专题07 分式与分式的运算（七大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题07 分式与分式的运算 分式与最简分式 1．（23-24 八年级上·山东日照·期末）在下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）下列有理式是分式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）下列代数式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）在下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）分式：①；②；③；④中，最简分式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）下列分式是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 分式有(无)意义的条件 7．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）若分式的值是，则的值是（  ） A． B． C． D．或 8．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）要使分式有意义，则x应满足下列哪个条件（    ） A． B． C． D． 9．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如果当时，分式的值为0，那么可以是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）已知式子有意义，则的取值范围是 ． 11．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）当 时，分式无意义． 12．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）写出一个分子为的分式，且知它在时有意义的分式 ． 13．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）若分式的值为零，则的值为 ． 已知分式值求未知数 14．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）若分式表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   15．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24 八年级上·山东济南·期末）能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 17．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和等于（　　） A．9 B．8 C．7 D．5 18．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）若分式的值为正数，则满足 19．（23-24 八年级上·山东济南·期末）若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 分式的基本性质 20．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24 八年级上·山东济南·期末）下列各式从左到右的变形中，错误的是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）把分式方程变形为的形式，其依据为（    ） A．等式性质1 B．等式性质2 C．分式的基本性质 D．分式的乘法法则 24．（23-24 八年级上·山东日照·期末）若，则x应满足的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 25．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定 分式的混合运算 26．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）数学课上，老师让计算．佳佳的解答如下： 解：原式① ② ③ ＝3④ 对佳佳的每一步运算，依据错误的是（    ） A．①：同分母分式的加减法法则 B．②：合并同类项法则 C．③：逆用乘法分配律 D．④：等式的基本性质 27．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）已知实数满足，则 ． 28．（23-24 八年级上·山东德州·期末）化简： 29．（23-24 八年级上·山东威海·期末）计算 (1) (2)． 30．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）计算： (1) ； (2)化简：． 31．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）计算： (1)； (2)． 32．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，小明同学的解答过程如下： ① ② ③ ④ (1)请你分析小明的解答从第_____步开始出现错误（填序号），错误的原因是______； (2)请写出正确解答过程，并求出当时此式的值． 分式的化简与求值 33．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）先化简，再从不等式的正整数解中选一个使原式有意义的数作为x的值代入求值． 35．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）先化简，再求值，其中． 36．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）先化简再求值：，其中． 37．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）先化简，再求代数式的值，其中． 38．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）先化简，再从，1，2 中选一个合适的数代入求值． 39．（23-24 八年级上·山东威海·期末）先化简，再求值：；其中a的值为． 分式的规律问题 40．（23-24 八年级上·山东德州·期末）观察给定的分式； ， ， ， ，，猜想并探索规律，第10个分式是 ． 41．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由． 42．（23-24 八年级上·山东德州·期末）【观察】 ，，，…… 【猜想】 （1）由观察可知：若，则 ；（直接写结果） 【验证】 （2）通过化简，对（1）中猜想的结果进行验证； 【应用】 （3）利用上述结论解方程：． 43．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 一、单选题 1．（23-24 八年级上·山东威海·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24 八年级上·山东德州·期末）已知实数，有，对于，有以下结论： ①对任意实数，恒成立；②的最小值是；③若为正整数，则整数值有3个．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）要使分式有意义，且有解，则x的取值范围是（    ） A．且 B．且和3 C．且和3 D．且和3 4．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）已知，那么分式的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）已知，则分式的值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）已知，，那么的值为（   ） A．2 B． C．7 D．0 7．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）已知一个分式（m为正整数），对该分式的分母与分子分别加1，成为一次操作，记为，对的分母与分子分别加1，成为二次操作，记为，……通过实际操作，下列说法正确的有（    ）个． ①； ②； ③已知第三次操作后得到的分式可以化为整数，则m的正整数值共有6个； ④若，则满足这个条件的m有无数个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．（23-24 八年级上·山东济南·期末）已知，则 9．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）已知实数a、b、c满足；则 ． 10．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）已知分式可以表示为的形式，则 ． 11．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合．③和④能够重合，这四个长方形的面积都是，若，则的值为 ． 12．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）定义新运算：，若，则的值是 ． 13．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）若，那么 ． 三、解答题 14．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）先化简，再求值：，然后从，，，，中选择你喜欢的值带入求值． 15．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）化简求值，其中． 16．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）（1）计算：； （2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步         第二步     第三步         第四步         第五步         第六步 任务一：①以上化简步骤中，第二步的依据是______； ②第______步开始出现错误，这一步出错的原因是______； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 17．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和是　 　； （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和； （3）若分式的值为整数，求整数x的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 分式与分式的运算 分式与最简分式 1．（23-24八年级上·山东日照·期末）在下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意知，，，是单项式，均为整式，故A、B、C不符合要求； 是分式，故D符合要求； 故选：D． 2．（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列有理式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、是单项式，不是分式，该选项不合题意； 、是分式，该选项符合题意； 、是单项式，不是分式，该选项不合题意； 、是多项式，不是分式，该选项不合题意； 故选：． 3．（23-24八年级上·山东滨州·期末）下列代数式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．是整式，不符合题意； B．是整式，不符合题意； C．是分式，符合题意； D．是整式，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）在下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，是最简分式，符合题意； 故选：D． 5．（23-24八年级上·山东淄博·期末）分式：①；②；③；④中，最简分式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①，是最简分式； ②，原分式不是最简分式； ③，原分式不是最简分式； ④，是最简分式； ∴是最简分式的有：①④，共2个， 故选：B ． 6．（23-24八年级上·山东烟台·期末）下列分式是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故选项不是最简分式，不符合题意； B、，故选项不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故选项不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 分式有(无)意义的条件 7．（23-24八年级上·山东泰安·期末）若分式的值是，则的值是（  ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】∵分式的值为， ∴且， 解得：， 故选：． 8．（23-24八年级上·山东临沂·期末）要使分式有意义，则x应满足下列哪个条件（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 故选：C 9．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如果当时，分式的值为0，那么可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意； B．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意； C．当时，分式的值为0，故本选项符合题意； D．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 10．（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：由题意，得且， 解得且． 故答案为：且． 11．（23-24八年级上·山东滨州·期末）当 时，分式无意义． 【答案】1 【详解】解：要使分式无意义， 则分母为零， 即， 解得． 故答案为：1． 12．（23-24八年级上·山东青岛·期末）写出一个分子为的分式，且知它在时有意义的分式 ． 【答案】；答案不唯一 【详解】解：根据分式的意义可知，分母可以是，分子为， 故所求分式可以为； 故答案为：（答案不唯一）． 13．（23-24八年级上·山东青岛·期末）若分式的值为零，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意，得且， 解得． 故答案为：． 已知分式值求未知数 14．（23-24八年级上·山东聊城·期末）若分式表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】根据题意，得， 解得， x的取值范围在数轴上表示如下：      故选：C． 15．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 16．（23-24八年级上·山东济南·期末）能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】D 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； 故选D． 17．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和等于（　　） A．9 B．8 C．7 D．5 【答案】B 【详解】解：∵分式的值是整数， 是6的约数，即或2或3或6， 解得：（舍去）或1或2或5， 则满足条件的所有正整数m的和为． 故选：B． 18．（23-24八年级上·山东聊城·期末）若分式的值为正数，则满足 【答案】/ 【详解】根据题意有：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（23-24八年级上·山东济南·期末）若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 【答案】 【详解】解：∵及都是正整数， ∴， 即， 解得：， 故当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故所有满足条件的的值有：、、， ∴所有满足条件的的值的和是． 故答案为：． 分式的基本性质 20．（23-24八年级上·山东烟台·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．，故A错误，不符合题意； B．，故B正确，符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选：B． 21．（23-24八年级上·山东济南·期末）下列各式从左到右的变形中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故A正确，不符合题意； B、，故B正确，不符合题意； C、，故C正确，不符合题意； D、和都为最简分式，不能化简，故，故D错误，符合题意， 故选：D． 22．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 23．（23-24八年级上·山东济宁·期末）把分式方程变形为的形式，其依据为（    ） A．等式性质1 B．等式性质2 C．分式的基本性质 D．分式的乘法法则 【答案】B 【详解】分式方程等式两边同时乘以得到 ∴A、等式性质：等式两边同时加上或者减去同一个式子，等式仍成立，不符合题意； B、等式性质：等式两边同时乘同一个式子，等式仍成立，符合题意； C、分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或者除以同一个不为的整式，分式值不变，不符合题意； D、分式的乘法法则：分式的分子和分母分别相乘，即分式的分子和分母与另一个分式的分子和分母相乘，不符合题意； 故选：B． 24．（23-24八年级上·山东日照·期末）若，则x应满足的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【详解】解：当时，分子与分母同时除以，分式的值不变，即， ， 又分式的分母不能为0， ， x应满足的条件是且， 故选C． 【点睛】本题考查分式的基本性质及分式有意义的条件，解题的关键是注意分式的分母不能为0． 25．（23-24八年级上·山东泰安·期末）将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍， 分式变为：， ∴分式的值缩小为原值的； 故选：B． 分式的混合运算 26．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）数学课上，老师让计算．佳佳的解答如下： 解：原式① ② ③ ＝3④ 对佳佳的每一步运算，依据错误的是（    ） A．①：同分母分式的加减法法则 B．②：合并同类项法则 C．③：逆用乘法分配律 D．④：等式的基本性质 【答案】D 【详解】解：①：同分母分式的加减法法则，正确； ②：合并同类项法则，正确； ③：提公因式法，正确； ④：分式的基本性质，故错误； 故选：D． 【点睛】此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键． 27．（23-24八年级上·山东淄博·期末）已知实数满足，则 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴代入到上式，即原式， ， ， ， 故答案为：． 28．（23-24八年级上·山东德州·期末）化简： 【答案】 【详解】解：原式 ． 29．（23-24八年级上·山东威海·期末）计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 30．（23-24八年级上·山东淄博·期末）计算： (1) ； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 31．（23-24八年级上·山东青岛·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式 32．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，小明同学的解答过程如下： ① ② ③ ④ (1)请你分析小明的解答从第_____步开始出现错误（填序号），错误的原因是______； (2)请写出正确解答过程，并求出当时此式的值． 【答案】(1)③，直接去掉了分母 (2)过程见解析，， 【详解】（1）解：小明的解答从第③步开始出现错误，错误的原因是漏掉了分母； （2）正确的解答过程如下： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 分式的化简与求值 33．（23-24八年级上·山东烟台·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，即， 则， ∴， ∴， 故选：C 34．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）先化简，再从不等式的正整数解中选一个使原式有意义的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【详解】解： ； 解不等式， 得：， 其正整数解为1，2，3． ∵分式有意义， ∴且， 当时，原式． 35．（23-24八年级上·山东临沂·期末）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 36．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 37．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】，1． 【详解】解： ， 当时，原式． 38．（23-24八年级上·山东青岛·期末）先化简，再从，1，2 中选一个合适的数代入求值． 【答案】，1 【详解】解： 若分式有意义，则， ∴． 当时，原式 ． 39．（23-24八年级上·山东威海·期末）先化简，再求值：；其中a的值为． 【答案】， 【详解】 ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴ ∴原式． 分式的规律问题 40．（23-24八年级上·山东德州·期末）观察给定的分式； ， ， ， ，，猜想并探索规律，第10个分式是 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ……， 以此类推可知，第n个分式为， ∴第10个分式为， 故答案为：． 41．（23-24八年级上·山东泰安·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由． 【答案】(1) (2)猜想第个等式为，理由见解析 【详解】（1）解：按照以上规律，可写出第6个等式为：． 故答案为：； （2）猜想第个等式为． 理由：左边 ， ∴左边右边， ∴等式成立． 【点睛】本题考查数字类规律探索、分式的混合运算．熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键． 42．（23-24八年级上·山东德州·期末）【观察】 ，，，…… 【猜想】 （1）由观察可知：若，则 ；（直接写结果） 【验证】 （2）通过化简，对（1）中猜想的结果进行验证； 【应用】 （3）利用上述结论解方程：． 【答案】[猜想]（1）；[验证]（2）证明见解析；[应用]（3） 【详解】解：[猜想]（1）根据题意猜想， [验证]（2） =． [应用]（3）原方程可化为． 即． 所以． 化简得． 所以． 43．（23-24八年级上·山东临沂·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①；②． 【详解】解：（1）∵, ∴与是“友好分式” 故答案为：是； （1）设的“友好分式”为N，则， ， ； （3）①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案为：； ②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 据此可得， 整理得 ∴． 一、单选题 1．（23-24八年级上·山东威海·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 2．（23-24八年级上·山东德州·期末）已知实数，有，对于，有以下结论： ①对任意实数，恒成立；②的最小值是；③若为正整数，则整数值有3个．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【详解】解：根据题意，， ①∵， ∴恒成立，该结论正确； ②∵， 又∵， ∴， ∴的最小值是； 的最小值是，该结论正确； ③∵， ∴若为正整数，则有或1或， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， ∴整数值有3个，该结论正确． 综上所述，正确的有①②③，为3个． 故选：A． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）要使分式有意义，且有解，则x的取值范围是（    ） A．且 B．且和3 C．且和3 D．且和3 【答案】D 【详解】解：∵分式有意义， ∴且， 解得：且， ∵有解， ∴， 综上，且且， 故选：D． 4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知，那么分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴，整理得：， ∴， 代入得： ， 故选：． 5．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）已知，则分式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：D 6．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）已知，，那么的值为（   ） A．2 B． C．7 D．0 【答案】B 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 7．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）已知一个分式（m为正整数），对该分式的分母与分子分别加1，成为一次操作，记为，对的分母与分子分别加1，成为二次操作，记为，……通过实际操作，下列说法正确的有（    ）个． ①； ②； ③已知第三次操作后得到的分式可以化为整数，则m的正整数值共有6个； ④若，则满足这个条件的m有无数个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①根据定义可得：，故①正确． ②根据定义可得：，故②正确． ③根据定义可得：， ∵第三次操作后得到的分式可以化为整数， ∴是整数， ∵m为正整数， ∴可以取4，6，12， ∴m可以取1，3，9．三个正整数，故③不正确． ④根据定义可得：， ∴， ∴， ∵k，m都是整数， ∴是39的倍数， 即是39的倍数， ∴m的值可以是39，78，117……无数个，故④正确． 综上，①②④正确， 故选：C． 二、填空题 8．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知，则 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·山东青岛·期末）已知实数a、b、c满足；则 ． 【答案】8或/或8 【详解】解：设， 则 得，， 当，则， 当，则， ， 故答案是：8或． 10．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）已知分式可以表示为的形式，则 ． 【答案】 【详解】解： ， ∴； 故答案为：． 11．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合．③和④能够重合，这四个长方形的面积都是，若，则的值为 ． 【答案】4 【详解】解：∵ ∴ 设，则， ∵这四个长方形的面积都是， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：4． 12．（23-24八年级上·山东济宁·期末）定义新运算：，若，则的值是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 13．（23-24八年级上·山东济宁·期末）若，那么 ． 【答案】3 【详解】解： ∴ 解得， ∴， 故答案为3． 三、解答题 14．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）先化简，再求值：，然后从，，，，中选择你喜欢的值带入求值． 【答案】； 【详解】解：， ， ， ， 由题意得：， 当时，原式． 15．（23-24八年级上·山东淄博·期末）化简求值，其中． 【答案】，． 【详解】解：原式 ， ， ∵， ∴原式． 16．（23-24八年级上·山东滨州·期末）（1）计算：； （2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步         第二步     第三步         第四步         第五步         第六步 任务一：①以上化简步骤中，第二步的依据是______； ②第______步开始出现错误，这一步出错的原因是______； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】（1）2；（2）任务一：①分式的基本性质；②第五步；去括号时符号错误；任务二：；任务三：分式化简时要注意分子、分母的因式分解要彻底，约分要准确等． 【详解】（1）解： ； （2） ； 任务一：①以上化简步骤中，第二步的依据是分式的基本性质； ②第五步开始出现错误，这一步出错的原因是去括号时符号错误； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：建议为：分式化简时要注意分子、分母的因式分解要彻底，约分要准确等． 故答案为：分式的基本性质；第五步；去括号时符号错误；． 17．（23-24八年级上·山东青岛·期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和是　 　； （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和； （3）若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）x＝﹣2或0． 【详解】解：（1）＝ ＝ 故答案为： （2）＝ ＝﹣ ＝2﹣； （3） ＝ ＝ ＝x﹣1+， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴x+1＝±1， ∴x＝﹣2或0． 【点睛】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题例和题目给出的定义是解决问题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$