清单01 分式（考点清单，16个考点梳理+13个题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

清单01 分式（16个考点梳理+13个题型解读+提升训练） 【清单01】分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 【清单02】分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 【清单03】分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【清单04】分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 【清单05】分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 （1）分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． （2）解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． （3）处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 【清单06】约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 【清单07】通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 【清单08】最简分式 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【清单09】分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解， 再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 【清单10】分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 【清单11】分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 （1）注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． （3）注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 【清单12】分式的化简求值 （1）先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． （2）在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 （1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． （2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 【清单13】分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【清单14】分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【清单15】解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 【清单16】分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 【考点题型一】分式的概念 【例1】在代数式，，，，中，分式的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1 -1】下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】分式有无意义的条件 【例2】根据下列表格信息，y可能为（    ） x 0 1 2 y 0 无意义 A． B． C． D． 【变式2 -1】若代数式有意义，则实数x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2 -2】若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2 -3】若分式有意义，则的取值范围是 ． 【变式2 -4】若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【考点题型三】分式的值为0的条件 【例3】若分式的值为0，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D． 【变式3 -1】若代数式的值为0，则实数x的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3 -2】若分式的值为0，则 ． 【变式3 -3】如果分式的值为，那么的值为 . 【变式3 -4】如果分式的值为0，那么的值为是 ． 【考点题型四】分式的值为正负数以及整数的条件 【例4】已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式4 -1】已知分式的值为负数，则的取值范围为 . 【变式4 -2】若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【变式4 -3】我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【考点题型五】分式的基本性质 【例5】下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5 -1】下列各式从左到右变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5 -2】下列分式中，从左到右变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式5 -3】下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5 -4】如果把分式中的a，b同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．不变 B．缩小到原来的 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍 【变式5 -5】如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【变式5 -6】如果把分式中的，都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【考点题型六】最简分式与约分 【例6】下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式6 -1】下列分式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【变式6 -2】分式，化简结果为（） A． B． C． D． 【变式6 -3】下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式6 -4】约分：（1） ；（2） ． 【变式6 -5】约分：① ，② ． 【变式6 -6】化简分式的结果是 ． 【考点题型七】最简公分母与通分 【例7】分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【变式7 -1】把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【变式7 -2】分式与的最简公分母是 . 【考点题型八】分式乘除法 【例8】计算 的结果为 A． B． C． D． 【变式8 -1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8 -2】计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 【变式8 -3】计算： ． 【变式8 -4】计算： ． 【变式8 -5】计算： ． 【变式8 -6】化简，结果是 【变式8 -7】计算： . 【变式8 -8】计算： ． 【变式8 -9】． 【变式8 -10】计算：. 【变式8 -11】计算：． 【变式8 -12】化简： (1)； (2)． 【变式8 -13】计算：． 【变式8 -14】计算：． 【变式8 -15】计算：． 【变式8 -16】计算： 【变式8 -17】观察以下等式： ，，，， (1)依此规律进行下去，第5个等式为______，猜想第n个等式为______； (2)请利用分式的运算证明你的猜想． 【考点题型九】分式的加减法 【例9】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式9 -1】下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9 -2】下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9 -3】计算： ． 【变式9 -4】化简：的计算结果是 ． 【变式9 -5】计算：． 【变式9 -6】计算： (1) (2) 【变式9 -7】计算： (1) (2)如果，求代数式的值． 【变式9 -8】计算： (1)； (2)． 【变式9 -9】计算：． 【变式9 -10】计算：． 【变式9 -11】计算：. 【变式9 -12】计算 （1）； （2） 【考点题型十】负整数指数幂 【例10】下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式10 -1】若，则a与b的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式10 -2】计算： ． 【变式10 -3】计算： ； ． 【变式10 -4】计算：． 【变式10 -5】计算：． 【变式10 -6】计算：． 【考点题型十一】小数科学记数法 【例11】随着人类基因组测序计划的逐步实施以及分子生物学相关学科的迅猛发展，越来越多的动植物、微生物基因组序列得以测定，已知某种基因芯片每个探针单元的面积为，将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【变式11 -1】碳纳米管是一维纳米材料，六边形结构连接完美，具有许多特殊的力学、电学和化学性能．中国科学院的科学家成功地研制出直径纳米的碳纳米管，纳米相当于毫米，将用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式11 -2】草履虫的身体很小，呈圆筒形，全身由一个细胞组成，体长只有微米．其中微米米，把用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式11 -3】在年中国国际智能汽车展览会上，吉利控股集团正式宣布中国首款纳米车规级芯片“龙鹰一号”的量产和供货．纳米米，用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【变式11 -4】北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，目前北斗卫星导航系统授时精度优于秒．将用科学记数法表示应为(   ) A． B． C． D． 【考点题型十二】分式方程及其解法 【例12】对于任意实数a，b，规定：．若，则x的值为 ． 【变式12 -1】若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　    　） A．或 B． C． D．或 【变式12 -2】关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【变式12 -3】若关于的分式方程的解小于，则的取值范围是 【变式12 -4】若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【变式12 -5】关于的方程无解，则m的值是 ． 【变式12 -6】方程无解，那么的值为 ． 【变式12 -7】解分式方程： 【变式12 -8】解方程：． 【变式12 -9】解分式方程： ． 【变式12 -10】解方程：． 【变式12 -11】解分式方程． 【变式12 -12】解分式方程：． 【变式12 -13】若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值． 【变式12 -14】已知关于的分式方程． (1)若这个方程的解是负数，求的取值范围； (2)若这个方程无解，则______．（直接写出答案） 【考点题型十三】分式方程的应用 【例13】列方程解应用题：同学们在计算机课上学打字． 张帆比王凯每分钟多录入20个字，张帆录入300个字与王凯录入200个字的时间相同． 问王凯每分钟录入多少个字． 【变式13 -1】甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式13 -2】甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为 ． 【变式13 -3】甲乙两城市相距800千米，乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，求高铁列车的平均速度． 【变式13 -4】列分式方程解应用题 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． (1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数 型 型 3000 (2)请你完整解答本题． 【变式13 -5】列方程解应用题： 为响应绿色出行，低碳减排号召，助力“双碳”目标不断实现，小华家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从地到地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 【变式13 -6】列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 【变式13 -7】某政府计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装96间教室比甲公司安装同样数量的教室多用8天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ (2)已知甲公司安装费每天1400元，乙公司安装费每天800元，现需安装教室100间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过22600元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【变式13 -8】北京水稻历史悠久，为重振北京稻历史品牌辉煌，丰台区与国家粳稻工程技术研究中心共同建设“国家粳稻工程技术研究中心北京稻育繁种基地”，并于2023年7月正式挂牌、基地除培育优质稻品种外、会建设北京稻科普及培训展厅，并打造北京市中小学生科普实践教育基地，2023年10月，基地试验田迎来丰收，李老师通过探访基地，带来如下信息 信息一：基地有、两块试验田，分别种植普通水稻、粳稻“天隆优717”，试验田比试验田少20亩； 信息二：试验田总产量为10吨，试验田总产量为23吨； 信息三：粳稻“天隆优717”的平均每亩产量是普通水稻平均每亩产量的1.15倍． 根据以上信息，求出粳稻“天隆优717”平均每亩产量． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 分式（16个考点梳理+13个题型解读+提升训练） 【清单01】分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 【清单02】分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 【清单03】分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【清单04】分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 【清单05】分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 （1）分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． （2）解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． （3）处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 【清单06】约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 【清单07】通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 【清单08】最简分式 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【清单09】分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解， 再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 【清单10】分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 【清单11】分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 （1）注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． （3）注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 【清单12】分式的化简求值 （1）先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． （2）在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 （1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． （2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 【清单13】分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【清单14】分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【清单15】解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 【清单16】分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 【考点题型一】分式的概念 【例1】在代数式，，，，中，分式的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据分式的定义解答即可． 【详解】解： 、 的分母中含字母，是分式， 、 、的分母中不含字母，不是分式， 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【变式1 -1】下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】A、的分母含字母，故其是分式，故A符合题意； B、是单项式，故B不符合题意； C、是单项式，故C不符合题意； D、是多项式，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【考点题型二】分式有无意义的条件 【例2】根据下列表格信息，y可能为（    ） x 0 1 2 y 0 无意义 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求代数式的值，然后判断即可． 【详解】由表格信息可知： ∵当x= 1时，y无意义， ∴排除B、C两个选项， 又∵当x=-2时，y=0， ∴代入A、D两个选项中只有A选项=0， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式无意义的条件，理解题意是解题的关键． 【变式2 -1】若代数式有意义，则实数x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式2 -2】若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义条件（分式分母不为零）建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：分式有意义， ，解得， 故选：B． 【变式2 -3】若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件可知，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式2 -4】若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分母是解题的关键． 【详解】分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 【考点题型三】分式的值为0的条件 【例3】若分式的值为0，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件为：分子等于零，分母不等于零，根据分式值为零的条件列式计算即可得出答案． 【详解】解：分式的值为0， ，， 解得：， 故选：B． 【变式3 -1】若代数式的值为0，则实数x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式的分子为0，分母不为0，列式求解即可． 【详解】解：若代数式的值为0， ，， 解得，， 实数x的值为0， 故选A． 【变式3 -2】若分式的值为0，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式值为零的条件，分式的值为0，即根据分子为零分母不为零建立式子求解，即可解题． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得且， 综上可知，， 故答案为：． 【变式3 -3】如果分式的值为，那么的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件：分子的值为零，分母得值不为零，即可求解，掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴，且， 解得， 故答案为：． 【变式3 -4】如果分式的值为0，那么的值为是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式为条件，分式的分子为，分母不为是解题的关键． 根据分式的分子为0，分母不为0，可得答案． 【详解】解：分式的值为0， ，且， ， 故答案为：2． 【考点题型四】分式的值为正负数以及整数的条件 【例4】已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意知，，，且，故不等式可变形为或，解之即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴，且， ∴， ∴不等式可变为， ∴ ∴或， ∴或． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法，以及分式的值大于0的解法，考查学生的转化思想和运算求解能力，将分式的值大于零转化为不等式组是解答本题的关键． 【变式4 -1】已知分式的值为负数，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，所以分子的值是负数即可，从而列出不等式即可求解． 【详解】∵， ∴； ∵分式的值为负数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件，解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 【变式4 -2】若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【答案】0或/或0 【分析】本题主要考查了分式的值、解一元一次方程等知识，根据题意确定的值是解题关键．根据题意，若分式的值为整数，则或或， 然后分别求解，即可确定的整数值． 【详解】解：若分式的值为整数， 则或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若取整数， 则的整数值为0或． 故答案为：0或． 【变式4 -3】我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2或6 【分析】本题主要考查了分式的求值，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． （1）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可； （2）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可； （3），且为正整数，推出为整数，进而推出或，由此可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵，且为正整数， ∴为正整数， ∴为整数， ∵也为正整数， ∴或， ∴或， 故答案为：2或6． 【考点题型五】分式的基本性质 【例5】下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意； B、，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形正确，符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选C． 【变式5 -1】下列各式从左到右变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，，则，，即，原变形错误，不符合题意； B、，原变形正确，符合题意； C、若，，，则，，即，原变形错误，不符合题意； D、，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 【变式5 -2】下列分式中，从左到右变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用分式的加减运算法则以及分式的性质分别化简，进而判断得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的加减运算以及分式的性质，解题的关键是正确化简分式． 【变式5 -3】下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按分式的基本性质，逐项约分化简，即可判断出正确答案． 【详解】解：，故A选项变形错误，不合题意； 的分子、分母中不含公因式，不能化简，故B选项变形错误，不合题意； ，故C选项变形错误，不合题意； ，故D选项变形正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查分式的变形，掌握分式的基本性质、平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 【变式5 -4】如果把分式中的a，b同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．不变 B．缩小到原来的 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质， 依题意分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简，再与原分式比较即可得到答案． 【详解】解：分别用和去代换原分式中的a和b得， ∴新分式缩小到原来的， 故选C． 【变式5 -5】如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：x，y同时扩大为原来的2倍， 则有， ∴该分式的值是原分式值的，故C正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，给分子分母同时乘以一个整式（不为0），不可遗漏是解答本题的关键． 【变式5 -6】如果把分式中的，都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质化简即可． 【详解】解：把分式中的m和n都扩大为原来的2倍为：． 所以不变． 故选：D． 【点睛】题目主要考查了分式的基本性质，解题关键是利用了分式的基本性质进行化简． 【考点题型六】最简分式与约分 【例6】下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分子分母不含公因式的分式叫做最简分式，对四个选项逐一检查是否还能化简即可求得结果． 【详解】A选项，故不是最简分式； B选项不能再化简，故是最简分式； C选项，故不是最简分式； D选项，故不是最简分式． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的约分，解决本题的关键是找到分子分母中的公因式． 【变式6 -1】下列分式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义：在化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵， ∴不是最简分式，故本选项不符合题意； B、∵， ∴不是最简分式，故本选项不符合题意； C、是最简分式，故本选项符合题意； D、∵， ∴不是最简分式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的约分和最简分式的定义，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 【变式6 -2】分式，化简结果为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的约分的应用，能根据分式的基本性质正确约分是解此题的关键． 先对分母分解因式，再根据分式的基本性质进行约分即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式6 -3】下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简分式的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵，∴不是最简分式，故本选项不符合题意； B、∵，∴不是最简分式，故本选项不符合题意； C、∵，∴不是最简分式，故本选项不符合题意； D、是最简分式，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的约分和最简分式的定义，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 【变式6 -4】约分：（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】（1）找到分子和分母的最大公因式，利用分式的基本性质进行约分即可； （2）把分母进行因式分解后，利用分式的基本性质进行约分即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）， 故答案为： 【点睛】此题考查了约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【变式6 -5】约分：① ，② ． 【答案】 【分析】①直接约去分子分母的公因式即可；②先把分母分解因式，再约去公因式即可． 【详解】解：①， ②， 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查的是分式的约分，掌握“约分就是约去分子分母的公因式”是解本题的关键． 【变式6 -6】化简分式的结果是 ． 【答案】/ 【分析】将分子因式分解，进而根据分式的性质约分即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的约分，掌握分式的性质是解题的关键． 【考点题型七】最简公分母与通分 【例7】分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 【详解】解：在分式与中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分母为：， 故选：C． 【点睛】本题考查最简公分母，解题的关键是：需要掌握最简公分母的定义． 【变式7 -1】把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 【变式7 -2】分式与的最简公分母是 . 【答案】2a2b2c 【分析】按照公分母的定义进行解答． 【详解】解：题中两分式的最简公分母即求两分式分母的最小公倍数，即为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【考点题型八】分式乘除法 【例8】计算 的结果为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】【分析】先计算（-a）2，然后再进行约分即可得. 【详解】 = =b， 故选A. 【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键. 【变式8 -1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、分式的乘方、合并同类项分别进行判断即可．此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、分式的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．与不是同类项，不能进行合并和计算，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式8 -2】计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先将分式的分子分母分别因式分解，将除法转化成乘法运算，然后分子与分母进行约分化简，即可得出答案． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答此题的关键． 【变式8 -3】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式8 -4】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，再运用分式的乘法运算法则即可求解，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式8 -5】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式乘方运算，解题的关键是熟练掌握分式乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式8 -6】化简，结果是 【答案】 【分析】本题考查分式的除法．将除法变成乘法，能分解因式的先分解因式，再进行化简即可．掌握分式的除法法则，是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【变式8 -7】计算： . 【答案】 【分析】先计算乘方运算，然后再计算除法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查乘方运算及整式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键． 【变式8 -8】计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的除法法则计算．　 【详解】解：原式= =， 故答案为 ． 【点睛】本题考查分式的除法运算，熟练掌握分式的除法法则及整式的因式分解和分式的约分是解题关键．　　　　 【变式8 -9】． 【答案】 【分析】根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘法运算，解题的关键是掌握运算法则． 【变式8 -10】计算：. 【答案】. 【分析】进行约分即可得到结果. 【详解】. 故答案为：. 【点睛】此题考查了分式的乘法，掌握住约分是解题的关键. 【变式8 -11】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，掌握分式的乘除运算法则，即可解题． 【详解】解：原式， ． 【变式8 -12】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用积的乘方运算计算，再根据乘除互化，将除法转化为乘法，约分即可得到答案； （2）根据平方差公式以及完全平方差公式展开后，利用去括号法则及合并同类项运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查分式化简以及整数混合运算，涉及积的乘方运算、约分、平方差公式、完全平方差公式、去括号法则及合并同类项运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 【变式8 -13】计算：． 【答案】 【分析】先算乘方，然后再进行分式的除法运算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查分式的除法，熟练掌握分式的除法运算是解题的关键． 【变式8 -14】计算：． 【答案】 【分析】根据分式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】 ． 【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘除混合运算法则． 【变式8 -15】计算：． 【答案】 【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式=． 【点睛】本题考查分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 【变式8 -16】计算： 【答案】． 【分析】根据分式的除法法则即可得． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键． 【变式8 -17】观察以下等式： ，，，， (1)依此规律进行下去，第5个等式为______，猜想第n个等式为______； (2)请利用分式的运算证明你的猜想． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据题目中给出的等式，即可写出第5个等式，并写出第的等式； （2）根据分式的乘法和加法可以证明猜想的正确性． 【详解】（1）解：由题目中的等式可得， 第5个等式为：，第个等式是， 故答案为：，； （2）证明：左边， 右边， 左边右边， 故猜想正确． 【点睛】本题考查分式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，写出相应的等式，并证明猜想的正确性． 【考点题型九】分式的加减法 【例9】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同分母的分式相加减的法则求出即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同分母分式减法计算，能灵活运用法则进行化简是解此题的关键． 【变式9 -1】下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：、，故不符合题意； 、 ，故不符合题意； 、，故符合题意； 、 ，故不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了分式的运算法则，解题的关键是熟悉分式的加减乘除运算法则． 【变式9 -2】下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，异分母分式相加，根据“分式的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分式值不变”以及异分母分式的加法法则，逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D正确，符合题意； 故选：D． 【变式9 -3】计算： ． 【答案】3 【分析】根据同分母分式的运算法则进行计算，再对分子提取公因数，然后进行约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是分式的加法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【变式9 -4】化简：的计算结果是 ． 【答案】 【分析】先通分，再进行化简即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【点睛】本题考查异分母分式的加减法．熟练掌握异分母加减法的运算法则，是解题的关键． 【变式9 -5】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据同分母的分式的加减，进行计算，再约分即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：                ． 【变式9 -6】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把分式的分子相减，再约分即可； （2）先把除法转化为乘法运算，再约分即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【点睛】本题考查的是同分母分式的减法运算，分式的除法运算，掌握“分式的加减运算与乘除运算的运算法则”是解本题的关键． 【变式9 -7】计算： (1) (2)如果，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用同分母分式的计算方法解题； （2）先把分式化简，代入数值计算解题． 【详解】（1）解： （2）解： ∵ ∴原式 【点睛】本题考查分式的化简，能利用法则计算是解题的关键． 【变式9 -8】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将分式约分变为，然后按照同分母分式加减运算法则进行计算即可； （2）按照分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确进行计算． 【变式9 -9】计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式加减法，熟练掌握分式加减法的法则是解题的关键． 先化成同分母分式，再运用同分母分式加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式9 -10】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算法则，即可解题． 【详解】解：原式 ． 【变式9 -11】计算：. 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法，掌握异分母加法的运算法则是解题关键．先通分，变为同分母分式，再加减即可． 【详解】解： ． 【变式9 -12】计算 （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）按照分式的乘法法则运算即可； （2）按照异分母分式的加减法法则运算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查分式的化简，掌握分式的运算法则和公式是解题的关键． 【考点题型十】负整数指数幂 【例10】下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的运算，根据幂的运算法则计算即可；熟知幂的运算法则是解题的关键． 【详解】A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式10 -1】若，则a与b的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂．先根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求出a、b的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式10 -2】计算： ． 【答案】 【分析】根据零指数幂的运算法则及负指数幂的运算法则即可解答． 【详解】解：， 故答案为． 【点睛】本题考查了零指数幂的运算法则，负指数幂的运算法则。掌握对应法则是解题的关键． 【变式10 -3】计算： ； ． 【答案】 【分析】根据零指数幂的运算法则及负指数幂的运算法则即可解答． 【详解】解：， ， 故答案为，； 【点睛】本题考查了零指数幂的运算法则及负指数幂的运算法则，熟记对应法则是解题的关键． 【变式10 -4】计算：． 【答案】 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了负整数指数幂，绝对值，有理数的乘方，有理数的加减混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式10 -5】计算：． 【答案】9 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方和绝对值，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键，注意，非零底数的零次幂结果为1． 【变式10 -6】计算：． 【答案】12 【分析】根据零指数幂、负指数幂和绝对值的意义对原式进行化简，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂和绝对值的意义，相关公式有：，，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【考点题型十一】小数科学记数法 【例11】随着人类基因组测序计划的逐步实施以及分子生物学相关学科的迅猛发展，越来越多的动植物、微生物基因组序列得以测定，已知某种基因芯片每个探针单元的面积为，将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：C． 【变式11 -1】碳纳米管是一维纳米材料，六边形结构连接完美，具有许多特殊的力学、电学和化学性能．中国科学院的科学家成功地研制出直径纳米的碳纳米管，纳米相当于毫米，将用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，正确确定a和n的值是解题的关键． 根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】， 故选：B． 【变式11 -2】草履虫的身体很小，呈圆筒形，全身由一个细胞组成，体长只有微米．其中微米米，把用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定． 绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：D． 【变式11 -3】在年中国国际智能汽车展览会上，吉利控股集团正式宣布中国首款纳米车规级芯片“龙鹰一号”的量产和供货．纳米米，用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，解题关键是熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法：把一个数记成的形式（其中大于或等于且小于），据此即可得出答案． 【详解】解：由科学记数法得：． 故选：． 【变式11 -4】北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，目前北斗卫星导航系统授时精度优于秒．将用科学记数法表示应为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此即可解答． 【详解】解：将用科学记数法表示应为， 故选：B． 【考点题型十二】分式方程及其解法 【例12】对于任意实数a，b，规定：．若，则x的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了定义新运算、分式方程，解题的关键是根据新运算得出算式，再解分式方程． 【详解】解：， ， ， 解这个方程得：， 经检验是原分式方程的解， 故答案为：6． 【变式12 -1】若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　    　） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：， 去分母得到， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是方程 的根， 当时，解得： 当时，解得： 故选：A． 【变式12 -2】关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数，先将分式方程化为整式方程，用含m的式子表示出x，再根据解是正数且列不等式，即可求解． 【详解】解：将分式方程，去分母得：， 整理得， 解得， 分式方程的解是正数， ， ； 又， ， ， m的取值范围是且， 故选C． 【变式12 -3】若关于的分式方程的解小于，则的取值范围是 【答案】且 【分析】先解分式方程，根据分式有意义的条件，以及方程的解小于，列出不等式，进而即可求解． 【详解】解： 两边同时乘以，得 解得：， ∵分式方程的解小于， ∴，且 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【变式12 -4】若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】分别根据关于的分式方程的解为非负数和关于的不等式组的解集为，求出整数的取值范围，进而求出满足条件的的值，然后相加即可． 【详解】解：原分式方程可化为： ， 等式两边同乘得：， 解得：， 由题意可知：，且， 解得：且； 解不等式组：得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∴，且； ∵为整数， ∴为、、、， ∴符合条件的所有整数的和为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程、不等式组等知识点；综合运用上述知识求出整数的取值范围是解题的关键． 【变式12 -5】关于的方程无解，则m的值是 ． 【答案】或1/1或 【分析】由分式方程无解可知，分式分式方程去分母后把x的值代入即可求出m的值． 【详解】解：∵分式方程无解， ∴， ∴， ∵， ∴， 把代入得， ， ∴； 另外当，即时，此方程也无解； 综上分析可知，m的值是或1． 故答案为：或1． 【点睛】本题主要考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【变式12 -6】方程无解，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】先将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解，可得，进而求得的值． 【详解】解：， ， ， ， 方程无解， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的计算是解题的关键． 【变式12 -7】解分式方程： 【答案】方程无解 【分析】本题考查解分式方程，两边同乘，化分式方程为整式方程，求解即可，注意检验． 【详解】解： 左右同乘， ， 解得：， 检验时，， ∴原方程无解． 【变式12 -8】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程．去分母，化成整式方程，求得整式方程的解，再检验即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得 ， 解得， 检验：当时，， 所以原方程的解是． 【变式12 -9】解分式方程： ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程．先去分母，将分式方程转化成整式方程，再移项，合并同类项，然后系数化为1，最后检验即可． 【详解】解： 检验：当时，方程左右两边相等，所以是原方程的解． 所以原方程的解是． 【变式12 -10】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【变式12 -11】解分式方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握解分式方程的方法．先去分母把分式方程化为整式方程，然后解方程，最后代入原方程检验即可． 【详解】解： 方程两边都乘，得． 解得：． 检验：当时，． 所以分式方程的解是． 【变式12 -12】解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解答，解题的关键是掌握分式方程的解法，注意，检验； 根据分式方程的解答方法解答即可； 【详解】解：方程两边乘，得 解得：； 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 【变式12 -13】若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值． 【答案】1 【分析】把分式方程化为整式方程，再解出整式方程可得，再由原方程的解为正数，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：原方程可化为：， ． 原方程的解为正数， ， ， ， ， ， ， ∴的取值范围为且， 正整数的值为1． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意算出的答案要去除分母为0的情况． 【变式12 -14】已知关于的分式方程． (1)若这个方程的解是负数，求的取值范围； (2)若这个方程无解，则______．（直接写出答案） 【答案】(1)且； (2)3，10，． 【分析】（1）将分式方程化为整式方程，求得，由题意可得，且求解即可； （2）将分式方程化为整式方程，求得，由题意可得或，求解即可． 【详解】（1）解： 化为整式方程可得：， 即， 由方程的解是负数可得， 则，且 解得且； （2）解：由（1）可得方程可化为， 当时，，方程化为，无解，符合题意； 当时，，， 由题意可得：这个方程无解，则或 即或， 解得或， 综上可得：或或， 故答案为：3，10，． 【点睛】此题考查了分式方程的求解，涉及了分式方程增根的情况，解题的关键是熟练掌握分式的方程的有关知识． 【考点题型十三】分式方程的应用 【例13】列方程解应用题：同学们在计算机课上学打字． 张帆比王凯每分钟多录入20个字，张帆录入300个字与王凯录入200个字的时间相同． 问王凯每分钟录入多少个字． 【答案】王凯每分钟录入40个字 【分析】由题意得出等量关系：张帆录入300个字=王凯录入200个字的时间，根据等量关系列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设王凯每分钟录入x个字，由题意得： 解得： 经检验，是方程的解． 答：王凯每分钟录入40个字． 【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题的应用，找出等量关系列出方程，解方程得出答案，需要注意解分式方程需检验． 【变式13 -1】甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出乙每天做个零件，再根据甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同列出方程即可得． 【详解】解：由题意可知，乙每天做个零件， 则可列方程为， 故选：A． 【变式13 -2】甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量工作效率工作时间．先设乙单独清点这批图书需要的时间是小时，根据“甲3小时清点完一批图书的”和“两人合作2.4小时清点完另一半图书”列出方程． 【详解】解：设乙单独清点这批图书需要， 根据题意，得， 故答案为：． 【变式13 -3】甲乙两城市相距800千米，乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，求高铁列车的平均速度． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设普通列车的平均速度为，则高铁列车的平均速度为，根据乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时列分式方程求解． 【详解】解：设普通列车的平均速度为，则高铁列车的平均速度为， 解得：， 经检验：是原分式方程解，且符合实际意义， ∴， 答：高铁列车的平均速度为． 【变式13 -4】列分式方程解应用题 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． (1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数 型 型 3000 (2)请你完整解答本题． 【答案】(1)1300；； (2)每套B型号的“文房四宝”的价格为100元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）先求出型号的“文房四宝”花费元，再根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高得到每套型号的“文房四宝”的价格为元，据此可求出购买型号的“文房四宝”套； （2）根据（1）所求结合一共购买40套“文房四宝”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，型号的“文房四宝”花费元， ∵每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，， ∴每套型号的“文房四宝”的价格为元， ∴购买型号的“文房四宝”套， 故答案为：1300；；； （2）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元． 【变式13 -5】列方程解应用题： 为响应绿色出行，低碳减排号召，助力“双碳”目标不断实现，小华家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从地到地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 【答案】新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元 【分析】本题考查了分式的方程的应用，设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元，根据行驶的路程相等列出方程即可解决问题，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元， 由题意列方程得：， 解方程得，， 经检验，是原方程得解，且符合实际意义， 答：新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元． 【变式13 -6】列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 【答案】件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键． 设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可． 【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹， 依题意可得：，解得：． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：1名快递员平均每天可配送包裹件． 【变式13 -7】某政府计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装96间教室比甲公司安装同样数量的教室多用8天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ (2)已知甲公司安装费每天1400元，乙公司安装费每天800元，现需安装教室100间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过22600元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【答案】(1)甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室 (2)13天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，利用工作时间工作总量工作效率，可列出关于的分式方程即可， （2）设安排甲公司工作天，则乙公司工作天，根据安装总费用不超过22600元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室； （2）解：设安排甲公司工作天，则乙公司工作天， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为13． 答：最多安排甲公司工作13天． 【变式13 -8】北京水稻历史悠久，为重振北京稻历史品牌辉煌，丰台区与国家粳稻工程技术研究中心共同建设“国家粳稻工程技术研究中心北京稻育繁种基地”，并于2023年7月正式挂牌、基地除培育优质稻品种外、会建设北京稻科普及培训展厅，并打造北京市中小学生科普实践教育基地，2023年10月，基地试验田迎来丰收，李老师通过探访基地，带来如下信息 信息一：基地有、两块试验田，分别种植普通水稻、粳稻“天隆优717”，试验田比试验田少20亩； 信息二：试验田总产量为10吨，试验田总产量为23吨； 信息三：粳稻“天隆优717”的平均每亩产量是普通水稻平均每亩产量的1.15倍． 根据以上信息，求出粳稻“天隆优717”平均每亩产量． 【答案】0.575吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，设普通水稻平均每亩产量为吨，则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为吨，利用试验田比试验田少20亩，可列方程，解方程即可解答，解题的关键是找出正确的等量关系． 【详解】解：设普通水稻平均每亩产量为吨， 则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为吨． 由题意可得， ． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． ． 答：粳稻“天隆优717”平均每亩产量为0.575吨． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$