5.2.1三角函数的概念（第一课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.1 三角函数的概念 第一课时 一、课前回顾 1.弧度制与角度制的换算 2.圆心角、弧长、扇形面积公式 3.特殊角的弧度数 学习目标 1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 2.会利用相似关系,由角 终边上任意一点的坐标得出任意角的正弦、余弦和正切的三角函数的定义. 3.能根据定义理解正弦、余弦和正切函数在各个象限及坐标轴上的符号,会求一些特殊角的三角函数值. 4.理解并掌握公式一,并会用公式一进行三角函数式的化简或恒等式的证明. 复习回顾 A B C 在RABC三角形中,定义: sinA= cosA= tanA= = = 都是以锐角为自变量,以边长比为函数值的函数. 角的概念推广以后,角的范围从0~2,推广到任意角,任意角度的三角函数该如何定义呢? 新课讲授 本章开头我们提到过三角函数是刻画现实世界中周期变化规律的函数模型,匀速圆周运动是这类现象的代表,下面我们以匀速圆周运动为代表,通过建立函数模型,来描述圆周上点P位置变化情况. (设点P以点A为起点做逆时针方向旋转) A P O 想一想:如何确定点P的位置? 点P的位置由角射线OP旋转所形成的角 确定 我们已经知道,当角的大小确定时,角的弧度数不会随着半径的变化而变化,为了研究问题的方便,我们以单位圆(半径为1的圆)为例,展开研究. y O x 1 M 以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆,称为单位圆. 锐角三角函数(在单位圆中) 当 = 时,点P的坐标是什么? A(1,0) P O x M y 方法:过点P向x轴做垂线,得到Rt∆OPM 所对的边是斜边的一半 当 = 时,点P的坐标是什么? A(1,0) P O x M y = = = 当 = 或 = 时,点P的坐标又是什么? 给定一个角 ,它的终边OP与单位圆交点P点的坐标是唯一确定的吗? A(1,0) P O x y A(1,0) P O x y 点P的横、纵坐标都能唯一确定. 当 = 或 = 时,角 的三角函数值是多少? A(1,0) P O x y A(1,0) P O x y 概念讲解 设 是一个任意角, ∈R, 它的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么:(1)y叫做 的正弦函数,记作sin ,即y=sin ; 任意角的三角函数定义 A(1,0) P(x,y) O x y (2)x叫做 的余弦函数,记作cos ,即x=cos ; (3)叫做 的正切函数, 记作tan ,即=tan (x≠0). 我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数. 通常将它们记为: 正弦函数 余弦函数 正切函数 y=sin x y=cos x y=tan x 追问:它们的定义域分别是什么? 当 =0时,点P坐标为 (1,0) ∴sin0=0, cos0=1, tan0=0 当 = 时,点P坐标为 (0,1) ∴sin =1, cos =0, tan 无意义 当 = 时,点P坐标为 当 = 2 时,点P坐标为 当 = 时,点P坐标为 (-1,0) (0,-1) (1,0) ∴sin =0, cos =-1, tan =0 ∴sin =-1, cos=0, tan 无意义 ∴sin 2 =0, cos 2 =1, tan 2 =0 追问:终边落在y轴上角的集合? 正弦函数 余弦函数 正切函数 y=sin x,x∈R y=cos x,x∈R y=tan x,x≠+k (k∈Z) 注意 x y o 的终边 (1)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点 横坐标的比值. 的横坐标, 正切就是 交点的纵坐标与 (2)正弦、余弦总有意义.当 的终边在y轴上时,点P 的 横坐标等于0, 无意义,此时 (3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是自变量为实数的函数. 例1 求的正弦值、余弦值和正切值. 解:在直角坐标系中,作∠AOB=, 易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(,), 所以sin ,cos =,tan =. 求角的三角函数值的方法: ①在平面直角坐标系中作单位圆; ②角的终边与单位圆交与P点,过P点作x轴的垂线交与M,构造直角三角形; ③解直角三角形确定P点坐标; ④利用定义求三角函数的值; 归纳总结 只要知道角 终边上任意一点P的坐标,就可以求得角 的各个三角函数值,并且这些函数值不会随点P位置的改变而改变. 设角 是一个任意角,P(x,y)是终边上的任意一点, 点P与原点的距离r=>0, 定义推广: 那么①叫做 的正弦,即 ②叫做 的余弦,即 ③叫做 的正弦,即 任意角 的三角函数值仅与 有关,而与点P在角的终边上的位置无关. 例1 已知角 的终边经过点P(-4,3) , 求角 的正弦、余弦和正切. 解:∵ 已知角 的终边经过点 P (-4,3) ∴ ∴ 故据三角函数的定义可得 例2 已知角的终边过点P(-12,5),求的三个三角函数值. 解:由已知可得:r===13, 于是sin ==, cos ===-, tan ===-. 练1.已知角 的终边经过点M(-3,-1),则sin = ,cos = . 练2.若角 的终边经过点P(x,-3)且sin =-,则x的值为( ) A.- B.-1 C.1 D. BC 练3.求终边在射线y=2x(x≥0)上的角的正弦、余弦和正切. 解:由题意当 时 则有 即射线 必过点 ∴ 设终边在射线上的角为 则 课堂总结 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况 (1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值. (3)若已知角 终边上的点的坐标含参数,则需进行分类讨论. - - (2)若已知角 终边上一点P(x,y)(x≠0)不是单位圆上一点,则先求r=,再求sin =,cos =,tan =. $$