专题05 等腰（边）三角形及最短路径问题（九大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题05 等腰（边）三角形及最短路径问题 利用等腰三角形的性质求长度、角度 1．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，则长为 ． 3．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，则的长度是 4．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，．若，则的度数为 °． 5．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为22，求的周长． 6．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，为延长线上一点，点在边上且，连接、、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 利用等腰三角形的性质证明 7．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，D是上一点，连接，过点C作，连接．其中． (1)用等式表示与的大小关系，并说明理由； (2)若，用等式表示α与β的数量关系，并说明理由． 8．（23-24 八年级上·山东威海·期末）如图，是上一点，，，．求证：平分． 9．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，已知，与交于点F，求证：平分． 10．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂是为E． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 11．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，点为的中点，且平分，的延长线交于点．求证：． 12．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）如图，中，，点D在上，点E在的延长线上，交于F，且，求证：． 确定等腰三角形的个数 13．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 16．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 17．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，点D在上，点E在上，连接、，． (1)求证：； (2)如图2，当时，作于H，请找出图2中的所有等腰三角形（除外），并写出理由． 等腰三角形的判定 18．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．，， B． C．， D． 19．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，在△ABC中，平分交于点D，过点D做的平行线交于点E，请判断的形状，并说明理由． 20．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，，，求证：是等腰三角形． 21．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，点在的延长线上，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．求证：是等腰三角形．    22．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，在和中，与相交于点．，． (1)求证：； (2)的形状是_______．（直接写出结论，不需证明）． 23．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，、交于点O，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个作为条件，证明是等腰三角形． (1)你选择的条件是______、______； (2)根据（1）选择的条件，求证：是等腰三角形． 24．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与交于点，与交于点，连接．求证：是等腰三角形． 利用等边三角形的性质求长度、角度 25．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）如图，在等边三角形中，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 26．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（　　） A． B． C． D． 27．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）公路边上的很多汽车警示标志形状都是等边三角形．我们知道等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴． 28．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）如图，在等边三角形中，高，E是线段上一动点．现有一动点P沿着折线运动，在上的速度是每秒4个单位长度，在上的速度是每秒2个单位长度, 则点P从点A运动到点C至少需 s． 29．（23-24 八年级上·山东威海·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使． (1)求证：； (2)若是的中点，连接，且，求的边长． 等边三角形的性质与全等三角形的结合 30．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）如图，在等边三角形中，高线，D是上一动点，以为边向下作等边三角形，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 31．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图，是等边三角形，M、N分别在边、的延长线上，点D为外一点，且，，，当时，的周长 ．    32．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 33．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，和都是等边三角形，旋转后能与重合，与相交于点F． (1)试说明． (2)求的度数． 34．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，， (1)求证：； (2)若时，求的度数． 35．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，点P是等边内的一点，连接、、，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)若∠，，，求的面积． 等边三角形的判定 36．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，，为中点． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 37．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 38．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接，相交于点． (1)求证：． (2)若，试判断的形状，并说明理由． 39．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接．若，平分，求证：为等边三角形． 40．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D，E． (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 41．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，已知D为的中点，，，点E，F为垂足，且，，求证：是等边三角形． 42．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，点D在线段上，，． (1)求证：； (2)判断是什么特殊三角形，并说明理由． 含30度角的直角三角形的性质 43．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图，点P在的平分线上，于点C，，点D在边上，且，则的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 44．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 45．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，，平分交于点，于，若cm，则 ． 46．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点D、E、连接、若，则的长为 ． 47．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得． (1)求从海岛B到灯塔C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔C的距离最短？ 48．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 最短路径问题 49．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，等边中，点D，E分别是，的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 50．（23-24 八年级上·山东威海·期末）如图：等腰的底边长为8，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    51．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． (1)请你画出关于x轴对称的，并写出点B的对应点的坐标； (2)的面积为__________； (3)请你在y轴上找到一点P，使得最小（保留作图痕迹）． 52．（23-24 八年级上·山东日照·期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．设l是过点A且平行于x轴的直线． (1)作关于直线l对称的三角形，并写出顶点坐标； (2)在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置； (3)若为平面直角坐标系内任意一点，请直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）． 53．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图所示． (1)请画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)求出的面积； (3)在y轴上作出一点M，使的值最小． 一、单选题 1．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，，点D在边上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）如图．在中，平分，交于点，点分别为上的动点，若的面积为6，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．3.5 D．3 4．（23-24 八年级上·山东日照·期末）如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为(    )． A． B． C． D． 5．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，点P是内部一点，点关于，的对称点分别是，，直线交，于点，，若的周长是15，且，则的长为（    ） A． B． C． D．5 6．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④． 其中一定正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 7．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 二、填空题 8．（23-24 八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 9．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，点E为边的中点，，交于点D，若，，则的长为 ． 10．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，，点D为边上一点且不与A、B重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点F．若，当为等腰三角形时， ． 11．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交于点，连接，如果，那么的长为 ． 12．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为．当 时，是直角三角形． 三、解答题 13．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）如图，在四边形中，，过点B作，垂足为点E，过点A作，垂足为点F，且． (1) °； (2)求证：； (3)连接，且平分交于点G．探究的形状并说明理由． 14．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 15．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于． (1)求的长； (2)若，并且，求证：． 16．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：； (2)若的边长为1，求的长． 17．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，点A的坐标为．点B的坐标为，点C的坐标为．    (1)作出关于y轴对称的，其中，，分别是A，B，C的对应点； (2)写出的坐标； (3)在x轴上找一点P，使得的值最小．（保留作图痕迹） 18．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）在四边形中，，， ，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值．    ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 等腰（边）三角形及最短路径问题 利用等腰三角形的性质求长度、角度 1．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故选：B． 2．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，则长为 ． 【答案】 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，则的长度是 【答案】3 【详解】解：作，， 由题意可得，如图所示， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ∴， 故答案为：3． 4．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，．若，则的度数为 °． 【答案】 【详解】解：， ， 在与中， ， ． ． ， ． ， ． 故答案为：． 5．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为22，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， ， 垂直平分， ， ， ； （2）解：垂直平分， ，， 的周长为22， ， 的周长． 6．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，为延长线上一点，点在边上且，连接、、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 利用等腰三角形的性质证明 7．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，D是上一点，连接，过点C作，连接．其中． (1)用等式表示与的大小关系，并说明理由； (2)若，用等式表示α与β的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）解：， 理由：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：， 理由：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；证明三角形全等是解决问题的关键． 8．（23-24 八年级上·山东威海·期末）如图，是上一点，，，．求证：平分． 【答案】证明见解析 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， ， ， 平分． 9．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，已知，与交于点F，求证：平分． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平分． 10．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂是为E． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，点为的中点，且平分，的延长线交于点．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 12．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）如图，中，，点D在上，点E在的延长线上，交于F，且，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，过点D作，交于点G； ， ， 在和中 ， ， ； ， ； ， ， ， ， ． 确定等腰三角形的个数 13．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：是的角平分线， ， ， 是等腰三角形①． ， ， 是等腰三角形②． ，， ， ， 是等腰三角形③． 故图中的等腰三角形有个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 14．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：由对折后重合得，，， ，， 和为等腰三角形， ， ， ，， ，， 和为等腰三角形， 因此共有个等腰三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，在图形中找出相应条件是解题关键． 15．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 16．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)图中的等腰三角形有、 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵由（1）可得 ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴图中的等腰三角形有、． 17．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，点D在上，点E在上，连接、，． (1)求证：； (2)如图2，当时，作于H，请找出图2中的所有等腰三角形（除外），并写出理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，，，见解析． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； （2）解：，，， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴和都是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 由（1）可知是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，证明是解题的关键． 等腰三角形的判定 18．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项B符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：B． 19．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，在△ABC中，平分交于点D，过点D做的平行线交于点E，请判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【详解】是等腰三角形，理由： 解：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是等腰三角形． 20．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴是等腰三角形． 21．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，点在的延长线上，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．求证：是等腰三角形．    【答案】见详解 【详解】证明：， ， ， ， ，， ， ， ∴， 是等腰三角形． 22．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，在和中，与相交于点．，． (1)求证：； (2)的形状是_______．（直接写出结论，不需证明）． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：， ， ， 是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形． 23．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，、交于点O，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个作为条件，证明是等腰三角形． (1)你选择的条件是______、______； (2)根据（1）选择的条件，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)①，②（或①，③）； (2)见解析 【详解】（1）解：由在和中为公共边，结合①、②可证； 由在和中，结合①、③可证． 故可选条件为①、②或①、③， 故答案为：①，②（或①，③）； （2）证明：选择的条件是①，②， ∵在和中， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形； 选择的条件是①，③， ∵在和中， ∴， ∴，即是等腰三角形． 24．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与交于点，与交于点，连接．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴为等腰三角形． 利用等边三角形的性质求长度、角度 25．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）如图，在等边三角形中，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 26．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值， 故选：B． 27．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）公路边上的很多汽车警示标志形状都是等边三角形．我们知道等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴． 【答案】3 【详解】解：等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，就是三条角平分线所在的直线． 故答案为：3． 28．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）如图，在等边三角形中，高，E是线段上一动点．现有一动点P沿着折线运动，在上的速度是每秒4个单位长度，在上的速度是每秒2个单位长度, 则点P从点A运动到点C至少需 s． 【答案】5 【详解】解：如图，作于交于． 是等边三角形，， ． ． ． 沿着折线运动的时间， 根据垂线段最短可知，当时，沿着折线运动的时间最短， 、是等边三角形的高， ， 沿着折线运动的时间最时间． 故答案为：5． 29．（23-24 八年级上·山东威海·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使． (1)求证：； (2)若是的中点，连接，且，求的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴. 又∵是中线， ∴平分， ∴. ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：由（1）可知， 又∵F是的中点， ∴. ∵， ∴. 又∵为直角三角形， ∴， ∴. ∵是中线， ∴ ∵是等边三角形， ∴． 等边三角形的性质与全等三角形的结合 30．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）如图，在等边三角形中，高线，D是上一动点，以为边向下作等边三角形，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：连接，如图． ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵在等边三角形中，为高，D是上一动点 ∴大小不变， ∴大小不变， ∴点E的运动轨迹为一条线段． ∵， ∴点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长是， 故选：B． 31．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图，是等边三角形，M、N分别在边、的延长线上，点D为外一点，且，，，当时，的周长 ．    【答案】20 【详解】证明：如图：在上截取点，使，连接，    ∵， ∴， 为等边三角形， ， 又，且， ， ， 在和中， ，，， ， ，， 又，， ， ， 在与中， ，，， ， ， ∴ ． 故答案为：20． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 32．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数是；； (3)证明见解析． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∴的度数是； （3）证明：∵， ∴， 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 33．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，和都是等边三角形，旋转后能与重合，与相交于点F． (1)试说明． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ， ， 即， 在和中 ， ． （2）证明：如图，与交于点G， ， ， ， ， ， ， ． 34．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，， (1)求证：； (2)若时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即． 35．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，点P是等边内的一点，连接、、，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)若∠，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：作交的延长线于． 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ． 等边三角形的判定 36．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，，为中点． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：，， ， ， ， ； （2）证明：是的中点， ， 又， 又， ， 是等边三角形． 37．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵在中， ，， ∴， ∵，点的运动速度为， ∴， ∵点的运动时间为， ∴，， ∴， 当时，为等边三角形， 即， 解得：； 所以当时，为等边三角形； （2）解：若为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，当或时，为直角三角形． 38．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接，相交于点． (1)求证：． (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析; (2)是等边三角形，理由见解析． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴是等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 39．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接．若，平分，求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 40．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D，E． (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ； （2）解：是等边三角形， 理由如下：连接． 垂直平分， ∴， ，， ， ∴， ， 是等边三角形． 41．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，已知D为的中点，，，点E，F为垂足，且，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵D是的中点， ， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴（等角对等边）． ∵，， ∴， ∴是等边三角形． 42．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，点D在线段上，，． (1)求证：； (2)判断是什么特殊三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，见解析 【详解】（1）∵， ， ∴， 在和中， ， ∴； （2）答：是等边三角形． 理由：∵ ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 含30度角的直角三角形的性质 43．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图，点P在的平分线上，于点C，，点D在边上，且，则的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：如图，作于， ∵点P在的平分线上，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为2， 故选：B． 44．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：连接，如图： 在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 45．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，，平分交于点，于，若cm，则 ． 【答案】6 【详解】解：∵平分交于点，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 46．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点D、E、连接、若，则的长为 ． 【答案】4 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴． 故答案为：4． 47．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得． (1)求从海岛B到灯塔C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔C的距离最短？ 【答案】(1)30海里 (2)在上午的11时 【详解】（1）解：∵， ， ， 海里， ∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里； （2）解：过C作于P，则线段即为小船与灯塔C的最短距离， ， ， ， 海里， 小时， ∴这条船继续向正北航行，在上午的11时小船与灯塔C的距离最短． 48．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴ ∴在中，． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，含30度角的直角三角形．熟练掌握三线合一，等边对等角，等角对等边，以及30度的角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 最短路径问题 49．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，等边中，点D，E分别是，的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】D 【详解】解：如图，连接，与交于点P， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即长就是的最小值， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 50．（23-24 八年级上·山东威海·期末）如图：等腰的底边长为8，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    【答案】10 【详解】解：连接，，如下图：    ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：10． 51．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． (1)请你画出关于x轴对称的，并写出点B的对应点的坐标； (2)的面积为__________； (3)请你在y轴上找到一点P，使得最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)图见解析， (2)8 (3)图见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：的面积为； （3）解：如图，点即为所求． 52．（23-24 八年级上·山东日照·期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．设l是过点A且平行于x轴的直线． (1)作关于直线l对称的三角形，并写出顶点坐标； (2)在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置； (3)若为平面直角坐标系内任意一点，请直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1)见解析，，， (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，，， （2）解：如图，点P即为所求； ∵点B关于直线l的对称点， ∴ ∴ 根据两点间线段最短，所以此时最小． （3）解：∵直线轴，且直线l上点的纵坐标为2， 当点Q在直线l上方时，如图，过点Q作于D，交直线l于E， ∵， ∴，，， ∵点Q、关于直线l的对称， ∴ ∴， ∴点的坐标为， 当点Q在直线l下方时，如图，过点Q作于D，连接交直线l于E， ∵， ∴，，， ∵点Q、关于直线l的对称， ∴ ∴， ∴点的坐标为， 综上关于直线l的对称点的坐标为． 53．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图所示． (1)请画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)求出的面积； (3)在y轴上作出一点M，使的值最小． 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析 【详解】（1）解：如图所示即为所求，； （2）解： （3）解：如图，点M即为所求． 一、单选题 1．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，，点D在边上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故选：B． 3．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）如图．在中，平分，交于点，点分别为上的动点，若的面积为6，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．3.5 D．3 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故选：D． 4．（23-24 八年级上·山东日照·期末）如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为(    )． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 的面积的面积，的面积的面积， 的面积＋的面积的面积＋的面积的面积， 的面积． 故选：B． 5．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，点P是内部一点，点关于，的对称点分别是，，直线交，于点，，若的周长是15，且，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【详解】解：连接， 由轴对称的性质知：，，，， ，即， ，， 是等边三角形， 的周长是15， 的长为， 故选：D． 6．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④． 其中一定正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】D 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； 过P作于M，于N，于S， ∵平分，平分， ∴， ∴平分， ∵；故②不正确； ∵，平分， ∴垂直平分，故③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④不正确． 本题正确的有：①③， 故选：D． 7．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题 8．（23-24 八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 9．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，点E为边的中点，，交于点D，若，，则的长为 ． 【答案】8 【详解】解：连接，如图所示： ∵点E为边的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 10．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，，点D为边上一点且不与A、B重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点F．若，当为等腰三角形时， ． 【答案】或或 【详解】解：为等腰三角形时， 根据折叠变换的性质可得，， ①当时，，如图， ∴， ∵， ∴，显然不符合题意； ②当时，，如图， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，，如图， ∴， ∴， ∴； ④当点E在线段上侧时，，如图， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， ∴°， ∴； 故答案为或或． 11．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交于点，连接，如果，那么的长为 ． 【答案】12 【详解】解：因为是边的垂直平分线，， 所以， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以， 故答案为：12． 12．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为．当 时，是直角三角形． 【答案】或 【详解】解：∵点的运动时间为， ∴，， ∵是边长为的等边三角形， ∴， 当时， ∴， ∴，得， 解得：； 当时， ∴， ∴，得， 解得：； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形， 故答案为：或． 三、解答题 13．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）如图，在四边形中，，过点B作，垂足为点E，过点A作，垂足为点F，且． (1) °； (2)求证：； (3)连接，且平分交于点G．探究的形状并说明理由． 【答案】(1)180 (2)见解析 (3)是等腰三角形，见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：180． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴等腰三角形． 14．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等边三角形；理由见解析 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ． ， ． ， 在和中， ， ， ； （3）解：是等边三角形． 理由如下： ，， 是等边三角形． 15．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于． (1)求的长； (2)若，并且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ，的周长等于， ， ； （2）证明：， ， ， ， 由（1）可得：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段的和与差，等边对等角，三角形的内角和定理，等角对等边等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 16．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：； (2)若的边长为1，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，过P作交于点F， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，是等边三角形， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴的长为． 17．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，点A的坐标为．点B的坐标为，点C的坐标为．    (1)作出关于y轴对称的，其中，，分别是A，B，C的对应点； (2)写出的坐标； (3)在x轴上找一点P，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【详解】（1）如图即为所求；      （2）点的坐标为； （3）如图，点P即为所求作． 18．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）在四边形中，，， ，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值．    【答案】 【详解】如图所示，作关于的对称点，关于的对称点，连接、，与、分别交于、，则此时的周长最小．    证明如下：作关于的对称点，关于的对称点， ，， ， 两点之间线段最短 的周长最小，． 作延长线的垂线，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$