清单05 全等三角形（考点清单，12个考点梳理+13个题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

清单05 全等三角形（12个考点梳理+13个题型解读+提升训练） 【清单01】 边边边（SSS）判定全等 1.概念： 三条边 分别对应相等的两个三角形全等。 2.数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 题型考点：①添加全等判定条件。 ②全等判定。 【清单02】 边角边（SAS）判定全等 1.概念： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 2.数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 题型考点：①添加全等判定条件。 ②全等判定。 【清单03】 角边角（ASA）判定全等 1.概念： 两角及其夹边 对应相等的两个三角形全等。 2.数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 题型考点：①添加全等判定条件。 ②全等判定。 【清单04】 角角边（AAS）判定全等 1.概念： 两角及其其中一个角的对边 对应相等的两个三角形全等。 2.数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 题型考点：①添加全等判定条件。 ②全等判定。 【清单05】 直角三角形的直角边与斜边（HL）判定全等 1.概念： 直角三角形的 斜边与其中一条斜边 对应相等的两个三角形全等。 2.数学语言： 如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中： ∴Rt△ABC≌Rt△DEF。 题型考点：①添加全等判定条件。 ②全等判定。 寻找全等判定条件的方法总结： 【清单06】 角平分线的定义及其性质 1.角平分线的定义： 角的内部把角分成两个 相等 的角的射线这是个角的角平分线。 2.角平分线的性质： （1） 性质1：平分角。 即若OC是∠AOB的平分线，则 ∠AOC＝∠BOC 。且他们都等于∠AOB的 一半 。 （2） 性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离 相等 。 即若OC是∠AOB的平分线，P是0C上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 PD＝PE 。 题型考点：①利用角平分线的性质求线段长度或距离。②利用角平分线的性质求面积。 【清单07】 角平分线的尺规作图 1.作已知角的角平分线： 步骤一：以 角的顶点 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以 点M和点N 为圆心， 大于 MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 2.证明上图中的OP是角平分线： 连接MP，NP 由作图过程可知，OM ＝ ON，MP ＝ NP。 在△OMP与△ONP中 ∴△OMP≌△ONP ∴∠MOP＝ ∠NOP ∴OP是∠AOB的角平分线。 题型考点：①尺规作图为角平分线的依据。 ②尺规作图后的有关计算。 ③作图及其实际应用。 【清单08】 角平分线的判定 1.角平分线的判定的内容： 角的内部到角两边距离相等的点一定在 角平分线 上。 2.数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 平分线 上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 题型考点：角平分线的判定证明。 【清单09】 三角形的角平分线性质 1. 三角形角平分线的性质： 三角形一个角的角平分线分得的两个三角形的面积比等于这个角的两边 的比，也等于这个角对边分得的两条线段的比。 即如图：AD是△ABC的平分线。 则＝ ＝ 。 特别提示：分别以AB和AC为底、BD和CD为底表示出两个三角形的面积，然后比即可得出。 题型考点：利用三角形角平分线的性质进行面积有关的计算。 【清单10】 垂直平分线 1.垂直平分线的定义： 过线段的 中点 且与线段 垂直 的直线是这条线段的垂直平分线。如图，若C点事AB的中点，则MN是线段AB的垂直平分线。 2.垂直平分线的性质： ①垂直平分线 垂直且平分 线段。则∠PCA＝∠PCB＝ 90°， AC ＝ BC。 ②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。即PA ＝ PB。所以△PAB是等腰三角形。 在Rt△PAC与Rt△PBC中 ∴Rt△PAC≌Rt△PBC ∴∠A ＝ ∠B；∠APC ＝ ∠BPC。 3.垂直平分线的判定 到线段两端点距离相等的点一定在这条线断的 垂直平分线 上。 题型考点：①利用垂直平分线的性质求值。②垂直平分线的判定。 【清单11】 轴对称作图与轴对称图形作图 轴对称与轴对称图形的作图： 具体步骤： （1） 找图形的 关键点 。 （2） 过关键点作对称轴的 垂线 并延长，使延长部分的长度等于关键点到 垂足点 的长度，从而得到关键点的 对应点 。 （3）按照 原图形 连接各对应点。 题型考点：①作图。 【清单12】 画轴对称与轴对称图的对称轴 1.垂直平分线的画法： 具体步骤： （1） 如图①：分别以线段AB两端点为 圆心 ，大于线段长度的 一半 为半径画圆弧。两弧分别交于两点M，N。 （2） 如图②，连接MN，MN所在直线即为线段AB的垂直平分线。 2.垂直平分线的证明： 如图③，连接MA，MB，NA，NB。 由作图过程可知 MA＝MB＝NA＝NB 在△MAN与△MBN中 ∴△MAN≌△MBN ∴∠AMO＝∠BMO 在△AMO与△BMO中 ∴△AMO≌△BMO ∴OA＝OB，∠AOM＝∠BPM＝90° ∴MN垂直平分AB。 3.对称轴的画法： 对称轴过任意一组对应点连线的中点且与线段垂直，所以对称轴是任意一组对应点的垂直平分线。作对称轴即是作任意一组对应点的垂直平分线。按照垂直平分线的作图即可。 题型考点：①尺规作图垂直平分线。 ②根据作图痕迹求解题目。 ③画对称轴。 【考点题型一】全等形 【例1】下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A．       B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据全等形的形状相同、大小相等逐项分析即可． 【详解】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断． 解：A、两个图形的形状不一样，不是全等形，故不合题意； B、两个图形的形状不一样，不是全等形，故不合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等形，故符合题意； D、两个图形的大小不一样，不是全等形，故不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了全等形的定义：能够完全重合的两个平面图形叫做全等形． 【变式1 -1】下列图形中与如图所示的图形全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等图形）即可得． 【详解】解：观察四个选项可知，只有选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形，熟记全等图形的概念是解题关键． 【考点题型二】全等三角形的概念 【例2】下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（  ） A．周长相等的两个等边三角形 B．三个内角分别相等的两个三角形 C．两条边和其中一个角相等的两个三角形 D．面积相等的两个等腰三角形 【答案】A 【分析】依据全等三角形的概念即可做出选择. 【详解】解：A. 周长相等的两个等边三角形，三边都相等，故A正确； B. 三个内角分别相等的两个三角形，三角形相似，不一定全等，故B错误； C. 两条边和其中一个角相等的两个三角形,只有这个角是两边夹角三角形才全等，故C错误； D. 面积相等的两个等腰三角形，不一定全等，故D错误； 答案为：A. 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，即全等三角形不仅形状相同，而且大小相等. 【变式2 -1】下列说法正确的是(　　) A．两个等腰直角三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【分析】根据选项的条件举出反例，再根据全等三角形的判定进行判断即可． 【详解】A．如图： 图中的两个等腰直角三角形不全等，故本选项错误； B．当一个三角形的底是2，对应的高是1，而另一个三角形的底是1，对应的高是2，两三角形的面积相等，但是两三角形不全等，故本选项错误． C．能够完全重合的两个三角形全等，故本选项正确； D．两个等边三角形的边不一定相等，故不一定全等，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，能够完全重合的两个三角形全等． 【变式2 -2】面积相等的两个三角形（  ） A．必定全等 B．必定不全等 C．不一定全等 D．以上答案都不对 【答案】C 【详解】解：面积相等的两个三角形不一定全等．故选C． 【考点题型三】全等三角形的性质 【例3】若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的概念及性质是解题的关键． 由两个三角形全等可知，再由三角形的内角和定理即可得出答案． 【详解】解：如图，即为左图中边长为的边所对的角， 两个三角形全等， ， 又， ， 故选：． 【变式3 -1】右图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据三角形内角和为求出的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出的度数即可． 【详解】解：如下图， 由三角形内角和定理得， 由全等三角形的性质可得． 故选：D． 【变式3 -2】如图，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的对应边相等推知，然后根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键． 【变式3 -3】如图，中，，，，若恰好经过点，交于，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据全等三角形的性质得到对应角相等，即，，再得到对应边 ，再根据等边对等角求出的度数，然后根据三角形内角和定理得到，的度数即可． 【详解】∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清角之间的关系． 【变式3 -4】如图，，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形内角和定理， （1）根据全等三角形的性质得出，即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出，，，推出即可； 解题的关键是掌握记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 【考点题型四】SSS 【例4】如图是一个平分角的简单仪器，其中．将A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是的平分线．在这个过程中的根据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：． 根据题目所给条件可利用定理判定，进而得到． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴就是的平分线． 故选：B． 【变式4 -1】如图，与相交于点O，与（不包括）一定相等的角有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和等知识；证明，则可得，再由三角形内角和及对顶角相等即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式4 -2】如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．下列关于筝形的结论正确的是（   ） A．对角线AC，BD互相垂直平分 B．对角线BD平分∠ABC，∠ADC C．直线AC，BD是筝形的两条对称轴 D．筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积 【答案】B 【分析】先判定是的垂直平分线，可判断A，再证明可判断B，C，再利用面积公式可判断D，从而可得答案. 【详解】解： 四边形中，，， 是的垂直平分线， 而不一定是的垂直平分线，故A不符合题意； ，， 对角线BD平分∠ABC，∠ADC，故B符合题意； 直线BD是筝形的两条对称轴，故C不符合题意； 如图，记对角线的交点为 筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积的一半，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称图形的定义，判定是的垂直平分线是解本题的关键. 【变式4 -3】已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的五种判定方法是解题关键．利用“”证明即可． 【详解】证明：， ， . 在和中， ， ． 【变式4 -4】已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，先根据线段的和得出，再利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明： 即 在和中 【考点题型五】SAS 【例5】如图，和都是等腰直角三角形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． 先证明，进而得到角的关系，再由的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案． 【详解】解：∵等腰直角 ∴，， ∴， ∴， ∵等腰直角 ∴，， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式5 -1】小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，ABC，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程： 第一步：尺规作图． 作法：（1）作射线M； （2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，D； （3）以点为圆心，BD长为半径画弧，交M于点P； （4）以点P为圆心，DE长为半径画弧，在M的上方交（3）中所画弧于点Q； （5）过点Q作射线BˊN； （6）以点为圆心，BC长为半径画弧，交M于点； （7）以点为圆心，BA长为半径画弧，交N于点； （8）连接． 第二步：把作出的剪下来，放到上． 第三步：观察发现和重合． ∴． 根据小举的操作过程可知，小举是在探究（    ） A．基本事实SSS B．基本事实ASA C．基本事实SAS D．定理AAS 【答案】C 【分析】根据作图步骤可得出小举在探究全等三角形判定方法为SAS． 【详解】解：小举的操作过程第一步是作一个角等于已知角，夹这个角的两条边分别对应相等， 故可得出小举是在探究基本事实SAS 故选：C 【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 【变式5 -2】如图，和相交于点O，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，根据“全等三角形的对应角相等”即可得证． 【详解】证明：在和中， ∴． ∴． 【变式5 -3】数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定的依据是 ． 【答案】/边角边 【分析】根据题意可得，，，，再根据全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，，， 则， 故答案为： 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 【变式5 -4】已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定定理，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定方法． 【变式5 -5】如图，已知在和中，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据，可以得到，然后即可得到和全等，从而可以证明结论成立． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式5 -6】已知：如图，点B，E，C，F顺次在同一条直线上，点A，D在直线BC的同侧，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，由可得，证明即可得到． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴． 【变式5 -7】如图，在中，，点D，F分别在上，，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得，连接． (1)求证：； (2)若直线交于点G，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、平行线的性质： （1）由旋转的性质可得：，再根据同角的余角相等可证明，再根据全等三角形的判定方法即可证明； （2）由题意：，由全等三角形的性质得，求出，可求，进而可求出的度数． 【详解】（1）∵将线段绕点C按顺时针方向旋转后得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）如图， 由题意：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5 -8】如图，已知中，，点D为的中点．如果点P在线段上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段上由点C向A点运动．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由． (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)能，理由见解析 (2)点Q的运动速度为时，能够使与全等 【分析】（1）分别求出的长，利用进行判定即可； （2）设点Q的运动速度为，经过秒后，能使与全等，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）能全等，理由如下： 由题意，得：， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）设点Q的运动速度为，经过秒后，与全等，则：， ∴， ∵， ∴要使与全等，有两种情况： ①，即：，解得：，不符合题意； ②，即：解得：， ∴当点Q的运动速度为时，能够使与全等． 【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式5 -9】如图，点F，C在上，，，，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再利用定理证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵点在上，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式5 -10】如图，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于． (1)若，求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，涉及倍长中线、全等三角形的判定与性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，可得，，可得结论； （2）由“”可证，可得，，可得结论． 【详解】（1）证明：延长到点，使得，连接，如图所示： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ，即， ； （2）证明：延长到点，使得，连接，如图所示： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【变式5 -11】如图1，在中，为直角．点D为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧做正方形． (1)如图1，则______． (2)若． ①当点D在线段上时（与点B不重合），如图2．问、有怎样的关系？并说明理由． ②当点D在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，直接写出结论． 【答案】(1) (2)①；②成立 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，得到是解题的关键．也考查了正方形的性质． （1）利用同角的余角相等即可求解； （2）①利用证明，则可得，进而易得； ②利用证明，则可得，进而易得． 【详解】（1）解：在与正方形中， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：， 理由如下： 由（1）知，； ∵四边形是正方形， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ②仍然有：； 理由如下： 与①同理：， ∴； ∴， 即． 【变式5 -12】如图，已知、是的边、上的高，P是上的一点，且，Q是的延长线上的一点，且，求证：且． 【答案】见解析 【分析】先利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，，然后根据直角三角形的两个锐角互余、等量代换即可得． 【详解】证明：、是的边、上的高， ，， ， ． 在和中， ， ． ，． 又， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，正确找出两个全等三角形是解题关键． 【考点题型六】ASA和AAS 【例6】如图，在中，，高交于点．若，，则 ． 【答案】3 【分析】先由已知得到，即可证明，即可求得继而可得答案． 【详解】∵，， ∴， ∵，， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质，解决本题的关键是证明． 【变式6 -1】如图，点在同一条直线上，．添加一个条件，使得．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由得到，由得到，根据两个三角形全等的判定定理可知，要么找到另一组对应角，利用判定；要么选择，利用判定，从而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 根据两个三角形全等的判定定理，分三种情况： ①：取， 在和中， ， ； ②：取， 在和中， ， ； ③：取， 在和中， ， ； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查两个三角形全等的判定定理，读懂题意，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 【变式6 -2】如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 ，的面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】在中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知，代入数值即可确定的取值范围；延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质易知，确定面积的最大值，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 解得； 如下图，延长交于点，      ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积取最大值， 即， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 【变式6 -3】已知：如图，点是线段上一点，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由平行线的性质可得，由可证，可得． 【详解】证明： ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式6 -4】如图，在和中，点A、C、E在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明出是解题关键．由平行线的性质可证，得出，即可得出结论． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式6 -5】如图，是的中线，分别过点C、B作及其延长线的垂线，垂足分别为F、E．    (1)求证：； (2)若的面积为8，的面积为6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】(1)根据证明即可； (2)由中线得，再由全等三角形的性质即可求出面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，利用三角形的中线求三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【变式6 -6】如图，已知点M是的中点，是过点M的一条直线，且，垂足分别为点E，F． (1)试说明：； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)猜想：，理由见解析． 【分析】（1）由题意可得、，再结合运用即可证明结论； （2）由题意可得，再根据可得，进而证明可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）解：∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∴． （2）解：猜想：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵． ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质定理是解答本题的关键． 【变式6 -7】如图，为等边三角形，在内作射线，点B关于射线的对称点为点D，连接，作射线交于点E，连接．    (1)依题意补全图形； (2)设，求的大小（用含的代数式表示）； (3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2) (3)，证明见详解 【分析】（1）依题意补全图形； （2）先得出，，再得出，，进而得出，，得出，即可得出结论； （3）如图2，在上取一点F，使，先判断出是等边三角形，得出，，再判断出，得出，即可得出结论 【详解】（1）解：依题意，补全图形如图1所示    （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点B关于射线的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）证明：，过程如下： 如图2，在上取一点F，使，    由（2）知，， ∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 即 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键． 【变式6 -8】已知，在中，，，点M是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点D，E．    (1)如图1，当点D在线段上时，线段与线段的数量关系是______； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（1）连接，由等腰直角三角形的性质可得，，根据可推导，进而证明，即可得到线段与线段的数量关系； （2）连接，利用（1）中的证明思路，再次证明，证得，即可利用等量代换得到． 【详解】（1）解：连接，    ∵，，点是的中点， ∴，且，平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接，    由（1）可知：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键． 【变式6 -9】如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，．点F在线段上，连接交于点H．    (1)①比较与的大小，并证明； ②若，求证：； (2)将图1中的绕点C逆时针旋转，如图2．若F是的中点，判断是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)①，理由见详解；②证明见详解； (2)若F是的中点，仍然成立，理由见详解； 【分析】（1）①证明即可得到答案；②根据得到，结合得到，，即可得到，结合得到，从而得到，，得到，即可得到证明； （2）延长至点G，使，连接如图，先证，再证即可得到答案； 【详解】（1）解：，理由如下， 在与中， ∵， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：若F是的中点，仍然成立，理由如下， 延长至点G，使，连接如图， ∵F是的中点， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵绕点C逆时针旋转， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；    【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是作出辅助线根据题意得到三角形全等判定的条件． 【变式6 -10】已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A ． (1)如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E． ①依题意补全图1； ②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明； (2)如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜ α ＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为 ． 【答案】(1)①见详解；②结论为DE=BD+CE，证明见详解； (2)DE=BD+CE．证明见详解． 【分析】（1）①依题意在图1作出CE、BD ，标出直角符号，垂足即可； ②结论为DE=BD+CE，先证∠ECA=∠BAD，再证△ECA≌△DAB（AAS），得出EA=BD，CE=AD，即可； （2）DE=BD+CE．根据∠BAC＝α（0°＜ α ＜180°）=∠CEA＝∠BDA＝α，得出∠CAE=∠ABD，再证△ECA≌△DAB（AAS），得出EA=BD，CE=AD即可． 【详解】（1）解：①依题意补全图1如图； ②结论为DE=BD+CE， 证明：∵CE⊥l，BD⊥l， ∴∠CEA=∠BDA=90°， ∴∠ECA+∠CAE=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠CAE+∠BAD=90° ∴∠ECA=∠BAD， 在△ECA和△DAB中， ， ∴△ECA≌△DAB（AAS）， ∴EA=BD，CE=AD， ∴ED=EA+AD=BD+CE； （2）DE=BD+CE． 证明：∵∠BAC＝α（0°＜ α ＜180°）=∠CEA＝∠BDA＝α， ∴∠CAE+∠BAD=180°-α，∠BAD+∠ABD=180°-α， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ECA和△DAB中， ， ∴△ECA≌△DAB（AAS）， ∴EA=BD，CE=AD， ∴ED=EA+AD=BD+CE； 故答案为：ED= BD+CE． 【点睛】本题考查一线三等角，三角形内角和，平角，三角形全等判定与性质，掌握一线三等角特征，三角形内角和，平角，三角形全等判定方法与性质是解题关键． 【考点题型七】HL 【例7】如图，点D在的平分线上，P为上的一点，，点Q是射线上的一点，并且满足，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，分类讨论；过点D作于H，于N，则由角平分线的性质定理得；分两种情况考虑：点Q在点H的右侧时，证明，则有；点在点H左侧时，同理可求，进而求得结果，最后综合两种情况即可． 【详解】解；如图，过点D作于H，于N，    ∵平分， ∴， 当点Q在点H的右侧时， 在和中， ， ∴， ∴， 当点在点H左侧时，同理可求， ∴， 综上所述：的度数为或， 故答案为：或． 【变式7 -1】如图，于点，于点，且，如果，那么的度数是 ． 【答案】140 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先求出，再证明，推出，即可求解． 【详解】.解： ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：140． 【变式7 -2】如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式7 -3】在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答． （1）根据证明与全等，进而解答即可； （2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：设交于点G，如图， 由（1）得， ∴，． 由（1）得， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴平分． 【变式7 -4】如图，，，与交于点，点是中点． 求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质；可证，从而可得，由此可证是等腰三角形，从而可证；能掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键． 【详解】证明：， 和是直角三角形， 在和中， ， ()， ， 是等腰三角形， 点是中点， 是边的中线， 是的角平分线， ． 【考点题型八】全等三角形的综合问题 【例8】如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是（    ）    A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，，，易证得，可得，即可对④进行判断． 【详解】解：∵是中线， ∴ ∴与的面积相等，故①正确， 延长至，使，如图    ∵，， ∴， ∴ 则在中， ∴，故②正确， 点是线段AD上的一个动点（点不与点，重合），连接，，如图，    ∵ ∴ 又∵与的面积相等 ∴的面积和的面积相等，故③不正确， 点，是，所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，如图，    由，，， ∴， ∴ ∴ 故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键． 【变式8 -1】如图1，中，，，点D在上，连接，在的上方作，且，连接．作点A关于的对称点F，连接，交于点M．    (1)补全图形，连接并写出 （用含的式子表示）； (2)当时，如图2． ①求证：； ②直接写出与的数量关系： ． 【答案】(1)补全图形见解析， (2)①见解析；② 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质和三角形相似的判定性质是解题的关键； （1）根据三角形内角和定理可得到，再利用对称的性质得到，即可得到答案； （2）①连接，，根据、都是等边三角形，易证得，进而得到，再根据点A关于的对称点是点F，可得到； ②取，证，进而证，再证，即可得结论． 【详解】（1）解：如图，    中，，， 点A关于的对称点F， ∴； 故答案为：． （2）解：连接，，    ，，，， 是等边三角形，是等边三角形， ，，， ． 即， ， ， ， ， ， 点A关于的对称点是点F， ， ∴， ， ． ②如图    取， 由①可得，，， ， ，，， ，， ； 在和中， ， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 【变式8 -2】如图，在中，，，为射线上一点（不与点重合），连接并延长到点，使得，连接．过点作的垂线交直线于点．        (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． (3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)画图见解析， (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （3）根据（1）（2）小问写出一个变式性题目即可． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ； ②， 证明：如图，作交的延长线于， ， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：画出如图所示： ， 关系：， 作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：若点在线段上，且时，、、之间的数量关系是什么？ 【变式8 -3】在中，，，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使．过点E作于点F． （1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是______． （2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：． （3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量关系是______． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】（1）利用边相等和角相等，直接证明，即可得到结论． （2）利用边相等和角相等，直接证明，得到和，最后通过边与边之间的关系，即可证明结论成立． （3）要证明，先利用边相等和角相等，直接证明，得到和，最后通过边与边之间的关系，即可证明结论成立． 【详解】（1）解： ，， ， 在和中， ， ． （2）解：当点D在线段AC的延长线上时，如下图所示： ，， ， 在和中， ， ，， ． （3）解：，如下图所示： ，， ， 在和中， ， ，， ． 【点睛】本题主要是考查了三角形全等的判定和性质，熟练利用条件证明三角形全等，然后利用边相等以及边与边之间关系，即可证明结论成立，这是解决该题的关键． 【变式8 -4】阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． 完成下面问题： （1）①思路一的辅助线的作法是：　 　； ②思路二的辅助线的作法是：　 　． （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）． 【答案】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析 【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． ②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论． 【详解】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下： ∵AD为△ABC中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA， ∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF． 故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG； ②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②． 理由如下：∵BG＝BF， ∴∠G＝∠BFG， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∵∠EFA＝∠BFG， ∴∠G＝∠EAF， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∴AC＝BF； 故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G； （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示： 则∠G＝∠CAD， ∵AD为△ABC中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA， ∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题． 【考点题型九】角平分线的性质 【例9】如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（    ）    A．4 B．8 C．3 D．6 【答案】C 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，    ∵∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴DE=CD， ∴S△ABD=AB•DE=×18•DE=27， 解得：DE=3， ∴CD=3． 故选：C． 【点睛】该题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用问题，解题的关键是作辅助线． 【变式9 -1】如图,在△ABC中∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】A 【分析】关键角平分线的性质定理，得到EC=ED，即可推出AE+ED=AE+EC=AC，由此即可解决问题． 【详解】∵∠ACB=90°， ∴EC⊥CB， 又BE平分∠ABC，DE⊥AB， ∴CE=DE， ∴AE+DE=AE+CE=AC=3cm 故选A. 【点睛】此题考查角平分线的性质，解题关键在于掌握其性质. 【变式9 -2】如图，点C在的平分线上，于点D，且，如果E是射线上一点，那么长度的最小值是 ． 【答案】2 【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解 ． 【详解】解：如图， 由垂线段最短定理可知： 当CE⊥OB时，CE 的长度最小， ∵点C在 ∠AOB 的平分线上，CD⊥OA， ∴CE=CD=2， 故答案为：2 ． 【点睛】本题是基础题目，解题的关键是熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理． 【变式9 -3】如图所示，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是6,10,12，三条角平分线的交点为o,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO= . 【答案】 【分析】过O作OD⊥AB于D，OF⊥BC于F，OE⊥AC于E，根据角平分线性质求出OD=OF=OE，根据三角形面积公式求出即可. 【详解】 如图，过O作OD⊥AB于D， OF⊥BC于F，OE⊥AC于E， ∵O为△ABC三条角平分线的交点， ∴OD=OE=OF， ∵△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6,10,12， ∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=(AB×OD):(BC×OF):(AC×OE)=AB:BC:AC=6:10:12 =. 故答案为. 【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是关键. 【变式9 -4】如图，射线AP∥BQ，分别作∠PAB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）． （1）当CD⊥AP时， ①补全图形； ②若AC=a，BD=b，则AB的长为 (用含a，b的式子表示)． （2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①补全图形见解析；②；（2） 【分析】（1）①根据题目描述补全图形即可；②过点O作，根据角平分线的性质可得，利用三角形全等的判定与性质得到，同理可得，即可求解； （2）过点O作，通过证明≌，得到，利用线段和差即可求解． 【详解】解：（1）①补全图形如下： ； ②过点O作， ， ∵AO平分，，， ∴，， 又∵AO为公共边， ∴≌， ∴， 同理可得， ∴； （2）如图，过点O作， ， 由（1）可知，， 又∵，， ∴≌， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解题的关键． 【考点题型十】角平分线的判定 【例10】如图，点O是的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在的平分线上：②点O到的三边的距离相等；③，以上结论正确的有（    ） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】过点分别作，根据角平分线的性质可得，进而判断①②，连接，结合①②的结论，进而可得,,假设③成立，进而得出，根据题意无法证明，进而判断③； 【详解】过点分别作，如图， 点O是的两个外角平分线的交点， ， ,， 点O到的三边的距离相等； 故②正确； ， 点O在的平分线上， 故①正确； 连接， 假设， ,是的角平分线， ， ，， ,， ,， ， 即， 不一定等于， 故③不成立； 故正确的有①②． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的性质与判定是解题的关键． 【变式10 -1】如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（    ） A．在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等 【答案】A 【分析】根据角平分线判定得出BP平分∠DPE，根据平行线的性质推出∠DBP＝∠EBP，即可得出答案． 【详解】解：∵∠M＝∠N＝90°，BM＝BN， ∴BP平分∠DPE， ∴∠DPB＝∠EPB， ∵DP∥BC，PE∥BD， ∴∠DPB＝∠PBE，∠EPB＝∠DBP， ∴∠DBP＝∠EBC， 即在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，平行线的性质的应用，注意：角的内部到角的两边距离相等得点在角的平分线上． 【变式10 -2】如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧分别交于点和，连接并延长交于点，则下列说法中不正确的是（    ） A．是的平分线 B． C．点在的垂直平分线上 D． 【答案】B 【分析】由中垂线到线段两端点距离相等，特殊直角三角形性质对四个选项依次判断即可． 【详解】解：A项：因为DF为AB中垂线，所以∠DAB=∠DBA=30°，又∠A=60°，所以∠CAD=∠BAD=30°，所以AD是∠BAC平分线，故A正确，不符题意； B项：△ACD与△ADB高相等，都是AC，而底边BD=AD=2CD，故，故B错误，符合题意； C项：由于EF为线段AB中垂线，且D点为BC与EF公共点，故D点在AB的垂直平分线上，故C正确，不符题意； D项：∠ADC=∠DAB+∠B=30°+30°=60°，故D正确，不符题意． 故选：B． 【点睛】本题考查中垂线的性质应用和特殊直角三角形性质，掌握这些是本题解题关键． 【变式10 -3】如图，∠AOB=50°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ = °． 【答案】25 【分析】根据角平分线的判定计算即可； 【详解】∵QC⊥OA，QD⊥OB，QC=QD， ∴平分， 又∵∠AOB=50°， ∴； 故答案是：25． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，准确计算是解题的关键． 【变式10 -4】如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA<OC，∠AOB＝∠COD＝36°；连接AC，BD交于点M，连接OM；下列结论：①∠AMB＝36°；②AC＝BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD；其中正确的结论有 (填序号) 【答案】①②④ 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； 由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠OAC＋∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确； 作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD，④正确； 假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确； ∵∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得： ∠AMB＋∠OBD＝∠OAC＋∠AOB， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确； 作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示， 则∠OGA＝∠OHB＝90°， ∵△AOC≌△BOD， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠AMD，故④正确； 假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM， 在△AMO与△DMO中，， ∴△AMO≌△DMO（ASA）， ∴AO＝OD， ∵OC＝OD， ∴OA＝OC， 而OA＜OC，故③错误； 所以其中正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题属于三角形综合题，是中考填空题压轴题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 【变式10 -5】如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分EF，求证：AD是△ABC的角平分线． 【答案】见解析 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理即可证得AD是△ABC的角平分线． 【详解】证明：∵AD垂直平分EF， ∴DE=DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是△ABC的角平分线． 【点睛】本题考查了角平分线判定定理，线段垂直平分线性质；熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”和“到角两边距离相等的点都在角的平分线上”是解决问题的关键． 【变式10 -6】已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC． （1）求证：AM平分∠DAB． （2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．    【答案】（1）见解析；（2）AM⊥DM，证明见解析． 【分析】（1）过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质求出ME=MC=MB，再根据角平分线的判定即可； （2）根据平行线性质求出∠BAD+∠ADC=180°，结合已知求出∠MAD+∠MDA=90°，即可求出答案． 【详解】（1）证明：过M作ME⊥AD于E，    ∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD， ∴MC=ME， ∵M为BC的中点， ∴BM=MC=ME， ∵∠B=90°，ME⊥AD， ∴AM平分∠DAB； （2）AM⊥DM， 证明如下： ∵∠B=∠C=90°， ∴∠B+∠C=180°， ∴AB//DC， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC， ∴∠MAD=∠BAD，∠MDA=∠ADC， ∴∠MAD+∠MDA=90°， ∴∠AMD=90°， ∴AM⊥DM． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度适中． 【考点题型十一】作角平分线 【例11】如图是用尺规平分一个已知角，能说明的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中． 连接，根据证明，即可推出答案． 【详解】解：连接 在和中 ， ， ， 故选：A． 【变式11 -1】尺规作图：如图，在中 （1）作的角平分线； （2）作边的中线 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作∠BAC的平分线； （2）先作AC的垂直平分线得到BC的中点N，则BN为△ABC的中线． 【详解】（1）如图，AM为所作； （2）如图，BN为所作． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的角平分线、高． 【变式11 -2】如图，在中，请用直尺和圆规在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查尺规作角平分线以及角平分线的性质，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”，是解题的关键． ①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P；③连接，交于点D，点D即为所求． 【详解】解：如图所示，点D即为所求 证明：如图所示，过点D作交于点E，过点D作交于点F， 由作图可得，是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【考点题型十二】线段垂直平分线的性质 【例12】在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解． 【详解】解：、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人额距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点． 故选：D． 【点睛】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键． 【变式12 -1】如图，垂直平分，垂直平分，若的长为7，则的长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的性质．连接，根据中垂线的性质“中垂线上的点到线段两端点的距离相等”，即可得出结论． 【详解】解：连接，    ∵垂直平分， ∴， 又垂直平分， ∴； 故选：C． 【变式12 -2】如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的判定：到线段两个端点距离线段的点在线段的垂直平分线上．根据线段的垂直平分线的判定即可解答． 【详解】解：∵到线段两个端点距离线段的点在线段的垂直平分线上， ∴到三个顶点的距离相等的点应该在各边的垂直平分线上， ∴凉亭应选的位置是三条边的垂直平分线的交点． 故选：C 【变式12 -3】如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（    ） A．14 B．18 C．20 D．26 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据三角形周长计算公式得到的值，再由线段垂直平分线的性质得到以及的长，进而求出的长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵的周长为22， ∴， ∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：A． 【变式12 -4】如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，，则的周长是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：是的边的垂直平分线， ， ，， 的周长为： 故选：C． 【变式12 -5】如图，是中边的垂直平分线，若厘米，厘米，则的周长为（   ） A．14厘米 B．16厘米 C．24厘米 D．26厘米 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．利用线段垂直平分线的性质得，再等量代换即可求得三角形的周长． 【详解】解：∵是中边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵厘米，厘米， ∴∴的周长为厘米， 故选：B． 【变式12 -6】如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质的应用，根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等即可求解，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处， 故选：． 【变式12 -7】如图，中的垂直平分线分别交、于点、，点为上一动点，则的最小值是以下哪条线段的长度(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，连接，根据垂直平分线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】如图，连接，是线段的垂直平分线， ，， 的最小值的最小值， ， 的最小值是线段的长度， 故选C． 【变式12 -8】如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式即可得到答案．解题的关键是掌握：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 【详解】解：∵是的边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长是． 故答案为：． 【变式12 -9】如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，利用整体思想求解是解题的关键．由线段垂直平分线的性质知，，得，，从而得出答案． 【详解】解：和分别是和的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式12 -10】在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点F，连接．若，则的度数是 ． 【答案】35 【分析】由平分，求出，，再求出，再根据三角形的内角和定理求出，进而求出的度数． 【详解】∵平分 ∴， ∵垂直平分线 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：35 【点睛】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理推出相应角的度数． 【考点题型十三】线段垂直平分线的判定 【例13】如图，，则有（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【答案】A 【分析】由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． 故选：A． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 【变式13 -1】已知锐角∠AOB如图， （1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF； （2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G； （3）连接FG，CG．作射线OG． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30° C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG 【答案】D 【分析】依据作图即可得出△OCF≌△OGF（SSS），即可得到对应角相等；再根据等边三角形的性质，即可得到∠AOB＝30°；依据OC＝OE，FC＝FG，即可得出OF垂直平分CG，CG＝2MG＜2FG． 【详解】解：由作图可得，OC＝OE，FC＝FG，OF＝OF， ∴△OCF≌△OGF（SSS）， ∴∠BOG＝∠AOB，故A选项正确； 若CG＝OC＝OG，则△OCG是等边三角形， ∴∠COG＝60°， ∴∠AOB＝∠COG＝30°，故B选项正确； ∵OC＝OE，FC＝FG， ∴OF垂直平分CG，故C选项正确； ∴CG＝2MG＜2FG，故D选项错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【变式13 -2】已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D是△ABC内一点，且DB=DC，连接AD并延长，交BC于点E. (1)依题意补全图形； (2)求证：AD⊥BC． 【答案】(1)见解析；(2)证明见解析. 【分析】(1)依题意，分别以点B、C为圆心，以大于BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD并延长交BC于点E即可； (2)根据线段垂直平分线的判定定理判断A、E均在BC的垂直平分线上即可. 【详解】(1)如图所示； (2)∵AB=AC， ∴点A在BC的垂直平分线上， ∵DB=DC， ∴点D在BC的垂直平分线上， ∴A、D都在BC的垂直平分线上， ∵延长AD交BC边于点E， ∴AE⊥BC，即AD⊥BC. 【点睛】本题考查了线段垂直平分的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键. 【变式13 -3】如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定是解题的关键．根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等证明即可． 【详解】证明：，， ， 点D在AC边的垂直平分线上． 【变式13 -4】如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点F. (1)求证：； (2)求证：； (3)若四边形的面积为32，，求点E到边的距离. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】(1)首先根据可知，再根据点为的中点，可证得，根据全等三角形的性质即可得证； (2)结合全等三角形的性质可知是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可证得，再由线段的和差以及等量代换即可得证； (3)首先根据全等三角形的性质及线段垂直平分线的性质，可得，，，再根据，即可求得，据此即可求得． 【详解】（1）证明：， ， 又点为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， 又， 是线段的垂直平分线， ，即； （3）解：， ， 是线段的垂直平分线 ，， ， 即， 设点E到边的距离为h， 则， 解得，即点E到边的距离为4． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，关键是证明三角形全等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 全等三角形（12个考点梳理+13个题型解读+提升训练） 【清单01】 边边边（SSS）判定全等 1.概念： 三条边 分别对应相等的两个三角形全等。 2.数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 题型考点：①添加全等判定条件。 ②全等判定。 【清单02】 边角边（SAS）判定全等 1.概念： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 2.数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 题型考点：①添加全等判定条件。 ②全等判定。 【清单03】 角边角（ASA）判定全等 1.概念： 两角及其夹边 对应相等的两个三角形全等。 2.数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 题型考点：①添加全等判定条件。 ②全等判定。 【清单04】 角角边（AAS）判定全等 1.概念： 两角及其其中一个角的对边 对应相等的两个三角形全等。 2.数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 题型考点：①添加全等判定条件。 ②全等判定。 【清单05】 直角三角形的直角边与斜边（HL）判定全等 1.概念： 直角三角形的 斜边与其中一条斜边 对应相等的两个三角形全等。 2.数学语言： 如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中： ∴Rt△ABC≌Rt△DEF。 题型考点：①添加全等判定条件。 ②全等判定。 寻找全等判定条件的方法总结： 【清单06】 角平分线的定义及其性质 1.角平分线的定义： 角的内部把角分成两个 相等 的角的射线这是个角的角平分线。 2.角平分线的性质： （1） 性质1：平分角。 即若OC是∠AOB的平分线，则 ∠AOC＝∠BOC 。且他们都等于∠AOB的 一半 。 （2） 性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离 相等 。 即若OC是∠AOB的平分线，P是0C上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 PD＝PE 。 题型考点：①利用角平分线的性质求线段长度或距离。②利用角平分线的性质求面积。 【清单07】 角平分线的尺规作图 1.作已知角的角平分线： 步骤一：以 角的顶点 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以 点M和点N 为圆心， 大于 MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 2.证明上图中的OP是角平分线： 连接MP，NP 由作图过程可知，OM ＝ ON，MP ＝ NP。 在△OMP与△ONP中 ∴△OMP≌△ONP ∴∠MOP＝ ∠NOP ∴OP是∠AOB的角平分线。 题型考点：①尺规作图为角平分线的依据。 ②尺规作图后的有关计算。 ③作图及其实际应用。 【清单08】 角平分线的判定 1.角平分线的判定的内容： 角的内部到角两边距离相等的点一定在 角平分线 上。 2.数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 平分线 上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 题型考点：角平分线的判定证明。 【清单09】 三角形的角平分线性质 1. 三角形角平分线的性质： 三角形一个角的角平分线分得的两个三角形的面积比等于这个角的两边 的比，也等于这个角对边分得的两条线段的比。 即如图：AD是△ABC的平分线。 则＝ ＝ 。 特别提示：分别以AB和AC为底、BD和CD为底表示出两个三角形的面积，然后比即可得出。 题型考点：利用三角形角平分线的性质进行面积有关的计算。 【清单10】 垂直平分线 1.垂直平分线的定义： 过线段的 中点 且与线段 垂直 的直线是这条线段的垂直平分线。如图，若C点事AB的中点，则MN是线段AB的垂直平分线。 2.垂直平分线的性质： ①垂直平分线 垂直且平分 线段。则∠PCA＝∠PCB＝ 90°， AC ＝ BC。 ②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。即PA ＝ PB。所以△PAB是等腰三角形。 在Rt△PAC与Rt△PBC中 ∴Rt△PAC≌Rt△PBC ∴∠A ＝ ∠B；∠APC ＝ ∠BPC。 3.垂直平分线的判定 到线段两端点距离相等的点一定在这条线断的 垂直平分线 上。 题型考点：①利用垂直平分线的性质求值。②垂直平分线的判定。 【清单11】 轴对称作图与轴对称图形作图 轴对称与轴对称图形的作图： 具体步骤： （1） 找图形的 关键点 。 （2） 过关键点作对称轴的 垂线 并延长，使延长部分的长度等于关键点到 垂足点 的长度，从而得到关键点的 对应点 。 （3）按照 原图形 连接各对应点。 题型考点：①作图。 【清单12】 画轴对称与轴对称图的对称轴 1.垂直平分线的画法： 具体步骤： （1） 如图①：分别以线段AB两端点为 圆心 ，大于线段长度的 一半 为半径画圆弧。两弧分别交于两点M，N。 （2） 如图②，连接MN，MN所在直线即为线段AB的垂直平分线。 2.垂直平分线的证明： 如图③，连接MA，MB，NA，NB。 由作图过程可知 MA＝MB＝NA＝NB 在△MAN与△MBN中 ∴△MAN≌△MBN ∴∠AMO＝∠BMO 在△AMO与△BMO中 ∴△AMO≌△BMO ∴OA＝OB，∠AOM＝∠BPM＝90° ∴MN垂直平分AB。 3.对称轴的画法： 对称轴过任意一组对应点连线的中点且与线段垂直，所以对称轴是任意一组对应点的垂直平分线。作对称轴即是作任意一组对应点的垂直平分线。按照垂直平分线的作图即可。 题型考点：①尺规作图垂直平分线。 ②根据作图痕迹求解题目。 ③画对称轴。 【考点题型一】全等形 【例1】下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A．       B．   C．   D．   【变式1 -1】下列图形中与如图所示的图形全等的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】全等三角形的概念 【例2】下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（  ） A．周长相等的两个等边三角形 B．三个内角分别相等的两个三角形 C．两条边和其中一个角相等的两个三角形 D．面积相等的两个等腰三角形 【变式2 -1】下列说法正确的是(　　) A．两个等腰直角三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【变式2 -2】面积相等的两个三角形（  ） A．必定全等 B．必定不全等 C．不一定全等 D．以上答案都不对 【考点题型三】全等三角形的性质 【例3】若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3 -1】右图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3 -2】如图，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3 -3】如图，中，，，，若恰好经过点，交于，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式3 -4】如图，，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【考点题型四】SSS 【例4】如图是一个平分角的简单仪器，其中．将A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是的平分线．在这个过程中的根据是（   ） A． B． C． D． 【变式4 -1】如图，与相交于点O，与（不包括）一定相等的角有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4 -2】如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．下列关于筝形的结论正确的是（   ） A．对角线AC，BD互相垂直平分 B．对角线BD平分∠ABC，∠ADC C．直线AC，BD是筝形的两条对称轴 D．筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积 【变式4 -3】已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 【变式4 -4】已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【考点题型五】SAS 【例5】如图，和都是等腰直角三角形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5 -1】小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，ABC，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程： 第一步：尺规作图． 作法：（1）作射线M； （2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，D； （3）以点为圆心，BD长为半径画弧，交M于点P； （4）以点P为圆心，DE长为半径画弧，在M的上方交（3）中所画弧于点Q； （5）过点Q作射线BˊN； （6）以点为圆心，BC长为半径画弧，交M于点； （7）以点为圆心，BA长为半径画弧，交N于点； （8）连接． 第二步：把作出的剪下来，放到上． 第三步：观察发现和重合． ∴． 根据小举的操作过程可知，小举是在探究（    ） A．基本事实SSS B．基本事实ASA C．基本事实SAS D．定理AAS 【变式5 -2】如图，和相交于点O，，求证：． 【变式5 -3】数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定的依据是 ． 【变式5 -4】已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． 求证：． 【变式5 -5】如图，已知在和中，，，．求证：． 【变式5 -6】已知：如图，点B，E，C，F顺次在同一条直线上，点A，D在直线BC的同侧，，，．求证：． 【变式5 -7】如图，在中，，点D，F分别在上，，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得，连接． (1)求证：； (2)若直线交于点G，直接写出的度数． 【变式5 -8】如图，已知中，，点D为的中点．如果点P在线段上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段上由点C向A点运动．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由． (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【变式5 -9】如图，点F，C在上，，，，求证： 【变式5 -10】如图，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于． (1)若，求证：； (2)若，求证：． 【变式5 -11】如图1，在中，为直角．点D为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧做正方形． (1)如图1，则______． (2)若． ①当点D在线段上时（与点B不重合），如图2．问、有怎样的关系？并说明理由． ②当点D在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，直接写出结论． 【变式5 -12】如图，已知、是的边、上的高，P是上的一点，且，Q是的延长线上的一点，且，求证：且． 【考点题型六】ASA和AAS 【例6】如图，在中，，高交于点．若，，则 ． 【变式6 -1】如图，点在同一条直线上，．添加一个条件，使得．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是 ． 【变式6 -2】如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 ，的面积的最大值为 ．    【变式6 -3】已知：如图，点是线段上一点，，，．求证：． 【变式6 -4】如图，在和中，点A、C、E在同一直线上，，，．求证：． 【变式6 -5】如图，是的中线，分别过点C、B作及其延长线的垂线，垂足分别为F、E．    (1)求证：； (2)若的面积为8，的面积为6，求的面积． 【变式6 -6】如图，已知点M是的中点，是过点M的一条直线，且，垂足分别为点E，F． (1)试说明：； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【变式6 -7】如图，为等边三角形，在内作射线，点B关于射线的对称点为点D，连接，作射线交于点E，连接．    (1)依题意补全图形； (2)设，求的大小（用含的代数式表示）； (3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【变式6 -8】已知，在中，，，点M是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点D，E．    (1)如图1，当点D在线段上时，线段与线段的数量关系是______； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明． 【变式6 -9】如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，．点F在线段上，连接交于点H．    (1)①比较与的大小，并证明； ②若，求证：； (2)将图1中的绕点C逆时针旋转，如图2．若F是的中点，判断是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【变式6 -10】已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A ． (1)如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E． ①依题意补全图1； ②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明； (2)如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜ α ＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为 ． 【考点题型七】HL 【例7】如图，点D在的平分线上，P为上的一点，，点Q是射线上的一点，并且满足，则的度数为 ．    【变式7 -1】如图，于点，于点，且，如果，那么的度数是 ． 【变式7 -2】如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式7 -3】在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求证：平分． 【变式7 -4】如图，，，与交于点，点是中点． 求证：． 【考点题型八】全等三角形的综合问题 【例8】如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是（    ）    A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 【变式8 -1】如图1，中，，，点D在上，连接，在的上方作，且，连接．作点A关于的对称点F，连接，交于点M．    (1)补全图形，连接并写出 （用含的式子表示）； (2)当时，如图2． ①求证：； ②直接写出与的数量关系： ． 【变式8 -2】如图，在中，，，为射线上一点（不与点重合），连接并延长到点，使得，连接．过点作的垂线交直线于点．        (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． (3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题． 【变式8 -3】在中，，，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使．过点E作于点F． （1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是______． （2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：． （3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量关系是______． 【变式8 -4】阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． 完成下面问题： （1）①思路一的辅助线的作法是：　 　； ②思路二的辅助线的作法是：　 　． （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）． 【考点题型九】角平分线的性质 【例9】如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（    ）    A．4 B．8 C．3 D．6 【变式9 -1】如图,在△ABC中∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式9 -2】如图，点C在的平分线上，于点D，且，如果E是射线上一点，那么长度的最小值是 ． 【变式9 -3】如图所示，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是6,10,12，三条角平分线的交点为o,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO= . 【变式9 -4】如图，射线AP∥BQ，分别作∠PAB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）． （1）当CD⊥AP时， ①补全图形； ②若AC=a，BD=b，则AB的长为 (用含a，b的式子表示)． （2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明． 【考点题型十】角平分线的判定 【例10】如图，点O是的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在的平分线上：②点O到的三边的距离相等；③，以上结论正确的有（    ） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 【变式10 -1】如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（    ） A．在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等 【变式10 -2】如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧分别交于点和，连接并延长交于点，则下列说法中不正确的是（    ） A．是的平分线 B． C．点在的垂直平分线上 D． 【变式10 -3】如图，∠AOB=50°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ = °． 【变式10 -4】如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA<OC，∠AOB＝∠COD＝36°；连接AC，BD交于点M，连接OM；下列结论：①∠AMB＝36°；②AC＝BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD；其中正确的结论有 (填序号) 【变式10 -5】如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分EF，求证：AD是△ABC的角平分线． 【变式10 -6】已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC． （1）求证：AM平分∠DAB． （2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．    【考点题型十一】作角平分线 【例11】如图是用尺规平分一个已知角，能说明的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式11 -1】尺规作图：如图，在中 （1）作的角平分线； （2）作边的中线 【变式11 -2】如图，在中，请用直尺和圆规在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【考点题型十二】线段垂直平分线的性质 【例12】在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【变式12 -1】如图，垂直平分，垂直平分，若的长为7，则的长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【变式12 -2】如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【变式12 -3】如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（    ） A．14 B．18 C．20 D．26 【变式12 -4】如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，，则的周长是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式12 -5】如图，是中边的垂直平分线，若厘米，厘米，则的周长为（   ） A．14厘米 B．16厘米 C．24厘米 D．26厘米 【变式12 -6】如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【变式12 -7】如图，中的垂直平分线分别交、于点、，点为上一动点，则的最小值是以下哪条线段的长度(   ) A． B． C． D． 【变式12 -8】如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，，则的周长是 ． 【变式12 -9】如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则 ． 【变式12 -10】在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点F，连接．若，则的度数是 ． 【考点题型十三】线段垂直平分线的判定 【例13】如图，，则有（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【变式13 -1】已知锐角∠AOB如图， （1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF； （2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G； （3）连接FG，CG．作射线OG． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30° C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG 【变式13 -2】已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D是△ABC内一点，且DB=DC，连接AD并延长，交BC于点E. (1)依题意补全图形； (2)求证：AD⊥BC． 【变式13 -3】如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【变式13 -4】如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点F. (1)求证：； (2)求证：； (3)若四边形的面积为32，，求点E到边的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$