期末（一模）18题填空小压轴必刷50题（考题猜想，折叠、旋转、新定义、实践操作题4种必考题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

期末（一模）18题填空小压轴必刷50题 （考题猜想，折叠、旋转、新定义、实践操作题4种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．折叠问题（共17小题） 1．（2023秋•长宁区期末）如图，在矩形中，，，是对角线，点在边上，联结，将沿着直线翻折，点的对应点恰好落在内，那么线段的取值范围是 　 　． 2．（2024•闵行区）如图，在中，，，点为边上的点，联结，将沿翻折，点落在平面内点处，边交边于点，联结，如果，那么的值为 　 　． 3．（2024•崇明区）如图，将矩形沿、折叠，点、分别与、对应，、两点对应点落在上的点处，且，如果，，那么的长为 　 　． 4．（2023秋•虹口区期末）如图，在中，，．点在边上，，点是射线上一动点，联结，将沿直线翻折，点落在点处，联结，如果，那么的长是 　 　． 5．（2023秋•浦东新区期末）在菱形中，点为边的中点．联结，将△沿着所在的直线翻折得到△，点落在点处，延长交边于点．如果的延长线恰好经过点，那么的值为 　 　． 6．（2023秋•宝山区期末）已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点落在点处，三角形与矩形的重叠部分是三角形，联结．如果，，那么的正切值是 　 ． 7．（2023秋•普陀区期末）如图，矩形中，，，为边的中点，联结、，为边上一点，将沿翻折，如果点的对应点恰好位于内，那么的取值范围是 　 　． 8．（2022秋•嘉定区校级期末）点、分别在的边、上，且，，（如图），沿直线翻折，翻折后的点落在内部的点，直线与边相交于点，如果，那么　 　． 9．（2022秋•杨浦区校级期末）在中，，，，点在斜边上，把沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，当平行的直角边时，的长为 　 　． 10．（2022秋•浦东新区期末）如图，正方形的边长为5，点是边上的一点，将正方形沿直线翻折后，点的对应点是点，联结交正方形的边于点，如果，那么的长是 　 　． 11．（2022秋•徐汇区期末）如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当时，则　 ． 12．（2022秋•杨浦区期末）如图，已知在中，，，点在边上，将沿直线翻折，使点落在点处，连接，直线与边的延长线相交于点．如果，那么　 　． 13．（2021秋•金山区期末）在中，，，是上一点，把沿直线翻折后，点落在点处，如果，那么　 　． 14．（2021秋•崇明区期末）如图所示，在三角形纸片中，，，，如果将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，那么　 　． 15．（2021秋•徐汇区期末）如图，在中，，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则　 　． 16．（2023秋•嘉定区期末）在△中，，，，点、分别在边、上，且（如图），将△沿直线翻折，翻折后点落在点处．如果，那么　 　． 17．（2023秋•青浦区期末）如图，在矩形中，，．点在边上，将沿直线翻折，点的对应点为点，延长交边于点，如果，那么的长为 　 　． 二．旋转问题（共11小题） 1．（2023秋•金山区期末）把矩形绕点按顺时针旋转得到矩形，其中点的对应点在的延长线上，如果，那么　 　． 2．（2023秋•松江区期末）如图，在矩形中，，，将边绕点逆时针旋转，点落在处，联结，，若，则　 　． 3．（2023秋•徐汇区期末）在中，，，如果将绕着点旋转，使得点落在边上，此时，点落在点处，联结，那么的长是 　 　． 4．（2022秋•嘉定区期末）在△中，，，，是边上的中线（如图）．将△绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，边与边交于点，那么的长是 　　 ． 5．（2022秋•徐汇区校级期末）在中，，为的中点，将绕点旋转，使点与点重合得到，设边交边于点．若，，则　 　． 6．（2022秋•徐汇区期末）如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且，则　 　． 7．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在中，，，，将绕点旋转后，点落在的延长线上的点，点落在点，与直线相交于点，那么　 　． 8．（2021秋•静安区期末）如图，正方形中，将边绕着点旋转，当点落在边的垂直平分线上的点处时，的度数为 　 　． 9．（2021秋•黄浦区期末）如图，在中，，，将绕点旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，如果点恰好在线段的延长线上，那么边的长等于 　 　． 10．（2021秋•徐汇区期末）如图，已知点是抛物线图象上一点，将点向下平移2个单位到点，再把点绕点顺时针旋转得到点，如果点也在该抛物线上，那么点的坐标是 　 　． 11．（2023秋•杨浦区期末）如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是 　 　． 三．新定义问题（共15小题） 1．（2023秋•静安区期末）如果某函数图象上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，下列关于的函数：①，②，③，④中，是“函数”的有 　 　．（请填写函数解析式序号） 2．（2023秋•宝山区期末）平面直角坐标系中，在轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与轴的交点的距离之和最小的点，称为这条抛物线与轴的“亲密点”．那么抛物线与轴的“亲密点”的坐标是 　 　． 3．（2022秋•杨浦区校级期末）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点” ．若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则　 　． 4．（2022秋•徐汇区校级期末）在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数与的图象的形状相同，并且对称轴关于轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数．如二次函数与互为梦函数，写出二次函数的其中一个梦函数 　 ． 5．（2021秋•黄浦区期末）若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，且满足顶点在抛物线上，顶点在抛物线上，则称抛物线与抛物线互为“关联抛物线”，已知顶点为的抛物线与顶点为的抛物线互为“关联抛物线”，直线与轴正半轴交于点，如果，那么顶点为的抛物线的表达式为 　 　． 6．（2024•崇明区）定义：为内一点，连接、、，在、和中，如果存在一个三角形与相似，那么就称为的自相似点．根据定义求解问题：已知在中，，是边上的中线，如果的重心恰好是该三角形的自相似点．那么的余切值为 　 ． 7．（2022秋•青浦区期末）定义：如图1，点，把线段分割成、和，如果以、、为边的三角形是一个直角三角形，那么称点、是线段的勾股分割点．问题：如图2，在中，已知点、是边的勾股分割点（线段，射线、与射线分别交于点、．如果，，，那么的值为 　 　． 8．（2023秋•虹口区期末）定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，如图①中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图②，在中，，，，点在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是 　 　． 9．（2024•闵行区）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），那么称这个等腰三角形为“精准三角形”．如图，是“精准三角形”， ，，垂足为点，那么的长度为 　 　． 10．（2022秋•金山区校级期末）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为 　 　． 11．（2023秋•长宁区期末）我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在中，，点、都在边上，，如果与是友好三角形，那么的长为 　 　． 12．（2023秋•浦东新区期末）平行于梯形两底的直线与梯形的两腰相交，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形中，，，，点、分别在边、上，且是梯形的“比例中线”，那么的值为 　 　． 13．（2022秋•闵行区期末）阅读：对于线段与点（点与不在同一直线上），如果同一平面内点满足：射线与线段交于点，且，那么称点为点关于线段的“准射点”． 问题：如图，矩形中，，，点在边上，且，联结．设点是点关于线段的“准射点”，且点在矩形的内部或边上，如果点与点之间距离为，那么的取值范围为 　 　． 14．（2023秋•青浦区期末）规定：平面上一点到一个图形的距离是指这点与这个图形上各点的距离中最短的距离．如图①，当时，线段的长度是点到线段的距离；当时，线段的长度是点到线段的距离；如图②，在中，，，，点为边上一点，，如果点为边上一点，且点到线段的距离不超过，设的长为，那么的取值范围为 　 　． 15．（2021秋•崇明区期末）定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“对等四边形”．如图，在中，，点在边上，点在边上，如果，，，四边形为“对等四边形”，那么的长为 　 　． 四．实践操作题（共7小题） 1．（2023秋•金山区期末）在中，，是边上的一点，为边上一点，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是 　 　． 2．（2022秋•长宁区期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 　 　． 3．（2022秋•黄浦区期末）将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片如图所示，其中，厘米，厘米，厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是 　 　平方厘米． 4．（2023秋•黄浦区期末）为了研究抛物线与在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数、、的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现与的位置特征，你的发现是：　 　；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是：　　 ． 5．（2022秋•宝山区期末）如图，已知中，，． 按下列步骤作图： 步骤1：以点为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、； 步骤2：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； 步骤3：作射线交于点． 那么线段的长为 　 　． 6．（2022秋•青浦区校级期末）如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点，使，联结，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则　 　． 7．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知在中，，，，点是斜边上一点，过点作交边于点，过点作的平行线，与过点作的平行线交于点．如果点恰好在的平分线上，那么的长为 　 　． $$期末（一模）18题填空小压轴必刷50题 （考题猜想，折叠、旋转、新定义、实践操作题4种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．折叠问题（共17小题） 1．（2023秋•长宁区期末）如图，在矩形中，，，是对角线，点在边上，联结，将沿着直线翻折，点的对应点恰好落在内，那么线段的取值范围是 　 　． 【分析】若点落在边上时，由折叠的性质证出四边形是正方形，得出，求出；若点落在对角线上时，证明，得出，求出的长，可求出，则可得出答案． 【解答】解：若点落在边上时，如图， 将沿着直线翻折， ，， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ； 若点落在对角线上时，如图， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 沿着直线翻折， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的对应点恰好落在内， 线段的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 2．（2024•闵行区）如图，在中，，，点为边上的点，联结，将沿翻折，点落在平面内点处，边交边于点，联结，如果，那么的值为 　 　． 【分析】先过作于，过作于，再根据相似三角形的性质及解直角三角形求解． 【解答】解：如图所示：过作于，过作于， ， ， ， 设， ， ，， ， 将沿翻折，点落在平面内点处， ， ， ， 当在左侧时： ， ， ， ， 当在右侧时 ， ， ， 故答案为：或1． 【点评】本题考查了翻折的性质，掌握等腰三角形的性质和解直角三角形是解题的关键． 3．（2024•崇明区）如图，将矩形沿、折叠，点、分别与、对应，、两点对应点落在上的点处，且，如果，，那么的长为 　 　． 【分析】由折叠的性质得出，，，设，则，证明△△，由相似三角形的性质得出，求出，则可得出答案． 【解答】解：矩形沿、折叠， ，，， 四边形是矩形， ， ， ，， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， （负值舍去）， ． 【点评】此题考查翻折的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是掌握翻折的性质． 4．（2023秋•虹口区期末）如图，在中，，．点在边上，，点是射线上一动点，联结，将沿直线翻折，点落在点处，联结，如果，那么的长是 　 　． 【分析】过点作，，，垂足分别为、、，由，，求出，，，，得出、、三点在同一直线上，进而可得，再求出，由即可解答． 【解答】解：过点作，，，垂足分别为、、， ， ， ． ， 设，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，即与重合， 、、三点在同一直线上， ， 由折叠性质可知，， ， ， ， 故答案为：6． 【点评】本题涉及了解三角形、折叠性质、等腰三角形性质、勾股定理等，解题关键是通过计算点到的距离等于得出、、三点在同一直线上． 5．（2023秋•浦东新区期末）在菱形中，点为边的中点．联结，将△沿着所在的直线翻折得到△，点落在点处，延长交边于点．如果的延长线恰好经过点，那么的值为 　 　． 【分析】延长、交于点，由菱形的性质得，，，则，由折叠得，，则，，而，所以，推导出，可证明△△，得，则，所以，则，再证明△△，得，再证明△△，得，则，而，即可求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长、交于点， 四边形是菱形， ，，， ， 由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 点为边的中点， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， ， △△， ， ， ， ， 的值为． 【点评】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、同角的补角相等、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△△是解题的关键． 6．（2023秋•宝山区期末）已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点落在点处，三角形与矩形的重叠部分是三角形，联结．如果，，那么的正切值是 　 ． 【分析】时，根据矩形的性质得出，，，则，根据折叠的性质得出，，，，，设，则，，根据直角三角形的性质及三角形外角性质推出，则，根据正切的定义求解即可； 时，根据矩形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及折叠的性质求出，根据特角的三角函数值求解即可． 【解答】解：如图，时，交于点， 四边形是矩形， ，，， ， 根据折叠的性质得，，，，，， 设，则，， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 即的正切值是， 如图，时， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， 根据折叠的性质得，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的正切值是， 故答案为：或． 【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 7．（2023秋•普陀区期末）如图，矩形中，，，为边的中点，联结、，为边上一点，将沿翻折，如果点的对应点恰好位于内，那么的取值范围是 　 　． 【分析】根据翻折的性质、直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质进行计算即可． 【解答】解：如图1，当时，的值最小，此时点的对应点落在上， ， 四边形是矩形， ，即， ， ， ， ， ； 如图2，当平分时，最长，此时点的对应点落在上，连接， 由题意可知，， 在中，，， ， 由翻折可知， ， 设，则，， 在中，， 在中，， ， 解得， 即此时； 综上所述，当点的对应点恰好位于内部时的取值范围为． 【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，掌握矩形、翻折的性质，直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 8．（2022秋•嘉定区校级期末）点、分别在的边、上，且，，（如图），沿直线翻折，翻折后的点落在内部的点，直线与边相交于点，如果，那么　 　． 【分析】根据题意和翻折的性质可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，所以，得，设，则，，所以，，然后根据锐角三角函数即可解决问题． 【解答】解：如图所示： ，， 是等腰直角三角形， ， 沿直线翻折，翻折后的点落在内部的点， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设， 则，， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 9．（2022秋•杨浦区校级期末）在中，，，，点在斜边上，把沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，当平行的直角边时，的长为 　 　． 【分析】如图，当，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，，根据三角形的面积公式得到，由相似三角形的性质即可得到结论；如图2，当，根据折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，于是得到，推出，于是得到． 【解答】解：中，，，， ，， ①如图，当， ， 把沿直线折叠，点落在同一平面内的处， ， ， ， ， ， ， ， △， ，即， ， ； ②如图，当， 把沿直线折叠，点落在同一平面内的处， ，，， ， ， ， ， 综上所述：的长为：1或3， 故答案为：1或3． 【点评】本题考查了翻折变换折叠问题，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 10．（2022秋•浦东新区期末）如图，正方形的边长为5，点是边上的一点，将正方形沿直线翻折后，点的对应点是点，联结交正方形的边于点，如果，那么的长是 　 　． 【分析】根据翻折的性质和全等三角形的判定和性质定理以及正方形的性质即可得到结论． 【解答】解：如图：连接， 由翻折得，， ， ， ， 设， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 过作于， ，， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， ， 故答案为：． 【点评】本题是考查了翻折变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 11．（2022秋•徐汇区期末）如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当时，则　 ． 【分析】分两种情形分别求解，作于，连接．想办法求出，利用等腰直角三角形的性质求出即可． 【解答】解：如图，作于，连接． 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， 由翻折不变性可知：， ， ， ， 如图，作于，当时，同法可得，． 故答案为或． 【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 12．（2022秋•杨浦区期末）如图，已知在中，，，点在边上，将沿直线翻折，使点落在点处，连接，直线与边的延长线相交于点．如果，那么　 　． 【分析】在中，，，得到，由是将沿直线翻折得到的，求出，于是得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结果． 【解答】解：在中，，， ， 是将沿直线翻折得到的， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换折叠问题，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，正确的作出图形是解题的关键． 13．（2021秋•金山区期末）在中，，，是上一点，把沿直线翻折后，点落在点处，如果，那么　 　． 【分析】过作于，设交于，根据，，，可得，，，由沿直线翻折后，点落在点处，即得，，而，有，可证得，，即得． 【解答】解：过作于，设交于，如图： ，，， ， ， ， ， 沿直线翻折后，点落在点处， ，， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查等腰三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，能熟练运用锐角三角函数解直角三角形． 14．（2021秋•崇明区期末）如图所示，在三角形纸片中，，，，如果将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，那么　 　． 【分析】由折叠的性质可知，，，证明，由相似三角形的性质得出，求出和的长，过点作于点，设，则，由勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义可得出答案． 【解答】解：由折叠的性质可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， 设，则， ， 解得， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，证明是解题的关键． 15．（2021秋•徐汇区期末）如图，在中，，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则　 　． 【分析】过点作于点，由折叠的性质得出，，证出，由平行线的性质得出，，设，则，求出，由锐角三角函数的定义可得出答案． 【解答】解：过点作于点， 将沿直线翻折， ，， ， ， ， 设，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设，则， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，平分线分线段成比例定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 16．（2023秋•嘉定区期末）在△中，，，，点、分别在边、上，且（如图），将△沿直线翻折，翻折后点落在点处．如果，那么　 　． 【分析】作的平分线，过点作交的延长线于点，可将转化为，因此设法求出的值即可解决问题． 【解答】解：作出△沿直线翻折后的△， 则，， ， ， 作的平分线， 则， ， 过点作交的延长线于点， 则，，， ，， ，， 在△中，，，， 由勾股定理，得， ， 在△中， 由勾股定理，得， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，平行线性质和判定，通过作辅助线将求转化为求是解题的关键．值得注意的是：本题中的条件“”多余，若利用此条件求出，，的长来求的值也可以，但比较麻烦． 17．（2023秋•青浦区期末）如图，在矩形中，，．点在边上，将沿直线翻折，点的对应点为点，延长交边于点，如果，那么的长为 　　． 【分析】依据，，即可判定；再根据相似三角形的对应边成比例，即可得到的长． 【解答】解：如图所示，， 由折叠可得，，关于对称， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， ，即， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是利用相似三角形的对应边成比例． 二．旋转问题（共11小题） 1．（2023秋•金山区期末）把矩形绕点按顺时针旋转得到矩形，其中点的对应点在的延长线上，如果，那么　 　． 【分析】由矩形的性质得，，由旋转得，，，，则点在上，可证明△，得，所以，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：四边形是矩形，， ，， 由旋转得，，，， ， 点在上， ， ， △， ， ， ， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【点评】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△是解题的关键． 2．（2023秋•松江区期末）如图，在矩形中，，，将边绕点逆时针旋转，点落在处，联结，，若，则　 　． 【分析】过点作于点，由旋转的性质得出，证明，得出，设，得出，求出即可得出答案． 【解答】解：过点作于点， 将边绕点逆时针旋转，点落在处， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，， ， 解得（负值舍去）， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2023秋•徐汇区期末）在中，，，如果将绕着点旋转，使得点落在边上，此时，点落在点处，联结，那么的长是 　 　． 【分析】作出图形，可以利用证明△，从而得到，进而得到的长． 【解答】解：作出符合题意的图形如下： 由题意，知△， ， ， 即， ，， ， ， ， ， △， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，准确画出图形是解题的关键． 4．（2022秋•嘉定区期末）在△中，，，，是边上的中线（如图）．将△绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，边与边交于点，那么的长是 　　 ． 【分析】先证，由锐角三角函数可求，的长，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，通过证明△△，可得，可求的长，通过证明△△，由相似三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，过点作于，过点作于， ，，， ， 是边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 将△绕着点逆时针旋转， ，， ，， ， ， ， 又， △△， ， ， ， ，， △△， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 5．（2022秋•徐汇区校级期末）在中，，为的中点，将绕点旋转，使点与点重合得到，设边交边于点．若，，则　 　． 【分析】根据旋转的性质用同一个未知数表示出有关的边，根据勾股定理列方程计算． 【解答】解：， ， 又， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得，即． 故答案为：． 【点评】本题考查旋转变换，等腰三角形的判定和性质等知识，根据旋转的性质得到对应角和对应边之间的关系是解题的关键． 6．（2022秋•徐汇区期末）如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且，则　 　． 【分析】根据要求画出图形，分两种情形分别解直角三角形求出，即可解决问题． 【解答】解：满足条件的点和如图所示， 作于，于．则四边形是矩形． ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 满足条件的的值为或． ， ， ， ， ，． 故答案为：或． 【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 7．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在中，，，，将绕点旋转后，点落在的延长线上的点，点落在点，与直线相交于点，那么　 　． 【分析】根据已知条件得到，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：如图，在中，，，， ， ， 将绕点旋转后，点落在的延长线上的点， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正确的画出图形是解题的关键． 8．（2021秋•静安区期末）如图，正方形中，将边绕着点旋转，当点落在边的垂直平分线上的点处时，的度数为 　 　． 【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和线段垂直平分线的性质可得是等边三角形，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，当点在的上方时，连接 是的垂直平分线，四边形是正方形， 垂直平分， ， 将边绕着点旋转， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； 当点在的下方时， 同理可得△是等边三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为：或． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 9．（2021秋•黄浦区期末）如图，在中，，，将绕点旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，如果点恰好在线段的延长线上，那么边的长等于 　 　． 【分析】根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：将绕点旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质定理是解题的关键． 10．（2021秋•徐汇区期末）如图，已知点是抛物线图象上一点，将点向下平移2个单位到点，再把点绕点顺时针旋转得到点，如果点也在该抛物线上，那么点的坐标是 　 　． 【分析】延长交轴于，过点作于，解直角三角形求得，，设，则，，代入得到关于的方程，解方程求得的值，即可求得的坐标． 【解答】解：如图，延长交轴于，过点作于， ， ， ， ， ，， 设，则，， 点也在该抛物线上， ， 解得， ，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化旋转，表示出的坐标是解题的关键． 11．（2023秋•杨浦区期末）如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是 　 　． 【分析】求和，证，，再利用正弦定理可得，即． 【解答】解：过作，交于，过作，交于，过作延长线，交延长线于， ， 设，则， 由勾股定理得，， ， 菱形绕点旋转至菱形， ，，， 是等腰三角形，，，， ， ，， ，，， ， ，， ，，， ， ， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定理． 三．新定义问题（共15小题） 1．（2023秋•静安区期末）如果某函数图象上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，下列关于的函数：①，②，③，④中，是“函数”的有 　 　．（请填写函数解析式序号） 【分析】根据“函数”的定义判断即可． 【解答】解：①是正比例函数，关于原点对称，是“函数”． ②是反比例函数，关于原点对称，是“函数”． ③是一次函数，不关于原点对称，不是“函数”， ④设函数上有点和点，则， 解得， 所以有关于原点对称的点，是“函数”． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数图象上点的坐标特征，一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，“函数”，“ 点”的定义，熟练掌握函数的图象和性质是解题的关键， 2．（2023秋•宝山区期末）平面直角坐标系中，在轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与轴的交点的距离之和最小的点，称为这条抛物线与轴的“亲密点”．那么抛物线与轴的“亲密点”的坐标是 　 　． 【分析】求得抛物线的顶点坐标和与轴的交点，然后根据题意求得顶点关于轴的对称点，进一步求得过对称点和与轴的交点的直线解析式，即可求得“亲密点”的坐标． 【解答】解：， 抛物线开口向上，顶点为， 顶点关于轴的对称点为， 当时，， 抛物线与轴的交点为， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 抛物线与轴的“亲密点”的坐标为，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，理解“亲密点”的定义是解题的关键． 3．（2022秋•杨浦区校级期末）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点” ．若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则　 　． 【分析】将代入中得，即，将二次函数的图象上存在唯一“相反点”，转化为方程有两个相等的实数根，△，求解即可． 【解答】解：将代入中， 得，即， 二次函数的图象上存在唯一“相反点”， 方程有两个相等的实数根， △， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数、一元二次方程根的判别式，解题的关键是将函数问题转化为方程问题． 4．（2022秋•徐汇区校级期末）在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数与的图象的形状相同，并且对称轴关于轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数．如二次函数与互为梦函数，写出二次函数的其中一个梦函数 　 ． 【分析】由一对梦函数的图象的形状相同，并且对称铀关于轴对称，可，与互为相反数； 【解答】解：二次函数的一个梦函数是； 故答案为：（答案为不唯一）． 【点评】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，得出变换的规律是解题的关键． 5．（2021秋•黄浦区期末）若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，且满足顶点在抛物线上，顶点在抛物线上，则称抛物线与抛物线互为“关联抛物线”，已知顶点为的抛物线与顶点为的抛物线互为“关联抛物线”，直线与轴正半轴交于点，如果，那么顶点为的抛物线的表达式为 　 　． 【分析】根据已知抛物线可以得出顶点的坐标，过点作轴，垂足为，根据，可以求出点坐标，再用待定系数法求直线的函数解析式，设点，再把点坐标代入可解出得出的坐标为，，再根据互为“关联抛物线”的定义得出，然后写出以为顶点的函数解析式． 【解答】解：， ， 过点作轴，垂足为，如图所示： ， ， ， ， 设所在直线函数解析式为， 则， 解得：， 所在直线函数解析式为， 设 在抛物线上， ， 解得：或（舍去）， ，， 由互为“关联抛物线”的定义知，所在抛物线的二次项系数为， 顶点为的抛物线的表达式为． 故答案为：． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，掌握“关联抛物线”是解题关键． 6．（2024•崇明区）定义：为内一点，连接、、，在、和中，如果存在一个三角形与相似，那么就称为的自相似点．根据定义求解问题：已知在中，，是边上的中线，如果的重心恰好是该三角形的自相似点．那么的余切值为 　 ． 【分析】分为两种情形：，从而得出，设，则，从而得出，，进而计算出，，进而求得，进一步得出结果；当时，作于，利用第一种情形的数据，同样的方法得出结果． 【解答】解：如图， ，， 不可能与相似， ，点是中点， ， ， 当时， ， ， 是的重心， ，， ，， ， 设，则， ， ， ， ，， ， ， ， 当时， 作于， ， ， ， ， ，， ， ， 综上所述：的余切值为：或， 故答案为：或． 【点评】本题在新定义的基础上，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形． 7．（2022秋•青浦区期末）定义：如图1，点，把线段分割成、和，如果以、、为边的三角形是一个直角三角形，那么称点、是线段的勾股分割点．问题：如图2，在中，已知点、是边的勾股分割点（线段，射线、与射线分别交于点、．如果，，，那么的值为 　 　． 【分析】由点、是边的勾股分割点（线段，，，可得，而，即得，，，，从而可得答案． 【解答】解：点、是边的勾股分割点（线段，，， ， ， ，， ， ， ， 同理， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理及应用，涉及新定义，相似三角形的判定与性质，解题的关键是读懂新定义，用含的式子表示和． 8．（2023秋•虹口区期末）定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，如图①中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图②，在中，，，，点在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是 　 　． 【分析】根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：当线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上时，设正方形的边长为， ， ， ， ， 解得， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 9．（2024•闵行区）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），那么称这个等腰三角形为“精准三角形”．如图，是“精准三角形”， ，，垂足为点，那么的长度为 　 　． 【分析】作的中线，由精准三角形的定义得到，求出的长，由线段中点定义得到，令，由勾股定理得到，求出，得到即可求出的长． 【解答】解：作的中线， 是“精准三角形”， ， ， ， 是中点， ， 令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理，黄金分割，等腰三角形的性质，关键是由精准三角形的定义求出的长，由勾股定理列出关于方程． 10．（2022秋•金山区校级期末）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为 　 　． 【分析】过作于，根据矩形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，过作于， 梯形是直角梯形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似， ， ， ， ， ， 它的周长为， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角梯形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键， 11．（2023秋•长宁区期末）我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在中，，点、都在边上，，如果与是友好三角形，那么的长为 　 　． 【分析】如图，过点作于点．证明，推出，设，这，，构建方程求解． 【解答】解：如图，过点作于点． ，，， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，这，， ， ， （负根已经舍去）， ． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程． 12．（2023秋•浦东新区期末）平行于梯形两底的直线与梯形的两腰相交，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形中，，，，点、分别在边、上，且是梯形的“比例中线”，那么的值为 　 　． 【分析】过点作，交于，交于，根据是梯形的“比例中线”， ，，可得，由，，，，可得，，，再利用相似三角形的判定和性质即可求得的值． 【解答】解：如图，过点作，交于，交于， 是梯形的“比例中线”， ， ，， ， ，，，， ，，， ，， ， △△， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了梯形，关键是掌握比例中项的性质． 13．（2022秋•闵行区期末）阅读：对于线段与点（点与不在同一直线上），如果同一平面内点满足：射线与线段交于点，且，那么称点为点关于线段的“准射点”． 问题：如图，矩形中，，，点在边上，且，联结．设点是点关于线段的“准射点”，且点在矩形的内部或边上，如果点与点之间距离为，那么的取值范围为 　 　． 【分析】设交于点，根据点是点关于线段的“准射点”，可得，所以，过点作交，于点，，根据平行线分线段成比例定理可得，，所以点在线段上，连接，根据勾股定理求出的长，可得点在上时与点重合，此时的长即为的最大值，过点作于点，根据三角形面积求出的长，此时的长即为的最小值，进而可得的取值范围． 【解答】解：如图，设交于点， 点是点关于线段的“准射点”， ， ， 过点作交，于点，， ，， 点在线段上， 连接， ，， ， 过点作于点， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 点在矩形的内部或边上，点与点之间距离为， 的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形面积，解决本题的关键是熟知垂线段最短． 14．（2023秋•青浦区期末）规定：平面上一点到一个图形的距离是指这点与这个图形上各点的距离中最短的距离．如图①，当时，线段的长度是点到线段的距离；当时，线段的长度是点到线段的距离；如图②，在中，，，，点为边上一点，，如果点为边上一点，且点到线段的距离不超过，设的长为，那么的取值范围为 　 　． 【分析】过点作边的垂线，当垂线段长为时，求出的长；当点靠近点，且等于时，求出的长即可解决问题． 【解答】解：过点作的垂线，交于点， ，， ，． 又， ， ， 则． ， 在点的右侧存在到线段距离等于的点． 当且时， ， 则， 由勾股定理得，． 当点在点的左侧，且时， 过点作的垂线，垂足为， 由得， ， ，． 在△中， ， ． ． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形及勾股定理，理解题中的定义是解题的关键． 15．（2021秋•崇明区期末）定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“对等四边形”．如图，在中，，点在边上，点在边上，如果，，，四边形为“对等四边形”，那么的长为 　 　． 【分析】根据对等四边形的定义，分两种情况：①若，此时点在的位置，；②若，此时点在、的位置，；利用勾股定理和矩形的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答． 【解答】解：如图，点的位置如图所示： ①若，此时点在的位置，； ②若，此时点在、的位置，， 过点分别作，，垂足为，， 设， ， ， 在中，， 即， 解得：，（舍去）， ，， ， 由四边形为矩形，可得，， 在中，， ， ． 综上所述，的长度为13、或． 故答案为：13、或． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念．注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用． 四．实践操作题（共7小题） 1．（2023秋•金山区期末）在中，，是边上的一点，为边上一点，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是 　 　． 【分析】分两种情况进行讨论，画出图形，根据面积之比等于相似比的平方即可解答． 【解答】解：如图，当时， ， 只要满足，都能满足题意， 如图，当时， 直线把分成面积相等的两部分， ， ， ， ，， ，， ，， ， 当时，金字塔型和子母型完全重合，此时只有一种情况， ， 综上所述，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是且． 故答案为：且． 【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 2．（2022秋•长宁区期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 　 　． 【分析】是两条直角边的比为的直角三角形，分别以，，为直角顶点，画出两条直角边的比为的直角三角形即可得到答案． 【解答】解：由图可知，是两条直角边的比为的直角三角形，在方格中画出与相似的三角形，如图： 点的坐标是或或， 故答案为：或或． 【点评】本题考查相似三角形及图形与坐标，解题的关键是分类讨论思想的应用． 3．（2022秋•黄浦区期末）将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片如图所示，其中，厘米，厘米，厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是 　 　平方厘米． 【分析】分两种情况讨论，由勾股定理求出长，由三角形面积公式求出四边形的面积，由相似三角形的性质，即可解决问题． 【解答】解：（1）分别延长，交于，连接，设的面积是， ， ， ， ， 的面积，的面积， 四边形的面积， 的面积， ，， ， ， ， ． （2）分别延长，交于，设的面积是， 由（1）知四边形的面积， ，， ， ， ， ， 原来的直角三角形纸片的面积是或． 故答案为：54或． 【点评】本题考查相似三角形的应用，关键是应用相似三角形的性质，分两种情况讨论． 4．（2023秋•黄浦区期末）为了研究抛物线与在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数、、的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现与的位置特征，你的发现是：　 　；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是：　　 ． 【分析】依据题意，令，，，从而，画出图象即可判断得解；设任意一点坐标为，其关于原点的对称点在抛物线上，代入可得，结合点的任意性进行计算可以得解． 【解答】解：由题意，令，，， ，． 作图如下． 通过观察可以发现与的位置特征是关于原点对称． 设任意一点坐标为，其关于原点的对称点在抛物线上， ． ． 点在抛物线上． 点的任意性， 与的位置特征是关于原点对称． 故答案为：关于原点对称；答案见解析． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 5．（2022秋•宝山区期末）如图，已知中，，． 按下列步骤作图： 步骤1：以点为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、； 步骤2：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； 步骤3：作射线交于点． 那么线段的长为 　 　． 【分析】由题意得，为的平分线，可得，进而可得，设，则，结合已知条件证明，则，即，求出的值，即可得出答案． 【解答】解：由题意得，为的平分线， ， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ，， ， ，即， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 【点评】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 6．（2022秋•青浦区校级期末）如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点，使，联结，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则　 　． 【分析】利用题中的方法构建一个，使，然后利用余切的定义求解． 【解答】解：作，使，，再延长到点，使，联结， ， ， ， ， 设，则，， ， 在中，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活应用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键． 7．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知在中，，，，点是斜边上一点，过点作交边于点，过点作的平行线，与过点作的平行线交于点．如果点恰好在的平分线上，那么的长为 　 　． 【分析】根据直角三角形的边角关系可求出，，再根据相似三角形，用含有的代数式表示、、，再根据角平分线的定义以及等腰三角形的判定得出，进而列方程求出即可． 【解答】解：在中，，，， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ，， 平分，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， ， 故答案为：． 【点评】本题考查直角三角形的边角关系，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提，用含有的代数式表示、、是正确解答的关键． $$