清单08 勾股定理（2个考点梳理+4个题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

清单08 勾股定理（2个考点梳理+4个题型解读+提升训练） 【清单01】 勾股定理 1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 在直角三角形中，已知任意两边长，可求第三边长. 2.在利用勾股定理证明“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”时，我们采用的是全等三角形判定定理中的SSS定理. 3.长为√2的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边；长为√13的线段是直角边长为2，3的直角三角形的斜边. 4.由于c2=a2+b2>a2，所以c>a，同理c>b，即直角三角形的斜边长大于该直角三角形中的每一条直角边长. 【清单02】 勾股定理逆定理 1.勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股定理的逆定理的证明： 已知：△ABC的三条边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2. 求证：△ABC为直角三角形. 证明：画一个两条直角边长分别为a，b的直角三角形Rt△A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°. 根据勾股定理，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2. 因为a2+b2=c2，所以A′B′=c 在△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′ 所以△ABC≌△A′B′C′ 因此∠C=∠C′=90° 即△ABC是直角三角形 3.题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个就叫做它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理. 任何命题都有逆命题；但定理不一定都有逆定理. 4.一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 5.像15，8，17这样，能够称为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数. 6.一个三角形的三边长分别为a，b，c，其中c为最大变长： （1）若a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形； （2）若a2+b2>c2，则此三角形是锐角三角形； （3）若a2+b2<c2，则此三角形是钝角三角形. 【考点题型一】勾股定理的证明 【例1】解答 (1)请你根据图甲中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）．    (2)以图甲中的直角三角形为基础，可以构造出以 ， 为底，以 为高的直角梯形，如图乙所示，请你利用图乙验证勾股定理．    【答案】(1)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； (2)验证见解析 【分析】（1）根据题意分别用文字和符号描述出勾股定理即可； （2）根据题意可知，可得，进而求得，利用整理可得验证出勾股定理． 【详解】（1）文字语言叙述：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方， 符号语言叙述：； （2）， ， 又， ， ， ， ， 整理，得 ． 【点睛】本题考查了勾股定理的计算与证明，理解题意，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 【变式1 -1】如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，如果正方形和正方形的面积分别为和，那么正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理直接求解即可，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为和， ∴，， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：． 【变式1 -2】有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 【答案】2026 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，…… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026， 故答案为：2026． 【变式1 -3】如图，在中，，分别以边为直径画半圆．记两个月牙形图案和面积之和（图中阴影部分）为，的面积为，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，圆面积公式等．根据题意设，分别表示出两个阴影面积和，再表示出的面积，后比较大小即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1 -4】直角三角形的三边长分别为a，b，c，以直角三角形的三边为边(或直径)分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，其中面积关系满足 的图形的序号是（     ） A．①② B．①③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么，掌握勾股定理是解题的关键，分别表示出对应图形的，再结合进行逐一判断即可． 【详解】解：图①中，由等边三角形的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图①符合题意； 图②中，由半圆的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图②符合题意； 图③中，由等腰直角三角形的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图③符合题意； 图④中，由正方形的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图④符合题意； 故选：D 【变式1 -5】我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（    ）． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式变形求值成为解题的关键． 由题意可得大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，再结合图形和勾股定理可得、可判定①②；然后通过完全平方公式变形求值可判定③④． 【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2， ∴，，即①、②正确； ∴ ，则：，,即③正确； ∴， ∴，即④错误； 综上，正确的有①②③． 故选B． 【考点题型二】勾股定理与无理数 【例2】小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（    ） A．2.2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理求出的长，即可得到的长，进而得到点表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴点表示的数是； 故选：B． 【变式2 -1】如图，点在数轴上，其表示的数为，过点作，且，以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（    ）    A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】勾股定理求得的长，结合数轴即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∴以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式2 -2】如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了勾股定理，以及数轴上的点与实数的一一对应的关系，解题的关键是勾股定理求出的长．根据题意得，，则是直角三角形，根据勾股定理得的长，得，即可得． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∴， ∴， 即点D表示的数为：， 故答案为：． 【考点题型三】勾股定理 【例3】如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】设米，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设米， 米，米， （米，米， 在中，米，米，米， 根据勾股定理得：， 解得：， 则秋千的长度是5米． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 【变式3 -1】如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】由，，求得，，再利用勾股定理的逆定理计算求解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 又∵（海里），（海里）， 在Rt中，（海里） ∴此时两舰的距离是海里． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出是解题关键． 【变式3 -2】如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求得，进而根据折叠的性质可得，可得，设，表示出，进而在中，勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿向上翻折得到，使点在射线上， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得： 即的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式3 -3】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原处竹子3尺远，则原处还有几尺的竹子？这个问题中，如果设原处还有x尺的竹子，则可列方程为 ．（注：1丈=10尺） 【答案】 【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边长为尺，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边长为尺， 根据勾股定理：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的方程思想是解题的关键，学会数形结合将实际转化成数字问题． 【变式3 -4】如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为 m． 【答案】 【分析】由勾股定理即可完成． 【详解】在Rt△ABC    中，∠CAB=90゜，AC=20m，BC=60m，由勾股定理得： (m) 即A、B两点间的距离为m． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理在实际测量中的应用，关键是掌握勾股定理． 【变式3 -5】如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图， ∵长方体盒子的宽为，高为，， ∴． 故答案为：． 【变式3 -6】如图，在中，，，在中，，与交于点，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理确定，，再根据等角的余角相等即可证明； （2）延长交延长线于点．先根据全等三角形的判定定理得到，进而得到，再根据全等三角形的判定定理得到，进而得到，最后根据勾股定理即可证明． 【详解】证明：（1）如下图所示，标出，，． ∵，， ∴，． ∵和是对顶角， ∴． ∴，即． （2）在（1）中图延长交延长线于点． 由（1）可知，即． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴． ∴． ∵，即， ∴． ∴． 由（1）可知，即． 在和中，， ∵ ∴． ∴． ∴ ∵在中，， ∴． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，等角的余角相等，全等三角形的判定定理和性质，勾股定理，综合应用以上知识点是解题关键，同时注意等价代换思想的使用． 【变式3 -7】如图，将线段放在单位长为1的小正方形网格内，点，均落在格点上． (1)按下列要求画图（保留必要的画图痕迹，不必写画法） ①请在线段上画出点，使得的和最小； ②请在线段上画出点，使得的和最小； (2)请观察、测量或计算按（1）中要求所画的图形． ①的和最小的依据是 　　； ②　　（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2)①两点之间，线段最短；② 【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形； ①作点B关于CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点P，使得的和最小，点P就是所求的点； ②作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点Q，使得的和最小，点Q就是所求的点； （2）①根据两点之间线段最短解答即可； ②根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）如图所示： （2）①根据轴对称的性质可知：的和最小的依据是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短； ②根据轴对称的性质可知：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，轴对称的性质-最短路径问题，掌握轴对称的性质、勾股定理等知识是解题的关键． 【变式3 -8】《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺；牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长多少？即：如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】设绳子，则，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设绳子，则． 由勾股定理，得． 解得：． 答：绳子AC的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解答本题的关键． 【变式3 -9】绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积． 【答案】24m2 【分析】连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△CAB为直角三角形，然后根据菜地的面积=S△CAB-S△ADC进行计算即可解答． 【详解】 解： 如图，连接AC， ∵CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°， ∴AC＝ ＝ ＝5m． ∴SRt△ADC＝＝6m2． 在△CAB中，AC＝5m，AB＝12m，BC＝13m， ∴， ∴△CAB为直角三角形，且∠CAB＝90°， ∴SRt△CAB＝＝30m2， ∴菜地的面积＝S△CAB－S△ADC＝24 m2． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式3 -10】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米． 【答案】此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，根据，结合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设此时梯子底端到右墙角的距离长是米， 由题意列方程为：， 解方程得， 答：此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米． 【变式3 -11】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 【变式3 -12】如图，公路和公路在点处交汇，且，点A处有一所中学，．假设汽车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么汽车在公路上沿方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由．如果受影响，已知汽车的速度为，那么学校受影响的时间为多少秒？ 【答案】学校会受到噪声影响；理由见解析；学校受影响的时间为8秒 【分析】过点A作于点B，则可得，从而可判断学校会受到影响；设从点E开始学校学到影响，点F结束，则易得，从而，由勾股定理可求得的长，从而得的长，由路程、速度与时间的关系即可求得学校受影响的时间． 【详解】解：如图，过点A作于点B， ∵，， ∴， ∵， ∴学校会受到噪音的影响； 设从点E开始学校学到影响，点F结束，则， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵汽车的速度为， ∴受影响的时间为： 【点睛】本题是直角三角形性质的应用，考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用等知识，把实际问题转化为数学问题是本题的关键与难点． 【考点题型四】勾股定理的逆定理 【例4】下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和为进行判定即可． 【详解】A．，符合勾股定理，故是直角三角形，不合题意； B．，，最大角，故不是直角三角形，符合题意； C． ，，则有，故是直角三角形，不合题意； D．，则，符合勾股定理，故是直角三角形，不合题意； 故选B． 【变式4 -1】在中， 的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，即，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、∵， ∴， ∴，即，故D不符合题意； 故选：C。 【变式4 -2】在如图的网格中，小正方形的边长均为1，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积公式，根据勾股定理求得进而根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A,B选项正确； ∴，故C选项错误； 设点到直线的距离是，则， ∴，故D选项正确 故选：C． 【变式4 -3】如图，在中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】四边形的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握相关的定理．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， ，， ，， ， ， ， 四边形的面积为． 【变式4 -4】如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长. 【答案】(1)是直角三角形； (2)． 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理的应用． （1）根据勾股定理先求出，再利用勾股定理的逆定理判断即可； （2）由是的边上的高，利用面积法计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， 根据勾股定理， ∵， ∴是直角三角形； （2）解：∵是的边上的高， ∴， ∴． 【变式4 -5】我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 【答案】 【分析】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画出示意图如下：   丈，丈，丈， ，， ， 是直角三角形，且， （平方丈）, 故答案为：． 100．在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是 ． 【答案】如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m， ∵（3m）2+（4m）2=（5m）2， ∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单08 勾股定理（2个考点梳理+4个题型解读+提升训练） 【清单01】 勾股定理 1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 在直角三角形中，已知任意两边长，可求第三边长. 2.在利用勾股定理证明“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”时，我们采用的是全等三角形判定定理中的SSS定理. 3.长为√2的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边；长为√13的线段是直角边长为2，3的直角三角形的斜边. 4.由于c2=a2+b2>a2，所以c>a，同理c>b，即直角三角形的斜边长大于该直角三角形中的每一条直角边长. 【清单02】 勾股定理逆定理 1.勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股定理的逆定理的证明： 已知：△ABC的三条边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2. 求证：△ABC为直角三角形. 证明：画一个两条直角边长分别为a，b的直角三角形Rt△A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°. 根据勾股定理，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2. 因为a2+b2=c2，所以A′B′=c 在△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′ 所以△ABC≌△A′B′C′ 因此∠C=∠C′=90° 即△ABC是直角三角形 3.题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个就叫做它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理. 任何命题都有逆命题；但定理不一定都有逆定理. 4.一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 5.像15，8，17这样，能够称为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数. 6.一个三角形的三边长分别为a，b，c，其中c为最大变长： （1）若a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形； （2）若a2+b2>c2，则此三角形是锐角三角形； （3）若a2+b2<c2，则此三角形是钝角三角形. 【考点题型一】勾股定理的证明 【例1】解答 (1)请你根据图甲中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）．    (2)以图甲中的直角三角形为基础，可以构造出以 ， 为底，以 为高的直角梯形，如图乙所示，请你利用图乙验证勾股定理．    【变式1 -1】如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，如果正方形和正方形的面积分别为和，那么正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1 -2】有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 【变式1 -3】如图，在中，，分别以边为直径画半圆．记两个月牙形图案和面积之和（图中阴影部分）为，的面积为，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 【变式1 -4】直角三角形的三边长分别为a，b，c，以直角三角形的三边为边(或直径)分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，其中面积关系满足 的图形的序号是（     ） A．①② B．①③④ C．②③ D．①②③④ 【变式1 -5】我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（    ）． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【考点题型二】勾股定理与无理数 【例2】小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（    ） A．2.2 B． C． D． 【变式2 -1】如图，点在数轴上，其表示的数为，过点作，且，以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（    ）    A． B． C． D．4 【变式2 -2】如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为 ． 【考点题型三】勾股定理 【例3】如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【变式3 -1】如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式3 -2】如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（     ）    A． B． C． D． 【变式3 -3】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原处竹子3尺远，则原处还有几尺的竹子？这个问题中，如果设原处还有x尺的竹子，则可列方程为 ．（注：1丈=10尺） 【变式3 -4】如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为 m． 【变式3 -5】如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为 ． 【变式3 -6】如图，在中，，，在中，，与交于点，且．求证： （1）； （2）． 【变式3 -7】如图，将线段放在单位长为1的小正方形网格内，点，均落在格点上． (1)按下列要求画图（保留必要的画图痕迹，不必写画法） ①请在线段上画出点，使得的和最小； ②请在线段上画出点，使得的和最小； (2)请观察、测量或计算按（1）中要求所画的图形． ①的和最小的依据是 　　； ②　　（直接写出答案）． 【变式3 -8】《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺；牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长多少？即：如图，在中，，，，求的长． 【变式3 -9】绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积． 【变式3 -10】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米． 【变式3 -11】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【变式3 -12】如图，公路和公路在点处交汇，且，点A处有一所中学，．假设汽车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么汽车在公路上沿方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由．如果受影响，已知汽车的速度为，那么学校受影响的时间为多少秒？ 【考点题型四】勾股定理的逆定理 【例4】下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【变式4 -1】在中， 的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式4 -2】在如图的网格中，小正方形的边长均为1，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【变式4 -3】如图，在中，，，，，，求四边形的面积． 【变式4 -4】如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长. 【变式4 -5】我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 100．在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$