专题12 万有引力定律的应用（知识梳理+6大考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中物理学业水平合格性考试总复习（上海专用）

专题12 万有引力定律的应用（解析版） 1会比较卫星运行的各物理量之间的关系. 2理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小. 3．会分析天体的“追及”问题． 知识点一　天体质量和密度的计算 1．利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R. (1)由G＝mg，得天体质量M＝. (2)天体密度ρ＝＝＝. 2．利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T. (1)由G＝mr，得M＝. (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝. (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度． 知识点二　卫星运行参量的分析 1．基本公式 (1)线速度：由G＝m得v＝________. (2)角速度：由G＝mω2r得ω＝________. (3)周期：由G＝m()2r得T＝________. (4)向心加速度：由G＝man得an＝______. 结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an________，T________，即越高越慢． 2．“黄金代换式”的应用 忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得________________．在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM. 3．人造卫星 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道． (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． (2)同步卫星 ①轨道平面与________________共面，且与地球自转的方向相同． ②周期与地球自转周期相等，T＝________. ③高度固定不变，h＝3.6×107 m. ④运行速率约为v＝3.1 km/s. (3)近地卫星：轨道在________________附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)． 注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星． 1．(1)eq \r(\f(GM,r))　(2) (3)2π　(4) 越小　越大 2．GM＝gR2 3．(2)①赤道平面　②24 h　(3)地球表面 知识点三　宇宙速度 第一宇宙速度 (环绕速度) v1＝______ km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的______发射速度 第二宇宙速度 (逃逸速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱____引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱____引力束缚的最小发射速度 7．9　最小　地球　太阳 一、考点一、 航天器中的失重现象 1．宇航员乘坐宇宙飞船环绕地球做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（　　） A．地球对宇航员没有引力 B．宇航员处于完全失重状态 C．宇航员的加速度为零 D．宇航员处于超重状态 【答案】B 【详解】宇航员乘坐宇宙飞船环绕地球做匀速圆周运动时，地球对宇航员的万有引力提供所需的向心力，宇航员的加速度不为零，宇航员处于完全失重状态。 故选B。 2．我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验，提高了青少年科学探索的兴趣。某同学设计了如下实验：轻杆一端固定，另一端固定一小球。给小球一初速度使其在竖直平面内做圆周运动。则在“天宫”做此实验（　　） A．小球的速度大小发生变化 B．小球的加速度大小发生变化 C．轻杆的拉力对小球做功 D．轻杆的拉力对小球不做功 【答案】D 【详解】A．天宫中的物体均处于完全失重状态，一切与重力有关的现象均消失，小球以一定初速度在天宫中从最低点开始在竖直平面内做圆周运动，该运动为匀速圆周运动，则小球的速度大小不会发生变化，故A错误； B．结合上述，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速度大小不会发生变化，则小球的加速度大小不会发生变化，故B错误； CD．结合上述，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，由轻杆的拉力提供圆匀速圆周运动的向心力，轻杆的拉力方向始终与线速度方向垂直，可知，轻杆的拉力对小球不做功，故C错误，D正确； 故选D。 3．宇宙飞船正在离地面高的轨道上做匀速圆周运动，R为地球的半径，飞船内一弹簧秤下悬挂一质量为m的重物，g为地球表面处重力加速度，则弹簧秤的读数为（　　） A．0 B． C． D．mg 【答案】A 【详解】卫星内的重物处于完全失重状态，弹簧秤的读数为0。 故选A。 4．在天和核心舱里的航天员处于完全失重状态，这是因为航天员（    ） A．不受任何力的作用 B．不受地球引力的作用 C．受到的地球引力正好充当向心力 D．受力平衡 【答案】C 【详解】在天和核心舱里的航天员处于完全失重状态，这是因为航天员受到的地球引力正好充当向心力。 故选C。 二、考点二、第一二三宇宙速度 5．卫星“墨子”成功进入离地面高度为的预定圆形轨道，实现了卫星和地面之间的量子通信。此前我国成功发射了第23颗北斗导航卫星G7，G7属地球同步卫星。下列说法中正确的是（　　） A．“墨子”的运行速度大于 B．北斗G7可定点于川沙中学上方 C．“墨子”的周期比北斗G7小 D．“墨子”的向心加速度比北斗G7小 【答案】C 【详解】A．卫星“墨子”做圆周运动，根据万有引力提供向心力，有 解得 可知轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度的轨道半径为地球的半径，所以第一宇宙速度是绕地球做匀速圆周运动最大的环绕速度，所以“墨子”的运行速度小于地球的第一宇宙速度，故A错误； B．地球同步卫星只能定点于赤道正上方，则北斗G7可定点于川沙中学上方，故B错误； C．根据 解得 可知“墨子”的周期比北斗G7小，故C正确； D．根据 解得卫星的向心加速度 可知“墨子”的向心加速度比北斗G7大，故D错误。 故选C。 6．下列关于宇宙速度的说法正确的是（　　） A．同步卫星的运行速度一定等于第一宇宙速度 B．第一宇宙速度是人造地球卫星运行的最小速度 C．人造地球卫星运行时的速度一定小于第二宇宙速度 D．地球上的物体无论具有多大的速度都不可能脱离太阳的束缚 【答案】C 【详解】A．第一宇宙速度是物体在地球表面附近做匀速圆周运动的运行速度，同步卫星的轨道半径大于地球半径，其运行速度一定小于第一宇宙速度，故A错误； B．第一宇宙速度是人造地球卫星运行的最大速度，故B错误； C．第二宇宙速度是脱离地球引力束缚的最小速度，人造地球卫星运行时的速度一定小于第二宇宙速度，故C正确； D．当物体速度大于第三宇宙速度时就可以脱离太阳的束缚，飞到太阳系外，故D错误。 故选C。 7．“东方红一号”人造卫星绕地球运行的速度 （填“大于”“等于”或“小于”）第一宇宙速度，若卫星发射速度超过 ，卫星就能完全摆脱地球引力的束缚，成为绕太阳运行的人造卫星。 【答案】 小于 11.2 【详解】[1]第一宇宙速度是环绕地球做圆周运动的最大速度，是地球上的物体成为地球的卫星的最小发射速度，所以“东方红一号”人造卫星绕地球运行的速度小于第一宇宙速度； [2]卫星就能完全摆脱地球引力的束缚，成为绕太阳运行的人造卫星其发射速度需要大于第二宇宙速度，即超过。 8．如图所示，将物体从一座高山上的O点水平抛出，抛出速度一次比一次大，落地点一次比一次远，设图中A、B、C、D、E是从O点以不同的速度抛出的物体所对应的运动轨道。已知B是圆形轨道，C、D是椭圆轨道，在轨道E上运动的物体将会克服地球的引力，永远地离开地球，空气阻力和地球自转的影响不计，则下列说法正确的是（　　） A．物体从O点抛出后，沿轨道A运动落到地面上，物体的运动一定是平抛运动 B．轨道的中心是同一点 C．若轨道C、D上物体的运动轨道变为圆轨道，这个圆轨道可以过O点 D．在轨道E上运动的物体，抛出时的速度一定大于等于第三宇宙速度 【答案】AC 【详解】A．物体从O点抛出后，只受到重力作用，做平抛运动落到A点，A正确； B．根据开普勒第一定律可知轨道有一个公共焦点，这个焦点就是地球，但是轨道中心不是一个点，B错误； C．若轨道C、D上物体的运动轨道变为圆轨道，可以在O点减速，变成近地圆轨道，这个轨道经过O点；也可以在远地点加速变为高轨道的圆轨道，但是这个轨道不会过O点；C正确； D．在轨道E上运动的物体将会克服地球的引力，永远地离开地球，若发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，则围绕太阳运动；若大于第三宇宙速度，则会离开太阳系；所以抛出时的速度不一定大于第三宇宙速度，D错误。 故选AC。 三、考点三、近地卫星与黄金代换 9．一颗在赤道上空做匀速圆周运动的人造卫星，其轨道半径上对应的重力加速度为地球表面重力加速度的四分之一。已知地球半径为，则该卫星离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在地球表面，忽略自转的影响，有 卫星所处的位置，有 可得 所以该卫星离地面的高度为 故选A。 10．空间飞行器的交汇对接是载人航天中的一项基础技术。北京时间2021年9月20日，天舟三号货运飞船采用自主交会对接模式成功的和天和核心舱完成对接。成功对接后组合体沿圆形轨道运行，经过时间t，组合体绕地球转过的弧度为。地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转。求： （1）组合体运动的周期T； （2）组合体所在圆轨道离地高度H； 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由角速度定义可得 由 可得 （2）由 联立可得 11．某国家报纸报道：该国发射了一颗周期T为80min的人造地球卫星。若卫星的轨道为圆形，请你通过计算，判断该新闻的正确性。已知万有引力常量，地球半径R为，重力加速度g为。 【答案】该新闻是不正确的 【分析】根据万有引力提供向心力和地球表面附近万有引力等于重力求出周期为80min的人造地球卫星的轨道半径，与地球的半径比较，判断新闻的正确性。 【详解】设卫星的轨道半径为r，有 物体在地球表面的重力近似等于地球对物体的万有引力，可知 解得 由于，因此不存在这样的卫星。 所以该新闻是不正确的。 【点睛】解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和地球表面附近万有引力等于重力两个重要的理论，并能灵活运用。 12．设想“嫦娥”登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，周期为T。飞船在月球上着陆后，宇航员在月球表面上方h高处以初速度水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为s，已知引力常量为G。求： （1）月球表面的重力加速度； （2）月球的半径； （3）月球的第一宇宙速度。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）小球做抛体运动的时间为    ① 设月球表面的重力加速度为g，有    ② 联立①②解得    ③ （2）设月球的半径为R、质量为M，月球表面质量为m1的物体所受万有引力等于重力，即    ④ 设“嫦娥”登月飞船质量为m2，根据牛顿第二定律有    ⑤ 联立③④⑤解得    ⑥ （3）“嫦娥”登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，其线速度即为月球的第一宇宙速度，为    ⑦ 四、考点四、 地球同步卫星与其他卫星的对比 13．2022年6月5日，“神舟十四号”载人飞船发射成功，将航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲送入空间站，他们执行任务时通过同步卫星与地面实时联系。已知空间站运行周期约为90min，它与同步卫星的运行轨道均视为圆周轨道，则（　　） A．空间站相对地面静止 B．空间站一定不是同步卫星 C．空间站的速度大于第一宇宙速度 D．空间站的加速度小于同步卫星的加速度 【答案】B 【详解】A．空何站运行周期约为90min，相对地球的位置发生变化，故A错误； B．地球同步卫星的周期为24h，所以空间站一定不是同步卫星，故B正确； C．第一宇宙速度是最大的环绕速度，所以空间站的速度小于第一宇宙速度，故C错误； D．根据开普勒第三定律可知空间站的轨道半径较小，根据万有引力提供向心力有 解得 则空间站的加速度大于同步卫星的加速度，故D错误； 故选B。 14．2022年6月5日，“神舟十四号”载人飞船发射取得圆满成功，将航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲送入空间站，他们执行任务时通过同步卫星与地面实时联系。已知空间站运行周期约为90分钟，它与同步卫星的运行轨道均视为圆轨道，则（　　） A．空间站相对地面静止 B．空间站的速度大于同步卫星的速度 C．空间站的速度大于第一宇宙速度 D．空间站的加速度小于同步卫星的加速度 【答案】B 【详解】A．依题意，空间站运行周期约为90分钟，与地球不同步，所以空间站不能相对地面静止。故A错误； B．根据 解得 ， 可知，空间站的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，即空间站的速度大于同步卫星的速度。故B正确； C．第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度，所以空间站的速度小于第一宇宙速度。故C错误； D．根据 解得 可知，空间站的加速度大于同步卫星的加速度。故D错误。 故选B。 15．四颗地球卫星a、b、c、d的排列位置如图所示，其中a是静止在地球赤道上还未发射的卫星，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，四颗卫星相比较，则下列说法中错误的是（　　） A．a的向心加速度最大 B．相同时间内b转过的弧长最长 C．c相对于b静止 D．d的运动周期可能是23h 【答案】ACD 【详解】A．同步卫星的周期必须与地球自转周期相同、角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据 知c的向心加速度比a的向心加速度大，又根据 可知 即b的向心加速度最大，故A错误； B．同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据 知c的线速度比a的线速度大，由 得 卫星的半径越大，线速度越小，所以 由 在相同时间内b转过的弧长最长，故B正确； C．b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，c相对于地面静止，近地轨道卫星相对于地面运动，所以c相对于b运动，故C错误； D．由开普勒第三定律知，卫星的半径越大，周期越大，c的周期为24h，所以d的运动周期大于c的周期24h，不可能为23h，故D错误。 选错误的，故选ACD。 16．若在天鹅座有一质量均匀分布的球形“类地球”行星，其密度为，半径为，自转周期为，引力常量为，则下列说法正确的是（    ） A．该“类地球”行星的同步卫星的运行速率为 B．该“类地球”行星的同步卫星的轨道半径为 C．该“类地球”行星表面重力加速度在两极的大小为 D．该“类地球”行星的卫星在行星表面附近做匀速圆周运动的速率为 【答案】CD 【详解】A．该“类地球”行星的同步卫星的运行速率为，r代表同步卫星的轨道半径，并非，故A错误； B．对该“类地球”行星的同步卫星，根据万有引力提供向心力有 根据密度的公式有 解得轨道半径为 故B错误； C．根据万有引力与重力的关系有 根据密度的公式有 解得该“类地球”行星表面重力加速度在两极的大小为 故C正确； D．根据万有引力提供向心力有 根据密度的公式有 解得该“类地球”行星的卫星在行星表面附近做匀速圆周运动的速率为 故D正确。 故选CD。 五、考点五、计算双星问题 17．银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 解得 故选D。 【点睛】双星问题注意万有引力的距离和星体做圆周运动的半径的区别和联系。 18．如图所示，甲、乙两卫星沿相同方向绕地球做匀速圆周运动，甲卫星周期为，乙卫星周期为，某时刻两卫星恰好相距最远，则（　　） A．至少需时间，两卫星相距最近 B．至少需时间，两卫星相距最近 C．至少需时间，两卫星再次相距最远 D．至少需时间，两卫星再次相距最远 【答案】AD 【详解】AB．某时刻两卫星相距最近，则可知经过时间两卫星再次相距最近时 （取1，2，3…） 则 当取1时 A正确，B错误； CD．同理当两颗卫星经过时间两卫星相距最远时 （取1，2，3…） 则 当取1时 C错误，D正确； 故选AD。 19．“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点O做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量为，B星球的质量为，它们球心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（    ） A．B星球的轨道半径为 B．A星球和B星球的线速度大小之比为 C．A星球运行的周期为 D．若在O点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零 【答案】BC 【详解】A．设A星球轨道半径为R1，B星球轨道半径为R2，两星球运转角速度相同，由万有引力提供向心力可得 可得 又因为 解得两星球的轨道半径分别为 故A错误； B．由线速度与角速度关系可得，A、B线速度大小与半径成正比，所以A、B线速度大小之比为，故B正确； C．由上式可得 解得两星球运转周期为 故C正确； D．设质点质量为m，则A星球对质点引力为 B星球对质点引力为 则可知只有在两星球质量相等时，对质点合力为零，故D错误。 故选BC。 20．科学家通过天文望远镜在一个河外星系中，发现了一对相互环绕旋转的超大质量双星系统。双星a、b以两者连线上的O点为圆心做匀速圆周运动，引力常量为G。若a、b到圆心的距离分别为和，圆周运动的周期为T。求 （1）双星a、b的质量之比； （2）双星系统的总质量。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据 可得 （2）由 ， 可得 ， 可得双星系统的总质量为 其中 可得 六、考点六、引力势能及其应用 21．华为Mate60Pro首发了卫星通话功能，使其成为全球首款支持卫星通话的智能手机。我国地球同步卫星“天通一号”在卫星通话中担任重要角色。地球同步卫星发射首先利用火箭将卫星运载至地球附近圆形轨道B，通过多次变轨最终进入地球同步轨道A。如图所示，B轨道离地面高度为，地球半径为。已知天通一号”质量为，地球自转角速度为，地球表面的重力加速度为，为地球中心，引力常量为。如果规定距地球无限远处为地球引力零势能点，地球附近物体的引力势能可表示为，其中M（未知）为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心距离。求： (1)“天通一号”卫星在B轨道的运行周期； (2)“天通一号”卫星在B轨道的机械能； (3)“天通一号”卫星自B轨道运动至A轨道的过程中机械能增加量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）“天通一号”卫星在B轨道上运动时，由万有引力提供向心力可得 物体在地球表面时，有 联立解得 （2）“天通一号”卫星在B轨道上运动时，由万有引力提供向心力可得 解得“天通一号”卫星在B轨道上运动的速度大小为 则“天通一号”卫星在B轨道的机械能为 其中 ， 解得 （3）卫星在地球同步轨道A运行时，有 解得地球同步轨道A的轨道半径为 卫星在地球同步轨道A运行时的动能为 卫星在地球同步轨道A运行时的势能为 则卫星在地球同步轨道A运行时的机械能为 则“天通一号”卫星自B轨道运动至A轨道的过程中机械能增加量为 22．2018年1月31日晚，月球位于近地点附近，“蓝月亮”刷爆微信朋友圈。月球在如图所示的近地点、远地点受地球的万有引力分别为F1、F2，速度大小为v1，v2，则（　　） A．F1<F2 B．v1<v2 C．月球从远地点向近地点运动过程中引力做正功 D．月球在近地点具有的势能比远地点的势能大 【答案】C 【详解】A．根据万有引力定律，由，可知，故A错误； BD．月球从近地点向远地点运动过程，引力做负功，引力势能增大，动能减小，则近地点的速率大于远地点的速率，月球在近地点具有的势能比远地点的势能小，故BD错误； C．月球从远地点向近地点运动过程中引力与速度成锐角，引力做正功，故C正确。 故选C。 在宇宙空间中，质量为m的空间站在运动． 23．空间站以速度v匀速直线飞过空间中两点，飞行器不运动时，测得A、B两点的距离为s．考虑相对论效应，飞行器上的钟测到的时间 24．地球半径为R，地表重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．空间站绕地球做匀速圆周运动，轨道距地高度为h，以无穷远处为势能零点，空间站的运行速度大小为 ，机械能为 。 【答案】23．小于 24． 【解析】23．飞行器不动时，其上的时钟测得的时间为，而此过程飞行器在运动，考虑相对论效应，则其上的时钟会变慢，所以测得的时间会小于。 24．[1]由万有引力提供向心力 且有 整理得 [2]由引力势能的公式 动能为 所以机械能为 五、场是物质存在的一种形态，现在，场的概念已经成为现代物理学中最重要的基本概念之一。以下各小问引力常量用表示，取无穷远处为引力势能零点。 25．大质量的物体在空间会激发类似于静电场的引力场。如用定义电场强度的方法来定义引力场的场强，用定义电势的方法来定义引力势；类比可得，与质量为的质点相距处的引力场场强的表达式为 ，与质量为的质点相距处的引力势的表达式为 。 26．接上问，引力场场强的单位是（　　） A． B． C． D． 27．引力场线是为了直观形象地描述引力场分布而在引力场中引入的一簇假想的曲线。试在框中画出质量为的质点周围的引力场线 。沿着引力场线方向，引力势会逐渐 （选填“升高”或“降低”），你的理由是 。 28．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。假设地球是一半径为、质量为M、质量分布均匀的实心球体，若不考虑太阳和其他星体的作用，求地心与地表间的引力势之差。 【答案】25． 26．A 27． 降低 见解析 28． 【解析】25．[1]设质量为m与质量为的质点相距处的引力大小为 用定义电场强度的方法来定义引力场的场强，那么引力场强度定义式为 解得 [2]质量为的质点相距处的引力势的表达式为 式中为位置的引力势能，把某物体从无穷远移动到位置引力做的功为 则当质量为m的物体自无穷远处移动到距离地球处时，引力做功为 得 联立解得 26．根据引力场场强定义式 引力场场强的单位是牛顿每千克（N/kg），故选A。 27．[1]质量为的质点周围的引力场线如图所示 [2]沿着引力场线方向，引力势会逐渐降低； [3]理由是根据引力势表达式 沿着引力场线方向，越靠近地球距离越小，由根据引力势表达式可知引力势越来越小。 28．球壳对内部的物体引力为零，因此物体在地球内部距离地心的距离为x的引力表达为 联立可得 将其从地表到地心万有引力做功为 故地心与地表间的引力势之差为 2020年10月12日，我国在西昌卫星发射中心成功将“高分十三号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。其轨道与地球赤道在同一平面内，从地面上看，卫星在一定高度处静止不动。已知地球半径为，“高分十三号”卫星轨道半径为。 29．地球自转的周期为，“高分十三号”卫星运动的周期为，则（　　） A． B． C． D． 30．赤道上某点随地球自转的线速度大小为，“高分十三号”卫星运动的线速度大小为，则为（　　） A． B． C． D． 31．场是一种客观存在的物质，卫星与地球之间的万有引力是通过引力场发生的。与电场强度类似，可以引入引力场强度来描述引力场的强弱。若地球质量为M，卫星质量为m，则“高分十三号”卫星在运动过程中，所经各点的引力场强度的大小（　　） A．与M、m都有关 B．与M有关，与m无关 C．与M、m都无关 D．与M无关，与m有关 32．卫星A是位于赤道平面内、绕行方向与地球自转方向相同的近地卫星，B是地球同步卫星“高分十三号”，此时刻A、B连线与地心恰在同一直线上且相距最近。已知A的角速度为，地球自转角速度为，引力常量为G。 （1）估算地球的密度； （2）由图示时刻开始，至少经过多长时间A、B相距最远？ 【答案】29．C 30．A 31．B 32．（1）；（2） 【解析】29．根据题意可知，“高分十三号”卫星是地球同步静止卫星，其周期与地球自转周期相等，则有 故选C。 30．结合上述有 ， 解得 故选A。 31．地球与“高分十三号”卫星之间的万有引力 根据类比，则引力场强度为 可知，“高分十三号”卫星在运动过程中，所经各点的引力场强度的大小与M有关，与m无关。 故选B。 32．（1）A是近地卫星，轨道半径近似等于地球半径，则有 地球密度为 解得 （2）由图示时刻开始，至少经过时间A、B相距最远，则有 解得 二、航空航天 10月13日美国进行了重型运载火箭“星舰”的第五次试飞，史无前例地使用发射搭回收了巨大的火箭助推器，获得了圆满的成功。飞船与助推器分离后，助推器返回地面的发射台。助推器在靠近地面时，经过调整矢量发动机改变喷出火焰的方向，最后20多层楼高的助推器“竖直但略带倾斜地”减速靠近发射台，然后被发射台的机械臂“”像筷子一样在半空中夹住。 33．人造地球卫星的发射速度至少大于（　　） A． B． C． 34．图示虚线为某慧星绕日运行的椭圆形轨道，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点。慧星沿图中箭头方向运行。该彗星某时刻位于a点，经过四分之一周期该慧星位于轨道的（　　） A．之间 B．b点 C．之间 D．c点 35．某卫星先在圆轨道1运动，在P点变轨后进入椭圆轨道2运动，在Q点变轨后进入圆轨道3运动，若忽略卫星质量变化，则（　　） A．变轨后经过P点的速度大于变轨前的速度 B．变轨后经过Q点的速度大于变轨前的速度 C．变轨前后在Q点的加速度相等 D．卫星在轨道3的速度大于在轨道1的速度 36．“星舰”助推器在其减速下落的某个时刻，喷射火焰如图所示，则助推器受到的合力F方向正确的是（　　） A． B． C． D． 37．宇航员在某星球表面以初速度竖直向上抛出一个小球，经时间t小球落回抛出点，已知该星球的半径为R，引力常量为G，忽略星球的自转，则该星球的质量为 ，类比地球的第一宇宙速度，该星球的第一宇宙速度为 38．火箭竖直发射升空的某一瞬间，仪器显示航天员对座舱的压力等于他体重的3倍，此时飞船的加速度大小为重力加速度的 倍。助推器返回并靠近发射台时，助推器处于 （选填“超重”或“失重”）状态。 【答案】33．A 34．C 35．ABC 36．D 37． 38． 2 超重 【解析】33．地球卫星的发射速度为第一宇宙速度即 求得 故选A。 34．根据开普勒第二定律可知，彗星在近日点的速度a点最大，远日点c的速度最小，由对称性可知，从a到c所用时间为二分之一周期，且从a到b所用时间小于从b到c所用时间，则该彗星某时刻位于a点，经过四分之一周期应位于bc之间。 故选C。 35．A．轨道1变轨到轨道2在P点点火加速，因此变轨后经过P点的速度大于变轨前的速度，A正确； B．轨道2变轨到轨道3在Q点点火加速，因此变轨后经过Q点的速度大于变轨前的速度，B正确； C．卫星在Q点都是由万有引力提供向心力，则有 解得 因此，变轨前后在Q点的加速度相等，C正确； D．卫星在轨道3与在轨道1上根据 解得 且 故卫星在轨道3的速度小于在轨道1的速度，D错误。 故选ABC。 36．由于火焰向下喷出，根据牛顿第三定律可知，助推器受到向上的推力，且推力大于重力，使助推器减速下降，故合力的方向向上。 故选D。 37．[1]设星球表面的重力加速度为，根据抛体运动规律可知 解得 在星球表面，万有引力与重力相等，则有 解得 [2]设该星球上的第一宇宙速度为，则有 解得 38．[1]由题可知 解得 飞船的加速度大小为重力加速度的2倍； [2]由题意可知，助推器返回并靠近发射台时，需要减速下降，具有向上的加速度，故助推器处于超重状态。 39．2004年，国务院批准绕月探测工程立项，命名为“嫦娥工程”。2020年12月17日凌晨，“嫦娥五号”携带1731克月球样品满载而归，标志着我国探月工程“绕、落、回”三步走规划如期完成。 (1)2007年10月24日我国首个月球探测器“嫦娥一号”成功发射，于11月7日进入离月球表面200公里的圆形工作轨道匀速绕行。“嫦娥一号”（    ） A．处于平衡状态 B．做匀变速运动 C．受到月球引力和向心力两个力的作用 D．受到月球的引力作为向心力 (2)如图，“嫦娥”探测器前往月球的过程中，首先进入“停泊轨道”绕地球旋转，在P点变速进入“地月转移轨道”，接近月球时，被月球引力“俘获”，再在“工作轨道”上匀速绕月飞行，然后择机降落。则探测器（    ） A．在“停泊轨道”上的绕行速度大于7.9km/s B．在P点加速，然后变轨到转移轨道 C．在Q点向后喷气，然后变轨到工作轨道 D．在转移轨道上关闭发动机运行时，动能不变 (3)“嫦娥三号”探测器到达距离月球表面5km的位置，立即开动发动机，向 （选填“上”、“下”）喷气，减速下行，实施“软着陆”。该过程中，探测器的机械能 （选填“增大”、“减小”或“不变”）。 (4)如图，静止的“玉兔”月球车在高度h0.8m的位置，将一质量m0.02kg的小物体以v02m/s的速度沿水平方向弹射出去，测出小物体的水平射程x2m。求： ①月球表面的重力加速度g月； ②小物体着地时的速度； ③小物体着地时月球对小物体引力的功率。 【答案】(1)D (2)B (3) 下 减小 (4)①1.6m/s2；②2.56m/s，与水平方向成；③0.0512W 【详解】（1）AB．“嫦娥一号”围绕月球做圆周运动，一定有向心加速度，向心加速度的方向不断变化，故不处于平衡状态，也不是做匀变速运动，故A错误，B错误； CD．“嫦娥一号”围绕月球做圆周运动的向心力由月球对“嫦娥一号”的引力提供，只受到月球引力作用，故C错误，D正确。 故选D。 （2）A．7.9km/s是地球卫星最大的环绕速度，所以“嫦娥”探测器在“停泊轨道”上的绕行速度小于7.9km/s，故A错误； B．“嫦娥”探测器在P点加速，做离心运动，然后变轨到“地月转移轨道”，故B正确； C．在Q点需要减速，然后变轨到工作轨道，所以是向前喷气，故C错误； D．在转移轨道上关闭发动机运行时，只受引力作用，机械能守恒，只有重力势能和动能相互转变，由于高度在变，重力势能在变，所以动能也在改变，故D错误。 故选B。 （3）（3）[1][2]“嫦娥三号”探测器到达距离月球表面5km的位置，立即开动发动机，向下喷气，减速下行，实施“软着陆”。该过程中，气体对探测器做负功，探测器的机械能减小。 （4）①根据平抛运动规律有 联立解得 ②小物体着地时竖直方向速度 故小物体着地时的速度 故方向与水平方向成 ③小物体着地时月球对小物体引力的功率 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 万有引力定律的应用（原卷版） 1会比较卫星运行的各物理量之间的关系. 2理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小. 3．会分析天体的“追及”问题． 知识点一　天体质量和密度的计算 1．利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R. (1)由G＝mg，得天体质量M＝. (2)天体密度ρ＝＝＝. 2．利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T. (1)由G＝mr，得M＝. (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝. (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度． 知识点二　卫星运行参量的分析 1．基本公式 (1)线速度：由G＝m得v＝________. (2)角速度：由G＝mω2r得ω＝________. (3)周期：由G＝m()2r得T＝________. (4)向心加速度：由G＝man得an＝______. 结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an________，T________，即越高越慢． 2．“黄金代换式”的应用 忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得________________．在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM. 3．人造卫星 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道． (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． (2)同步卫星 ①轨道平面与________________共面，且与地球自转的方向相同． ②周期与地球自转周期相等，T＝________. ③高度固定不变，h＝3.6×107 m. ④运行速率约为v＝3.1 km/s. (3)近地卫星：轨道在________________附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)． 注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星． 知识点三　宇宙速度 第一宇宙速度 (环绕速度) v1＝______ km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的______发射速度 第二宇宙速度 (逃逸速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱____引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱____引力束缚的最小发射速度 一、考点一、 航天器中的失重现象 1．宇航员乘坐宇宙飞船环绕地球做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（　　） A．地球对宇航员没有引力 B．宇航员处于完全失重状态 C．宇航员的加速度为零 D．宇航员处于超重状态 2．我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验，提高了青少年科学探索的兴趣。某同学设计了如下实验：轻杆一端固定，另一端固定一小球。给小球一初速度使其在竖直平面内做圆周运动。则在“天宫”做此实验（　　） A．小球的速度大小发生变化 B．小球的加速度大小发生变化 C．轻杆的拉力对小球做功 D．轻杆的拉力对小球不做功 3．宇宙飞船正在离地面高的轨道上做匀速圆周运动，R为地球的半径，飞船内一弹簧秤下悬挂一质量为m的重物，g为地球表面处重力加速度，则弹簧秤的读数为（　　） A．0 B． C． D．mg 4．在天和核心舱里的航天员处于完全失重状态，这是因为航天员（    ） A．不受任何力的作用 B．不受地球引力的作用 C．受到的地球引力正好充当向心力 D．受力平衡 二、考点二、第一二三宇宙速度 5．卫星“墨子”成功进入离地面高度为的预定圆形轨道，实现了卫星和地面之间的量子通信。此前我国成功发射了第23颗北斗导航卫星G7，G7属地球同步卫星。下列说法中正确的是（　　） A．“墨子”的运行速度大于 B．北斗G7可定点于川沙中学上方 C．“墨子”的周期比北斗G7小 D．“墨子”的向心加速度比北斗G7小 6．下列关于宇宙速度的说法正确的是（　　） A．同步卫星的运行速度一定等于第一宇宙速度 B．第一宇宙速度是人造地球卫星运行的最小速度 C．人造地球卫星运行时的速度一定小于第二宇宙速度 D．地球上的物体无论具有多大的速度都不可能脱离太阳的束缚 7．“东方红一号”人造卫星绕地球运行的速度 （填“大于”“等于”或“小于”）第一宇宙速度，若卫星发射速度超过 ，卫星就能完全摆脱地球引力的束缚，成为绕太阳运行的人造卫星。 8．如图所示，将物体从一座高山上的O点水平抛出，抛出速度一次比一次大，落地点一次比一次远，设图中A、B、C、D、E是从O点以不同的速度抛出的物体所对应的运动轨道。已知B是圆形轨道，C、D是椭圆轨道，在轨道E上运动的物体将会克服地球的引力，永远地离开地球，空气阻力和地球自转的影响不计，则下列说法正确的是（　　） A．物体从O点抛出后，沿轨道A运动落到地面上，物体的运动一定是平抛运动 B．轨道的中心是同一点 C．若轨道C、D上物体的运动轨道变为圆轨道，这个圆轨道可以过O点 D．在轨道E上运动的物体，抛出时的速度一定大于等于第三宇宙速度 三、考点三、近地卫星与黄金代换 9．一颗在赤道上空做匀速圆周运动的人造卫星，其轨道半径上对应的重力加速度为地球表面重力加速度的四分之一。已知地球半径为，则该卫星离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 10．空间飞行器的交汇对接是载人航天中的一项基础技术。北京时间2021年9月20日，天舟三号货运飞船采用自主交会对接模式成功的和天和核心舱完成对接。成功对接后组合体沿圆形轨道运行，经过时间t，组合体绕地球转过的弧度为。地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转。求： （1）组合体运动的周期T； （2）组合体所在圆轨道离地高度H； 11．某国家报纸报道：该国发射了一颗周期T为80min的人造地球卫星。若卫星的轨道为圆形，请你通过计算，判断该新闻的正确性。已知万有引力常量，地球半径R为，重力加速度g为。 12．设想“嫦娥”登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，周期为T。飞船在月球上着陆后，宇航员在月球表面上方h高处以初速度水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为s，已知引力常量为G。求： （1）月球表面的重力加速度； （2）月球的半径； （3）月球的第一宇宙速度。 四、考点四、 地球同步卫星与其他卫星的对比 13．2022年6月5日，“神舟十四号”载人飞船发射成功，将航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲送入空间站，他们执行任务时通过同步卫星与地面实时联系。已知空间站运行周期约为90min，它与同步卫星的运行轨道均视为圆周轨道，则（　　） A．空间站相对地面静止 B．空间站一定不是同步卫星 C．空间站的速度大于第一宇宙速度 D．空间站的加速度小于同步卫星的加速度 14．2022年6月5日，“神舟十四号”载人飞船发射取得圆满成功，将航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲送入空间站，他们执行任务时通过同步卫星与地面实时联系。已知空间站运行周期约为90分钟，它与同步卫星的运行轨道均视为圆轨道，则（　　） A．空间站相对地面静止 B．空间站的速度大于同步卫星的速度 C．空间站的速度大于第一宇宙速度 D．空间站的加速度小于同步卫星的加速度 15．四颗地球卫星a、b、c、d的排列位置如图所示，其中a是静止在地球赤道上还未发射的卫星，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，四颗卫星相比较，则下列说法中错误的是（　　） A．a的向心加速度最大 B．相同时间内b转过的弧长最长 C．c相对于b静止 D．d的运动周期可能是23h 16．若在天鹅座有一质量均匀分布的球形“类地球”行星，其密度为，半径为，自转周期为，引力常量为，则下列说法正确的是（    ） A．该“类地球”行星的同步卫星的运行速率为 B．该“类地球”行星的同步卫星的轨道半径为 C．该“类地球”行星表面重力加速度在两极的大小为 D．该“类地球”行星的卫星在行星表面附近做匀速圆周运动的速率为 五、考点五、计算双星问题 17．银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为（　　） A． B． C． D． 18．如图所示，甲、乙两卫星沿相同方向绕地球做匀速圆周运动，甲卫星周期为，乙卫星周期为，某时刻两卫星恰好相距最远，则（　　） A．至少需时间，两卫星相距最近 B．至少需时间，两卫星相距最近 C．至少需时间，两卫星再次相距最远 D．至少需时间，两卫星再次相距最远 19．“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点O做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量为，B星球的质量为，它们球心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（    ） A．B星球的轨道半径为 B．A星球和B星球的线速度大小之比为 C．A星球运行的周期为 D．若在O点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零 20．科学家通过天文望远镜在一个河外星系中，发现了一对相互环绕旋转的超大质量双星系统。双星a、b以两者连线上的O点为圆心做匀速圆周运动，引力常量为G。若a、b到圆心的距离分别为和，圆周运动的周期为T。求 （1）双星a、b的质量之比； （2）双星系统的总质量。 六、考点六、引力势能及其应用 21．华为Mate60Pro首发了卫星通话功能，使其成为全球首款支持卫星通话的智能手机。我国地球同步卫星“天通一号”在卫星通话中担任重要角色。地球同步卫星发射首先利用火箭将卫星运载至地球附近圆形轨道B，通过多次变轨最终进入地球同步轨道A。如图所示，B轨道离地面高度为，地球半径为。已知天通一号”质量为，地球自转角速度为，地球表面的重力加速度为，为地球中心，引力常量为。如果规定距地球无限远处为地球引力零势能点，地球附近物体的引力势能可表示为，其中M（未知）为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心距离。求： (1)“天通一号”卫星在B轨道的运行周期； (2)“天通一号”卫星在B轨道的机械能； (3)“天通一号”卫星自B轨道运动至A轨道的过程中机械能增加量。 22．2018年1月31日晚，月球位于近地点附近，“蓝月亮”刷爆微信朋友圈。月球在如图所示的近地点、远地点受地球的万有引力分别为F1、F2，速度大小为v1，v2，则（　　） A．F1<F2 B．v1<v2 C．月球从远地点向近地点运动过程中引力做正功 D．月球在近地点具有的势能比远地点的势能大 在宇宙空间中，质量为m的空间站在运动． 23．空间站以速度v匀速直线飞过空间中两点，飞行器不运动时，测得A、B两点的距离为s．考虑相对论效应，飞行器上的钟测到的时间 24．地球半径为R，地表重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．空间站绕地球做匀速圆周运动，轨道距地高度为h，以无穷远处为势能零点，空间站的运行速度大小为 ，机械能为 。 五、场是物质存在的一种形态，现在，场的概念已经成为现代物理学中最重要的基本概念之一。以下各小问引力常量用表示，取无穷远处为引力势能零点。 25．大质量的物体在空间会激发类似于静电场的引力场。如用定义电场强度的方法来定义引力场的场强，用定义电势的方法来定义引力势；类比可得，与质量为的质点相距处的引力场场强的表达式为 ，与质量为的质点相距处的引力势的表达式为 。 26．接上问，引力场场强的单位是（　　） A． B． C． D． 27．引力场线是为了直观形象地描述引力场分布而在引力场中引入的一簇假想的曲线。试在框中画出质量为的质点周围的引力场线 。沿着引力场线方向，引力势会逐渐 （选填“升高”或“降低”），你的理由是 。 28．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。假设地球是一半径为、质量为M、质量分布均匀的实心球体，若不考虑太阳和其他星体的作用，求地心与地表间的引力势之差。 2020年10月12日，我国在西昌卫星发射中心成功将“高分十三号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。其轨道与地球赤道在同一平面内，从地面上看，卫星在一定高度处静止不动。已知地球半径为，“高分十三号”卫星轨道半径为。 29．地球自转的周期为，“高分十三号”卫星运动的周期为，则（　　） A． B． C． D． 30．赤道上某点随地球自转的线速度大小为，“高分十三号”卫星运动的线速度大小为，则为（　　） A． B． C． D． 31．场是一种客观存在的物质，卫星与地球之间的万有引力是通过引力场发生的。与电场强度类似，可以引入引力场强度来描述引力场的强弱。若地球质量为M，卫星质量为m，则“高分十三号”卫星在运动过程中，所经各点的引力场强度的大小（　　） A．与M、m都有关 B．与M有关，与m无关 C．与M、m都无关 D．与M无关，与m有关 32．卫星A是位于赤道平面内、绕行方向与地球自转方向相同的近地卫星，B是地球同步卫星“高分十三号”，此时刻A、B连线与地心恰在同一直线上且相距最近。已知A的角速度为，地球自转角速度为，引力常量为G。 （1）估算地球的密度； （2）由图示时刻开始，至少经过多长时间A、B相距最远？ 二、航空航天 10月13日美国进行了重型运载火箭“星舰”的第五次试飞，史无前例地使用发射搭回收了巨大的火箭助推器，获得了圆满的成功。飞船与助推器分离后，助推器返回地面的发射台。助推器在靠近地面时，经过调整矢量发动机改变喷出火焰的方向，最后20多层楼高的助推器“竖直但略带倾斜地”减速靠近发射台，然后被发射台的机械臂“”像筷子一样在半空中夹住。 33．人造地球卫星的发射速度至少大于（　　） A． B． C． 34．图示虚线为某慧星绕日运行的椭圆形轨道，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点。慧星沿图中箭头方向运行。该彗星某时刻位于a点，经过四分之一周期该慧星位于轨道的（　　） A．之间 B．b点 C．之间 D．c点 35．某卫星先在圆轨道1运动，在P点变轨后进入椭圆轨道2运动，在Q点变轨后进入圆轨道3运动，若忽略卫星质量变化，则（　　） A．变轨后经过P点的速度大于变轨前的速度 B．变轨后经过Q点的速度大于变轨前的速度 C．变轨前后在Q点的加速度相等 D．卫星在轨道3的速度大于在轨道1的速度 36．“星舰”助推器在其减速下落的某个时刻，喷射火焰如图所示，则助推器受到的合力F方向正确的是（　　） A． B． C． D． 37．宇航员在某星球表面以初速度竖直向上抛出一个小球，经时间t小球落回抛出点，已知该星球的半径为R，引力常量为G，忽略星球的自转，则该星球的质量为 ，类比地球的第一宇宙速度，该星球的第一宇宙速度为 38．火箭竖直发射升空的某一瞬间，仪器显示航天员对座舱的压力等于他体重的3倍，此时飞船的加速度大小为重力加速度的 倍。助推器返回并靠近发射台时，助推器处于 （选填“超重”或“失重”）状态。 39．2004年，国务院批准绕月探测工程立项，命名为“嫦娥工程”。2020年12月17日凌晨，“嫦娥五号”携带1731克月球样品满载而归，标志着我国探月工程“绕、落、回”三步走规划如期完成。 (1)2007年10月24日我国首个月球探测器“嫦娥一号”成功发射，于11月7日进入离月球表面200公里的圆形工作轨道匀速绕行。“嫦娥一号”（    ） A．处于平衡状态 B．做匀变速运动 C．受到月球引力和向心力两个力的作用 D．受到月球的引力作为向心力 (2)如图，“嫦娥”探测器前往月球的过程中，首先进入“停泊轨道”绕地球旋转，在P点变速进入“地月转移轨道”，接近月球时，被月球引力“俘获”，再在“工作轨道”上匀速绕月飞行，然后择机降落。则探测器（    ） A．在“停泊轨道”上的绕行速度大于7.9km/s B．在P点加速，然后变轨到转移轨道 C．在Q点向后喷气，然后变轨到工作轨道 D．在转移轨道上关闭发动机运行时，动能不变 (3)“嫦娥三号”探测器到达距离月球表面5km的位置，立即开动发动机，向 （选填“上”、“下”）喷气，减速下行，实施“软着陆”。该过程中，探测器的机械能 （选填“增大”、“减小”或“不变”）。 (4)如图，静止的“玉兔”月球车在高度h0.8m的位置，将一质量m0.02kg的小物体以v02m/s的速度沿水平方向弹射出去，测出小物体的水平射程x2m。求： ①月球表面的重力加速度g月； ②小物体着地时的速度； ③小物体着地时月球对小物体引力的功率。 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$