2024-2025学年人教版数学八年级下册菱形的性质及判定寒假讲义

菱形的性质及判定 菱形的概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 例1. 在菱形ABCD中，AB＝4，菱形的周长为（　　） A．8 B． C．16 D． 【变式】如图在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点连结AE，AF.求证：AE＝AF 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：①底×高；②两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 边 ABCD, ADBC,且AB=BC=CD=AD 角 ∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD 对角线 AO=CO, BO=DO,且AC⊥BD 例2. 如图，四边形ABCD是菱形，CD＝10，BD＝16，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 例3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点D作DE∥AC，且DEAC，连接CE，BE．若AC＝10，BD＝12，则BE的长为 　　． 例4. 已知，如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF＝60°.∠BAE＝18°，求∠CEF的度数． 【变式1】菱形的两条对角线长分别为6cm、8cm，则它的面积为（　　）cm2． A．6 B．24 C．36 D．48 【变式2】如图，在菱形ABCD中,E是AD的中点，EF⊥AC交CB的延长于F，交AC于M，求证：AB与EF互相平分． 菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 边 AB=CD=AD=BC; 四边形ABCD是菱形 先求证四边形ABCD是平行四边形，再结合邻边相等可证 对角线 先求证四边形ABCD是平行四边形，再结合AC⊥BD可证 例5. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC 例6. 下列说法正确的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 例7. 如图，已知▱ABCD，E，F是对角线BD上的两点，BE＝DF，连接AE，CE，AF，CF． （1）求证：AE＝CF； （2）连接AC，直接写出当AC和BD满足什么关系时，四边形AECF是菱形． 例8. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG＝30°，AE＝2，求EG的长． 【变式1】如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC. 则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【变式2】如图，在▱BFDE中，点A，C分别在DE，BF的延长线上，且AE＝CF，连接AB，CD． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）请添加一个条件，使四边形ABCD为菱形．（不需要说明理由） 【变式3】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝6，AB＝10，求菱形ADCF的面积． 菱形性质和判定的应用 性质 判定 例9. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，且对角线AC＝8，BD＝6，则纸条的宽度是（　　） A．9.6 B．5 C．4.8 D．2.4 例10.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE的长； （3）在（2）的条件下，已知点M是线段AC上一点，且，则CM的长为 　 　． 【变式1】如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为（　　） A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm 【变式2】如图，四边形ABCD是菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE，AB＝6，AC＝4，则AE的长为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 课后训练 1. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OD2 2. 如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝3cm，四边形AOBC的面积为12cm2，则OC的长为（　　） A．5cm B．8cm C．10cm D．4cm 3. 如图，已知四边形ABCD为菱形，AE＝CF，求证：四边形BEDF为菱形． 4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AC与EF交于点O，且EF垂直平分AC，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝6，求四边形AECF的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$