专题08 分式方程及其应用（七大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题08 分式方程及其应用 解分式方程及增根问题 1．（23-24 八年级上·山东威海·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A． B．5 C．2 D．不存在 2．（23-24 八年级上·山东济南·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 3．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）解下列方程： (1)； (2)． 4．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）解下列方程： (1)； (2)． 5．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）（1）计算：，其中．           （2）解方程： 6．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）（1）解方程：； （2）若关于x的方程有增根，试求k的值． 换元法解分式方程 7．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）用换元法解分式方程时，设，那么原方程化成整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ． 已知方程的解或无解求分式方程 10．（23-24 八年级上·山东济南·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 11．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 12．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）关于x的方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．无法确定 13．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为（） A．4 B． C． D．3 14．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）若关于x的方程的解为非负整数，则所有符合条件的正整数m的和为 ． 15．（23-24 八年级上·山东日照·期末）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 16．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）当 时，方程无解． 行程问题 17．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）健康来自运动，运动创造美好生活．某个周末，小明和小华相约一起到万州南滨公园跑步锻炼，小明的跑步速度为小华的倍，若他们同时从A地出发，沿相同路线跑步2160米到达B地，则小明比小华早到6分钟． (1)求小明每分钟跑多少米？ (2)若到达B地后，小明继续沿着步道跑步到C地，在他从A地到C地整个跑步过程中前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，小明共消耗1050卡路里热量，在从A地到C地整个跑步过程中，小明共用多少分钟？ 18．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两位同学不完整的解答过程． 张庄和李庄两地之间的路程是，嘉琪和爸爸二人都从张庄到李庄，嘉琪骑自行车，爸爸骑摩托车．爸爸比嘉琪晚出发，却和嘉琪同时到达．已知爸爸的速度是嘉琪的速度的2.5倍，嘉琪和爸爸二人的速度各是多少？ 甲： 乙：设嘉琪的速度为 根据以上信息，解答下列问题． (1)甲同学所列方程中的x表示_______________； (2)根据乙同学设的未知数，列方程并解答． 19．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行米． (1)求“致远号”的行驶速度； (2)如果将“领航号”的赛道长增加，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出调整方案． 20．（23-24 八年级上·山东日照·期末）一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， (1)求汽车实际走完全程所花的时间． (2)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由． 工程问题 21．（23-24 八年级上·山东济南·期末）某街道制作120个大小相同的宣传栏．现有甲、乙两个广告公司准备承担制作任务．已知甲公司单独完成这批宣传栏的制作比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用1天时间，乙公司每天制作的数量是甲公司每天制作数量的1.2倍，求甲乙两个广告公司每天分别能制作多少个宣传栏？ 22．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，若甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)经过预算，甲工程队每天的施工费用是元，乙工程队每天的施工费用是元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少? 23．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）某市政府计划对该市博物馆进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队单独完成该改造计划比乙队单独完成该计划少用4天． (1)甲、乙两队单独完成该计划分别需要多少天？ (2)若甲队工作一天需付费用8万元，乙队工作一天需付费用6万元，由于项目原因，甲队先做了几天后，由乙队接着将改造计划完成，最后改造费用不超过67万元，甲队至少做了多少天？ 24．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产件产品．解答下列问题： (1)更新设备后每天生产________件产品（用含的式子表示）； (2)更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品． 25．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）我校综纷艺术节即将拉开帷幕，学校准备在一文创厂家定制个布艺文化袋发放给师生，该厂家甲车间每天可生产个布艺文化袋，乙车间每天可生产个布艺文化袋，甲车间先单独工作4天后，乙车间加入一起赶工． (1)该厂家完成这批布艺文化袋一共需要多少天？ (2)甲车间按原生产效率单独生产4天后，由于时间紧迫，两个车间改进了生产工艺，并且平分了剩下的生产任务，改进后甲、乙两车间每天生产布艺文化袋的数量之比为．两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺文化袋？ 销售问题 26．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）某公司欲查询某款商品的进价，发现进货单（如图）已被墨水污染，商品采购员甲和仓库保管员乙对采购情况回忆如下． 甲：①号商品进价比②号商品进价每件高； 乙：①号商品比②号商品的数量多40件． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） ① 7200 ② 3200 若两人所说的内容均符合实际情况，则下列判断正确的是（   ） A．①号商品的进价为60元/件 B．②号商品的进价为80元/件 C．①号商品的数量为80件 D．②号商品的数量为40件 27．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． (1)求该店两次购进这款书签各多少个？ (2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 28．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）“华夏东极”佳木斯市是中国人口较少的民族之一——赫哲族最主要的聚居地，赫哲文化蜚声全国、源远流长，其中赫哲族特有文化——鱼皮画，成为省级非遗项目．为宣传赫哲文化，某文创店准备购进甲、乙两种鱼皮画，其中乙种鱼皮画的进价比甲种鱼皮画的进价少10元，已知甲种鱼皮画的售价为每件120元，乙种鱼皮画的售价为每件100元，若用2000元购进甲种鱼皮画的数量与用1800元购进乙种鱼皮画的数量相同． (1)求甲、乙两种鱼皮画每件的进价； (2)要使购进的甲、乙两种鱼皮画共300件的总利润不少于4000元，且不超过4100元，问该文创专卖店有几种进货方案； (3)文创店准备对甲种鱼皮画进行价格调整，甲种鱼皮画每星期可卖出40件，市场调查反映，如调整价格，甲种鱼皮画每降价1元，每星期可多卖出10件，乙种鱼皮画售价不变，若该专卖店一星期要购进甲、乙共200件鱼皮画且全部售出，如何给甲种鱼皮画定价才能使一星期总利润最大，此时甲、乙两种鱼皮画各卖出多少件？ 29．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍． (1)求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1300元．问最多购进多少个甲种月饼？ 30．（23-24 八年级上·山东德州·期末）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1600元，购买乙种用了2700元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 方案问题 31．（23-24 八年级上·山东济南·期末）（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 32．（23-24 八年级上·山东济南·期末）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． (1)求甲、乙两种花卉每株的价格； (2)购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 33．（23-24 八年级上·山东德州·期末）某学校在工程招标时，接到“建安”和“银夏”两个工程队的投标书．工程领导小组根据两队的投标书测算，形成下列三种施工方案： 方案①：“建安”队单独完成此项工程刚好如期完工； 方案②：“银夏”队单独完成此项工程要比规定工期多用5天； 方案③：若两队合作4天，剩下的工程由“银夏”队独做也正好如期完工；求“建安”、“银夏”两队单独完成此项工程各需多少天？ 34．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）某物业计划修整小区绿化带，现有甲乙两个工程队均有意愿承接此项工程，已知甲队计划每天修整平方米，乙队计划每天修整平方米，若单独完成这项工作，甲队比乙队要多用天．修整期间，甲乙两队的人工费用分别为元/天和元/天． (1)求这项工程共需修整绿化带多少平方米？ (2)此项工程先由甲，乙两队按原计划修整速度合作一段时向后，甲队因事停工．乙队立刻将自己每天的修整速度提高，且每天工资随之上涨了，独立完成剩下工作，已知乙队的全部工作时间是甲队工作时间的2倍还多4天，求乙队共修整多少天？ (3)在绿化带修整过程中，每天还需聘请一名园艺师现场指导，并由物业额外支付工资元/天，如果按（2）的方式完成小区绿化，整项工程所需费用，与单独聘用甲队或乙队按原速原价完成该项工程相比较，哪一方案更省钱？ 35．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台． (1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元； (2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案． 36．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）学校准备为运动会的某项活动购买两种奖品，中奖品的单价比种商品的单价多2元，用600元购进种奖品和用570元购进种商品的数量相同． (1)种商品和种商品的单价分别是多少？ (2)学校计划用不超过1555元的资金购进、两种奖品共40件，其中种奖品的数量不低于种奖品数量的一半，学校去购买的时候商店正在做促销活动，每件种商品的售价优惠3元，种商品的售价不变，请为学校设计出最省钱的购买方案． 一、单选题 1．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）2023年贵南高铁全线开通，极大地促进了黔桂两地的交通出行，推动了粤桂黔滇川高铁经济带的形成和发展．南宁与贵阳相距为570公里，乘坐高铁列车比普通列车少用3小时．已知高铁列车的平均速度是普通列车的3倍，设普通列车的平均速度，则根据题意所列方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24 八年级上·山东德州·期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）若实数k使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的整数k的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24 八年级上·山东德州·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　    　） A．或 B． C． D．或 5．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 6．（23-24 八年级上·山东济南·期末）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（   ） A． B．1 C．2 D． 二、填空题 7．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）关于x的方程的解是整数，且k使关于y的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数k的值的和是 ． 8．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）关于的分式方程无解，则的值为 ． 9．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 10．（23-24 八年级上·山东济南·期末）定义两种新运算“”和“”，其运算规则为，，若，则 ． 11．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）对于两个非零实数，，规定，若方程，已知该方程中的取值范围为，则的取值范围为 ． 三、解答题 12．（23-24 八年级上·山东德州·期末）广南到那洒高速公路经过两年多的建设，于2020年6月 30日24时正式通车运营，全长的广那高速结束了广南县城不通高速公路的历史．从广南到那洒还有条全长的普通公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快，由高速公路从广南到那洒所需要的时间是由普通公路从广南到那洒所需时间的一半，求该客车由高速公路从广南到那洒需要几小时． 13．（23-24 八年级上·山东济南·期末）某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等． (1)求甲、乙两种香椿每件的进价； (2)由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？ 14．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）某县计划实施县城基础设施改造，需要对地下管道改造工程进行招标．经过第一轮角逐，剩下甲、乙两个工程队进入最后招标，其中甲工程队单独完成这项工程需要30天．若甲队先做10天，余下的工程由乙做需28天可完成．根据报价，乙队施工一天的费用比甲队施工一天的费用少万元． (1)乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)根据甲、乙两个工程队的报价核算，不管全程由甲或乙单独完成，还是全程由甲、乙合作完成，费用都相等，试求出这个费用是多少万元？ 15．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）年月日，习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买型和型两种农机具，已知件型农机具比件型农机具多万元，用万元购买型农机具和万元购买型农机具的数量相同． (1)求购买件型农机具和件型农机具各需多少钱？ (2)若该粮食生产基地计划购买型和型两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，购买型农机具最多能购买多少件？ 16．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）（1）分式方程无解，求的值； （2）化简：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 分式方程及其应用 解分式方程及增根问题 1．（23-24 八年级上·山东威海·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A． B．5 C．2 D．不存在 【答案】B 【详解】， 方程两边都乘，得 ， 原分式方程有增根， 最简公分母， 解得：， 当时，， 故选：B 2．（23-24 八年级上·山东济南·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 方程两边同乘得，， 移项可得，， 又该分式方程有增根，即，， ． 故答案为：． 3．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 4．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)无解． 【详解】（1）解： 两边都乘以得： 解得： 经检验：是原方程的解， ∴方程的解为： （2）解： 去分母得：， 整理得： 解得： 经检验：是增根， ∴原方程无解． 5．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）（1）计算：，其中．           （2）解方程： 【答案】（1）；4；（2） 【详解】解：（1） ， 当时，原式． （2）， 方程两边同乘，得， 解这个一元一次方程，得． 检验： 当时，， 故是原方程的解． 6．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）（1）解方程：； （2）若关于x的方程有增根，试求k的值． 【答案】（1） （2） 【详解】解：（1） 去分母，得： 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得：． （2） 方程可化为， ∵方程有增根， ∴， ， 故． 换元法解分式方程 7．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）用换元法解分式方程时，设，那么原方程化成整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设，则原方程化为：， 方程两边同乘以y并整理得：， 故选：D． 8．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 设 则 去分母，得 故选：A． 9．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ． 【答案】 【详解】解：设， 则原方程可化为： 整理，得 故答案为：． 已知方程的解或无解求分式方程 10．（23-24 八年级上·山东济南·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 又∵方程的解是正数， ∴， 解不等式得：， 综上可知：且，故C正确． 故选：C． 11．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 【答案】B 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， ∵，且为整数，为整数， ∴ ∴可取，，， ∴的可能取值的和为， 故选：B． 12．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）关于x的方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：原方程移项得：， 去分母得：， 合并同类项得：， 原方程无解， ， 解得， 故选：B． 13．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为（） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【详解】解：方程去分母得：， 解得：， 当时分母为0，方程无解， 即， 解得：， 故选：B． 14．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）若关于x的方程的解为非负整数，则所有符合条件的正整数m的和为 ． 【答案】 【详解】解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， ∵该方程的解为非负整数，且， ∴且， 解得：且， ∴符合条件的正整数有2、3、4， ∵， ∴所有符合条件的正整数m的和为， 故答案为：． 15．（23-24 八年级上·山东日照·期末）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解： ∴， ∴关于的方程的解为， ∵解为非负数， ∴，即， 解得，， ∵分式方程有意义，即， ∴， 解得，， ∴则的取值范围是且， 故答案为：且 ． 16．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）当 时，方程无解． 【答案】 【详解】解：对进行去分母可得：， 整理可得：， ∵当时，此分式方程无解， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 行程问题 17．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）健康来自运动，运动创造美好生活．某个周末，小明和小华相约一起到万州南滨公园跑步锻炼，小明的跑步速度为小华的倍，若他们同时从A地出发，沿相同路线跑步2160米到达B地，则小明比小华早到6分钟． (1)求小明每分钟跑多少米？ (2)若到达B地后，小明继续沿着步道跑步到C地，在他从A地到C地整个跑步过程中前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，小明共消耗1050卡路里热量，在从A地到C地整个跑步过程中，小明共用多少分钟？ 【答案】(1)180米 (2)60分钟 【详解】（1）解：设小华每分钟跑x米，则小明每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小明每分钟跑180米． （2）解：设小明从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小明从A地到C地锻炼共用60分钟． 18．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两位同学不完整的解答过程． 张庄和李庄两地之间的路程是，嘉琪和爸爸二人都从张庄到李庄，嘉琪骑自行车，爸爸骑摩托车．爸爸比嘉琪晚出发，却和嘉琪同时到达．已知爸爸的速度是嘉琪的速度的2.5倍，嘉琪和爸爸二人的速度各是多少？ 甲： 乙：设嘉琪的速度为 根据以上信息，解答下列问题． (1)甲同学所列方程中的x表示_______________； (2)根据乙同学设的未知数，列方程并解答． 【答案】(1)嘉琪从张庄到李庄所用的时间 (2)方程见解析，嘉琪和爸爸二人的速度各是和 【详解】（1）解：甲同学所列方程中的表示嘉琪所用时间； 故答案为：嘉琪所用时间； （2）解：设嘉琪的速度为，则爸爸的速度为， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 答：嘉琪和爸爸二人的速度各是和． 19．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行米． (1)求“致远号”的行驶速度； (2)如果将“领航号”的赛道长增加，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出调整方案． 【答案】(1)3．2米/秒 (2)不能，见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：设“致远号”的平均速度为x米/秒，则“领航号”的平均速度为米/秒， 由题意得， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：“致远号”的行驶速度是3.2米/秒； （2）解：不能同时到达． 设调整后“领航号”的行驶路程为（米）， “领航号”到达终点所用的时间为（秒）， “致远号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达； （3）解：设调整后“领航号”的平均速度为y米/秒，， 解得：， 经检验是原方程的解； 设调整后“致远号”的平均速度为z米/秒，， 解得： 经检验是原方程的解． 答：调整后“领航号”的平均速度为或调整后“致远号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点． 20．（23-24 八年级上·山东日照·期末）一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， (1)求汽车实际走完全程所花的时间． (2)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解：设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为， 依题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：汽车实际走完全程所花的时间为； （2）解：，理由如下： 由题意得，，， ， ∵a，b均为正数，且， ∴，， ∴， 即 ， ∴． 工程问题 21．（23-24 八年级上·山东济南·期末）某街道制作120个大小相同的宣传栏．现有甲、乙两个广告公司准备承担制作任务．已知甲公司单独完成这批宣传栏的制作比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用1天时间，乙公司每天制作的数量是甲公司每天制作数量的1.2倍，求甲乙两个广告公司每天分别能制作多少个宣传栏？ 【答案】甲公司每天能制作20个宣传栏，则乙公司每天能制作24个宣传栏． 【详解】解：设甲公司每天能制作x个宣传栏，则乙公司每天能制作个宣传栏， 根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解， ∴ ∴甲公司每天能制作20个宣传栏，则乙公司每天能制作24个宣传栏． 22．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，若甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)经过预算，甲工程队每天的施工费用是元，乙工程队每天的施工费用是元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少? 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要天，乙工程队单独完成此项工程需要天 (2)打通这条隧道的施工费用是元 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要天， 可得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 天， 所以，甲工程队单独完成此项工程需要天，乙工程队单独完成此项工程需要天． （2）解：甲、乙两个工程队合作完成，需要的天数为：天， （元）， 所以打通这条隧道的施工费用是元． 23．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）某市政府计划对该市博物馆进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队单独完成该改造计划比乙队单独完成该计划少用4天． (1)甲、乙两队单独完成该计划分别需要多少天？ (2)若甲队工作一天需付费用8万元，乙队工作一天需付费用6万元，由于项目原因，甲队先做了几天后，由乙队接着将改造计划完成，最后改造费用不超过67万元，甲队至少做了多少天？ 【答案】(1)甲队单独完成该计划需要8天，乙队单独完成该计划需要12天 (2)甲队至少做了5天 【详解】（1）解：设乙队单独完成该计划需要天，则甲队单独完成该计划需要天， 根据题意得： 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：甲队单独完成该计划需要8天，乙队单独完成该计划需要12天； （2）解：设甲队做了天，则乙队做了天， 根据题意得： 解得：， 答：甲队至少做了5天． 24．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产件产品．解答下列问题： (1)更新设备后每天生产________件产品（用含的式子表示）； (2)更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品． 【答案】(1) (2)125 【详解】（1）解：因为更新设备后生产效率比更新前提高了， 所以更新设备后每天生产件产品， 故答案为：； （2）解：由题意知：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 所以更新设备后每天生产件． 25．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）我校综纷艺术节即将拉开帷幕，学校准备在一文创厂家定制个布艺文化袋发放给师生，该厂家甲车间每天可生产个布艺文化袋，乙车间每天可生产个布艺文化袋，甲车间先单独工作4天后，乙车间加入一起赶工． (1)该厂家完成这批布艺文化袋一共需要多少天？ (2)甲车间按原生产效率单独生产4天后，由于时间紧迫，两个车间改进了生产工艺，并且平分了剩下的生产任务，改进后甲、乙两车间每天生产布艺文化袋的数量之比为．两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺文化袋？ 【答案】(1)该厂家完成这批布艺文化袋一共需要天 (2)改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋． 【详解】（1）解∶设该厂家完成这批布艺文化袋一共需要x天，则 ． 解得∶． 答∶ 该厂家完成这批布艺文化袋一共需要天． （2）解∶设改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋，乙车间每天生产个布艺文化袋． 甲车间按原生产效率单独生产4天后还剩∶(个)，每个车间完成 (个) 由题意得∶， 解得∶， 经检验∶是原分式方程的解，且符合题意． 甲车间每天生产 (个)． 答∶ 改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋． 销售问题 26．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）某公司欲查询某款商品的进价，发现进货单（如图）已被墨水污染，商品采购员甲和仓库保管员乙对采购情况回忆如下． 甲：①号商品进价比②号商品进价每件高； 乙：①号商品比②号商品的数量多40件． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） ① 7200 ② 3200 若两人所说的内容均符合实际情况，则下列判断正确的是（   ） A．①号商品的进价为60元/件 B．②号商品的进价为80元/件 C．①号商品的数量为80件 D．②号商品的数量为40件 【答案】A 【详解】解：设②号商品进价为元，则①号商品进价为元， 由题意可得：， 解得：， ∴，，， 故①号商品的进价为60元/件，②号商品的进价为4元/件，①号商品的数量为120件，②号商品的数量为80件． 故选：A． 27．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． (1)求该店两次购进这款书签各多少个？ (2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 【答案】(1)该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个； (2)第一次销售时每个书签的售价至少为8元 【详解】（1）解：设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个． （2）设第一次销售时每个书签的售价为m元， 由题意得： 解得：， 答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元． 28．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）“华夏东极”佳木斯市是中国人口较少的民族之一——赫哲族最主要的聚居地，赫哲文化蜚声全国、源远流长，其中赫哲族特有文化——鱼皮画，成为省级非遗项目．为宣传赫哲文化，某文创店准备购进甲、乙两种鱼皮画，其中乙种鱼皮画的进价比甲种鱼皮画的进价少10元，已知甲种鱼皮画的售价为每件120元，乙种鱼皮画的售价为每件100元，若用2000元购进甲种鱼皮画的数量与用1800元购进乙种鱼皮画的数量相同． (1)求甲、乙两种鱼皮画每件的进价； (2)要使购进的甲、乙两种鱼皮画共300件的总利润不少于4000元，且不超过4100元，问该文创专卖店有几种进货方案； (3)文创店准备对甲种鱼皮画进行价格调整，甲种鱼皮画每星期可卖出40件，市场调查反映，如调整价格，甲种鱼皮画每降价1元，每星期可多卖出10件，乙种鱼皮画售价不变，若该专卖店一星期要购进甲、乙共200件鱼皮画且全部售出，如何给甲种鱼皮画定价才能使一星期总利润最大，此时甲、乙两种鱼皮画各卖出多少件？ 【答案】(1)甲、乙两种鱼皮画每件的进价分别为100元和90元 (2)11种 (3)甲种鱼皮画售出70件，乙种鱼皮画售出130件 【详解】（1）解：设乙种鱼皮画的进价为元，则甲种鱼皮画的进价为元， 由题意得，， ∴解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴甲种鱼皮画的进价为（元）． 答：甲、乙两种鱼皮画每件的进价分别为100元和90元． （2）解：设购进甲种鱼皮画件，则购进乙种鱼皮画件， 由题意得，， 解得， 又∵为正整数， ∴该文创专卖店有11种进货方案； （3）解：设甲种鱼皮画降了元，则每星期可多卖出10件，该文创专卖店一星期的总利润为元， 则 ∵， 当时，有最大值．    ∴此时，甲种鱼皮画的售价为：（元），甲种鱼皮画售出：（件），乙种鱼皮画售出：（件）． 29．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍． (1)求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1300元．问最多购进多少个甲种月饼？ 【答案】(1)甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元 (2)120个 【详解】（1）解：设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， 答：甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元． （2）设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个， 依题意得：， 解得：， 答：最多购进120个甲种月饼． 30．（23-24 八年级上·山东德州·期末）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1600元，购买乙种用了2700元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】(1)甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； (2)该校最少购买67个甲种滑动变阻器． 【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价是x元，则乙种滑动变阻器的单价是元， 根据题意得： 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴（元） 答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； （2）解：设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个． 根据题意得：． 解得：． ∵m为整数， ∴m的最小值为67， 答：该校最少购买67个甲种滑动变阻器． 方案问题 31．（23-24 八年级上·山东济南·期末）（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【答案】（1）40，60（2）方案C 【详解】解：（1）设大巴的平均速度为公里小时，则小车的平均速度为公里小时， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 答：大巴的平均速度为40公里小时，小车的平均速度为60公里小时； （2）设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天． 根据方案，可列方程得， 解这个方程得， 经检验：是所列方程的根． 即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天． 所以方案的工程款为（万元）， 方案的工程款为（万元），但乙单独做超过了日期，因此不能选， 方案的工程款为（万元）， ∵， ∴在不耽误工期的前提下，选择方案最节省工程款． 32．（23-24 八年级上·山东济南·期末）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． (1)求甲、乙两种花卉每株的价格； (2)购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 【答案】(1)甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． (2)购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 【详解】（1）解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． （2）解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株， 由题意得：，解得：， ∵m为正整数， ∴， ∴购买这两种花卉有6种方案， 设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元， 由题意得：， ∵， ∴y随m的增大而减小， ∴当时，y有最小值． 答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 33．（23-24 八年级上·山东德州·期末）某学校在工程招标时，接到“建安”和“银夏”两个工程队的投标书．工程领导小组根据两队的投标书测算，形成下列三种施工方案： 方案①：“建安”队单独完成此项工程刚好如期完工； 方案②：“银夏”队单独完成此项工程要比规定工期多用5天； 方案③：若两队合作4天，剩下的工程由“银夏”队独做也正好如期完工；求“建安”、“银夏”两队单独完成此项工程各需多少天？ 【答案】天；天 【详解】解：设“建安”队单独完成此项工程需天，则“银夏”队单独完成此项工程需天． 依题意，得：， 解得：． 经检验：是原分式方程的解． ． 答：“建安”队单独完成此项工程需天，则“银夏”队单独完成此项工程需天． 34．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）某物业计划修整小区绿化带，现有甲乙两个工程队均有意愿承接此项工程，已知甲队计划每天修整平方米，乙队计划每天修整平方米，若单独完成这项工作，甲队比乙队要多用天．修整期间，甲乙两队的人工费用分别为元/天和元/天． (1)求这项工程共需修整绿化带多少平方米？ (2)此项工程先由甲，乙两队按原计划修整速度合作一段时向后，甲队因事停工．乙队立刻将自己每天的修整速度提高，且每天工资随之上涨了，独立完成剩下工作，已知乙队的全部工作时间是甲队工作时间的2倍还多4天，求乙队共修整多少天？ (3)在绿化带修整过程中，每天还需聘请一名园艺师现场指导，并由物业额外支付工资元/天，如果按（2）的方式完成小区绿化，整项工程所需费用，与单独聘用甲队或乙队按原速原价完成该项工程相比较，哪一方案更省钱？ 【答案】(1) (2) (3)按（2）的方式更省钱，理由见解析 【详解】（1）解：设这项工程共需修整绿化带平方米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的根， ∴这项工程共需修整绿化带平方米 （2）解：设甲队工作时间为天，则乙队工作时间为天， 由题意得：， 解得：， ∴ ∴乙队共修整天 （3）解：单独聘用甲队所需费用为：元； 乙队按原速原价所需费用为：元； 按（2）的方式所需费用为：元； ∴按（2）的方式更省钱 35．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台． (1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元； (2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案． 【答案】(1)品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元； (2)该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元． 【详解】（1）解：设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，根据题意得：， 化简得 解得：，（舍去）， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴品牌电脑的单价是万元元，则品牌电脑的单价是万元即元． 答：品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元； （2）解：设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑， 根据题意得：， 解得：． 设学校购买这些电脑需要元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为（元）．此时， ∴该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元． 36．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）学校准备为运动会的某项活动购买两种奖品，中奖品的单价比种商品的单价多2元，用600元购进种奖品和用570元购进种商品的数量相同． (1)种商品和种商品的单价分别是多少？ (2)学校计划用不超过1555元的资金购进、两种奖品共40件，其中种奖品的数量不低于种奖品数量的一半，学校去购买的时候商店正在做促销活动，每件种商品的售价优惠3元，种商品的售价不变，请为学校设计出最省钱的购买方案． 【答案】(1)种商品的单价是40元，则种商品的单价是38元 (2)最省钱的购买方案为购买种商品40件，则购买种商品0件 【详解】（1）解：设种商品的单价是元，则种商品的单价是元， 根据题意，可得， 解得 （元）， 经检验，是该分式方程的解， 所以（元）． 答：种商品的单价是40元，则种商品的单价是38元； （2）设购买种商品件，则购买种商品件， 根据题意，可得， 解得， 根据题意，种商品的售价优惠3元，即实际售价为37元， 而种商品的售价不变，为38元， ∵， ∴种商品数量越多越省钱， 所以应购买种商品40件， 即最省钱的购买方案为购买种商品40件，则购买种商品0件． 一、单选题 1．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）2023年贵南高铁全线开通，极大地促进了黔桂两地的交通出行，推动了粤桂黔滇川高铁经济带的形成和发展．南宁与贵阳相距为570公里，乘坐高铁列车比普通列车少用3小时．已知高铁列车的平均速度是普通列车的3倍，设普通列车的平均速度，则根据题意所列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设普通列车的平均速度， 根据题意得，， 故选：B． 2．（23-24 八年级上·山东德州·期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得，， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以，即， 又∵，， 解得：， ∴ ∴ ∴m的取值范围为且， 故选：D． 3．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）若实数k使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的整数k的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有解且至多有3个整数解， ∴， ∴， 分式方程两边同乘以，得， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵方程有整数解， ∴， ∴或1或5或， ∵且， ∴或1或， 故选：C． 4．（23-24 八年级上·山东德州·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　    　） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】解：， 去分母得到， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是方程 的根， 当时，解得： 当时，解得： 故选：A． 5．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程的解是非负数， ∴，， 解得：且， 故选：B． 6．（23-24 八年级上·山东济南·期末）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】解：， ， 解得，， ∵此方程有增根无解， ∴， 解得，， 故选：A． 二、填空题 7．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）关于x的方程的解是整数，且k使关于y的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数k的值的和是 ． 【答案】 【详解】解：解方程得， ∵关于x的方程的解是整数， ∴是整数， ∴或或， ∴或2或3或或5或， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴或2或3或或， ∴满足条件的所有整数k的值的和是， 故答案为：． 8．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或 9．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：去分母得：， 整理得：，即， 当，即时，整式方程无解，满足题意； 当，即时，， 此时分式方程的增根为或， 代入得：（无解）或， 解得：， 综上所述，的值为或． 10．（23-24 八年级上·山东济南·期末）定义两种新运算“”和“”，其运算规则为，，若，则 ． 【答案】/ 【详解】解：由题意可得， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 11．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）对于两个非零实数，，规定，若方程，已知该方程中的取值范围为，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意得 ∴ 方程两边同时乘得： 解得： ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题 12．（23-24 八年级上·山东德州·期末）广南到那洒高速公路经过两年多的建设，于2020年6月 30日24时正式通车运营，全长的广那高速结束了广南县城不通高速公路的历史．从广南到那洒还有条全长的普通公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快，由高速公路从广南到那洒所需要的时间是由普通公路从广南到那洒所需时间的一半，求该客车由高速公路从广南到那洒需要几小时． 【答案】该客车由高速公路从广南到那洒需要 小时 【详解】解：设该客车由高速公路从广南到那洒需要x小时，则该客车由普通公路从广南到那洒需要小时． 依题意，得 解得 经检验 是原方程的解，且符合题意． 答：该客车由高速公路从广南到那洒需要 小时． 13．（23-24 八年级上·山东济南·期末）某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等． (1)求甲、乙两种香椿每件的进价； (2)由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？ 【答案】(1)甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元 (2)最多可购买乙种香椿120件 【详解】（1）解：设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元． 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元． （2）设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件． 由题意得， 解得． ∵a为正整数， ∴a的最大值为120． 答：最多可购买乙种香椿120件． 14．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）某县计划实施县城基础设施改造，需要对地下管道改造工程进行招标．经过第一轮角逐，剩下甲、乙两个工程队进入最后招标，其中甲工程队单独完成这项工程需要30天．若甲队先做10天，余下的工程由乙做需28天可完成．根据报价，乙队施工一天的费用比甲队施工一天的费用少万元． (1)乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)根据甲、乙两个工程队的报价核算，不管全程由甲或乙单独完成，还是全程由甲、乙合作完成，费用都相等，试求出这个费用是多少万元？ 【答案】(1)乙队单独完成这项工程需要42天； (2)84万元． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需要天． 列方程得：， 解得． 经检验：是分式方程的解． 答：乙队单独完成这项工程需要42天． （2）解：设甲队施工一天的费用为万元，则乙队施工一天的费用为万元． 全程甲单独完成的费用等于全程乙单独完成的费用， ， 解得． 费用为：（万元）． 答：这个费用为84万元． 15．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）年月日，习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买型和型两种农机具，已知件型农机具比件型农机具多万元，用万元购买型农机具和万元购买型农机具的数量相同． (1)求购买件型农机具和件型农机具各需多少钱？ (2)若该粮食生产基地计划购买型和型两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，购买型农机具最多能购买多少件？ 【答案】(1)购买一件型农机具需要万元，购买一件型农机具需要万元 (2)最多可以购买件型农机具 【详解】（1）设购买一件型农机具需要万元，购买一件型农机具需要万元， 根据题意，得 解这个方程，得， 经检验，是原方程的解， （万元）， 所以，购买一件型农机具需要万元，购买一件型农机具需要万元； （2）设购买型农机具件， 根据题意，得 解这个不等式，得 所以，最多可以购买件型农机具． 16．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）（1）分式方程无解，求的值； （2）化简：． 【答案】（1）的值为3或2；（2） 【详解】（1）解：， 两边同时乘得，， 去括号得，， 移项合并得，， 系数化为1得，， ①当，即时，整式方程无解，则分式方程无解； ②当，即时，整式方程有解，经检验不是分式方程的解； ∴的值为3或2； （2）解： ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$