专题18 电势能及带电粒子的偏转（知识梳理+7大考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中物理学业水平合格性考试总复习（上海专用）

专题18 电势能及带电粒子的偏转 （原卷版） 1、进一步强化对静电场的认识，理解静电场力的性质和能的性质； 2、能够熟练地解决带电粒子在恒定的电场以及一些变化的电场中的加速和偏转问题； 3、能够熟练地解决带电物体在静电场和重力场所构成的复合场中的运动问题. 知识点一、电势能 1．电势能：电荷在电场中具有的势能，用Ep表示． 2．静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量．表达式：WAB＝EpA－EpB=-Ep (1)静电力做正功，电势能减少； (2)静电力做负功，电势能增加． 3．电势能的大小：电荷在某点(A点)的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功EpA＝WA0. 4．电势能具有相对性 电势能零点的规定：通常把电荷在离场源电荷无限远处或把电荷在大地表面的电势能规定为零． 5．电势能是标量，有正负但没有方向．在同一电场中，电势能为正值表示电势能大于零势能点的电势能，电势能为负值表示电势能小于零势能点的电势能． 知识点二：电势 1．定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比． 2．公式：φ＝. 3．单位：国际单位制中，电势的单位是伏特，符号是V,1 V＝1 J/C. 4．电势高低的判断：（1）沿着电场线的方向电势逐渐降低．（2）由φ＝知，对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高． 5．电势的相对性：只有规定了零电势点才能确定某点的电势，一般选大地或离场源电荷无限远处的电势为0. 6．电势是标量，只有大小，没有方向，但有正、负之分，同一电场中电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低． 知识点三：带电粒子在电场中的运动 知识点一：带电粒子在电场中的加速运动 （1）带电粒子在任何静电场中的加速问题，都可以运用动能定理解决，即带电粒子在电场中通过电势差为UAB 的两点时动能的变化是，则 （2）带电粒子在静电场和重力场的复合场中的加速，同样可以运用动能定理解决，即（W为重力和电场力以外的其它力的功） （3）带电粒子在恒定场中运动的计算方法 带电粒子在恒力场中受到恒力的作用，除了可以用动能定理解决外还可以由牛顿第二定律以及匀变速直线运动的公式进行计算. 知识点二：带电粒子在偏转电场中的运动问题 （定量计算通常是在匀强电场中，并且大多数情况是初速度方向与电场线方向垂直） （1）运动性质：受到恒力的作用，初速度与电场力垂直，做类平抛运动. （2）常用的关系： （U为偏转电压，d为两平行金属板间的距离或沿着电场线方向运动的距离，L为偏转电场的宽度（或者是平行板的长度），v0为经加速电场后粒子进入偏转电场时的初速度.） 带电粒子离开电场时： 沿电场线方向的速度 ； 垂直电场线方向的速度 合速度大小是： 方向是： 离开电场时沿电场线方向发生的位移 知识点三：带电微粒或者带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒 （1）带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能量守恒，即 （2）带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决. 一、考点一、静电力做功的特点 1．如图，匀强电场中有A、B、C三个点，将试探电荷从A点移到B点、再从B点移到C点，电场力做功为W；则将该电荷沿直线由A点移到C点，电场力做功（    ） A．小于W B．等于W C．大于W D．无法与W相比 2．在匀强电场中有A、B两点，将一电荷量为q的正电荷从A点移到B点，第一次沿直线AB移动该电荷，电场力做功为W1；第二次沿路径ACB移动该电荷，电场力做功W2；第三次沿曲线ADB移动该电荷，电场力做功为W3，则（　　） A．W1>W2>W3 B．W1＜W2＜W3 C．W1=W2=W3 D．W1=W2>W3 3．在电场中移动电荷时，电场力所做的功与电荷的运动路径 （选填“有关”或“无关”）；电场中沿着电场线方向电势逐渐 （选填“升高”或“降低”）。 4．如图所示，在场强大小为E的匀强电场中，将电荷量为＋q的点电荷由A点沿直线移至B点，AB间的距离为L，AB方向与电场方向成60°角，求： （1）点电荷所受电场力的大小； （2）在此过程中电场力做的功。 二、考点二、利用功能关系计算电场力做的功及电势能的变化 5．一点电荷从电场中的a点移到b点时，电场力做功为零，则（　　） A．a、b两点的电势一定相等 B．电荷一定沿等势面移动 C．a、b两点的场强一定相等 D．电荷所受电场力始终垂直于移动方向 6．下列说法中正确的有（　　） A．电势差与电场对检验电荷所做的功成正比，与检验电荷的电量成反比 B．把电荷从高电势处移到低电势处，其电势能必减少 C．顺着电场线不论是移动正电荷还是负电荷，其电势能都减少 D．电场强度越大的地方，相邻等势面的间距越小 7．将一个电荷量为的电荷从无穷远处移到电场中的A点时，电荷的电势能为，此过程中电场力做功 J；若再将此电荷从A移动到B，电场力做功为，则它在B点的电势是 V（保留两位有效数字）。 8．如图所示，电量为2×10-6C的负点电荷在电场中A点受到的电场力大小为4×10-4N，则A点的场强为 N/C；若将此电荷移至B点，则电荷的电势能将 （选填“增大”、“不变”或“减小”）。 三、考点三、电势的概念、定义式、单位和物理意义 9．处于匀强电场中的点电荷，仅在电场力作用下，由静止开始移动时，它一定（　　） A．从电势较高处向电势较低处移动 B．从电势较低处向电势较高处移动 C．从电势能较大处向电势能较小处移动 D．从电势能较小处向电势能较大处移动 10．下列各物理量的定义式正确的是（　　） A．加速度 B．功率 C．电势 D．电场强度 11．下列物理量关系中不具有类比关系的是（        ） A．重力场中的高度与电场中的电势 B．重力场中物体的质量与电场中带电体的电量 C．重力场中的重力加速度与电场中的电场强度 D．重力场中物体的重力势能与电场中带电体的电势能 12．在点电荷形成的电场中有一点A，当一个的检验电荷从电场的无限远处被移到电场中的A点时，电场力做的功为，则检验电荷在A点的电势能及电场中A点的电势分别为（规定无限远处电势能为0）（　　） A．， B．， C．， D．， 四、考点四、ψ-x图像的物理意义 13．沿空间某直线建立轴，该直线上的静电场方向沿轴，某点电势的随位置变化的图像如图所示，一电荷量为带负电的试探电荷，经过点时动能为1.5eV，速度沿轴正方向，若该电荷仅受电场力，则其将（　　） A．在处，电场强度达到最大值 B．经过点时动能为2.5eV C．能通过点 D．能通过点 14．如图甲所示，一条电场线与Ox轴重合，取O点电势为零，Ox方向上各点的电势φ随x变化的情况如图乙所示，若在O点由静止释放一电子，电子仅受电场力的作用，则（　　）    A．电子沿Ox的负方向运动 B．电子的电势能将增大 C．电子运动的加速度恒定 D．电子运动的加速度先减小后增大 15．在电场中放置一光滑绝缘水平桌面，沿桌面上x轴方向电势分布如图中实线所示。一质量m＝4×10-2kg、电量q＝-2×10-6C的带负电小球，以v0＝2m/s的初速度在x0＝-1m处沿x轴正方向运动，则小球从开始运动到动能最大时电场力所做的功为 J；当小球速度为零时其位置坐标为 m。 16．某空间的x轴上只存在沿此轴方向的静电场，x轴上各点电势分布如图。一带电量为的粒子只在电场力作用下由x轴上某点无初速释放，若粒子沿x轴运动过程中的总能量恒为零，则粒子的活动区间是 ；运动过程中的最大动能为 。 五、考点五、 等量同种电荷连线中垂线和连线上的电场强度分布图像 17．如图所示的四种电场中均有、两点，其中、两点的电场强度和电势都相同的是（　　）     A．甲图中与点电荷等距的、两点 B．乙图中两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距的、两点 C．丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的、两点 D．丁图中匀强电场中的、两点 18．如图，等量正点电荷连线的中垂线上，放置两检验电荷a、b。取无穷远处为零势能点，以下描述a、b电荷的电势能Ep与其所带电量q的关系，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 19．两等量正电荷电场如图所示，O点为两电荷连线中点，若以无穷远为零势能面，下列各点电势最高的是（　　） A．a点 B．b点 C．c点 D．O点 20．如图所示，在两等量同种点电荷的电场中，MN是两电荷连线的中垂线，b是直线ac与MN的交点，且a与c关于MN对称，d是两电荷连线上的一点。下列判断正确的是（　　） A．b点场强一定大于d点场强 B．b点电势一定大于d点电势 C．a、b两点的电势差Uab等于b、c两点间的电势差Ubc D．试探电荷+q在a点的电势能等于在c点的电势能 六、考点六、计算带电粒子穿越不同等势面时电场力做功和能量变化 21．某电场的等势面如图所示，图中、、、、为电场中的5个点，则（　　） A．一正电荷从点运动到点，电场力做正功 B．电子在点的电势能为3eV C．点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右 D．点的电场强度大小比点大 22．静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图所示，一电子在电场中仅受电场力的作用，实线描绘出了其运动轨迹，虚线表示等势线，各等势线关于y轴对称，a、b、c、d分别是轨迹与等势线的交点。a点与c点之间的电压为 V，已知电子在经过a点时动能为60eV，则电子在经过等势线d点时的动能为 eV。 23．某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，a、b、c点中电场强度最小的点是 。若一质子从a点运动到d点，则电场力做功为 eV（，质子的电荷量为）。 24．电场中a、b、c三点，带电量为C的正电荷从a移到b电场力做功J，带电量为C的负电荷从b移到c电场力做功J，则 V， V， V。 七、考点七、 带电粒子在周期性变化电场中的直线运动 25．在空间有正方向水平向右、大小按如图所示的图线变化的电场，位于电场中A点的电子在t=0时速度为零，在t=1 s时，电子离开A点的距离大小为l。那么在t=2 s时，电子将处在（　　） A．A点 B．A点左方l处 C．A点右方2l处 D．A点左方2l处 26．如图所示，两平行金属板分别加上如下列选项中的电压，能使原来静止在金属板中央的电子（不计重力）有可能做往返运动的U-t图像应是（设两板距离足够大）（　　） A． B． C． D． 27．如图所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔。右极板电势随时间变化的规律如图所示。电子原来静止在左极板小孔处。（不计重力作用）下列说法中正确的是（　　） A．从t=0时刻释放电子，电子将始终向右运动，直到打到右极板上 B．从t=0时刻释放电子，电子可能在两板间往复运动 C．从时刻释放电子，电子一定打到右极板上 D．从时刻释放电子，电子必将打到左极板上 28．如图所示，间距为d的平行金属板A、B竖直放置，且接有高压直流电源，A板附近初速为0的电子在电场力的作用下从B板的小孔处以速度射向水平放置的平行金属板C、D的正中央，金属板C、D间的电势差为U，最后电子在C板边缘离开电场。已知电子质量为m，电量为e。求： （1）AB间的电势差。 （2）AB间的电场强度E。 （3）判断CD两板的电势高低。 （4）电子离开CD电场时的速度v的大小。 在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场来控制带电粒子的运动。利用电场使带电粒子加速就是其中一种情况。一般情况下电子、质子、离子等不用考虑重力，带电颗粒，如尘埃、液滴、小球等，一般要考虑重力。 29．某电场的电场线分布如图所示，虚线为某带电粒子只在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则（　　） A．粒子可能带负电 B．粒子一定是从a点运动到b点 C．粒子在c点的速度可能大于在a点的速度 D．粒子在c点的加速度一定大于在a点的加速度 30．如图，有三个质量相等的带电颗粒，分别带正电、带负电和不带电，从两水平放置的金属板左侧中央以相同的水平初速度先后射入电场中，最后落在正极板上的A、B、C三处，则（　　） A．落在C处的带电颗粒运动时间最短 B．落到A处的带电颗粒带正电，落到C处的带电颗粒带负电 C．三种带电颗粒到达正极板时的速率相同 D．三种带电颗粒到达正极板时落在A的带电颗粒机械能增大，落在C处的带电颗粒机械能减小，落在B处的带电颗粒机械能不变 31．如图，以О为圆心，半径为R的圆形区域内有竖直向下的匀强电场。质量为m、电量为q的带正电粒子在纸面内自圆周上M点先后以不同的速率沿水平方向进入电场。其中速率为v0的粒子，可从直径MN上的N点穿出。直径MN与水平方向的夹角α=53°，粒子重力不计。 （1）求电场强度的大小； （2）以某一速率射入的粒子在电场中运动时间最长，求此粒子动能的增加量。 自电场的能量 电场能的性质主要体现在电场力对电荷做功的能力上。当电荷在电场中移动时，电场力会对电荷做功，说明电场具有能量。这种能量可以通过电场力对电荷做的功来衡量。 32．某一区域的电场线分布如图所示，A、、是电场中的三个点。则下列说法正确的是（    ） A．A、、三点的电势关系为 B． A、、三点的电场强度大小关系为 C． A、、三点中，电子在点的电势能最大 D．质子从点移到A点比从A点移到点电场力做功少 33．某电场的三条等势线为关于轴对称的椭圆，如图所示，、、为等势线上的3个点，其电势分别为，，，为的中点。一质子仅受电场力作用从点由静止释放，下列说法正确的是（    ） A．沿轴正方向电势一直降低 B．质子从到的过程中加速度减小，速度增大 C．点的电势大于 D．质子运动到点时的动能为 34．如图所示，虚线O、A、B、C、D是某匀强电场中的5个平行且均相距的等势面，一电子经过O时的动能为，从O到C的过程中克服电场力所做的功为，电子运动轨迹如图中实线所示。已知等势面A的电势为，电子经过等势面C时的速率为，求： （1）等势面B的电势及该匀强电场的电场强度的大小； （2）该电子经过等势面C时的电势能； （3）该电子经过等势面A时速度的大小。 看不见但的确存在的场 电场是电荷周围空间里存在的一种特殊物质。电场的基本性质是对放入其中的电荷有力的作用，电荷或者带电体之间的库仑力就是通过电场实现的，为了更直观地研究电场，我们引入了电场线这个模型，并用电场强度这个物理量来描述电场的强弱和方向。 35．如图所示，虚线、、代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，、是这条轨迹上的两点，由此可知（    ） A．该电场有可能由负点电荷形成 B．带电粒子在点时的加速度小于在点时的加速度 C．带电粒子在点时的速度小于在点时的速度 D．带电粒子在点时的电势能小于在点时的电势能 36．真空中两个带等量异种电荷的点电荷A、B周围的电场分布情况（电场线方向未标出）如图所示。已知A带正电、B带负电，点为A、B两点电荷连线的中点，、为两点电荷连线的中垂线上的两点，且。下列说法正确的是（    ） A．A、B连线的中垂线上的所有电场强度方向不一定相同 B．将一带负电的小球从点由静止释放，它将沿做匀加速直线运动 C．点的电势与点的电势相等 D．、、三点中，点的电场强度最小 37．在一条直线上有两个点电荷A、B，A带电荷量为，B带电荷量为，现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷都处于平衡状态，关于点电荷的电性及位置，下列判断正确的是（    ） A．可将点电荷C放在AB连线的延长线上A点左边 B．可将点电荷C放在AB连线的中间 C．可将点电荷C放在AB连线的延长线上B点右边 D．引入的点电荷C一定带负电 38．如图所示，在点放置正点电荷，、b两点的连线过点，，将质子从点由静止释放，质子运动到的速率为，则将粒子（质量为质子4倍，电量为质子2倍）从点由静止释放后运动到点的速率为 ，若电子以为半径绕做匀速圆周运动的线速度为，则电子以为半径绕做匀速圆周运动的线速度为 。 39．如图所示，小球A、B均可视为点电荷，两球均带正电，固定的小球A的电荷量为，用绝缘细绳悬挂起来的小球B的质量为、电荷量为。当小球B静止时，两球心在同一高度，细绳与竖直方向的夹角，静电力常量为，重力加速度大小为，取，，求： （1）小球B所受电场力的大小； （2）小球A在小球B处电场的电场强度大小； （3）A、B两球间的距离。 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 电势能及带电粒子的偏转 （解析版） 1、进一步强化对静电场的认识，理解静电场力的性质和能的性质； 2、能够熟练地解决带电粒子在恒定的电场以及一些变化的电场中的加速和偏转问题； 3、能够熟练地解决带电物体在静电场和重力场所构成的复合场中的运动问题. 知识点一、电势能 1．电势能：电荷在电场中具有的势能，用Ep表示． 2．静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量．表达式：WAB＝EpA－EpB=-Ep (1)静电力做正功，电势能减少； (2)静电力做负功，电势能增加． 3．电势能的大小：电荷在某点(A点)的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功EpA＝WA0. 4．电势能具有相对性 电势能零点的规定：通常把电荷在离场源电荷无限远处或把电荷在大地表面的电势能规定为零． 5．电势能是标量，有正负但没有方向．在同一电场中，电势能为正值表示电势能大于零势能点的电势能，电势能为负值表示电势能小于零势能点的电势能． 知识点二：电势 1．定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比． 2．公式：φ＝. 3．单位：国际单位制中，电势的单位是伏特，符号是V,1 V＝1 J/C. 4．电势高低的判断：（1）沿着电场线的方向电势逐渐降低．（2）由φ＝知，对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高． 5．电势的相对性：只有规定了零电势点才能确定某点的电势，一般选大地或离场源电荷无限远处的电势为0. 6．电势是标量，只有大小，没有方向，但有正、负之分，同一电场中电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低． 知识点三：带电粒子在电场中的运动 知识点一：带电粒子在电场中的加速运动 （1）带电粒子在任何静电场中的加速问题，都可以运用动能定理解决，即带电粒子在电场中通过电势差为UAB 的两点时动能的变化是，则 （2）带电粒子在静电场和重力场的复合场中的加速，同样可以运用动能定理解决，即（W为重力和电场力以外的其它力的功） （3）带电粒子在恒定场中运动的计算方法 带电粒子在恒力场中受到恒力的作用，除了可以用动能定理解决外还可以由牛顿第二定律以及匀变速直线运动的公式进行计算. 知识点二：带电粒子在偏转电场中的运动问题 （定量计算通常是在匀强电场中，并且大多数情况是初速度方向与电场线方向垂直） （1）运动性质：受到恒力的作用，初速度与电场力垂直，做类平抛运动. （2）常用的关系： （U为偏转电压，d为两平行金属板间的距离或沿着电场线方向运动的距离，L为偏转电场的宽度（或者是平行板的长度），v0为经加速电场后粒子进入偏转电场时的初速度.） 带电粒子离开电场时： 沿电场线方向的速度 ； 垂直电场线方向的速度 合速度大小是： 方向是： 离开电场时沿电场线方向发生的位移 知识点三：带电微粒或者带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒 （1）带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能量守恒，即 （2）带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决. 一、考点一、静电力做功的特点 1．如图，匀强电场中有A、B、C三个点，将试探电荷从A点移到B点、再从B点移到C点，电场力做功为W；则将该电荷沿直线由A点移到C点，电场力做功（    ） A．小于W B．等于W C．大于W D．无法与W相比 【答案】B 【详解】电场力做功与路径无关，将试探电荷从A点移到B点、再从B点移到C点，电场力做功为W；则将该电荷沿直线由A点移到C点，电场力做功也为W。 故选B。 2．在匀强电场中有A、B两点，将一电荷量为q的正电荷从A点移到B点，第一次沿直线AB移动该电荷，电场力做功为W1；第二次沿路径ACB移动该电荷，电场力做功W2；第三次沿曲线ADB移动该电荷，电场力做功为W3，则（　　） A．W1>W2>W3 B．W1＜W2＜W3 C．W1=W2=W3 D．W1=W2>W3 【答案】C 【详解】电场力做功与路径无关，只与两点间的电势差有关，则无论沿哪个路径从A点移动到B点，电场力做功相等，均为 故选C。 3．在电场中移动电荷时，电场力所做的功与电荷的运动路径 （选填“有关”或“无关”）；电场中沿着电场线方向电势逐渐 （选填“升高”或“降低”）。 【答案】 无关 降低 【详解】[1][2] 电场力所做的功与电荷的运动路径无关， 电场中沿着电场线方向电势逐渐降低。 4．如图所示，在场强大小为E的匀强电场中，将电荷量为＋q的点电荷由A点沿直线移至B点，AB间的距离为L，AB方向与电场方向成60°角，求： （1）点电荷所受电场力的大小； （2）在此过程中电场力做的功。 【答案】（1）qE；（2） 【详解】（1）匀强电场场强处处相同，大小均为E，点电荷所受电场力的大小 （2）在A到B过程中电场力是恒力，在此过程中电场力做的功 二、考点二、利用功能关系计算电场力做的功及电势能的变化 5．一点电荷从电场中的a点移到b点时，电场力做功为零，则（　　） A．a、b两点的电势一定相等 B．电荷一定沿等势面移动 C．a、b两点的场强一定相等 D．电荷所受电场力始终垂直于移动方向 【答案】A 【详解】A．点电荷从电场中的a点移到b点时，电场力做功为零，可知电势能的变化为零，可知a、b两点的电势一定相等，选项A正确； BD．电荷不一定沿等势面移动，电荷所受电场力不一定始终垂直于移动方向，选项BD错误； C．a、b两点的电势相等，但是场强不一定相等，选项C错误； 故选A。 6．下列说法中正确的有（　　） A．电势差与电场对检验电荷所做的功成正比，与检验电荷的电量成反比 B．把电荷从高电势处移到低电势处，其电势能必减少 C．顺着电场线不论是移动正电荷还是负电荷，其电势能都减少 D．电场强度越大的地方，相邻等势面的间距越小 【答案】D 【详解】A．电势差由电场本身决定，与电场对检验电荷所做的功、检验电荷无关，故A错误； B．把负电荷从高电势处移到低电势处，其电势能增加，故B错误； C．顺着电场线移动正电荷，电场力做正功，其电势能减少，负电荷相反，故C错误； D．根据 可知，电场强度越大的地方，相邻等势面的间距越小，故D正确； 故选D。 7．将一个电荷量为的电荷从无穷远处移到电场中的A点时，电荷的电势能为，此过程中电场力做功 J；若再将此电荷从A移动到B，电场力做功为，则它在B点的电势是 V（保留两位有效数字）。 【答案】 -37 【详解】[1] 电场力对电荷做的功等于电势能的变化量的负值，所以从无穷远处到A点电场力对电荷做的功为 [2] 同理可得 代入数据解得 JB点的电势 8．如图所示，电量为2×10-6C的负点电荷在电场中A点受到的电场力大小为4×10-4N，则A点的场强为 N/C；若将此电荷移至B点，则电荷的电势能将 （选填“增大”、“不变”或“减小”）。 【答案】 200 增大 【详解】[1]A点的场强为 [2]若将此电荷移至B点，则电场力做负功，则电荷的电势能将增大。 三、考点三、电势的概念、定义式、单位和物理意义 9．处于匀强电场中的点电荷，仅在电场力作用下，由静止开始移动时，它一定（　　） A．从电势较高处向电势较低处移动 B．从电势较低处向电势较高处移动 C．从电势能较大处向电势能较小处移动 D．从电势能较小处向电势能较大处移动 【答案】C 【详解】A．处于匀强电场中的点电荷，仅在电场力作用下，由静止开始移动时，电场力一定做正功，由功能关系可知，电势能一定降低，但由于点电荷电性未知，故不一定从电势较高处向电势较低处移动，也不一定从电势较低处向电势较高处移动，故A错误； B．以上分析可知，点电荷也不一定从电势较低处向电势较高处移动，故B错误； C．由静止开始移动时，电场力一定做正功，由功能关系可知，电势能一定降低，故从电势能较大处向电势能较小处移动，故C正确； D．以上分析可知，点电荷不可能从电势能较小处向电势能较大处移动，故D错误。 故选 C。 10．下列各物理量的定义式正确的是（　　） A．加速度 B．功率 C．电势 D．电场强度 【答案】C 【详解】A.加速度定义式 故A错误； B.功率定义式 故B错误； C.电势定义式 故C正确； D.电流强度定义式 故D错误。 故选C。 11．下列物理量关系中不具有类比关系的是（        ） A．重力场中的高度与电场中的电势 B．重力场中物体的质量与电场中带电体的电量 C．重力场中的重力加速度与电场中的电场强度 D．重力场中物体的重力势能与电场中带电体的电势能 【答案】A 【详解】电场力公式，重力公式；重力做功，导致重力势能变化，重力势能为 电场力做功，导致电势能变化，而电势能为 因此由上可知，重力场中的重力加速度与电场中的电场强度；重力场中物体的质量与电场中带电体的电量；重力场中物体的重力势能与电场中带电体的电势能，具有类比关系，重力场中的高度与电场中的电势不具有类比关系。 故选A。 12．在点电荷形成的电场中有一点A，当一个的检验电荷从电场的无限远处被移到电场中的A点时，电场力做的功为，则检验电荷在A点的电势能及电场中A点的电势分别为（规定无限远处电势能为0）（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】依题意，的检验电荷从电场的无限远处被移到电场中的A点时，电场力做的功为W，则电荷的电势能减小W，无限远处电荷的电势能为零，则电荷在A点的电势能为 A点的电势为 故选A。 四、考点四、ψ-x图像的物理意义 13．沿空间某直线建立轴，该直线上的静电场方向沿轴，某点电势的随位置变化的图像如图所示，一电荷量为带负电的试探电荷，经过点时动能为1.5eV，速度沿轴正方向，若该电荷仅受电场力，则其将（　　） A．在处，电场强度达到最大值 B．经过点时动能为2.5eV C．能通过点 D．能通过点 【答案】B 【详解】A．图像上某点切线斜率的绝对值表示电场强度，根据图像，在处，切线斜率为0，即电场强度为0，故A错误； B．到，根据动能定理有 解得 故B正确； CD．根据图像可知，与位置的电势均为 假设试探电荷能够到达该位置，根据动能定理有 解得 动能不符合要求，可知假设不成立，即试探电荷不能够通过与位置，故CD错误。 故选B。 14．如图甲所示，一条电场线与Ox轴重合，取O点电势为零，Ox方向上各点的电势φ随x变化的情况如图乙所示，若在O点由静止释放一电子，电子仅受电场力的作用，则（　　）    A．电子沿Ox的负方向运动 B．电子的电势能将增大 C．电子运动的加速度恒定 D．电子运动的加速度先减小后增大 【答案】D 【详解】A．由图看出，电势逐渐升高，则电场线方向沿Ox负方向，电子所受的电场力沿Ox正方向，则电子将沿Ox正方向运动。故A不符合题意； B．由静止释放后，电场力对电子做正功，电子的电势能将减小，故B错误； CD．φ-x图象的斜率大小等于电场强度，由几何知识得知，斜率先减小后增大，则电场强度先减小后增大，则电子所受的电场力先减小后增大，电子运动的加速度先减小后增大，故C错误，D正确。 故选D。 15．在电场中放置一光滑绝缘水平桌面，沿桌面上x轴方向电势分布如图中实线所示。一质量m＝4×10-2kg、电量q＝-2×10-6C的带负电小球，以v0＝2m/s的初速度在x0＝-1m处沿x轴正方向运动，则小球从开始运动到动能最大时电场力所做的功为 J；当小球速度为零时其位置坐标为 m。 【答案】 0.04 2或-2 【详解】[1]x轴上从-3m到0电势升高，则电场方向沿x轴负方向，x轴上从0到3m电势降低，则电场方向沿x轴正方向，带负电小球在x0＝-1m处沿x轴正方向运动，受到向右的电场力，电场力做正功，动能增加，从0点向右运动过程中电场力向左，电场力做负功，小球动能减小，所以小球在0点动能最大，则小球从开始运动到动能最大时电场力所做的功为 [2]设小球速度为0时，其坐标为x，从初位置到速度为零的过程，根据动能定理可得 解得 由图像可知，小球速度为0时，另一个位置坐标为 2m或-2m 16．某空间的x轴上只存在沿此轴方向的静电场，x轴上各点电势分布如图。一带电量为的粒子只在电场力作用下由x轴上某点无初速释放，若粒子沿x轴运动过程中的总能量恒为零，则粒子的活动区间是 ；运动过程中的最大动能为 。 【答案】 [x2，x3] 【详解】[1][2]粒子带负电荷，开始时由电势低处向电势高处运动，又粒子沿x轴运动过程中的总能量恒为零，则开始运动时动能为零，电势能也为零，则粒子的活动区间是[x2，x3]；电势最高时，动能最大，运动过程中的最大动能为。 五、考点五、 等量同种电荷连线中垂线和连线上的电场强度分布图像 17．如图所示的四种电场中均有、两点，其中、两点的电场强度和电势都相同的是（　　）     A．甲图中与点电荷等距的、两点 B．乙图中两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距的、两点 C．丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的、两点 D．丁图中匀强电场中的、两点 【答案】B 【详解】A．甲图中与点电荷等距的a、b两点场强大小相等，方向不同，电势相同，A错误； B．乙图中两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点场强、电势均相同，B正确； C．丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点场强大小相等，方向不同，电势相同，C错误； D．丁图中匀强电场中的a、b两点场强相同，电势不同，D错误。 故选B。 18．如图，等量正点电荷连线的中垂线上，放置两检验电荷a、b。取无穷远处为零势能点，以下描述a、b电荷的电势能Ep与其所带电量q的关系，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，取无穷远处为零势能点，则有 根据 可知，当q>0时，有 故选A。 19．两等量正电荷电场如图所示，O点为两电荷连线中点，若以无穷远为零势能面，下列各点电势最高的是（　　） A．a点 B．b点 C．c点 D．O点 【答案】C 【详解】电场线由正电荷出发，到负电荷终止，沿着电场线方向电势逐渐降低，离正电荷越近，电势越高，故c点电势最高。 故选C。 20．如图所示，在两等量同种点电荷的电场中，MN是两电荷连线的中垂线，b是直线ac与MN的交点，且a与c关于MN对称，d是两电荷连线上的一点。下列判断正确的是（　　） A．b点场强一定大于d点场强 B．b点电势一定大于d点电势 C．a、b两点的电势差Uab等于b、c两点间的电势差Ubc D．试探电荷+q在a点的电势能等于在c点的电势能 【答案】D 【详解】A．由于等量同种电荷，中间O点场强为零，在两电荷连线中垂线上，从O点向外，场强先变大后变小，因此无法判断b点、d点场强大小，A错误； B．如图所示为等量同种电荷周围的电场线 由于沿着电场线，电势降低，因此可知 而 因此可得b点电势一定小于d点电势，B错误； C．根据对称性可知 C错误； D．根据对称性，a、c两点电势相等，根据 可知试探电荷+q在a点的电势能等于在c点的电势能，D正确。 故选D。 六、考点六、计算带电粒子穿越不同等势面时电场力做功和能量变化 21．某电场的等势面如图所示，图中、、、、为电场中的5个点，则（　　） A．一正电荷从点运动到点，电场力做正功 B．电子在点的电势能为3eV C．点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右 D．点的电场强度大小比点大 【答案】A 【详解】A．根据电势能与电势关系 一正电荷从点运动到点，电势能减小，则电场力做正功，故A正确； B．电子在点的电势能为 eV 故B错误； C．沿电场线方向电势逐渐降低，点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向左，故C错误； D．等电势差越密集的地方，电场强度越大，则点的电场强度大小比点小，故D错误； 故选A。 22．静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图所示，一电子在电场中仅受电场力的作用，实线描绘出了其运动轨迹，虚线表示等势线，各等势线关于y轴对称，a、b、c、d分别是轨迹与等势线的交点。a点与c点之间的电压为 V，已知电子在经过a点时动能为60eV，则电子在经过等势线d点时的动能为 eV。 【答案】 60eV 【详解】[1]由电势差的计算式，可得a点与c点之间的电压为 [2]由动能定理可得 由于 可得 23．某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，a、b、c点中电场强度最小的点是 。若一质子从a点运动到d点，则电场力做功为 eV（，质子的电荷量为）。 【答案】 【详解】[1]根据等势面与电场线的关系可知，等势面密集的位置电场线也密集，电场强度大。a、b、c点中点处等势面最稀疏，则电场强度最小的点是。 [2]一质子从a点运动到d点，质子带正电，由电场力做功与电势差的关系公式，可得电场力做功为 24．电场中a、b、c三点，带电量为C的正电荷从a移到b电场力做功J，带电量为C的负电荷从b移到c电场力做功J，则 V， V， V。 【答案】 200 【详解】[1]a、b两点间的电势差 [2]b、c两点间的电势差 [3]a、c两点间的电势差 七、考点七、 带电粒子在周期性变化电场中的直线运动 25．在空间有正方向水平向右、大小按如图所示的图线变化的电场，位于电场中A点的电子在t=0时速度为零，在t=1 s时，电子离开A点的距离大小为l。那么在t=2 s时，电子将处在（　　） A．A点 B．A点左方l处 C．A点右方2l处 D．A点左方2l处 【答案】D 【详解】第1 s内电场方向水平向右，电子受到的静电力方向水平向左，电子向左做匀加速直线运动，位移为l，第2 s内电子受到的静电力方向水平向右，由于电子此时有水平向左的速度，因而电子继续向左做匀减速直线运动，根据运动的对称性，位移也是l，t=2s时总位移为2l，方向水平向左，故t=2 s时，电子处在A点左方2l处。 故选D。 26．如图所示，两平行金属板分别加上如下列选项中的电压，能使原来静止在金属板中央的电子（不计重力）有可能做往返运动的U-t图像应是（设两板距离足够大）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．由图像可知，电子先做匀加速直线运动，时速度最大，从到T内沿原运动方向做匀减速直线运动，T时速度减为零，然后重复这种运动，一直向一个方向运动，故A错误； B．由图像可知，电子先做匀加速直线运动，时速度最大，从到内沿原运动方向做匀减速直线运动，时速度减为零；从到反向做匀加速直线运动，时速度最大，从到T内沿反向做匀减速直线运动，T时速度减为零，回到出发点，然后重复往返运动，故B正确； C．由图像可知，电子0到做加速度增大的加速直线运动，从到做加速度减小的加速直线运动，时速度最大，从到做加速度增大的减速直线运动，从到T做加速度减小的减速直线运动，T时速度减为零，然后重复之前的运动，一直向一个方向运动，故C错误； D．由图像可知，电子0到做匀加速直线运动，从到T内做匀速运动，然后重复加速直线运动和匀速运动，一直向一个方向运动，故D错误。 故选B。 27．如图所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔。右极板电势随时间变化的规律如图所示。电子原来静止在左极板小孔处。（不计重力作用）下列说法中正确的是（　　） A．从t=0时刻释放电子，电子将始终向右运动，直到打到右极板上 B．从t=0时刻释放电子，电子可能在两板间往复运动 C．从时刻释放电子，电子一定打到右极板上 D．从时刻释放电子，电子必将打到左极板上 【答案】A 【详解】AB．若t=0时刻释放电子，电子将重复先加速后减速，直到打到右极板，不会在两板间往复运动，所以A正确，B错误； C．若从时刻释放电子，电子先加速，再减速，有可能电子已达到右极板，若此时未达到右极板，则电子将在两极板间往复运动，所以C错误； D．同理，若从时刻释放电子，电子先加速，再减速，此时有可能电子已达到右极板，若此时未达到右极板，则电子将反向加速达到左极板，这取决于两极间的距离，所以D错误。 故选A。 28．如图所示，间距为d的平行金属板A、B竖直放置，且接有高压直流电源，A板附近初速为0的电子在电场力的作用下从B板的小孔处以速度射向水平放置的平行金属板C、D的正中央，金属板C、D间的电势差为U，最后电子在C板边缘离开电场。已知电子质量为m，电量为e。求： （1）AB间的电势差。 （2）AB间的电场强度E。 （3）判断CD两板的电势高低。 （4）电子离开CD电场时的速度v的大小。 【答案】（1）；（2）；（3）C板电势高，D板电势低；（4） 【详解】（1）电子从A到B，由动能定理 得AB间的电势差 （2）AB间的电场强度为 （3）电子进入CD两板间，在电场力作用下向上偏转，电场力向上，电场方向向下，C板电势高，D板电势低； （4）电子在CD板间偏转，由动能定理 得电子离开CD电场时的速度 在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场来控制带电粒子的运动。利用电场使带电粒子加速就是其中一种情况。一般情况下电子、质子、离子等不用考虑重力，带电颗粒，如尘埃、液滴、小球等，一般要考虑重力。 29．某电场的电场线分布如图所示，虚线为某带电粒子只在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则（　　） A．粒子可能带负电 B．粒子一定是从a点运动到b点 C．粒子在c点的速度可能大于在a点的速度 D．粒子在c点的加速度一定大于在a点的加速度 30．如图，有三个质量相等的带电颗粒，分别带正电、带负电和不带电，从两水平放置的金属板左侧中央以相同的水平初速度先后射入电场中，最后落在正极板上的A、B、C三处，则（　　） A．落在C处的带电颗粒运动时间最短 B．落到A处的带电颗粒带正电，落到C处的带电颗粒带负电 C．三种带电颗粒到达正极板时的速率相同 D．三种带电颗粒到达正极板时落在A的带电颗粒机械能增大，落在C处的带电颗粒机械能减小，落在B处的带电颗粒机械能不变 31．如图，以О为圆心，半径为R的圆形区域内有竖直向下的匀强电场。质量为m、电量为q的带正电粒子在纸面内自圆周上M点先后以不同的速率沿水平方向进入电场。其中速率为v0的粒子，可从直径MN上的N点穿出。直径MN与水平方向的夹角α=53°，粒子重力不计。 （1）求电场强度的大小； （2）以某一速率射入的粒子在电场中运动时间最长，求此粒子动能的增加量。 【答案】29．D 30．D 31．（1）；（2） 【解析】29．A．做曲线运动的物体，合力指向轨迹的内侧，由此可知，带电粒子受到静电力的方向为沿着电场线向左，所以粒子带正电，故A错误； B．根据题意无法确定粒子的运动方向，粒子可能是从a点运动到b点，也可能是从b点运动到a点，故B错误； C．沿电场方向电势降低，所以a点电势低于c点电势，所以粒子在a点的电势能小于c点电势能，则粒子在a点的动能大于c点的动能，a点的速度大于c点速度，故C错误； D．由电场线的分布特点可知，a点电场线较c点疏，则a点电场强度较小，粒子所受电场力较小，加速度较小，故D正确。 故选D。 30．A．根据题意，三种颗粒在水平方向做匀速直线运动，则 三种颗粒水平速度相同，则水平位移较大的颗粒运动时间较长，所以 故A错误； B．颗粒在竖直方向都做初速度为零的匀加速直线运动，运动到下极板时，在竖直方向的位移相同，根据 可知 由此可知 所以，落到A处的带电颗粒带负电，落到C处的带电颗粒带正电，落到B处的颗粒不带电，故B错误； CD．三种颗粒下落过程中有重力、电场力做功，初动能相等，根据动能定理可知，落到A处的粒子电场力做正功，落到B处的粒子电场力不做功，落到C处的粒子电场力做负功，则 所以三种颗粒达到正极板时的速率不相同，且三种带电颗粒到达正极板时落在A的带电颗粒机械能增大，落在C处的带电颗粒机械能减小，落在B处的带电颗粒机械能不变，故C错误，D正确。 故选D。 31．（1）设从N点穿出电场的粒子在电场中运动时间为t，粒子做类平抛运动，则 联立解得 （2）从P点离开电场的粒子在电场中运动时间最长，如图所示 设初速度大小为v1，从M到P点过程中，由动能定理可得 所以 自电场的能量 电场能的性质主要体现在电场力对电荷做功的能力上。当电荷在电场中移动时，电场力会对电荷做功，说明电场具有能量。这种能量可以通过电场力对电荷做的功来衡量。 32．某一区域的电场线分布如图所示，A、、是电场中的三个点。则下列说法正确的是（    ） A．A、、三点的电势关系为 B． A、、三点的电场强度大小关系为 C． A、、三点中，电子在点的电势能最大 D．质子从点移到A点比从A点移到点电场力做功少 33．某电场的三条等势线为关于轴对称的椭圆，如图所示，、、为等势线上的3个点，其电势分别为，，，为的中点。一质子仅受电场力作用从点由静止释放，下列说法正确的是（    ） A．沿轴正方向电势一直降低 B．质子从到的过程中加速度减小，速度增大 C．点的电势大于 D．质子运动到点时的动能为 34．如图所示，虚线O、A、B、C、D是某匀强电场中的5个平行且均相距的等势面，一电子经过O时的动能为，从O到C的过程中克服电场力所做的功为，电子运动轨迹如图中实线所示。已知等势面A的电势为，电子经过等势面C时的速率为，求： （1）等势面B的电势及该匀强电场的电场强度的大小； （2）该电子经过等势面C时的电势能； （3）该电子经过等势面A时速度的大小。 【答案】32．C 33．CD 34．（1）0V，100V/m；（2）；（3）。 【解析】32．A．根据沿电场线方向电势逐渐降低，可知 故A错误； B．根据电场线的疏密程度表示电场的强弱，可知 故B错误； C．根据 因负电荷在电势低的点，电势能越大，根据，可知电子在C点的电势能最大，故C正确； D．根据电场力做功公式 由图可知，，故可知正电荷从B点移到A点比从A点移到C点电场力做功大，故D错误。 故选C。 33．A．等势线为椭圆，则沿x轴正方向电势先降低，再升高，故A错误； B．等势线密集的地方场强越大，则质子从a到d的过程中电场力增大，根据牛顿第二定律可知加速度增大，电场力做正功，动能增大，速度增大，故B错误； C．从a到c电场强度逐增大，则有 且可得 故C正确； D．质子仅受电场力作用，从a点由静止释放，根据动能定理得 代入数据解得 故D正确。 故选CD。 34．（1）因等势面间距相等，根据 可知相邻虚线之间电势差相等，电子由O到C，根据动能定理有 解得 电子由O到C，电场力做负功，故电场线方向向右，沿电场线方向电势降低，设OA之间的电势差为U，根据相邻虚线之间电势差相等，则有 解得 因等势面A的电势为2V，根据 解得 同理，可得各虚线电势如图所示 电场强度的大小为 （2）由上图可知，，故电子在C时的电势能为 （3）电子从O到A，根据动能定理有 代入数据解得 电子从O到C，根据动能定理有 解得 联立解得 看不见但的确存在的场 电场是电荷周围空间里存在的一种特殊物质。电场的基本性质是对放入其中的电荷有力的作用，电荷或者带电体之间的库仑力就是通过电场实现的，为了更直观地研究电场，我们引入了电场线这个模型，并用电场强度这个物理量来描述电场的强弱和方向。 35．如图所示，虚线、、代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，、是这条轨迹上的两点，由此可知（    ） A．该电场有可能由负点电荷形成 B．带电粒子在点时的加速度小于在点时的加速度 C．带电粒子在点时的速度小于在点时的速度 D．带电粒子在点时的电势能小于在点时的电势能 36．真空中两个带等量异种电荷的点电荷A、B周围的电场分布情况（电场线方向未标出）如图所示。已知A带正电、B带负电，点为A、B两点电荷连线的中点，、为两点电荷连线的中垂线上的两点，且。下列说法正确的是（    ） A．A、B连线的中垂线上的所有电场强度方向不一定相同 B．将一带负电的小球从点由静止释放，它将沿做匀加速直线运动 C．点的电势与点的电势相等 D．、、三点中，点的电场强度最小 37．在一条直线上有两个点电荷A、B，A带电荷量为，B带电荷量为，现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷都处于平衡状态，关于点电荷的电性及位置，下列判断正确的是（    ） A．可将点电荷C放在AB连线的延长线上A点左边 B．可将点电荷C放在AB连线的中间 C．可将点电荷C放在AB连线的延长线上B点右边 D．引入的点电荷C一定带负电 38．如图所示，在点放置正点电荷，、b两点的连线过点，，将质子从点由静止释放，质子运动到的速率为，则将粒子（质量为质子4倍，电量为质子2倍）从点由静止释放后运动到点的速率为 ，若电子以为半径绕做匀速圆周运动的线速度为，则电子以为半径绕做匀速圆周运动的线速度为 。 39．如图所示，小球A、B均可视为点电荷，两球均带正电，固定的小球A的电荷量为，用绝缘细绳悬挂起来的小球B的质量为、电荷量为。当小球B静止时，两球心在同一高度，细绳与竖直方向的夹角，静电力常量为，重力加速度大小为，取，，求： （1）小球B所受电场力的大小； （2）小球A在小球B处电场的电场强度大小； （3）A、B两球间的距离。 【答案】35．D 36．C 37．AD 38． 39．（1）；（2）；。 【解析】35．A．带负电粒子做曲线运动，所受电场力指向曲线的内侧，所以电场力沿电场线向右，则电场线方向向左，故该电场有可能由正点电荷形成，故A错误； B．由电场线疏密表示场强的相对大小可知，P点场强比Q场强点大，所以带电粒子在P点的电场力大，则带电粒子在P点的加速度大，故B错误； CD．若带电粒子从P运动到Q，电场力方向与速度方向的夹角为钝角，电场力做负功，带电粒子的动能减小，电势能增大，则带电粒子在P点时的速度大于在Q点时的速度，带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能小，故C错误，故D正确。 故选D。 36．A．在等量异种电荷的连线的中垂线上，所有的电场强度方向，都是与A、B的连线平行且水平向右的，故A错误； BD．在电荷连线的中垂线上，电场线的密集程度表示场强的大小，电场强度的大小会发生变化，根据图像可知，O点的场强最大，同时带负电的小球从C点静止释放也不会沿COD做匀加速直线运动，故BD错误； C．等量异种电荷的连线的中垂线是等势面，电势相等，都为零，故C正确。 故选C。 37．三个电荷要平衡，必须三个电荷在一条直线上，外侧二个电荷相互排斥，中间电荷吸引外侧两个电荷，所以外侧两个电荷距离大；要平衡中间电荷的拉力，必须外侧电荷电量大，中间电荷电量小，所以C必须为负电荷，放在A点的左侧。 故选AD。 38．[1]设a、b两点的电势差为U，质子的质量为m，电量为q，则粒子的质量为4m，电量为2q，对质子从a到b，根据动能定理有 对粒子从a到b，根据动能定理有 联立解得 [2]当电子以为半径绕做匀速圆周运动的线速度为，则有 电子以为半径绕做匀速圆周运动，则有 联立解得 39．（1）对小球B受力分析，如图所示 根据平衡条件，解得电场力为 （2）根据电场强度的定义式 解得电场强度的大小为 （3）根据库仑定律有 解得 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$