清单03 二次根式（考点清单，3个考点梳理+11个题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

清单03 二次根式（3个考点梳理+11个题型解读+提升训练） 【清单1】 二次根式的相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 【清单2】 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【清单3】 二次根式的运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 【考点题型一】二次根式的定义 【例1】给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（　　  ） A． B． C． D． 【变式1 -1】下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1 -2】下列代数式能作为二次根式被开方数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1 -3】在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 【考点题型二】二次根式有意义条件 【例2】若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2 -1】如果在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是 ． 【变式2 -2】已知是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的的值，这个的值为 ． 【变式2 -3】若有意义，则能取的最小整数是 ． 【变式2 -4】若，则的算术平方根为 ． 【变式2 -5】若y＝，则的平方根为 ． 【考点题型三】二次根式的性质 【例3】已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【变式3 -1】若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3 -2】等于（    ）. A． B． C． D． 【变式3 -3】化简： ；当时， ． 【变式3 -4】计算： ． 【变式3 -5】已知，化简= ． 【变式3 -6】已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【变式3 -7】阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 小云同学是这样解答的： ，． 问题：已知． (1)求的值； (2)求的值． 【考点题型四】二次根式乘法 【例4】计算：． 【变式4 -1】如图将，，，按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（   ）    A． B． C． D． 【变式4 -2】计算：×= ． 【变式4 -3】计算： ． 【变式4 -4】计算： . 【考点题型五】二次根式除法 【例5】计算 的结果为（    ）. A． B． C． D．2 【变式5 -1】计算： ． 【变式5 -2】计算： ． 【考点题型六】二次根式乘除混合运算 【例6】计算：． 【变式6 -1】计算： 【变式6 -2】计算：． 【考点题型七】最简二次根式 【例7】下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式7 -1】下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式7 -2】下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型八】同类二次根式 【例8】下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式8 -1】若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（    ） A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2 【变式8 -2】若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是 ． 【变式8 -3】写出一个与是同类二次根式的最简二次根式 ．（不与原数相等） 【变式8 -4】已知最简二次根式和是同类二次根式，求的平方根． 【考点题型九】二次根式加减 【例9】下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式9 -1】计算： ． 【变式9 -2】计算：． 【变式9 -3】计算：． 【变式9 -4】计算：． 【变式9 -5】计算：． 【考点题型十】二次根式混合运算 【例10】计算： (1)； (2)． 【变式10 -1】已知，，求的值． 【变式10 -2】计算： (1)； (2)． 【变式10 -3】计算：． 【变式10 -4】计算：． 【变式10 -5】计算：． 【变式10 -6】观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： ＝＝＝﹣1； =＝＝﹣； 按照以上的过程，解答以下问题： （1）分母有理化：； （2）计算：（）×（+1）． 【考点题型十一】二次根式的应用 【例11】据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)求从高空抛物到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）． 【变式11 -1】团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． (1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【变式11 -2】快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表： 型号 长 宽 小号 中号 大号    已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 二次根式（3个考点梳理+11个题型解读+提升训练） 【清单1】 二次根式的相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 【清单2】 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【清单3】 二次根式的运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 【考点题型一】二次根式的定义 【例1】给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（　　  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断． 【详解】解：①∵，∴是二次根式； ②6不是二次根式； ②∵，∴不是二次根式； ④∵，∴，∴是二次根式； ⑤∵，∴是二次根式； ⑥是三次根式，不是二次根式． 所以二次根式有3个． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次根式的定义，解题时，要注意：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 【变式1 -1】下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据二次根式的定义判断即可． 【详解】在，，，中，只有符合二次根式的定义， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 【变式1 -2】下列代数式能作为二次根式被开方数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式有意义的条件，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、的符号不能确定，则不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； B、，则不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； C、，能作为二次根式被开方数，故此选项正确； D、的符号不能确定，则不能作为二次根式被开方数，故此选项错误． 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解本题的关键． 【变式1 -3】在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 【答案】①③④⑥ 【分析】形如这样的式子称为二次根式，根据这个定义去判断即可． 【详解】解：中被开方数是负数，不是二次根式，是立方根，也不是二次根式，其余均是二次根式； 故答案为：①③④⑥． 【点睛】本题考查了二次根式的识别，掌握二次根式的概念、立方根的概念是解题的关键． 【考点题型二】二次根式有意义条件 【例2】若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，一元一次不等式，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式被开方数大于等于零列式求解即可． 【详解】代数式在实数范围内有意义， ， 解得， 故选B． 【变式2 -1】如果在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 【变式2 -2】已知是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的的值，这个的值为 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】先根据被开方数不小于零的条件求出n的取值范围，再根据题意求取n的值即可．本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 【详解】解：由题可知， ， 则． 要使也是一个正整数， 则n可取3． 故答案为：3（答案不唯一）． 【变式2 -3】若有意义，则能取的最小整数是 ． 【答案】2 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，根据题意解答即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 则m能取的最小整数值是2，故答案为：2． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【变式2 -4】若，则的算术平方根为 ． 【答案】2 【分析】根据得出，求出，得出，代入求出其值，再求其算术平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，算术平方根的定义，解题的关键是根据二次根式的性质，求出，． 【变式2 -5】若y＝，则的平方根为 ． 【答案】 【详解】由二次根式有意义可得，代入得，再求出即可得出的平方根． 【解答】解：由二次根式有意义可得，，， 解得， ∴， 把代入得，， 所以的平方根为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件及平方根，解题的关键是利用二次根式有意义求出x的值． 【考点题型三】二次根式的性质 【例3】已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式3 -1】若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选C． 【变式3 -2】等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键. 根据二次根式的性质可得，再化简绝对值即可解答. 【详解】解：∵，， ∴，即. 故选：D. 【变式3 -3】化简： ；当时， ． 【答案】 3 / 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握成为解题的关键． 根据即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3，． 【变式3 -4】计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 先将被开方数化为，然后按照二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 【变式3 -5】已知，化简= ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键，根据题意化简二次根式，即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为1． 【变式3 -6】已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，先根据数轴上，，的位置确定的符号，再根据绝对值的性质化简即可，解题的关键是要能根据数轴上点的位置确定各式子的符号． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴ ∴ ， 故答案为：． 【变式3 -7】阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 小云同学是这样解答的： ，． 问题：已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）设，，然后利用（1）的结论可得：，从而进行计算即可解答． 本题考查了二次根式的化简求值，加减消元法，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：设，， 由（1）得：， 解得：， ． 【考点题型四】二次根式乘法 【例4】计算：． 【答案】 【分析】把系数相乘，被开方数相乘，最后化成最简二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题关键． 【变式4 -1】如图将，，，按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出与表示的两数即可得到答案． 【详解】解：表示第5排从左向右第个数是． 表示第排从左向右第个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是， 第 排是奇数排，最中间的也就是这排的第个数是． ∴与表示的两数之积是， 故选：B 【点睛】此题考查了二次根式，正确找到排列规律是解题的关键． 【变式4 -2】计算：×= ． 【答案】1 【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行梳理计算即可． 【详解】解：×==1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解答的关键． 【变式4 -3】计算： ． 【答案】 【详解】根据化简． 故答案：． 【变式4 -4】计算： . 【答案】3 【分析】，从而求解. 【详解】解：原式===3． 故答案为3． 【点睛】本题考查二次根式的乘法，掌握计算法则正确计算是本题的解题关键． 错因分析 较容易题.失分原因是化简二次根式出错. 【考点题型五】二次根式除法 【例5】计算 的结果为（    ）. A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可. 【详解】原式=. 故选：D. 【点睛】本题考查二次根式的除法，掌握二次根式的除法法则是解答本题的关键. 【变式5 -1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5 -2】计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的除法计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 【考点题型六】二次根式乘除混合运算 【例6】计算：． 【答案】10 【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式6 -1】计算： 【答案】 【分析】先将除法转为乘法，再根据二次根式的乘法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法．注意乘法运算律的运用． 【变式6 -2】计算：． 【答案】 【分析】按照从左至右的运算顺序先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法运算即可. 【详解】解： 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的乘法与除法的运算法则及混合运算的运算顺序”是解本题的关键. 【考点题型七】最简二次根式 【例7】下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：A中，是最简二次根式，故符合要求； B 中，不是最简二次根式，故不符合要求； C中，不是最简二次根式，故不符合要求； D中，不是最简二次根式，故不符合要求； 故选：A． 【变式7 -1】下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式满足的两个条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此分析即可作出判断．本题考查了二次根式的性质． 【详解】解：A．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C．是最简二次根式，故此选项符合题意； D．， 则不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式7 -2】下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数不含分母，根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【考点题型八】同类二次根式 【例8】下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式的概念，将选项中的各数化为最简二次根式，判断它们的被开方数是否与相同，相同即是同类二次根式． 【详解】解：A、，与是同类二次根式，符合题意． B、，与不是同类二次根式，不符合题意． C、，与不是同类二次根式，不符合题意． D、，与不是同类二次根式，不符合题意． 故选：A． 【变式8 -1】若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（    ） A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2 【答案】A 【分析】两个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则称它们是同类二次根式，根据此定义即可得到关于a的方程，从而可求得a的值． 【详解】∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式 ∴a+1=2a 解得：a=1 故选：A 【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的概念是关键． 【变式8 -2】若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的性质，通过计算，即可完成求解． 【详解】解：∵是最简二次根式，且最简二次根式与是同类二次根式 ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，熟知同类二次根式的定义是解题的关键：如果两个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个二次根式叫做同类二次根式． 【变式8 -3】写出一个与是同类二次根式的最简二次根式 ．（不与原数相等） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据同类二次根式的概念和最简二次根式的概念即可求解． 【详解】∵， ∴与是同类二次根式的最简二次根式有（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念和最简二次根式的概念，解题的关键是能够掌握同类二次根式的概念和最简二次根式的概念． 【变式8 -4】已知最简二次根式和是同类二次根式，求的平方根． 【答案】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义列出关于x、y的方程组，解方程组得出x、y的值，再求出的值，最后求出平方根即可． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，平方根的定义，最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义，准确进行计算． 【考点题型九】二次根式加减 【例9】下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A．，计算错误，不合题意； B．，计算错误，不合题意； C．，计算错误，不合题意； D．，计算正确，符合题意； 故选D． 【变式9 -1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，掌握二次根式加减运算法则即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式9 -2】计算：． 【答案】 【分析】先求绝对值并化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式＝ ＝． 【点睛】本题考查二次根式加减运算，熟练掌握二次根式加减运算法则是解题的关键． 【变式9 -3】计算：． 【答案】 【分析】应用二次根式的加减法法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：原式= = 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，熟练掌握二次根式的加减法运算法则进行求解是解决本题的关键． 【变式9 -4】计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质先化简，再合并同类项即可． 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，二次根式的加减法，解题的关键是掌握运算法则． 【变式9 -5】计算：． 【答案】 【分析】分别化简二次根式、绝对值，计算立方根和利用二次根式的性质计算，再相加减即可． 【详解】解：原式= =． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简、同类二次根式的合并、立方根和化简绝对值，掌握二次根式的性质以及能正确化简绝对值是解题关键． 【考点题型十】二次根式混合运算 【例10】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质化简进行化简，再合并同类二次根式，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式10 -1】已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握完全平方式的应用是解决本题的关键，同时需要注意实数的运算法则的熟练运用．根据题意，利用完全平方式将原式进行化简，从而整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式10 -2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的化简方法． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法和加法合并； （2）先用平方差公式展开，计算二次根式的乘法即可； 【详解】（1）解：原式： ． （2）原式： ． 【变式10 -3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法和除法，再将二次根式化简，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式10 -4】计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则和二次根式的性质化简二次根式进而计算得出答案； 【详解】解： ． 【变式10 -5】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据平方差公式以及立方根、平方根的性质化简即可求解． 【详解】解： ． 【变式10 -6】观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： ＝＝＝﹣1； =＝＝﹣； 按照以上的过程，解答以下问题： （1）分母有理化：； （2）计算：（）×（+1）． 【答案】（1）2﹣；（2）2001． 【分析】根据题目信息，找出规律，把所给算式转化为最简二次根式，然后进行计算即可得解. 【详解】（1）＝2－； （2） × ＝ ＝ ＝2002－1 ＝2001 【点睛】本题考查了分母有理化，读懂题目信息，把所给算式转化成最简二次根式是解题的关键. 【考点题型十一】二次根式的应用 【例11】据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)求从高空抛物到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）． 【答案】(1) (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【分析】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可； （2）求出，代入动能计算公式即可求出． 【详解】（1）解：由题意知， ∴， 故从高空抛物到落地时间为； （2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当时，， ∴， 这个玩具产生的动能， ∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【变式11 -1】团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． (1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆形团扇所用的包边长度更短 【分析】本题考查了二次根式的应用、实数的比较大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案； （2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 圆形团扇的半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米； （2）解：∵ 圆形团扇半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米， ∴ 圆形团扇的周长为厘米，正方形团扇的周长为厘米 ∵，， ∴，                             ∴ 圆形团扇所用的包边长度更短． 【变式11 -2】快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表： 型号 长 宽 小号 中号 大号    已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由． 【答案】应选择中底面型号的纸箱 【分析】先求出甲、乙两件礼品的边长之和为，进而估算出，由此即可得到答案． 【详解】解：应选择中型号的纸箱，理由如下： ∵甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，， ∴甲、乙两件礼品的边长分别为， ∴甲、乙两件礼品的边长之和为， ∵， ∴， ∴只有中型号和大型号两个型号可供选择， ∵， ∴从节约材料的角度考虑，应选择中底面型号的纸箱． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确估算出甲、乙两件礼品的边长之和的范围是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$