线段上，． （1）求证：； （2）点在边的延长线上，与的延长线交于点（如图②． ①如果，且是以为腰的等腰三角形，求的值； ②如果，，，求的长． 【分析】（1）证明，从而得出，进而得出； （2）①由两种情形：当时，可推出，可设，，，则，在中勾股定理得：，从而，进而得出，，从而求得；当时，根据得出，从而，进一步得出结果； ②根据（1）可设，，设，，，先由条件，确定，进而表示出和，作，交的延长线于点，设与的交点为，可得出，从而，从而得出，可证得，从而得出，，从而表示出，，进而得出，根据得出，进而根据列出方程，从而求得的值，进一步得出结果． 【解答】（1）证明：，， ， ， ； （2）解：①当时， 由（1）知：， ， 设，，，则， 则中，，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 当时， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或2； ②如图， 由（1）知：， ， ， 设，，设，，， ， 在中， 由勾股定理得，， ， ，（舍去）， ，，， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， 作，交的延长线于点，设与的交点为， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 由得， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 23．（2023秋•宝山区期末）如图，已知中，，是边上一点，且，过点作，并截取，射线与的延长线交于点． （1）求证：； （2）设，，求与的函数关系式； （3）如果是直角三角形，求的长． 【分析】（1）先证明，再证明，即可证得结论； （2）由题意得，，，再证明，即可求得答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出线段的长即可． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ，， ， ， ，即， ， ， 化简得：， 与的函数关系式为：； （3）解：当时，则， 这与三角形内角和定理矛盾，即； 当时，，如图， ， ， ， ， ， ； 当时，则，如图， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ； 综上所述，如果是直角三角形，的长为或． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，运用分类讨论思想是解题的关键． 24．（2022秋•青浦区期末）如图，在中，，，，动点、分别在边、上，且，设．过点作，与直线相交于点． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）当与相似时，求的长． 【分析】（1）过作，垂足为点，根据平行线分线段成比例定理得，从而解决问题； （2）过作，交于点，则．则，，可得答案； （3）分点是射线与的交点或点是射线与的交点两种情形，分别利用相似三角形的判定与性质可得答案． 【解答】解：（1）过作，垂足为点， ， ． ， ， ， 又，， ，； （2）当时，得，，． ， 点是射线与直线的交点， 过作，交于点， 则． ，． ， ，， ， （3）当点是射线与的交点时， 与相似， 又， ，即， 又， ． ， 即． 解得， 过作，垂足为点． 由，得，，． ， ． ． ， ． 解得， ， 当点是射线与的交点时， ，， 又与相似， ． ，， ， ．即．解得． ， ， ． ． 解得． 综上所述，当与相似时，的长为或． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，动点问题，用含的代数式表示各线段的长是解题的关键． 25．（2023秋•普陀区期末）如图，在矩形中，，，是边延长线上一点，过点作，垂足为点，联结，设． （1）求证：； （2）的大小是否是一个确定的值？如果是，求出的正切值；如果不是，那么用含字母的代数式表示的正切值； （3）是边上一动点（不与点、重合），联结、．随着点位置的变化，在中除外的两个内角是否会有与相等的角，如果有，请用含字母的代数式表示此时线段的长；如果没有，请说明理由． 【分析】（1）由矩形的性质得，由于点，得，则，而，所以； （2）联结，由相似三角形的性质得，变形为，因为，所以，则，所以的大小是一个确定的值，； （3）分两种情况讨论，一是，联结，作于点，因为，所以，则，所以，再证明，则，所以，于是得，则，可求得，则，所以，求得，则；二是，联结交于点，可证明，得，，再证明，得，则，所以点与点重合，不符合题意． 【解答】（1）证明：四边形是矩形，是边延长线上一点， ， 于点， ， ， ， ． （2）解：的大小是一个确定的值， 如图1，联结， ， ， ， ， ， ， 的大小是一个确定的值， ，，， ， 的大小是一个确定的值，的正切值是． （3）解：有与相等的角， 如图2，， 联结，作于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 如图3，，联结交于点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 点与点重合，不符合题意， 综上所述，有与相等的角，线段的长为． 【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 26．（2022秋•嘉定区期末）已知△中，，，，点、分别在边、边上（点不与点重合，点不与点重合），联结，将△沿着直线翻折后，点恰好落在边上的点处．过点作，交射线于点．设，， （1）如图1，当点与点重合时，求的值； （2）如图2，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）当时，求的长． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，，．由垂直的定义求出，由题意可得：，即可求解． （2）根据题意得出，根据直角三角形的性质证明△△，根据相似三角形的性质即可求解． （3）分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，利用勾股定理和相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）在△中，，，， ，，， ， ， ，， ， 由题意可得：， ． （2）由题意可知：，，， ， ，， ， 在△中，，，， ，， ， △△， ， ，， ， ． （3）①当点在线段上时， ， ， 由（2）得△△， ， 即， ， ， ，， 过点作，垂足为点， ，， 在△中，， ， （负值舍去）， ． ②当点在的延长线上时， ， ， 由题意得，， △△， ，即， ， ， ，， 过点作，垂足为点． ，，， ． 综上，或． 【点评】本题考查了相似形的综合应用，主要考查直角三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理． 27．（2022秋•静安区期末）在等腰直角中，，，点为射线上一动点（点不与点、重合），以为腰且在的右侧作等腰直角，，射线与射线交于点，联结． （1）如图所示，当点在线段上时， ①求证：； ②设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （2）当时，求的长． 【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性质和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可； ②过点作于点，设，利用相似三角形的拍等于性质和直角三角形的边角关系定理解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法，画出图形，列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【解答】（1）①证明：和是等腰直角三角形， ，，． ，， ； ②解：过点作于点，如图， 是等腰直角三角形， ， ， ． 设，则， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 由①知：， ． ， ． ， ． ． ， ， ， 关于的函数解析式，的取值范围：； （2）①解：当点在线段上时，如图， 由（1）②知：． ． ，， ， ， ． △， 此方程没有实数根， 当点在线段上时，不存在； ②当点在线段的延长线上时，如图， 过点作于点， 和是等腰直角三角形， ，，． ，， ． ． 是等腰直角三角形， ， ． ， ． 设，则， ． ， ， ， ， ． ， ， ， ， ． ． ． ，， ． ， ， 解得：， ， ． ． 综上，当时，的长为． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，一元二次方程的解法，本题是相似三角形的综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 28．（2022秋•宝山区校级期末）如图，已知，点在边上，且，过点作的平行线，与射线交于点，联结． （1）求证：； （2）如果，． ①当，求的长； ②当时，求的正弦值． 【分析】（1）利用，得，可得结论； （2）①利用，得，过作于，可得，从而解决问题； ②，当时，四边形是平行四边形或等腰梯形，分两种情形分别解答即可． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：①，， ， ， ， ， 过作于， ，． ， ， ， ； ②，当时，四边形是平行四边形或等腰梯形， 当四边形是平行四边形时， ， ， ， 过作，交的延长线于， ， ， ， 的正弦值为， 当四边形是等腰梯形时， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于， ， ， ， ， ， 的正弦值为． 综上：的正弦值为或． 【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰梯形的性质，三角函数等知识，运用分类讨论思想分别画出图形是解题的关键． 29．（2021秋•静安区期末）如图1，四边形中，的平分线交边于点，已知，，，且． （1）求证：； （2）如果，求四边形的面积； （3）如图2，延长、交于点，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域． 【分析】（1）先证明，可得，再由平行线性质可推出，进而证得，根据相似三角形性质可证得结论； （2）如图2，过点作，运用等腰三角形性质可得为的中点，进而可证得，再求得，根据且相似比为，可求得，由可求得答案； （3）由，可求得：，进而得出，再利用，可得：，再利用，可得，进而求得：，再结合题意得出答案． 【解答】（1）证明：如图1，平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图2，过点作， ， 是等腰三角形， 为的中点， 由（1）可得、也是等腰三角形， ，，， ，，，， ， 在中，， ， 且相似比为， ， ， ； （3）解：如图3，由（1）知：， ， ，，，，， ， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 关于的函数解析式为，定义域为． 【点评】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 30．（2023秋•黄浦区期末）如图，是斜边的中点，交于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）如果与相似，求其相似比； （3）如果，求的大小． 【分析】（1）根据垂直的定义得到，得到，根据直角三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到或，当时，，这种情况不存在，根据直角三角形到现在得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）设，，得到，根据三角函数的定义得到，设，则，，得到，过作于，根据三角形中位线定理得到，得到，根据等腰三角形的判定和性质定理得到结论． 【解答】（1）证明：， ， ， ， 是斜边的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：与相似，， 或， 当时， 是斜边的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， 其结果同上， 综上所述，如果与相似，其相似比； （3）解：，， ， ， 设，， ， ， ， ， 设，则，， ， 过作于， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 31．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，在中，，是边上的中线，，，点是延长线上的一动点，过点作，交的延长线于点． （1）当点为的中点时，求的长； （2）设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）过点作交于，当和相似时，求的长． 【分析】（1）由勾股定理可求得的长，由直角三角形斜边上中线的性质可得，则可得，由相似三角形的性质即可求得的长度，从而求得结果； （2）由，即可求得的长度，从而由即可求得关于的函数关系式，由在延长线上的一动点，即可写出的取值范围； （3）分，两种情况，利用相似三角形的性质即可完成求解． 【解答】解：（1），，， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 即， 点为的中点， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 点是延长线上的一动点， ， 关于的函数关系式，的取值范围为； （3）若，如图， 则， ， ，， ，， ， ， ， ； 若，如图， 则，， ，， ， ， 即， ， 化简得：， 解得：，（舍去）， ． 综上，的长为4或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，正确运用相似三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论． 32．（2022秋•闵行区期末）如图1，点为△内一点，联结，，以、为邻边作平行四边形，与边交于点，． （1）求证：△△； （2）延长，交边于点，如果，且△的面积与平行四边形面积相等，求的值； （3）如图2，联结，若平分，，，求线段的长． 【分析】（1）根据平行的性质推导出，即可证明； （2）延长交于点，由题意可得，再由（1）可得，从而得到△是等腰三角形，是的中点，由，可得，则，即可求； （3）延长交于点，交于点，根据平行四边形的性质和角平分线的定义，可得，则，再由，可知是的中点，是的中点，求出，证明△△，则有，可求，再求，由此即可求出． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， △△； （2）解：延长交于点， △的面积与平行四边形面积相等， ， ， ， ， △△， ， ， 是的中点， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：延长交于点，交于点， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 是的中点， ， ， ， △△， ， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查相似三角形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，中位线的性质是解题的关键． 33．（2021秋•浦东新区校级期末）如图，在中，，，，点为边上一动点（不与点、重合），联结，过点作，分别交、于点、，设，． （1）当时，求的值； （2）求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）当时，在边上取点，联结，分别交、于点、．当时，请直接写出的长． 【分析】（1）用转化的思想思考问题，只要证明即可； （2）作于，于．利用面积法解决问题即可； （3）当，作于．设，想办法求出的值，再利用相似三角形的性质证明即可解决问题． 【解答】解：（1）， ， ，， ， ， ，， ， ； （2）如图1，作于，于．则四边形是矩形． ， ，， ． （3）如图2，作于．设． ，， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查相似形综合题、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 34．（2021秋•徐汇区期末）如图，在中，，，点为边上的一个动点，以点为顶点作，射线交边于点，过点作射线的垂线，垂足为点． （1）当点是边中点时，求的值； （2）求证：； （3）当时，求． 【分析】（1）过点作于，设，，由勾股定理得的长，在中，利用面积法可表示出的长，再利用勾股定理得出的长，从而解决问题； （2）首先利用两个角相等可证明，得，再证明，得，从而证明结论； （3）设，，得，由，可表示出的长，再利用勾股定理得出、的长，由（2）可知，，得，可表示出的长，从而解决问题． 【解答】（1）解：如图，过点作于， 在中， ， 设，， ， ， 是的中点， ， ， ， 在中， ， ， 在中，； （2）证明：，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：， 设，， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， 在中， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ， 即． 【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，三角形的面积等知识，利用代数方法解决几何问题是解题的关键． 35．（2022秋•宝山区期末）如图1，在中，．点、分别在边、上（不与端点重合），和交于点，满足． （1）求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）当是等腰三角形时，求的值． 【分析】（1）作于，解直角三角形，求得和，进而解直角三角形，求得，从而得出，进一步得出，从而，进一步得出结论； （2）作于，先求得得，，解，得出，进而设，，，从而，进而由得，，进一步得出结果； （3）由两种情形：当时，可推出，作于，作于，进而证明，从而，，进而求得，根据（1）：，求得，进而求得，进一步得出结果； 当时，可推出，作于，可得出，同样根据（1）求得，进一步得出结果． 【解答】（1）证明：如图1， 作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2， 作于， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 设，，， ， 由得， ， ， ； （3）解：如图3， 当时，， ， ， ， 作于，作于， ， ， ， ，， ， ， 由（1）知：， ， ， ， 如图4， 当时，， ， 作于， ，，， ， 由（1）知：， ， ， ， ， 综上所述：；或． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质及分类，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理清线段之间的关系． 36．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设． （1）使用的代数式表示； （2）设，求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）当是等腰三角形时，直接写出的长． 【分析】（1）易证，则有，由可得，从而得到，然后根据相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得，根据可得，从而得到．易证，从而得到，问题得以解决； （3）易证，因而当是等腰三角形时，也是等腰三角形，然后只需分三种情况①，②，③，讨论，就可解决问题． 【解答】解：（1）如图1， ，． ，． ，，， ，． ，， ， ． ， ， ， ， ， ； （2）， ， 又， ， ， ． ， ， ， ， 整理得：； （3）当是等腰三角形时，的长为、10或7． 解题过程如下： ，， ． ，， ， 当是等腰三角形时，也是等腰三角形． ①当时， 则有， ，， ， ， ， ， ； ②当时，， ， ； ③当时， 作于，如图2， 则有． ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，在解决问题的过程中用到了面积法、分类讨论的思想，有一定的难度，证到是解决第（1）小题的关键，证到，从而得到是解决第（2）小题的关键，证到，从而把是等腰三角形转化为是等腰三角形是解决第（2）小题的关键． 37．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，在中，，，，，平分交边于点，点是边上的一个动点（不与、重合），是边上一点，且，与相交于点． （1）求证：； （2）设，，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【分析】（1）要证，只需证，只需证到，．由，平分可证到；由可证到，问题解决． （2）作的垂直平分线交于点，交于点，易证，从而可以证到，可得．只需用、表示出、，问题就得以解决． （3）当是以为腰的等腰三角形时，可分和两种情况讨论．当时，由可得，从而可以得到与的等量关系，再结合（2）中的与的关系就可求出的值；当时，易证，过点作，垂足为，则有，结合，就可得到与的等量关系，再结合（2）中的与的关系就可求出的值． 【解答】（1）证明：平分， ． ， ． ， ， ， ． ，， ． ． （2）解：作的垂直平分线交于点，交于点，如图2， 则有． 在中，，则． 垂直平分， ． ． ． ， ． ，， ． ． ． ，，， ． 又， ． ． （3）解：①，如图3， （已证）， ． ， ． ，， ． ． ． 整理得：． 则有． 解得：（舍，． ②， 过点作，垂足为，如图4， ， ． ，， ． ， ． ． ， ． ， ． 在中，． ． ． ． ． 整理得：． 则有． ，． ， ． 综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，的长为1或6.4． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、用因式分解法解一元二次方程、锐角三角函数的定义、三角形内角和定理、三角形的外角性质、垂直平分线的性质等知识，综合性非常强．而作的垂直平分线交于点，进而证到是解决第二小题和第三小题的关键． 38．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在中，，，点为边上一动点（与点、不重合），点为上一点，，过点作，垂足为点，交射线于点． （1）如果点为边的中点，求的正切值； （2）当点在边上时，设，，求关于的函数解析式及的取值范围； （3）联结，如果与相似，求线段的长． 【分析】（1）过点作于．解直角三角形求出，即可解决问题． （2）如图2中，过点作，延长交于，直线交于，交的延长线于．想办法证明，再证明，可得，推出，可得结论． （3）利用与相似，可得或，由此构建方程求出，当点在下方时，同法可求． 【解答】解：（1）如图1中，过点作于． ，， ， ，，， ， ， ． （2）如图2中，过点作，延长交于，直线交于，交的延长线于． ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图3中，连接，作于． ，， ， 与相似， 与相似， 或， 或， 整理得，或， 解得，或（舍弃）或或（舍弃）， 或， 当点在下方时，同法可得，， 综上所述，满足条件的的值为或或． 【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 39．（2022秋•杨浦区期末）如图，在中，．，．点为射线上一动点（不与点重合），连接，交边于点，的平分线交于点． （1）当时，求的值； （2）设，，当时，求与之间的函数关系式； （3）当时，连接，若为直角三角形，求的长． 【分析】（1）过点作于，根据等高的两个三角形面积之比等于底的比，求出即可； （2）延长交射线于点，根据相似三角形对应边成比例求出与之间的函数关系式； （3）分、两种情况进行解答，求出的长． 【解答】解：（1）过点作于， ， ，， ，，， ． （2）延长交射线于点， ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （3）由题意，得：， ①当时，则， ， ． ②当时，则， ，， ， ， 又，， ，， 过点作于，， ． 【点评】本题考查的是相似三角形的综合应用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，本题可以提高学生综合运用知识的能力、逻辑思维能力． 40．（2021秋•黄浦区期末）如图，在与中，，，，过点作，垂足为点，延长、交于点，联结． （1）求证：； （2）设，，求关于的函数关系式及其定义域； （3）当与相似时，求边的长． 【分析】（1）将转化为，进而根据勾股定理和比例性质推出，进而，进一步证明，从而命题得证； （2）作交的延长线于，作，推出和，再根据比例性质求得结果； （3）两种情形：和，当时，由求得结果，当时，推出，从而，根据，推出，进而可求得结果． 【解答】（1）证明：， ， ， ， 即：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图1， 作交的延长线于，作， ，， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图2， 当时，， ， ，， ， ， ， ， ，（舍去）， ， 如图3， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线和正确分类，计算能力也很关键． $$ 期末（一模）25题几何综合压轴40题（考题猜想，4种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．三角形综合题（共7题） 1．（2023秋•徐汇区期末）如图，在中，，，点是边上的动点（点不与点重合），以为斜边在直线上方作等腰直角三角形． （1）当点是边的中点时，求的值； （2）联结，点在边上运动的过程中，的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的大小； （3）设与的交点为，点是边上的一点，且，如果点到直线的距离等于线段的长度，求的面积． 2．（2024•闵行区）如图，在中，，以，为边在外部作等边三角形和等边三角形，且联结． （1）如图1，联结，，求证：； （2）如图2，延长交线段于点． ①当点为线段中点时，求的值； ②请用直尺和圆规在直线上方作等边三角形（不要求写作法，保留作图痕迹，并写明结论），当点在的内部时，求的取值范围． 3．（2023秋•金山区期末）已知：如图，在中，，，，与边相交于点． （1）求证：； （2）如果，求的值； （3）如果是直角三角形，求的正切值． 4．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知，的内部有一点，且，过点作交于点，与交于点． （1）如果，求的长； （2）设，，求与的函数关系式，并写出定义域； （3）如果，求的面积． 5．（2024•崇明区）已知中，，，，点是边上的一个动点（不与点、重合），点是边上的一点，且满足，过点作交的延长线于． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，联结，设，，求关于的函数解析式并写出定义域； （3）过点作射线的垂线，垂足为，射线与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 6．（2023秋•嘉定区期末）如图1，在和中，，，，． （1）求证：； （2）已知点在边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点． ①如图2，设，，求与的函数关系式，并写出定义域； ②当是等腰三角形时，求的长． 7．（2022秋•长宁区期末）已知：在中，，，点、分别在射线、射线上，且满足． （1）当点在线段上时，如图1． ①如果，求的长； ②设、两点的距离为，，求关于的函数关系式，并写出定义域． （2）当时，求的面积．（直接写出结论，不必给出求解过程） 二．四边形综合题（共10题） 8．（2021秋•嘉定区期末）在平行四边形中，对角线与边垂直，，四边形的周长是16，点是在延长线上的一点，点是在射线上的一点，． （1）如图1，如果点与点重合，求的余切值； （2）如图2，点在边上的一点．设，，求关于的函数关系式并写出它的定义域； （3）如果，求的面积． 9．（2023秋•浦东新区期末）如图，已知正方形的边长为6，点是射线上一点（点不与点、重合），过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、． （1）当点在边上时，如果，求的余切值； （2）当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当时，求的面积． 10．（2023秋•杨浦区期末）如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点． （1）求证：； （2）连接． ①当时，求的值； ②如果是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 11．（2022秋•青浦区校级期末）如图1，梯形中，，，，，，在边上，连接，． （1）求的长； （2）如图2，作，交于点，交于点，若，，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）在（2）的条件下，若是等腰三角形，求的值． 12．（2022秋•徐汇区期末）已知：在梯形中，，，，，点是边上一点，，点是边上的一动点，连接，作，使得，射线与边交于点，与的延长线交于点，设，． （1）求的长； （2）试求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）连接，如果是等腰三角形，试求的长． 13．（2022秋•金山区校级期末）已知的余切值为2，，点是线段上一动点（点不与点、重合），以点为顶点的正方形的另两个顶点、都在射线上，且点在点的右侧，联结，并延长交射线于点． （1）联结，求证：； （2）如图1，当点在线段上时，如果的正切值为2，求线段的长； （3）联结，当为等腰三角形时，求线段的长． 14．（2022秋•黄浦区期末）已知，如图1，在四边形中，，，． （1）当时（如图，求的长； （2）联结，交边于点， ①设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②当是等腰三角形时，求的长． 15．（2021秋•青浦区期末）在四边形中，，，，，（如图）．点是射线上一点，点是边上一点，联结、，且． （1）求线段的长； （2）当时，求线段的长； （3）当点在线段的延长线上时，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 16．（2023秋•静安区期末）已知梯形中，，，，，．点在射线上，点在射线上（点、点均不与点重合），且，联结，设，的面积为． （1）如图1所示，求的值； （2）如图2所示，点在线段上，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）当是等腰三角形时，求的长． 17．（2021秋•崇明区期末）已知：如图，正方形的边长为1，在射线上取一点，联结，将绕点逆时针旋转，点落在处，联结，与对角线所在的直线交于点，与射线交于点． （1）当时，求的值； （2）当点在线段上，如果，，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）联结，直线与直线交于点，当时，求的值． 三．相似三角形的判定与性质（共4题） 18．（2023秋•松江区期末）在中，．点是射线上一点（不与、重合），点在线段上，直线交直线于点，． （1）如图，如果点在的延长线上． ①求证：； ②联结，如果，，求的长． （2）如果，求：的值． 19．（2022秋•嘉定区校级期末）在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且． （1）如图，求证：是和的比例中项； （2）当点在线段的延长线上时，联结，且与互相垂直，求的长． 20．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边于点． （1）①求证：； ②若，求的值： （2）若，，求的长． 21．（2023秋•长宁区期末）已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． （1）求的长； （2）如图1，如果，求的值； （3）如果是以为腰的等腰三角形，求长． 四．相似形综合题（共19题） 22．（2023秋•虹口区期末）如图①，在中，，，点在边的延长线上，联结，点在线段上，． （1）求证：； （2）点在边的延长线上，与的延长线交于点（如图②． ①如果，且是以为腰的等腰三角形，求的值； ②如果，，，求的长． 23．（2023秋•宝山区期末）如图，已知中，，是边上一点，且，过点作，并截取，射线与的延长线交于点． （1）求证：； （2）设，，求与的函数关系式； （3）如果是直角三角形，求的长． 24．（2022秋•青浦区期末）如图，在中，，，，动点、分别在边、上，且，设．过点作，与直线相交于点． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）当与相似时，求的长． 25．（2023秋•普陀区期末）如图，在矩形中，，，是边延长线上一点，过点作，垂足为点，联结，设． （1）求证：； （2）的大小是否是一个确定的值？如果是，求出的正切值；如果不是，那么用含字母的代数式表示的正切值； （3）是边上一动点（不与点、重合），联结、．随着点位置的变化，在中除外的两个内角是否会有与相等的角，如果有，请用含字母的代数式表示此时线段的长；如果没有，请说明理由． 26．（2022秋•嘉定区期末）已知△中，，，，点、分别在边、边上（点不与点重合，点不与点重合），联结，将△沿着直线翻折后，点恰好落在边上的点处．过点作，交射线于点．设，， （1）如图1，当点与点重合时，求的值； （2）如图2，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）当时，求的长． 27．（2022秋•静安区期末）在等腰直角中，，，点为射线上一动点（点不与点、重合），以为腰且在的右侧作等腰直角，，射线与射线交于点，联结． （1）如图所示，当点在线段上时， ①求证：； ②设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （2）当时，求的长． 28．（2022秋•宝山区校级期末）如图，已知，点在边上，且，过点作的平行线，与射线交于点，联结． （1）求证：； （2）如果，． ①当，求的长； ②当时，求的正弦值． 29．（2021秋•静安区期末）如图1，四边形中，的平分线交边于点，已知，，，且． （1）求证：； （2）如果，求四边形的面积； （3）如图2，延长、交于点，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域． 30．（2023秋•黄浦区期末）如图，是斜边的中点，交于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）如果与相似，求其相似比； （3）如果，求的大小． 31．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，在中，，是边上的中线，，，点是延长线上的一动点，过点作，交的延长线于点． （1）当点为的中点时，求的长； （2）设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）过点作交于，当和相似时，求的长． 32．（2022秋•闵行区期末）如图1，点为△内一点，联结，，以、为邻边作平行四边形，与边交于点，． （1）求证：△△； （2）延长，交边于点，如果，且△的面积与平行四边形面积相等，求的值； （3）如图2，联结，若平分，，，求线段的长． 33．（2021秋•浦东新区校级期末）如图，在中，，，，点为边上一动点（不与点、重合），联结，过点作，分别交、于点、，设，． （1）当时，求的值； （2）求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）当时，在边上取点，联结，分别交、于点、．当时，请直接写出的长． 34．（2021秋•徐汇区期末）如图，在中，，，点为边上的一个动点，以点为顶点作，射线交边于点，过点作射线的垂线，垂足为点． （1）当点是边中点时，求的值； （2）求证：； （3）当时，求． 35．（2022秋•宝山区期末）如图1，在中，．点、分别在边、上（不与端点重合），和交于点，满足． （1）求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）当是等腰三角形时，求的值． 36．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设． （1）使用的代数式表示； （2）设，求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）当是等腰三角形时，直接写出的长． 37．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，在中，，，，，平分交边于点，点是边上的一个动点（不与、重合），是边上一点，且，与相交于点． （1）求证：； （2）设，，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 38．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在中，，，点为边上一动点（与点、不重合），点为上一点，，过点作，垂足为点，交射线于点． （1）如果点为边的中点，求的正切值； （2）当点在边上时，设，，求关于的函数解析式及的取值范围； （3）联结，如果与相似，求线段的长． 39．（2022秋•杨浦区期末）如图，在中，．，．点为射线上一动点（不与点重合），连接，交边于点，的平分线交于点． （1）当时，求的值； （2）设，，当时，求与之间的函数关系式； （3）当时，连接，若为直角三角形，求的长． 40．（2021秋•黄浦区期末）如图，在与中，，，，过点作，垂足为点，延长、交于点，联结． （1）求证：； （2）设，，求关于的函数关系式及其定义域； （3）当与相似时，求边的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$