清单06 等腰三角形与直角三角形（考点清单，6个考点梳理+8个题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

清单06 等腰三角形与直角三角形（6个考点梳理+8个题型解读+提升训练） 【清单01】 等腰三角形的性质 等腰三角形的概念： 有两条边 相等 的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的 腰 ，所对的角叫做等腰三角形的 底角 ，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的 顶角 。 等腰三角形的性质：如图 等腰三角形的两腰 相等 。即AB ＝ AC。 等腰三角形的两个底角 相等 。即∠B ＝ ∠C。【简称：等边对等角】 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 重合 。【简称底边上三线合一】 即∠ABD ＝ ∠CAD，BD ＝ CD，AD ⊥ BC。 【清单02】 等腰三角形的判定 1.利用等角对等边判定： 一个三角形中如有两个角 相等 ，则这两个角所对的两条边也 相等 。（等角对等边）则这个三角形是等边三角形。 2.利用三线合一性质判定： 若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线 重合 ，则这个三角形是等腰三角形。 【清单03】 等边三角形的概念与性质 1等边三角形的概念： 三条边都 相等 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形 。 2.等边三角形的性质：如图 ①等边三角形的三条边都相等，三个角也 相等 ，且三个角都等于60°。 ②等边三角形三条边都存在 三线合一 。 ③等边三角形是一个 轴对称 图形，它有 3 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。 【清单04】 含30°角的直角三角形 1.30°角所对的直角边与斜边的关系： 30°角所对的直角边等于斜边的 一半 。证明如下： 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 60° 。 ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ 30° BD＝CD＝ BC ∴BD＝ AB。 【清单05】 等边三角形的判定 1. 等边三角形的判定： ①定义判定：三条边都 相等 的三角形是等边三角形。 ②判定定理1：三个角 相等 的三角形是等边三角形。或有两个角是 60° 的三角形是等边三角形。 ③判定定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 【清单06】 直角三角形的性质与判定 1.直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形。用表示直角三角形ABC。 1. 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角 互余 。 数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝ 90° 。 2. 直角三角形的判定： 有两个角 互余 的三角形是直角三角形。 数学语言：∵∠A＋∠B＝90° ∴△ABC是 直角 三角形。 【考点题型一】等腰三角形的定义 【例1】设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（   ） A．15 B．20 C．25 D．20或25 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，熟练掌握等边三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义得到三边长，再根据三角形的三边关系判断是否成立即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：当为腰长时， 三角形的三边长为， ，不能构成三角形，故舍去， 当为腰长时， 三角形的三边长为，符合三角形的三边关系， 故周长为：， 故选C． 【变式1 -1】等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，此题基础题，比较简单．根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：等腰三角形的顶角为， 它的底角度数为． 故答案为：． 【变式1 -2】等腰三角形的一个角是，则它的顶角是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 分两种情况讨论：①当角为顶角；②当为底角，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当角为顶角时，顶角度数为； ②当为底角时，顶角：， 故答案为：或． 【考点题型二】等腰三角形的性质 【例2】如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的邻边相等，等边三角形的各边相等，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 本题考查的是正方形，等边三角形，等腰三角形的性质来解决． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式2 -1】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕点转动．点固定，，点可在槽中滑动．如图2，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．根据，可得，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2 -2】如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由为边的中点，可得，，，证明即可； （2）由，，可得是等边三角形，则，，，，然后求的周长即可． 【详解】（1）证明：， ， D为边的中点， ， ，， ， 在与中 ， ； （2）解：在中，，， ， 为等边三角形， 在中，， ， ， ， 为的中点， ， 为等边三角形， ， ． 【变式2 -3】如图，中，，，的垂直平分线交于D．交于E，． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)的长为8 (2)的长为 【分析】对于（1），连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据含直角三角形的性质得，即可得出，及，然后说明 ，最后根据直角三角形的性质得出答案； 对于（2），根据勾股定理可得答案. 【详解】（1）连接， ∵ ∴. ∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为8； （2）在中，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是构造直角三角形． 【变式2 -4】如图，在等边中，D是边上一点，E是延长线上一点，连接，若，求的度数．      【答案】 【分析】由等边三角形的性质得到. 则，根据等边对等角得到，再利用三角形外角性质得到答案. 此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形性质、三角形的外角的性质等知识，熟练掌握等边三角形和等腰三角形的性质是解题的关键. 【详解】∵是等边三角形 ∴. ∵ ∴ ∵， ∴. ∵， ∴. 【变式2 -5】如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据角平分线的作法作出即可； （）由，，得到，根据角平分线的定义可得，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得； 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：连接， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点题型三】等腰三角形的判定 【例3】如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了网格中画等腰三角形，分为腰和为底边两种情况，分别求出符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当为腰时，有符合题意， 当为底边时，有符合题意， ∴点C的个数为3个， 故选：C． 【变式3 -1】如图，在中，，， 交BC于点D．若，则 ． 【答案】9 【分析】根据，，可得∠BAD=30°，从而得到AD=BD=3，∠ADC=∠B+∠BAD=60°，进而得到∠C=30°，从而得到CD=2AD=6，即可求解． 【详解】解：∵， ∴∠CAD=90°， ∵， ∴∠BAD=30°， ∵， ∴AD=BD=3，∠ADC=∠B+∠BAD=60°， ∴∠C=90°-∠ADC=30°， ∴CD=2AD=6， ∴BC=BD+CD=9． 故答案为：9 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【变式3 -2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上取一点C使为等腰三角形，符合条件的C点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的定义，以点A为圆心，以为半径画弧，以点B为圆心，以为半径画弧，画线段的垂直平分线，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案． 【详解】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，这两个交点中有一个是与B重合的，应舍掉，故只有1个； 若以点B为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，故有2个； 线段的垂直平分线与x轴有1个交点； ∴符合条件的C点有：（个）， 故答案为：4． 【变式3 -3】如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E，过点E作交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）先利用“三边对应相等的两个三角形全等”证明，得出，，再利用“三角形内角和等于”即可求得答案； （2）由“平分”可知，由可推得，所以，再根据等腰三角形的判定即可证得． 【详解】（1）解：D是边上的中点， ， ，， ， ，， , ； （2）证明：平分， ， ， ， ， ． 【变式3 -4】如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E．    (1)求证：是等腰三角形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论； （2）延长至，使，连接，利用等边对等角和三角形的外角得出，再证明，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可得出． 【详解】（1）解：证明：在中，，， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． （2）， 证明：延长至，使，连接，   ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式3 -5】如图，在中，，分交于点，过点作交于点，，垂足为点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）利用三角形角平分线的定义和平行线的性质可得，即可求证； （）由角平分线的性质可得，利用勾股定理得，进而得，再利用勾股定理即可求解； 本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵分， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵分交于点，， ∴， 在中， ， ∵， ∴ 在中，． 【变式3 -6】如图，点C、D在上，，，，、相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质，得出，，再由等角对等边的性质，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴． ∴， 即． 【考点题型四】等腰三角形的判定与性质综合 【例4】如图，，点D是射线上的一个动点，，垂足为C，点E为的中点，则线段的长的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理，正确得出时，最短是解答的关键．先由直角三角形斜边上的中线性质得到，当时，最短，此时最短，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求得即可． 【详解】解：∵，点E为的中点， ∴，故当时，最短，此时最短， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，又， 由勾股定理得，则， ∴，即线段的长的最小值为， 故选：B． 【变式4 -1】如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论： ①； ②为等腰三角形； ③的周长等于的周长； ④．其中正确的是           【答案】①②④ 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的三边关系等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键． ①根据角平分线的定义、平行线的性质，借助于等量代换可求出； ②同理可得②的结论；③用特殊值法，当为等边三角形时，连接，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出， 进而得，便可得出：的周长不等于的周长； ④利用两次三角形的内角和定理，以及角平分线的定义，进行等量代换，可求的和之间的关系式． 【详解】解：①∵是的角平分线， ∴， 又， ， ，故①正确； ②同理， ， 为等腰三角形，故②正确； ③假设为等边三角形，则，如图，连接， ∵， ， 的周长， ∵F是的平分线的交点， ∴第三条平分线必过其点，即平分， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 即的周长的周长，故③错误； ④在中，（1）， 在中，， 即（2）， 得，故④正确； 故答案为：①②④ 【变式4 -2】如图，在中，，平分，点是的中点，，则 ． 【答案】20 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质， 根据角平分线的概念得到，然后利用等腰三角形三线合一性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，进而求解即可． 【详解】∵平分， ∴ ∵，平分， ∴ ∵点是的中点， ∴ ∴． 故答案为：20． 【变式4 -3】如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． (1)若．则的度数为 ； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． （1）旋转得到，利用三角形的内角和定理以及等边对等角进行求解即可； （2）勾股定理求出的长，求出的长，旋转得到，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴． 【变式4 -4】如图，在中，点在边上，，平分交于点，点在上，平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题根据三角形内角和定理得到，根据角平分线性质和三角形外角性质，结合等量代换得到，推出，再根据等腰三角形性质，即可证明． 【详解】证明：，， ， ， 平分交于点， ， ，， ， ， 平分， ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线性质、等腰三角形性质和判定、三角形外角性质，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 【变式4 -5】如图，在中，平分，点E是上一点，，且．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1). (2)证明见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质计算，得到答案； （2）作于，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论. 【详解】（1）解：，平分， 是的一个外角， . （2）证明：如图，过点E作于点F，   平分，， ， 在和中， . ， ，， ， . 【变式4 -6】如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． (1)依题意补全图形； (2)若，求（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）根据题中要求补全图形即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据图形进行角度的运算即可； （3）在延长线上取点F，使，连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得，进而得到，证明得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：依题意，补全图形如图所示： （2）解：∵于D， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）解：． 证明：如图，在延长线上取点F，使，连接． ∵，， ∴，则， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ，， ∴． 【变式4 -7】已知，中，，在上取一点D，在延长线上取一点E，连接交于点F．若F是中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．过点作交于，就可以得出，就可以得出，由就可以得出结论． 【详解】证明∶过点作交于， ∵是中点， 在和中 【变式4 -8】如图，中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，垂直平分线的性质，等边对等角；根据平分，得出，根据三角形内角和定理得出，根据垂直平分线的性质得出，则 ，根据,即可求解． 【详解】解：平分， ， ， ， 的中垂线交于点， ， ， ． 【变式4 -9】如图，在中，，，平分交于点． (1)求证：； (2)探究：若，那么等于哪两条线段长的和呢？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键． （1）延长到，使，连接，由等边对等角及三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，在上取，连接，证明，得到，证明，得到，即可得证； （2）在上取，连接，由等边对等角及三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，证明得到，证得，得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到，使，连接， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， 在上取，连接， 在与中， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； （2）解：结论：， 如图2，在上取，连接， ， ，， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点题型五】等边三角形的性质 【例5】如图：等边三角形中，，与相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质．先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ， ， ∴， ∴， 故选：C． 【变式5 -1】如图，已知线段上有一动点，分别以、为边在同方向作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（） A．①②⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，平行线的判定，解本题的根据是判断出．由等边三角形的性质先判断出，，从而得出①②正确，再判断出得出③正确，再判断出，得出④错误，⑤正确． 【详解】解：等边和等边， ，，， ， ， 在和中 ， ， ，，故①②正确， 在和中 ， ， ，，故③正确 ， 是等边三角形， ， ， ；故⑤正确 是等边三角形， ， ， ．故④错误， 即：正确的有①②③⑤； 故选：B． 【变式5 -2】如图，已知等边三角形的边长为6，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ． 【答案】3 【分析】延长，过点作于点，先证明，得出，，再证明，得出，即可求解．本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等边三角形三个角都是，正确画出辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：延长，过点作于点， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：3． 【变式5 -3】如图，是等边三角形，D为边上一点，以为边作等边，连接．若，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据证明得，从而可得结论． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5 -4】如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，，且，连接，， (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，若，求出的面积是多少？ 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2)4 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质，得到等边三角形的边角关系，然后利用“边边边”证明，从而可证明结论成立； ②利用“边角边”证明，从而可证明结论正确； （2）利用平行线的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出，求得，则可证明是的中垂线，再根据含的直角三角形性质求出中边上的高，即可求得． 【详解】（1）证明：①如图1，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，； ②， ， ，， ， ； （2）解：如图2，设与交于点N，连接， ， ， ，， 设，则， ， ， ， 在中，有， 解得：， ， ， 是的角平分线，也是的中垂线． ，， 边上的高为， ． 【变式5 -5】在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形． (1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______； (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】(1)； (2)且，理由见解析 (3)， 【分析】（1）先判断出，进而证明，即可得出结论； （2）先证明，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）先证明，得出，，进而求出，最后用三角形外角的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：且； 理由如下：∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：且； （3）解：，，理由如下： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，判断出是解本题的关键． 【考点题型六】等边三角形的判定 【例6】在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，绝对值和完全平方式的非负性， 根据绝对值和完全平方公式的非负性求出a，b，c的关系，可得答案． 【详解】解：， ，且， ， 是等边三角形， 故答案为：等边． 【变式6 -1】如图1所示，在中，，，为线段上一点，为中点，连接．作，得到射线，过点作交射线于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)如图2，当时，连接、，求证：为等边三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质等； （1）按要求补全图形，即可求解； （2）由角的和差得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （3）延长至使，连接，证明得出，，进而证明，证明，推出，，即可得出，则为等边三角形． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：， ， ， ，， ， ； （3）证明：延长至使，连接， ∵ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵，则， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴为等边三角形． 【变式6 -2】如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等边三角形；理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定和性质； （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：； （2）利用得出，再运用平角定义得出进而得出因此； （3）由和根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可得是等边三角形． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ． ， ． ， 在和中， ， ， ； （3）解：是等边三角形． 理由如下： ，， 是等边三角形． 【变式6 -3】如图，点E是等边外的一点，点D是边上一点，，，连接．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质，证明是解答的关键．先根据等边三角形的性质得到，，再证明，得到，，进而根据等边三角形的判定可证得结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【变式6 -4】【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的面积为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）由等边三角形的性质得，可推导出，进而证明，得出； （2）由，且，证明，而，，可证明，得，可推导出，则是等边三角形． （3）由等腰直角三角形的性质得，可推导出，进而证明，得，而，所以，可证明，得，推导出，因为，点N是的中点，所以，则，所以． 【详解】解：（1）与都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ． （2）证明：点，分别是，的中点， ，， ， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 是等边三角形． （3）与都是等腰直角三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ，且点也是的中点， ， ， ，， ， ， 的面积为． 【变式6 -5】如图，已知等边，点D为边延长线上一点，连接，且，在的延长线上截取，使，连接．    (1)①依题意补全图形； ②直接写出的度数__________； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)，见解析 【分析】（1）①依题意补全图形即可；②利用等边三角形的性质以及邻补角的性质即可求解； （2）连接，，延长至点，使，利用证明，推出，再利用证明即可得到． 【详解】（1）解：①补全图形如图；    ②∵是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下， 连接，，延长至点G，使，连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵且， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【变式6 -6】在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，（，，逆时针排列），则称点是线段的“关联点”如图，点是线的“关联点”．    (1)如图已知点，，点与点重合． 当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是 ； 已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是 ． (2)如图，已知，． 当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“关联点”，求证：： 当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长． 【答案】(1)；； (2)见解析；． 【分析】（）画出图形，利用图象法解决问题； 画出图形发现点与点重合时满足条件； （）证明，推出，可得结论； 当点，分别在线段，上运动时，线段的“关联点”形成的区域是菱形，则可求出周长． 【详解】（1）如图中, 观察图形可知, 点是线段的“关联点”， 故答案为：； ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴当点与重合时,满足条件， 此时， 故答案为：； （2）证明: 如图中，    ∵，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴； 如图，当点与重合时，得到，   是边长为的等边三角形， 观察图形可知，当点，分别在线段，上运动时， 线段的“关联点”形成的区域是菱形，周长为． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 【变式6 -7】在等边中，点P，Q是边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且． (1)若，则___________； (2)在图1中，求证：； (3)点M在边上，，点D为的中点，连接并延长交于点N，连接，． ①依题意将图2补全； ②猜想的形状，并证明． 【答案】(1)80 (2)见解析 (3)①见解析，②是等边三角形，证明见解析 【分析】（1）由是等边三角形，得到，由外角的性质得到，由，得到是等腰三角形，即可得到结论； （2）证明，则，，即可得到结论； （3）①按要求补全图形即可；②连接，先证明是等边三角形，再证明，最后证明，则，得到，则，即可得到结论． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 故答案为：80 （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①将图2补全如图所示， ②是等边三角形， 证明：连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【考点题型七】30°角直角三角形的性质 【例7】如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　）      A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由在等边三角形中，，可求得，则可求得的长，又由平分交于点，由三线合一的知识，即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 平分交于点， ， ． 故选：C． 【变式7 -1】如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，折叠的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用角平分线的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据折叠可得，根据直角三角形的性质可得，进而根据角平分线的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：∵将折叠，使点B与点A重合， ∴，， 在中，， ，， , ∴平分， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 【变式7 -2】在中，，，，那么 ， ． 【答案】 8 【分析】本题考查的含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先求解，再进一步解答可得答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 故答案为：；8． 【变式7 -3】如图，为等边三角形，，与相交于点，于，，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识． （1）根据证明全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而解答即可； （3）根据含的直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 又， 在与中， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ； （3）解：，， ， ， 又， ． 【考点题型八】直角三角形的判定 【例8】在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：和是由摆动得到， ， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 【变式8 -1】如图，点分别在上，连接，于点，．    (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，直角三角形特征，熟练掌握平行线的判定，同角的余角相等是解题的关键； （1）根据垂直的定义和直角三角形特征可得，再通过等量代换即可求出； （2）根据同角的余角相等可得，再通过等量代换可得，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式8 -2】如图，中，． (1)试说明是的高； (2)如果 ，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由等量代换可得到，故是直角三角形，即； （2）由面积法可求得的长． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴是直角三角形，即， ∴是的高； （2）∵ ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了同角的余角相等，三角形的面积，直角三角形的判定，正确理解直角三角形的判定是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司56 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 等腰三角形与直角三角形（6个考点梳理+8个题型解读+提升训练） 【清单01】 等腰三角形的性质 等腰三角形的概念： 有两条边 相等 的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的 腰 ，所对的角叫做等腰三角形的 底角 ，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的 顶角 。 等腰三角形的性质：如图 等腰三角形的两腰 相等 。即AB ＝ AC。 等腰三角形的两个底角 相等 。即∠B ＝ ∠C。【简称：等边对等角】 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 重合 。【简称底边上三线合一】 即∠ABD ＝ ∠CAD，BD ＝ CD，AD ⊥ BC。 【清单02】 等腰三角形的判定 1.利用等角对等边判定： 一个三角形中如有两个角 相等 ，则这两个角所对的两条边也 相等 。（等角对等边）则这个三角形是等边三角形。 2.利用三线合一性质判定： 若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线 重合 ，则这个三角形是等腰三角形。 【清单03】 等边三角形的概念与性质 1等边三角形的概念： 三条边都 相等 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形 。 2.等边三角形的性质：如图 ①等边三角形的三条边都相等，三个角也 相等 ，且三个角都等于60°。 ②等边三角形三条边都存在 三线合一 。 ③等边三角形是一个 轴对称 图形，它有 3 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。 【清单04】 含30°角的直角三角形 1.30°角所对的直角边与斜边的关系： 30°角所对的直角边等于斜边的 一半 。证明如下： 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 60° 。 ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ 30° BD＝CD＝ BC ∴BD＝ AB。 【清单05】 等边三角形的判定 1. 等边三角形的判定： ①定义判定：三条边都 相等 的三角形是等边三角形。 ②判定定理1：三个角 相等 的三角形是等边三角形。或有两个角是 60° 的三角形是等边三角形。 ③判定定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 【清单06】 直角三角形的性质与判定 1.直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形。用表示直角三角形ABC。 1. 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角 互余 。 数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝ 90° 。 2. 直角三角形的判定： 有两个角 互余 的三角形是直角三角形。 数学语言：∵∠A＋∠B＝90° ∴△ABC是 直角 三角形。 【考点题型一】等腰三角形的定义 【例1】设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（   ） A．15 B．20 C．25 D．20或25 【变式1 -1】等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为 ． 【变式1 -2】等腰三角形的一个角是，则它的顶角是 ． 【考点题型二】等腰三角形的性质 【例2】如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2 -1】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕点转动．点固定，，点可在槽中滑动．如图2，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2 -2】如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【变式2 -3】如图，中，，，的垂直平分线交于D．交于E，． (1)求的长． (2)求的长． 【变式2 -4】如图，在等边中，D是边上一点，E是延长线上一点，连接，若，求的度数．      【变式2 -5】如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）的条件下，连接，求证：． 【考点题型三】等腰三角形的判定 【例3】如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3 -1】如图，在中，，， 交BC于点D．若，则 ． 【变式3 -2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上取一点C使为等腰三角形，符合条件的C点有 个． 【变式3 -3】如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E，过点E作交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式3 -4】如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E．    (1)求证：是等腰三角形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【变式3 -5】如图，在中，，分交于点，过点作交于点，，垂足为点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式3 -6】如图，点C、D在上，，，，、相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【考点题型四】等腰三角形的判定与性质综合 【例4】如图，，点D是射线上的一个动点，，垂足为C，点E为的中点，则线段的长的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【变式4 -1】如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论： ①； ②为等腰三角形； ③的周长等于的周长； ④．其中正确的是           【变式4 -2】如图，在中，，平分，点是的中点，，则 ． 【变式4 -3】如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． (1)若．则的度数为 ； (2)若，求的长． 【变式4 -4】如图，在中，点在边上，，平分交于点，点在上，平分．求证：． 【变式4 -5】如图，在中，平分，点E是上一点，，且．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式4 -6】如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． (1)依题意补全图形； (2)若，求（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【变式4 -7】已知，中，，在上取一点D，在延长线上取一点E，连接交于点F．若F是中点，求证：． 【变式4 -8】如图，中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接，若，，求的度数． 【变式4 -9】如图，在中，，，平分交于点． (1)求证：； (2)探究：若，那么等于哪两条线段长的和呢？说明理由． 【考点题型五】等边三角形的性质 【例5】如图：等边三角形中，，与相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5 -1】如图，已知线段上有一动点，分别以、为边在同方向作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（） A．①②⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 【变式5 -2】如图，已知等边三角形的边长为6，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ． 【变式5 -3】如图，是等边三角形，D为边上一点，以为边作等边，连接．若，则的度数是 ． 【变式5 -4】如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，，且，连接，， (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，若，求出的面积是多少？ 【变式5 -5】在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形． (1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______； (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【考点题型六】等边三角形的判定 【例6】在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是 三角形． 【变式6 -1】如图1所示，在中，，，为线段上一点，为中点，连接．作，得到射线，过点作交射线于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)如图2，当时，连接、，求证：为等边三角形． 【变式6 -2】如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 【变式6 -3】如图，点E是等边外的一点，点D是边上一点，，，连接．求证：是等边三角形． 【变式6 -4】【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【变式6 -5】如图，已知等边，点D为边延长线上一点，连接，且，在的延长线上截取，使，连接．    (1)①依题意补全图形； ②直接写出的度数__________； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【变式6 -6】在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，（，，逆时针排列），则称点是线段的“关联点”如图，点是线的“关联点”．    (1)如图已知点，，点与点重合． 当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是 ； 已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是 ． (2)如图，已知，． 当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“关联点”，求证：： 当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长． 【变式6 -7】在等边中，点P，Q是边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且． (1)若，则___________； (2)在图1中，求证：； (3)点M在边上，，点D为的中点，连接并延长交于点N，连接，． ①依题意将图2补全； ②猜想的形状，并证明． 【考点题型七】30°角直角三角形的性质 【例7】如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　）      A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 【变式7 -1】如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为（    ）    A． B．3 C． D． 【变式7 -2】在中，，，，那么 ， ． 【变式7 -3】如图，为等边三角形，，与相交于点，于，，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的长． 【考点题型八】直角三角形的判定 【例8】在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ． 【变式8 -1】如图，点分别在上，连接，于点，．    (1)求的度数； (2)若，求证：． 【变式8 -2】如图，中，． (1)试说明是的高； (2)如果 ，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$