2025年广东省九年级中考数学二轮专题复习课件：专题2方案设计与最优化问题

专题2　方案设计与最优化问题 方法解读：根据实际问题创建出数学模型，并利用方程(组)、不等式 (组)、函数等内容求出最优解或符合条件的解，最终将问题还原成实 际问题. 类型一　方案设计 例1：某搬运公司计划购买A， B两种型号的机器搬运货物，每台A型机 器比每台B型机器每天少搬运10 t货物，且每台A型机器搬运450 t货物与 每台B型机器搬运500 t货物所需天数相同. (1)求每台A型机器、B型机器每天分别搬运多少吨货物； 解：(1)设每台B型机器每天搬运x t，则每台A型机器每天搬运(x－10)t. 根据题意，得 ＝ ，解得x＝100. 经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意. ∴x－10＝90. 答：每台A型机器每天搬运90 t货物，每台B型机器每天搬运100 t货物. 解：(1)设每台B型机器每天搬运x t，则每台A型机器每天搬运(x－10)t. 根据题意，得 ＝ ，解得x＝100. 经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意. ∴x－10＝90. 答：每台A型机器每天搬运90 t货物，每台B型机器每天搬运100 t货物. 例1：某搬运公司计划购买A， B两种型号的机器搬运货物，每台A型机 器比每台B型机器每天少搬运10 t货物，且每台A型机器搬运450 t货物与 每台B型机器搬运500 t货物所需天数相同. (2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购 两种型号的机器共30台，需满足每天搬运货物不低于2 880 t，购买金额 不超过55万元，请求出最省钱的采购方案. 解：(2)设采购A型机器m台，则采购B型机器(30－m)台. 根据题意，得 解得10≤m≤12. 设采购金额为w元，则w＝1.5m＋2(30－m)＝－0.5m＋60. ∵－0.5＜0，∴w随m的增大而减小. ∴当m＝12时，w有最小值为54.∴30－m＝18. 答：购买12台A型机器，18台B型机器时，最省钱. 解：(2)设采购A型机器m台，则采购B型机器(30－m)台. 根据题意，得 解得10≤m≤12. 设采购金额为w元，则w＝1.5m＋2(30－m)＝－0.5m＋60. ∵－0.5＜0，∴w随m的增大而减小. ∴当m＝12时，w有最小值为54.∴30－m＝18. 答：购买12台A型机器，18台B型机器时，最省钱. [变式1](2024·怀化模拟)某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人 的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客 车，则可少租6辆，且恰好坐满. (1)原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？ 解：(1)设原计划租用A种客车x辆.根据题意，得45x＋30＝60(x－6)，解 得x＝26. 60×(26－6)＝1 200(人). 答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1 200人. 解：(1)设原计划租用A种客车x辆.根据题意，得45x＋30＝60(x－6)，解 得x＝26. 60×(26－6)＝1 200(人). 答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1 200人. [变式1](2024·怀化模拟)某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人 的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客 车，则可少租6辆，且恰好坐满. (2)若该校计划租用A，B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每 人都有座位，则有哪几种租车方案？ 解：(2)设租用A种客车a辆，则租用B种客车(25－a)辆. 根据题意，得 解得18≤a≤20. ∴共有三种租车方案. 解：(2)设租用A种客车a辆，则租用B种客车(25－a)辆. 根据题意，得 解得18≤a≤20. ∴共有三种租车方案. 方案一：租用A种客车18辆，B种客车7辆；方案二：租用A种客车19辆， B种客车6辆； 方案三：租用A种客车20辆，B种客车5辆. 方案一：租用A种客车18辆，B种客车7辆；方案二：租用A种客车19辆， B种客车6辆； 方案三：租用A种客车20辆，B种客车5辆. [变式1](2024·怀化模拟)某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人 的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客 车，则可少租6辆，且恰好坐满. (3)在(2) 的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金为每辆 300元，应该怎样租车才最合算？ 解：(3)∵B种客车费用较高，∴B种客车越少，租车总费用越低. ∴租用A种客车20辆，B种客车5辆最合算. 解：(3)∵B种客车费用较高，∴B种客车越少，租车总费用越低. ∴租用A种客车20辆，B种客车5辆最合算. 类型二　最优化问题 例2：(2024·广安模拟)“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销 售A，B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需 390元；购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元. (1)A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？ 解：(1)设A种盐皮蛋每箱价格是x元，B种盐皮蛋每箱价格是y元. 根据题意，得 解得 答：A种盐皮蛋每箱价格是30元，B种盐皮蛋每箱价格是20元. 解：(1)设A种盐皮蛋每箱价格是x元，B种盐皮蛋每箱价格是y元. 根据题意，得 解得 答：A种盐皮蛋每箱价格是30元，B种盐皮蛋每箱价格是20元. 例2：(2024·广安模拟)“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销 售A，B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需 390元；购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元. (2)若某公司购买A，B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数 量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少 费用. 解：(2)设购买A种盐皮蛋m箱，则购买B种盐皮蛋(30－m)箱. 根据题意，得 解得17.5≤m≤20. ∵m为正整数，∴m的取值为18，19或20. ∵A种盐皮蛋每箱价格较贵， ∴购买A种盐皮蛋的数量越少，总费用越低. ∴购买A种盐皮蛋18箱，B种盐皮蛋30－18＝12(箱)时，总费用最少，最 少费用为30×18＋20×12＝780(元). 解：(2)设购买A种盐皮蛋m箱，则购买B种盐皮蛋(30－m)箱. 根据题意，得 解得17.5≤m≤20. ∵m为正整数，∴m的取值为18，19或20. ∵A种盐皮蛋每箱价格较贵， ∴购买A种盐皮蛋的数量越少，总费用越低. ∴购买A种盐皮蛋18箱，B种盐皮蛋30－18＝12(箱)时，总费用最少，最 少费用为30×18＋20×12＝780(元). [变式2](2024·荆州模拟)某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售. 已知1 400元采购A种饰品的件数是630元采购B种饰品件数的2倍，A种饰 品的进价比B种饰品的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元； 计划采购这两种饰品共600件，采购B种饰品的件数不低于390件，且不超 过A种饰品件数的4倍. (1)求A，B两种饰品每件的进价； 解：(1)设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为(a－1)元. 根据题意，得 ＝2× ， 解：(1)设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为(a－1)元. 根据题意，得 ＝2× ， 解得a＝10. 经检验，a＝10是原方程的解，且符合题意. 答：A种饰品每件的进价是10元，B种饰品每件的进价是9元. 解得a＝10. 经检验，a＝10是原方程的解，且符合题意. 答：A种饰品每件的进价是10元，B种饰品每件的进价是9元. [变式2](2024·荆州模拟)某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售. 已知1 400元采购A种饰品的件数是630元采购B种饰品件数的2倍，A种饰 品的进价比B种饰品的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元； 计划采购这两种饰品共600件，采购B种饰品的件数不低于390件，且不超 过A种饰品件数的4倍. (2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种饰品超过 150件时，A种饰品超过的部分按进价打六折.设购进A种饰品x件. ①求x的取值范围； (2)①购进B种饰品(600－x)件. 根据题意，得 解得120≤x≤210. ∴x的取值范围是120≤x≤210. 解：(2)①购进B种饰品(600－x)件. 根据题意，得 解得120≤x≤210. ∴x的取值范围是120≤x≤210. [变式2](2024·荆州模拟)某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售. 已知1 400元采购A种饰品的件数是630元采购B种饰品件数的2倍，A种饰 品的进价比B种饰品的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元； 计划采购这两种饰品共600件，采购B种饰品的件数不低于390件，且不超 过A种饰品件数的4倍. (2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种饰品超过 150件时，A种饰品超过的部分按进价打六折.设购进A种饰品x件. ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润. ②设总利润为w元. 当120≤x≤150时，w＝15×600－10x－9(600－x)＝－x＋3 600. ∵－1＜0，∴w随x的增大而减小. ∴当x＝120时，w取最大值，最大值为3 480； 当150＜x≤210时，w＝15×600－[10×150＋10×0.6(x－150)]－9(600 －x)＝3x＋3 000. ∵3＞0，∴w随x的增大而增大. ∴当x＝210时，w取最大值，最大值为3 630.∴600－x＝390. 综上所述，购进A种饰品210件，B种饰品390件时利润最大，最大利润为 3 630元. ②设总利润为w元. 当120≤x≤150时，w＝15×600－10x－9(600－x)＝－x＋3 600. ∵－1＜0，∴w随x的增大而减小. ∴当x＝120时，w取最大值，最大值为3 480； 当150＜x≤210时，w＝15×600－[10×150＋10×0.6(x－150)]－9(600 －x)＝3x＋3 000. ∵3＞0，∴w随x的增大而增大. ∴当x＝210时，w取最大值，最大值为3 630.∴600－x＝390. 综上所述，购进A种饰品210件，B种饰品390件时利润最大，最大利润为 3 630元. $$