清单02 实数（考点清单，4个考点梳理+14个题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

清单02 实数（4个考点梳理+14个题型解读+提升训练） 【清单01】平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【清单02】无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【清单03】立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 4.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【清单04】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【考点题型一】平方根的定义及计算 【例1】实数9的平方根为（    ） A．3 B． C． D． 【变式1 -1】已知，，且，那么等于（　　） A．2或8 B．或8 C．或 D．2或 【变式1 -2】的平方根是 ． 【变式1 -3】若一个数的平方等于，则这个数是 ． 【变式1 -4】已知，则的值是 ． 【考点题型二】平方根的性质 【例2】已知一个正数x的两个平方根分别是和，则 【变式2 -1】若一个正数的平方根是和，则的值是 ． 【变式2 -2】已知正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求y的值； (2)若，求a的值． 【考点题型三】算术平方根的非负性 【例3】若，则 ， ． 【变式3 -1】若，则的值为 ． 【变式3 -2】若，则 ． 【变式3 -3】已知a，b 是有理数，且满足，那么a＝ ，b ＝ ． 【考点题型四】算术平方根的定义和性质 【例4】下列各数中，没有算术平方根的是（　　） A．0 B． C． D． 【变式4 -1】用一个a的值，说明命题“”是假命题，这个值可以是 ． 【考点题型五】求算术平方根 【例5】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式5 -1】4的算术平方根是（     ） A． B．4 C． D．2 【变式5 -2】下列说法中，正确的是（    ） A．±3是（﹣3）2的算术平方根 B．﹣3是（﹣3）2的算术平方根 C．的平方根是﹣3 D．﹣3是的一个平方根 【变式5 -3】的平方根是（　　） A． B． C． D． 【考点题型六】立方根的概念及开立方 【例6】正方体的体积为7，则正方体的棱长为(    ) A． B． C． D． 【变式6 -1】若，则 ． 【变式6 -2】下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的个数有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式6 -3】的立方根是 ． 【变式6 -4】已知(x﹣1)3=64，则x的值为 ． 【变式6 -5】计算： 【考点题型七】立方根的应用 【例7】下表是a与的几组对应值： a … 1 1000 1000000 … … x 1 y 100 … (1)表格中________，________； (2)借助表格解决下列问题： ①若，则________； ②若，，则________（用含有b的代数式表示c）； ③当时，直接写出与a的大小关系． 【变式7 -1】已知2a﹣1的平方根是±，3a+b+4的立方根是2，求4a+b的算术平方根． 【变式7 -2】我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： （1）求； ①由103＝1000，1003＝1 000 000，可以确定是　 　位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是　 　； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，可以确定的十位上的数是　 　； 由此求得＝　 　． （2）已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得＝　 　． 【考点题型八】无理数的概念 【例8】下列实数中，无理数是（　） A． B． C．3.14159 D． 【变式8 -1】下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【变式8 -2】在实数，，，中，是无理数的是 ． 【考点题型九】无理数的大小估计 【例9】估计的值在(　  　) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式9 -1】下列选项中，最接近的整数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式9 -2】估计的值在哪两个数之间（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式9 -3】已知是无理数，且，写出一个满足条件的的值是 ． 【考点题型十】无理数的整数部分与小数部分 【例10】若，且，是两个连续的整数，则的值为 ． 【变式10 -1】若[]表示实数的整数部分，例如：[]=3，则[]= ． 【变式10 -2】已知a，b均为实数，a的平方根分别是与，b是的整数部分，求的算术平方根． 【变式10 -3】大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小燕用来表示的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为的整数部分为1，所以的小数部分为． 参考小燕同学的做法，解答下列问题： （1）写出的小数部分为________； （2）已知与的小数部分分别为a和b，求a2＋2ab＋b2的值； （3）如果，其中x是整数，0＜y＜1，那么＝________ （4）设无理数（m为正整数）的整数部分为n，那么的小数部分为________（用含m，n的式子表示）． 【考点题型十一】实数的概念与分类 【例11】下列各数中为无理数的是（    ） A．－1 B． C． D． 【变式11 -1】下列说法正确的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是无限小数 C．带根号的数都是无理数 D．所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数 【变式11 -2】下列说法正确的是（   ） A．无理数是开方开不尽的数 B．一个实数的绝对值总是正数 C．不存在绝对值最小的实数 D．实数与数轴上的点一一对应 【考点题型十二】实数与数轴 【例12】如图，数轴上点所对应的数分别是0，1，2，3，4．若点对应的数是，则点落在（   ） A．点和点之间 B．点和点之间 C．点和点之间 D．点和点 【变式12 -1】如图，数轴上有四个点A，B，C，D，则这四个点中对应的数是的可能是（  ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式12 -2】如图所示，为了在数轴上找到表示无理数的点，小王同学制作了一个以为圆心，为半径的圆，并在此圆上标记一个点，将点与原点重合.若让此圆在数轴上向右滚动一周后，点就是数轴上表示无理数的点，则 . 【变式12 -3】有下列命题：①可以在数轴上表示无理数；②若，则；③无理数的相反数还是无理数．其中是真命题的为 （填序号）． 【考点题型十三】实数的大小比较 【例13】比较大小：7 （填“”、“”或者“”）． 【变式13 -1】比大的整数中，最小的是 ． 【变式13 -2】比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 【考点题型十四】实数的运算 【例14】计算： 【变式14 -1】计算：． 【变式14 -2】阅读材料： 如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得．例如，，，或，…… 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知，，或，……若，则 ； (2)已知，（，为整数），．若，求（用含，的式子表示）； (3)一般地，上述材料中的，可以用含，，，的式子表示，请直接写出一组满足条件的，（用含，，，的式子表示）． 【变式14 -3】计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 实数（4个考点梳理+14个题型解读+提升训练） 【清单01】平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【清单02】无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【清单03】立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 4.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【清单04】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【考点题型一】平方根的定义及计算 【例1】实数9的平方根为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：实数9的平方根为， 故选：D． 【变式1 -1】已知，，且，那么等于（　　） A．2或8 B．或8 C．或 D．2或 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的计算，绝对值的性质，代数式求值，先根据题意结合求出a，b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，. ∵， ∴， ∴当，时，； 当，时，． 所以等于2或8． 故选：A． 【变式1 -2】的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键． 根据平方根的定义解决此题． 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 【变式1 -3】若一个数的平方等于，则这个数是 ． 【答案】或 【分析】利用平方根定义计算即可确定出这个数． 【详解】解：一个数的平方等于，则这个数是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 【变式1 -4】已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】由条件，先求出的值，再根据平方根的定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及平方根，熟悉完全平方公式的结构特点及平方根的定义是解题的关键． 【考点题型二】平方根的性质 【例2】已知一个正数x的两个平方根分别是和，则 【答案】2 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数进行求解即可 【详解】解：∵一个正数x的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 【变式2 -1】若一个正数的平方根是和，则的值是 ． 【答案】-3 【分析】根据一个正数有两个平方根，且互为相反数列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可． 【详解】解：根据题意得： 解得：a=-3 故答案为：-3 【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义（一个正数有两个平方根，且互为相反数）是解本题的关键． 【变式2 -2】已知正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求y的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）依据题意，根据平方根的意义，可得，再结合，从而可求出的值； （2）依据题意，由（1），从而可得，的值，故可以得解． 本题主要考查了解二元一次方程及平方根，解题时需要熟练掌握并理解． 【详解】（1）解：由题意得，， ． 当时，． ． （2）解：由（1）得， 又， 上式相加得 ，， 则． 的两个平方根为1和． ． 【考点题型三】算术平方根的非负性 【例3】若，则 ， ． 【答案】 1 【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：1，． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 【变式3 -1】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质分别求出，代入计算即可． 【详解】解：， ， 解得：， ， 故答案为：， 【点睛】本题考查的是非负数的性质和代数式求值，掌握算术平方根的非负性、偶次方的非负性是解题的关键． 【变式3 -2】若，则 ． 【答案】16 【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性，求得的值，进而根据有理数的乘方运算计算即可 【详解】解：由题意得，，， 解得，， 所以，． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，有理数的平方，掌握以上知识是解题的关键． 【变式3 -3】已知a，b 是有理数，且满足，那么a＝ ，b ＝ ． 【答案】 －2 －1 【分析】利用平方与算术平方根的非负性即可解决． 【详解】∵，，且 ∴， ∴， 故答案为：－2，－1 【点睛】本题考查了有理数的平方的非负性质及算术平方根的非负性质，即几个非负数的和为零，则这几个数都为零．掌握这个性质是本题的关键． 【考点题型四】算术平方根的定义和性质 【例4】下列各数中，没有算术平方根的是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正数有两个平方根，它们互为相反数，的平方根是，负数没有平方根判断即可． 【详解】解：、的算术平方根是，故本选项不符合题意； B、是正数，有算术平方根，故本选项不符合题意； C、是正数，有算术平方根，故本选项不符合题意； D、是负数，没有算术平方根，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的定义，注意：正数有两个平方根，它们互为相反数，的平方根是，负数没有平方根． 【变式4 -1】用一个a的值，说明命题“”是假命题，这个值可以是 ． 【答案】-1（答案不唯一，即可．） 【分析】选取的的值不满足即可． 【详解】解：时，满足是实数，但不满足， 所以可作为说明命题“如果是任意实数，那么“”是假命题的一个反例． 故答案为：-1（答案不唯一，即可．） 【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【考点题型五】求算术平方根 【例5】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义进行计算即可，正确理解算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式5 -1】4的算术平方根是（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的求法计算即可得出答案． 【详解】解：4的算术平方根是， 故选：D． 【变式5 -2】下列说法中，正确的是（    ） A．±3是（﹣3）2的算术平方根 B．﹣3是（﹣3）2的算术平方根 C．的平方根是﹣3 D．﹣3是的一个平方根 【答案】D 【分析】根据平方根、算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：A、3是（-3）2的算术平方根，故此选项不符合题意； B、3是（-3）2的算术平方根，故此选项不符合题意； C、=9，的平方根是±3，故此选项不符合题意； D、-3是的一个平方根，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平方根，算术平方根的概念，掌握相关定义，注意符号是解题关键． 【变式5 -3】的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：， ∵9的平方根为， ∴的平方根是， 故选：A． 【考点题型六】立方根的概念及开立方 【例6】正方体的体积为7，则正方体的棱长为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的体积公式得：正方体的体积= ，那么棱长=，代入数据计算即可. 【详解】解：∵根据正方体的体积公式得：正方体的体积=， ∴棱长=，即棱长=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查立方根的相关知识，解题的关键是熟练的掌握正方体的面积公式，再根据公式变换表示出棱长即可. 【变式6 -1】若，则 ． 【答案】3 【分析】利用立方根的定义求出的值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 【变式6 -2】下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的个数有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】∵负数没有平方根，故错误；②∵一个正数的正的平方根一定是它的算术平方根，故错误；③∵负数有一个负的立方根，故错误． 故选A. 【变式6 -3】的立方根是 ． 【答案】-2 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【变式6 -4】已知(x﹣1)3=64，则x的值为 ． 【答案】5 【详解】由（x﹣1）3=64， 得：x﹣1=4， 解得：x=5． 故答案为5． 【变式6 -5】计算： 【答案】 【分析】分别进行零指数幂运算、算术平方根运算、立方根运算、绝对值运算即可解答． 【详解】解：原式= =． 【点睛】本题考查了零指数幂、算术平方根、立方根、绝对值，熟练掌握运算法则是解答的关键． 【考点题型七】立方根的应用 【例7】下表是a与的几组对应值： a … 1 1000 1000000 … … x 1 y 100 … (1)表格中________，________； (2)借助表格解决下列问题： ①若，则________； ②若，，则________（用含有b的代数式表示c）； ③当时，直接写出与a的大小关系． 【答案】(1)； (2)①；②；③当，；当时，；当， 【分析】本题考查了立方根的定义； （1）根据立方根定义直接计算即可； （2）观察表格得到规律，①被开方数扩大1000倍，，立方根扩大10倍；②立方根扩大10倍，则被开方数扩大1000倍；③根据表格规律进行分类讨论即可． 由定义推导并找到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，； （2）①与比较，被开方数扩大到1000倍， 立方根扩大到10倍 故答案为： ； ②立方根从边长，扩大到10倍， 被开方数扩大到倍 故答案为：； ③由题意得： 当， 当时， 当， 【变式7 -1】已知2a﹣1的平方根是±，3a+b+4的立方根是2，求4a+b的算术平方根． 【答案】 【分析】运用平方根，立方根定义，列出方程组，解出，．就可以求得的算术平方根． 【详解】解：由于的平方根是，的立方根是2， 所以， 解得，， ， 的算术平方根是． 【点睛】本题考查了平方根及立方根的定义，能熟练掌握平方根及立方根的定义，并进行运算． 【变式7 -2】我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： （1）求； ①由103＝1000，1003＝1 000 000，可以确定是　 　位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是　 　； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，可以确定的十位上的数是　 　； 由此求得＝　 　． （2）已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得＝　 　． 【答案】（1）①两，②9，③3、39；（2）47 【分析】（1）根据题意，提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （2）根据（1）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【详解】解：（1）①∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜59319＜100000， ∴10＜＜100， 因此结果为两位数； ②因为只有9的立方的个位数字才是9，因此结果的个位数字为9， ③33＜59＜43，因此可以确定的十位上的数是3， 最后得出＝39， 故答案为：两，9，3、39； （2）∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜103823＜1000000， ∴10＜＜100， 因此结果为两位数； 只有7的立方的个位数字是3，因此结果的个位数字是7； 如果划去103823后面的三位823得到数103，而43＝64，53＝125，可以确定的十位数字为4， 于是可得＝47； 故答案为：47． 【点睛】考查实数的意义，立方根的意义以及尾数的特征等知识，阅读理解提供的解题方法是类推的前提． 【考点题型八】无理数的概念 【例8】下列实数中，无理数是（　） A． B． C．3.14159 D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的概念，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②还有与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数．根据无理数的概念逐项判断即可解题． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是无理数，符合题意； 故选：D． 【变式8 -1】下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．分别根据无理数、有理数的定义对选项进行判断，即可得出结果． 【详解】解：根据无理数的定义可知，是无理数； 故选：C 【变式8 -2】在实数，，，中，是无理数的是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查无理数的识别，算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：在实数，，，中，属于无理数的是， 故答案为：． 【考点题型九】无理数的大小估计 【例9】估计的值在(　  　) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数整数部分的相关计算，根据特殊值的求法可求得取值，根据特殊值求得无理数的整数部分是解题的关键． 【详解】解：， 即， 故选：C． 【变式9 -1】下列选项中，最接近的整数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的大小估算，确定在 哪两个完全平方数之间是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴更接近 故选：C 【变式9 -2】估计的值在哪两个数之间（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】先找在哪两个完全平方数之间得出，和都是开方开的尽的数，于是可得，即可得到最后结果． 【详解】解： ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了无理数的估算，关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 【变式9 -3】已知是无理数，且，写出一个满足条件的的值是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，根据是无理数，且，得出，从而即可得出答案，准确进行估算是解此题的关键． 【详解】解：是无理数，且， ， 满足条件的的值是（答案不唯一）． 【考点题型十】无理数的整数部分与小数部分 【例10】若，且，是两个连续的整数，则的值为 ． 【答案】11 【分析】先估算出的范围，求出，的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且，是两个连续的整数， ∴，， ∴， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解题的关键． 【变式10 -1】若[]表示实数的整数部分，例如：[]=3，则[]= ． 【答案】4 【分析】根据无理数的估算可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【变式10 -2】已知a，b均为实数，a的平方根分别是与，b是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】6 【分析】本题考查了平方根，无理数的估算，算术平方根．熟练掌握平方根，无理数的估算，算术平方根是解题的关键．由题意知，，可得，进而可求，根据无理数的估算可求，然后求出的值即可计算的算术方根． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 【变式10 -3】大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小燕用来表示的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为的整数部分为1，所以的小数部分为． 参考小燕同学的做法，解答下列问题： （1）写出的小数部分为________； （2）已知与的小数部分分别为a和b，求a2＋2ab＋b2的值； （3）如果，其中x是整数，0＜y＜1，那么＝________ （4）设无理数（m为正整数）的整数部分为n，那么的小数部分为________（用含m，n的式子表示）． 【答案】（1）；（2）1；（3）；（4） 【分析】（1）由题意易得，则有的整数部分为3，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，，然后可得，然后根据完全平方公式可进行求解； （3）由题意易得，则有的小数部分为，然后可得，进而问题可求解； （4）根据题意可直接进行求解． 【详解】解：（1）∵， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为； （2）∵， ∴，， ∵与的小数部分分别为a和b， ∴， ∴； （3）由可知， ∵， ∴的小数部分为， ∵x是整数，0＜y＜1， ∴， ∴； 故答案为； （4）∵无理数（m为正整数）的整数部分为n， ∴的小数部分为， ∴的小数部分即为的小数部分加1，为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查立方根、无理数的估算及代数式的值，熟练掌握立方根、无理数的估算及代数式的值是解题的关键． 【考点题型十一】实数的概念与分类 【例11】下列各数中为无理数的是（    ） A．－1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的定义及无理数的几种形式分别进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、－1是有理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、＝2是有理数，故此选项不符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义并牢记无理数的几种基本形式是进行判断的关键． 【变式11 -1】下列说法正确的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是无限小数 C．带根号的数都是无理数 D．所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数 【答案】B 【分析】利用实数的性质及相关定义判断即可． 【详解】A．无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，此项错误； B．无理数是无限不循环小数，故此项说法正确； C．带根号的最简根式是无理数，故此项说法错误； D．数轴上的点即可表示有理数也可以表示无理数，此项说法错误； 故选：B． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解答的关键是了解实数的有关性质与定义． 【变式11 -2】下列说法正确的是（   ） A．无理数是开方开不尽的数 B．一个实数的绝对值总是正数 C．不存在绝对值最小的实数 D．实数与数轴上的点一一对应 【答案】D 【分析】根据无理数的定义、绝对值的性质、实数与数轴上点的对应关系逐一判断即可． 【详解】解：A．无理数是无限不循环小数，该项说法不正确； B．一个实数的绝对值可以是正数，也可以是零，该项说法不正确； C．绝对值最小的数是0，该项说法不正确； D．实数与数轴上的点一一对应，该项说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查实数的相关概念，掌握无理数、绝对值的性质是解题的关键． 【考点题型十二】实数与数轴 【例12】如图，数轴上点所对应的数分别是0，1，2，3，4．若点对应的数是，则点落在（   ） A．点和点之间 B．点和点之间 C．点和点之间 D．点和点 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，先估算出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴若点对应的数是，则点落在点和点之间， 故选：C． 【变式12 -1】如图，数轴上有四个点A，B，C，D，则这四个点中对应的数是的可能是（  ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】先求出的范围，即可求出哪个点表示． 【详解】解：∵， ∴， 故点D是表示可能的点， 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 【变式12 -2】如图所示，为了在数轴上找到表示无理数的点，小王同学制作了一个以为圆心，为半径的圆，并在此圆上标记一个点，将点与原点重合.若让此圆在数轴上向右滚动一周后，点就是数轴上表示无理数的点，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据题意，得知圆的周长等于，列方程求解即可； 本题主要考查在数轴上表示无理数，熟练掌握数形结合的方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，此圆在数轴上向右滚动一周，点就是数轴上表示无理数的点 数轴上所表示的正是圆的周长 为半径 故答案为： 【变式12 -3】有下列命题：①可以在数轴上表示无理数；②若，则；③无理数的相反数还是无理数．其中是真命题的为 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】根据实数与数轴的关系、不等式的性质、无理数与相反数逐个判断即可得． 【详解】解：①可以在数轴上表示无理数，是真命题； ②若，则，则原命题是假命题； ③无理数的相反数还是无理数，是真命题； 综上，是真命题的为①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了实数与数轴、不等式的性质、无理数、命题等知识点，熟练掌握各性质是解题关键． 【考点题型十三】实数的大小比较 【例13】比较大小：7 （填“”、“”或者“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，根据，即可判断． 【详解】∵，， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式13 -1】比大的整数中，最小的是 ． 【答案】2 【分析】先写出的范围，即可知道比大的整数中最小的数． 【详解】解：∵1＜2＜4， ∴1＜＜2， ∴比大的整数中，最小的是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了无理数的估算，确定无理数的范围是解题的关键． 【变式13 -2】比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点题型十四】实数的运算 【例14】计算： 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、二次根式的运算，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 【变式14 -1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，依次计算去绝对值、求一个数的算术平方根、负整数指数幂以及零次幂，再计算加减即可． 【详解】解： 【变式14 -2】阅读材料： 如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得．例如，，，或，…… 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知，，或，……若，则 ； (2)已知，（，为整数），．若，求（用含，的式子表示）； (3)一般地，上述材料中的，可以用含，，，的式子表示，请直接写出一组满足条件的，（用含，，，的式子表示）． 【答案】(1)9 (2)或 (3)， 【分析】本题主要考查了实数运算、整式运算、完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）结合，，求解即可； （2）将，代入，整理可得，即可获得答案； （3）根据题意，可得，结合，可令，，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：9； （2）解：根据题意，，，， ∴， ∴ ∴， ∴或； （3）解：∵，， ∴， 又∵， 令，， 此时可有一组解，， 即，． 【变式14 -3】计算： 【答案】4 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$