第2课时 等比数列的性质与应用同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第2课时　等比数列的性质与应用 1.A　[解析] 由等比数列的性质可得a2a3a4==1,a6a7a8==64,∴a3=1,a7=4.∴=a3a7=4,易知a5与a3和a7同号,∴a5=2.故选A. 2.B　[解析] 因为等比数列{an}中的各项均为正数,且a5=2,所以a3+a7≥2=2a5=4,当且仅当a3=a7时取等号.故选B. 3.ACD　[解析] 因为数列{an}为等比数列,a1a5=aman,所以m+n=1+5=6.当m=1,n=5时,mn=5,故A正确;当m=2,n=4时,mn=8,故C正确;当m=n=3时,mn=9,故D正确.故选ACD. 4.C　[解析] 1->0⇔“若a1<0,则1-<0”或“若a1>0,则1->0”⇔“若a1<0,则0<q<1”或“若a1>0,则q>1”.数列{an}为递增数列⇔“若a1>0,则q>1”或“若a1<0,则0<q<1”.所以“1->0”是“数列{an}为递增数列”的充要条件.故选C. 5.B　[解析] 由a2a4+2a3a5+a4a6=144,可得+2a3a5+=144,即(a3+a5)2=144,因为an>0,所以a3+a5=12,故选B. 6.B　[解析] ∵在等差数列{an}中,a1=-8,a2=-6,∴公差d=a2-a1=2,∴an=a1+(n-1)d=2n-10.∴a4=-2,a5=0.∵(a4+m)2=(a1+m)(a5+m),∴(-2+m)2=(-8+m)(0+m),解得m=-1. 7.B　[解析] 设需要过滤n次,则×n≤,即n≤,∴n≥=≈5.68,又n∈N*,∴n≥6,即至少需要过滤6次才能达到市场要求.故选B. 8.ABD　[解析] 既是等差数列也是等比数列的数列是非零常数列,所以A正确.设等差数列{an}的公差为d,若d>0,则当n无限大时,an=a1+(n-1)d无限大,|an|>2019,不满足题意;若d<0,则当n无限大时,an=a1+(n-1)d无限小,|an|>2019,不满足题意;所以d=0,则{an}是常数列,只需|a1|≤2019,即有|an|≤2019,所以B正确;若等比数列{an}的公比为-1,a1=1,也满足|an|≤2019,但{an}不是常数列,所以C错误.设各项为正数的等比数列{an}的公比为q,因为1≤an≤2019,所以当|q|>1,且n无限大时,|an|=|a1·qn-1|无限大,不满足题意;当0<|q|<1,且n无限大时,|an|=|a1·qn-1|趋于零,不满足题意.综上得q=1,1≤a1≤2019,即数列{an}是常数列,所以D正确.故选ABD. 9.9　[解析] 由a1a2a3==3,得a2=,由a7a8a9==27,得a8=3,∴a4a5a6==()3=(×3==32=9. 10.6　[解析] 由a2a12=q12=()12=16,a1>0,得a1=,∴a15=×()14=64,则log2a15=6. 11.1010m　[解析] 由等比数列的性质可得a1009a1012+a1010a1011=2a1010a1011=2×10m,所以a1010a1011=10m,所以lg a1+lg a2+…+lg a2020=lg(a1·a2·…·a2020)=lg(a1010a1011)1010=1010lg(a1010a1011)=1010m. 12.1024　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为a2·a3=2a1,所以a2a3=a1q·a1q2=2a1,所以a4=a1q3=2.因为a4与2a7的等差中项为,所以a4+2a7=2×,即a4+2a4·q3=2×,即2+4q3=,解得q=,所以a1==16,故an=16×=25-n,则a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=<1,所以数列{an}的前4项或前5项的积最大,且最大值为16×8×4×2=1024. 13.解:设年平均增长率为x,a1=105,n年后空气质量为“优”“良”的天数为an,则{an}是一个等比数列.由a3=240,得a3=a1(1+x)2=105(1+x)2=240,可得x=-1≈0.51,所以年平均增长率约为51%. 14.解:(1)证明:由题意可知4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4,a1+b1=1,a1-b1=1, 所以4an+1+4bn+1=3an-bn+4+3bn-an-4=2an+2bn,即an+1+bn+1=(an+bn),所以数列{an+bn}是首项为1,公比为的等比数列.因为4an+1-4bn+1=3an-bn+4-(3bn-an-4)=4an-4bn+8,所以an+1-bn+1=an-bn+2,所以数列{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)可知,an+bn=,an-bn=2n-1, 所以an=(an+bn+an-bn)=+n-,bn=[an+bn-(an-bn)]=-n+. 15.A　[解析] 由题意可知甲、乙、丙、丁分配的奖金构成等比数列,设此等比数列为{an},且公比为q,设甲、乙、丙、丁分配奖金的“衰分比”为x,则x=1-q.依题意得a1+a2+a3+a4=59 040,a1+a3=32 800,则a2+a4=59 040-32 800=26 240,∴q===0.8,∴“衰分比”x=1-0.8=0.2=20%.∵a1+a3=a1+a1q2=a1(1+q2)=a1(1+0.82)=1.64a1=32 800,∴a1==20 000,∴a3=a1q2=20 000×0.82=12 800,∴丙所获得的奖金为12 800元.故选A. 16.ACD　[解析] 由数列{an}满足=2n,得-=2n+2-2n=2,所以数列{an}是等比差数列,故选项A正确;对于数列{n·2n},因为-=-=-==不是常数,所以数列{n·2n}不是等比差数列,故选项B错误;由等比数列的定义可知,an+1=anq,所以-=q-q=0,所以所有的等比数列都是等比差数列,故选项C正确;设等差数列为{an},公差为d,所以-=-=,则当d=0时,-=0,所以存在等差数列是等比差数列,故选项D正确.故选ACD. 17.解:(1)∵an+1=3n-2an(n∈N*),a1≠,∴===-2,∴数列an-为等比数列,其公比为-2. (2)由(1)可得an-=a1-×(-2)n-1,∴an=a1-×(-2)n-1+. ∵{Sn}是递增数列,∴需满足当n≥2时,an>0,结合题意需满足a2=a1-×(-2)+>0,a3=a1-×(-2)2+>0,解得-<a1<. 又a1≠,∴a1的取值范围为-,∪,. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3.1 第2课时　等比数列的性质与应用 一、选择题 1.在等比数列{an}中,a2a3a4=1,a6a7a8=64,则a5= (　　) A.2 B.-2 C.±2 D.4 2.在各项均为正数的等比数列{an}中,a5=2,则a3+a7 (　　) A.有最小值3 B.有最小值4 C.有最大值3 D.有最大值4 3.(多选题)在等比数列{an}中,若a1a5=aman,则mn的值可能为 (　　) A.5 B.6 C.8 D.9 4.已知数列{an}是公比为q的等比数列,则“·1->0”是“数列{an}为递增数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 已知{an}是等比数列,an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=144,则a3+a5等于(　　) A.6 B.12 C.18 D.24 6.已知等差数列{an}满足a1=-8,a2=-6.若将a1, a4,a5都加上同一个数m,所得的三个数依次成等比数列,则m的值为 (　　) A.1 B.-1 C.4 D.-4 7.某化工厂生产一种溶液,按市场要求,溶液中杂质的含量不得超过0.1%.若初始溶液含杂质1%,每过滤一次可使杂质含量减少,为了达到市场要求,至少需要过滤的次数为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 8.(多选题)对于无穷数列{an},下列说法中正确的是 (　　) A.若数列{an}既是等差数列,又是等比数列,则数列{an}是常数列 B.若等差数列{an}满足|an|≤2019,则数列{an}是常数列 C.若等比数列{an}满足|an|≤2019,则数列{an}是常数列 D.若各项为正数的等比数列{an}满足1≤an≤2019,则数列{an}是常数列 二、填空题 9.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1a2a3=3,a7a8a9=27,则a4a5a6=　　　　.  10.已知公比q=的等比数列{an}的各项都是正数,且a2a12=16,则log2a15=　　　　.  11. 在各项都为正数的等比数列{an}中,a1009a1012+a1010a1011=2×10m,则lg a1+lg a2+…+lg a2020=　　　　.(用数字及m表示)  12 .已知数列{an}为等比数列,若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则a1·a2·a3·…·an的最大值为　　　　.  三、解答题 13. 某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105,若2年后该城市的空气质量为“优”“良”的天数达到240,求这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率.(精确到0.01) 14. 已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列; (2)求{an}和{bn}的通项公式. 15. 《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题,“衰分”是按比例分配的意思,通常称递减的比例为“衰分比”.如:已知A,B,C三人分配奖金的衰分比为10%,若A分得奖金1000元,则B,C所分得奖金分别为900元和810元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功,共获得奖金59 040元,若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金,且甲与丙共获得奖金32 800元,则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为 (　　) A.20%,12 800元 B.10%,12 800元 C.20%,10 240元 D.10%,10 240元 16. (多选题) 如果数列{an}满足-=k(k为常数),那么数列{an}叫作等比差数列,k叫作公比差.下列说法正确的是 (　　) A.若数列{an}满足=2n,则该数列是等比差数列 B.数列{n·2n}是等比差数列 C.所有的等比数列都是等比差数列 D.存在等差数列是等比差数列 17. 在数列{an}中,a1≠,an+1=3n-2an(n∈N*). (1)判断数列an-是否为等比数列,并说明理由; (2)Sn是数列{an}的前n项的和,若{Sn}是递增数列,求a1的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$