专题03 圆锥曲线的方程（11大经典基础题+6大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题03 圆锥曲线的方程 椭圆的定义及其应用 1．（23-24高二上·河南·期末）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（    ） 注：表示面积. A．2 B． C．3 D． 2．（23-24高二上·河南·期中）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，则 ． 4．（23-24高二上·河南信阳·期末）圆与的位置关系为 ；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为 ． 5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． (1)求C的标准方程； 椭圆的标准方程 1．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 2．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆C：的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，为坐标原点，当时，． (1)求的方程； 4．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； 5．（23-24高二上·河南·期末）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，且直线的斜率为. (1)求的方程； 6．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆经过点和． (1)求的方程； 7．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆 点 P 为E 上落在第一象限的动点，P 关于原点对称的点为 Q，点 A 在E 上满足. .记直线 PQ，AQ，AP 的斜率分别为，，.且满足. (1)证明: 8．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足. (1)求椭圆的方程； 9．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知椭圆的离心率为是的左､右焦点，椭圆上一个动点到的最短距离为点在上. (1)求的方程； 椭圆的几何性质——离心率 1．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆，点是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知O为坐标原点，，是椭圆C：（）的焦点，过右焦点且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南新乡·期末）如图，椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，为轴上一点，在以为直径的圆上，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆：，经过原点的直线交于、两点.是上异于、的一点，直线交轴于点，且.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率 . 5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则椭圆的离心率为 ． 6．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆 点 P 为E 上落在第一象限的动点，P 关于原点对称的点为 Q，点 A 在E 上满足. .记直线 PQ，AQ，AP 的斜率分别为，，.且满足. (1)证明: (2)求椭圆E 的离心率； 7．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆，F为右焦点，A为右顶点，B为上顶点，． (1)求C的离心率e； 8．（23-24高二上·河南驻马店·期末）如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，与椭圆交于点B，若，则的最小值为 ． 9．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点A、B为椭圆（）上任意两个动点，动点P在直线上，若恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知椭圆C的离心率的取值范围为 双曲线的标准方程 1．（23-24高二上·河南许昌·期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 2．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知焦点在轴上的双曲线实轴长为4，渐近线方程为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知曲线，下列命题错误的是（    ） A．若，则是双曲线 B．若，则是椭圆 C．若，则是圆 D．若，则是两条直线 5．（20-21高二上·福建福州·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 . 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的离心率为2，请写出一个的标准方程： . 7．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知双曲线：（，）的离心率为2，右焦点（）到直线：的距离为5. (1)求的方程； 8．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； 双曲线的定义、几何性质的应用 1．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，则（    ） A．2 B． C． D． 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知双曲线：，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的实半轴长为 D．双曲线的渐近线方程为 4．（23-24高二上·河南·期末）已知曲线，则（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线 C．存在实数，使得过点 D．当时，直线总与曲线相交 5．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是双曲线上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·河南信阳·期末）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左支交于点A，B，若则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·河南新乡·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为 . 双曲线的几何性质——离心率 1．（23-24高二上·河南漯河·期末）双曲线（）的一条渐近线为，则其离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（     ） A． B． C． D．3 3．（23-24高二下·河南·期末）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线，如图，过的右焦点作直线与的两条渐近线分别交于点，与轴交于点，若，且，则的离心率为（    ）    A． B． C．2 D． 5．（23-24高二上·河南南阳·期末）双曲线：（）的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为 . 7．（23-24高二上·河南郑州·期末）松脆辛香的品客薯片蕴藏着数学、物理、哲学的奥秘，它的形状叫双曲抛物面（马鞍面），其标准方程为（，），当时截线方程为：（，），如图从的一个焦点射出的光线，经过，两点反射后，分别经过点和，且反射光线的反向延长线交于的另一个焦点．已知，，则的离心率为 ． 8．（23-24高二上·河南·期末）已知直线过双曲线的左焦点，与左支交于两点，双曲线的右焦点为，若，则双曲线的离心率为 . 9．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知，，且，则和可分别作为（    ） A．双曲线和抛物线的离心率 B．双曲线和椭圆的离心率 C．椭圆和抛物线的离心率 D．两双曲线的离心率 10．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，如图，过的直线与C交于点A，与y轴交于点B，，，设C的离心率为，则（    ）    A． B． C． D． 抛物线的定义及应用 1．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 3．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上（点在第一象限），若，则 ． 4．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知是抛物线的焦点，纵坐标为的点在上，且，是上两点，直线不与轴垂直，且直线关于轴对称． (1)求的方程； 5．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知动点与定点的距离等于点到的距离，设动点的轨迹为曲线．椭圆的一个焦点与曲线的焦点相同，且长轴长是短轴长的倍． (1)求与的标准方程； 6．（23-24高二上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小1． (1)求点的轨迹的方程； 抛物线的标准方程 1．（23-24高二上·河南驻马店·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为4，到轴的距离为3，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知，，直线，相交于，直线，的斜率分别为，，则（    ） A．当时，点的轨迹为除去，两点的椭圆 B．当时，点的轨迹为除去，两点的圆 C．当时，点的轨迹为除去，两点的双曲线 D．当时，点的轨迹为除去，两点的抛物线 5．（23-24高二上·河南信阳·期末）方程（m为常数）表示的曲线可能是（   ） A．两条直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 6．（23-24高二上·河南信阳·期末）方程（为常数）表示的曲线可能是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则抛物线的标准方程为 .（写出一个即可） 8．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，． (1)求的方程； 9．（17-18高二上·北京东城·期中）已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； 抛物线的几何性质 1．（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线的标准方程是，则它的准线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南·期末）已知圆与抛物线的准线相切，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．直线AQ与抛物线相切 D． 4．（23-24高二下·河南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是上位于第一象限的动点，点为与轴的交点，则下列说法正确的是（    ） A．到直线的距离为2 B．以为圆心，为半径的圆与相切 C．直线斜率的最大值为2 D．若，则的面积为2 5．（23-24高二上·河南郑州·期末）抛物线：的焦点是，准线与对称轴相交于点，过点的直线与相交于，两点（点在第一象限），，垂足为，则下列说法正确的是（    ） A．若以为圆心，为半径的圆经过点，则是等边三角形 B．两条直线，的斜率之和为定值 C．已知抛物线上的两点，到点的距离之和为8，则线段的中点的纵坐标是4 D．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 6．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知抛物线：的焦点关于直线：的对称点恰在的准线上，则 . 直线与抛物线 1．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线与抛物线交于A，B两点，则（O为抛物线顶点）的值为（   ） A． B． C．4 D．12 2．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为． (1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程； 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）过抛物线：的焦点的直线交于，两点，若，且，则（    ） A． B．直线的斜率为 C．以线段为直径的圆与的准线相切 D．（为坐标原点）的面积为 4．（2024·辽宁抚顺·一模）已知抛物线的准线方程为，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．设，则周长的最小值为4 C．以为直径的圆与轴相切 D．若，则直线的斜率为或 5．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，． (2)过作斜率为的直线与交于，两点，的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 6．（17-18高二上·北京东城·期中）已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且. (2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 轨迹方程 1．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，若的坐标，满足方程，则点的轨迹是 （填曲线的类型，填方程不给分）. 2．（23-24高二下·河南新乡·期末）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，平面内一动点满足，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； 3．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知定圆，动圆P过点，且和圆相切． (1)求动圆圆心P的轨迹E的方程； 4．（23-24高二上·河南·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，若动点的坐标满足方程. (1)试说明动点的轨迹是什么曲线，并求出该曲线的标准方程； 5．（23-24高二上·河南漯河·期末）求符合下列条件的曲线方程： (2)以轴，轴为对称轴，且同时过两点的圆锥曲线的标准方程. 6．（23-24高二上·河南漯河·期末）动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小. (1)求动点的轨迹的方程； 7．（23-24高二上·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：，． (1)求动点的轨迹的方程； 焦点三角形 1．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知为坐标原点，是椭圆：上位于轴上方的点，为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知为双曲线左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心若，则点到焦点的距离是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（    ） A．直线与直线的斜率之积为 B．的最小值为 C．若，则的周长为 D．点P到两条渐近线的距离之积 5．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为 . 6．（23-24高二上·河南·期末）已知是双曲线的左､右焦点，为上一点，且（为坐标原点），，则的离心率为 . 7．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆：（）的长轴长为10，离心率为. (1)求的方程； (2)若的左焦点为，直线：与交于，两点，求的面积. 弦长、中点弦问题 1．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知点为动直线：所过的定点，若椭圆截直线所得的弦被点平分，则 . 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是离心率为2的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 3．（23-24高二下·河南新乡·期末）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，平面内一动点满足，记的轨迹为曲线. (2)已知为的右焦点，过点且斜率为的直线交于两点，过点且斜率为的直线交于两点，且，求四边形面积的最大值. 4．（23-24高二下·河南·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，为坐标原点，当时，． (2)过的另一条直线交于两点，设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的最大值． 5．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程． 直线与椭圆、双曲线的综合问题 1．（23-24高二上·河南驻马店·期末）法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．圆的方程为 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为 D．当点为时，直线的方程为 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知过双曲线左焦点且倾斜角为60°的直线与C交于点A，与y轴交于点B，且A是的中点，则C的离心率为 . 4．（23-24高二上·河南周口·期中）已知椭圆：的上顶点为，左焦点为，且，在直线上. (2)设直线与交于，两点，且四边形为平行四边形，求的方程. 5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． (2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 6．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知椭圆：的短轴长为，且椭圆经过点． (2)若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程． 7．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点．当垂直于长轴时，． (2)椭圆上是否存在点，使得当绕点转到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（23-24高二上·河南·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，若动点的坐标满足方程. (2)设为曲线上的一个不在轴上的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线于两点，记的面积为，求的最大值. 9．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知动点与定点的距离等于点到的距离，设动点的轨迹为曲线．椭圆的一个焦点与曲线的焦点相同，且长轴长是短轴长的倍． (2)有心圆锥曲线（椭圆，圆，双曲线）有下列结论：若为曲线上的点，过点作的切线，则切线的方程为．利用上述结论，解答问题：过作椭圆的切线（为切点），求的面积． 10．（23-24高二上·河南开封·期末）已知离心率为的椭圆与拋物线有共同的焦点是椭圆上任意一点，且的最小值是1． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，若，求直线的方程． 圆锥曲线的综合问题——范围与最值问题 1．（23-24高二上·河南郑州·期末）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆：的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左、右顶点，连线的斜率之积为，则的值不可能为（    ） A． B． C．0 D．2 2．（23-24高二上·河南许昌·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，若M，N为C上关于原点对称的两点，则（    ） A．C的标准方程为 B． C． D．四边形的周长随的变化而变化 3．（23-24高二下·河南开封·期末）过抛物线上一点P作圆的切线，切点为A，B，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．可能取到3 D．可能取到4 4．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 5．（23-24高二上·河南·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的的距离为3，离心率为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)经过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围. 6．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知点，抛物线的焦点为为抛物线上的点，则周长的最小值为 ． 7．（23-24高二上·安徽淮北·阶段练习）已知抛物线，直线与抛物线交于两点，与圆交于两点在第一象限，则的最小值为 . 8．（23-24高二上·河南·期末）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，且直线的斜率为. (2)若直线与交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值. 9．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆 点 P 为E 上落在第一象限的动点，P 关于原点对称的点为 Q，点 A 在E 上满足. .记直线 PQ，AQ，AP 的斜率分别为，，.且满足. (3)若，求面积的最大值. 圆锥曲线的综合问题——定值与定点问题 1．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足. (2)过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上. 2．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知椭圆的离心率为是的左､右焦点，椭圆上一个动点到的最短距离为点在上. (2)若为直线上任意一点，直线的斜率之积为，平面内是否存在定点满足恒成立.若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由. 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆的左、右焦点为，，且经过点，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于（异于点）两点. (2)若以为直径的圆过点，求证直线过定点，并求该定点坐标. 4．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆，F为右焦点，A为右顶点，B为上顶点，． (2)已知MN为C的一条过原点的弦（M，N不同于点A）． （ⅰ）求证：直线AM，AN的斜率之积为定值，并求出该值； （ⅱ）若直线AM，AN与y轴分别交于点D，E，且△ADE面积的最小值为，求椭圆C的方程． 5．（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知椭圆经过点，且其右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点． (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由； (3)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点． 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 7．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知是抛物线的焦点，纵坐标为的点在上，且，是上两点，直线不与轴垂直，且直线关于轴对称． (2)求证：直线过定点； 8．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为． (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值． 9．（23-24高二上·河南漯河·期末）动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小. (2)已知点，过的直线与交于两点，分别与交于点. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 10．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知抛物线的焦点为，为原点，第一象限内的点在上，，且的面积为. (1)求的方程； (2)若，是上与不重合的两动点，且，求证：直线过定点. 圆锥曲线的综合问题——证明与存在性问题 1．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知双曲线：（，）的离心率为2，右焦点（）到直线：的距离为5. (2)设过点的直线与的右支交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，（异于点），证明：. 2．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知双曲线过点，离心率为，斜率为k的直线l交双曲线C于A，B两点，且直线的斜率之和为0． (1)求双曲线C的方程； (2)是否存在直线l，使得是以P为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，过的直线交于、两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．的面积为定值 D．若在轴上，则为直角三角形 4．（23-24高二上·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：，． (2)过点的直线交轨迹于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与轨迹的另一交点为，的中点为，证明：，，三点共线． 5．（23-24高二上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小1． (2)已知直线过点，与轨迹交于，两点．求证：直线与直线的倾斜角互补． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆锥曲线的方程 椭圆的定义及其应用 1．（23-24高二上·河南·期末）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（    ） 注：表示面积. A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】结合椭圆性质以及光学性质得，再结合即可得解. 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.设， 则. 故，解得. 又，所以，所以. 故选：C. 2．（23-24高二上·河南·期中）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点求得，利用椭圆的定义求得的最大值. 【详解】由于椭圆的焦点为，所以且焦点在轴上，则， 且，，所以椭圆方程为， 所以，设左焦点为， 根据椭圆的定义得， 当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A    3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，则 ． 【答案】12 【分析】由椭圆定义求出. 【详解】由题意知，所以，又由椭圆的定义，得． 故答案为：12 4．（23-24高二上·河南信阳·期末）圆与的位置关系为 ；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 内含 【分析】先利用圆心距与两半径之差的比较得到两圆位置关系；再利用两圆内切推得，从而利用椭圆的定义即可得解. 【详解】依题意，圆心，半径，圆心，半径， 所以，则两圆内含； 设动圆的圆心，半径为，则， ， 依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中， 又， 所以的轨迹方程为. 故答案为：内含；. 5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． (1)求C的标准方程； 【答案】(1) 【分析】（1）根据椭圆定义得，，再结合关系即可得到答案； 【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 由椭圆的定义知，， 可得，所以， 所以椭圆的标准方程为:. 椭圆的标准方程 1．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据题意结合椭圆的标准方程的形式，建立不等式，即可求解. 【详解】方程，即表示焦点在轴上的椭圆， ，解得． 故选：A． 2．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆C：的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆焦点所在轴，列出关于k的不等式求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点在y轴上，所以有，解得. 故选：A 3．（23-24高二下·河南·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，为坐标原点，当时，． (1)求的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）利用离心率以及即可求解， 【详解】（1）设焦距为，当时，将代入椭圆方程可得， ，解得， 所以，又，解得， 所以的方程为； 4．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； 【答案】(1) 【分析】（1）由长轴长和短轴长可得椭圆方程； 【详解】（1）由已知长轴为，短轴长为4， 可得，， 则椭圆C的标准方程为：； 5．（23-24高二上·河南·期末）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，且直线的斜率为. (1)求的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）代入点的坐标求椭圆方程即可. 【详解】（1）依题意可得， 由，得， 所以的方程为. 6．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆经过点和． (1)求的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）将点代入椭圆方程即可求解， 【详解】（1）由题意得，把点的坐标代入，得，解得， 所以椭圆的方程为． 7．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆 点 P 为E 上落在第一象限的动点，P 关于原点对称的点为 Q，点 A 在E 上满足. .记直线 PQ，AQ，AP 的斜率分别为，，.且满足. (1)证明: 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）设出点的坐标，分别求出直线 PQ，AQ，AP 的斜率，，，结合点在椭圆上，联立即可得证； 【详解】（1）证明：设点,，则， 点,在椭圆上，故满足椭圆的方程， 所以， ，， ， 所以. 8．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足. (1)求椭圆的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）由左、右顶点为，先求，再设点的坐标，利用斜率公式表示条件，结合点在椭圆上求，由此可得椭圆方程. 【详解】（1）如图所示：    根据题意，，设点的坐标为，由于点在椭圆上， 所以，得， 则， 解得，所以椭圆的标准方程为. 9．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知椭圆的离心率为是的左､右焦点，椭圆上一个动点到的最短距离为点在上. (1)求的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）由椭圆的离心率，椭圆上一个动点到右焦点的最短距离，即可解得，进而求得，即可得到的方程； 【详解】（1） 由已知，， 椭圆的方程为. 椭圆的几何性质——离心率 1．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆，点是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取线段的中点为，结合条件可得，再根据及椭圆的定义，即可得到结果. 【详解】取线段的中点为，点分别为边,上的切点，如图所示： 则，∵， ∴， ∴,,三点共线，，，则点为边上的切点， ∴. ∴， ∵，则， ∴， ∴，又，则， ∴，则. 故选：D. 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知O为坐标原点，，是椭圆C：（）的焦点，过右焦点且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题给条件列出关于的齐次式，解之即可求得C的离心率. 【详解】由，，可得， 又由，可得，故， 由得， 整理得，即， 解之得或（舍）. 故选：A 3．（23-24高二上·河南新乡·期末）如图，椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，为轴上一点，在以为直径的圆上，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由，可设，结合椭圆定义以及得，再结合余弦定理知识求得等量关系式，则椭圆的离心率可求. 【详解】由，可设，则， 由对称性知， 由题可知，则， 由椭圆的定义知，则， 在中，， 则，整理得，故的离心率为. 故选：D. 4．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆：，经过原点的直线交于、两点.是上异于、的一点，直线交轴于点，且.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率 . 【答案】/ 【分析】利用点差法和椭圆离心率等知识求得正确答案. 【详解】依题意，直线、的斜率存在，由于， 则直线的斜率与直线的斜率互为相反数，即， 设是的中点，连接，则， 设，则，， 由两式相减并化简得， 由于直线、的斜率之积为，即， 则， 所以，所以椭圆的离心率. 故答案为： 5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意得，再结合椭圆的离心率公式即可求解. 【详解】由题意得双曲线的渐近线方程为，所以， 这意味着，所以. 故答案为：. 6．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆 点 P 为E 上落在第一象限的动点，P 关于原点对称的点为 Q，点 A 在E 上满足. .记直线 PQ，AQ，AP 的斜率分别为，，.且满足. (1)证明: (2)求椭圆E 的离心率； 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）设出点的坐标，分别求出直线 PQ，AQ，AP 的斜率，，，结合点在椭圆上，联立即可得证； （2）由，以及即可求出，然后计算离心率即可； 【详解】（1）证明：设点,，则， 点,在椭圆上，故满足椭圆的方程， 所以， ，， ， 所以. （2）因为，， 所以，又，所以， 即，所以，故离心率为. 7．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆，F为右焦点，A为右顶点，B为上顶点，． (1)求C的离心率e； 【答案】(1) 【分析】（1）利用两点距离公式化简得到，最后根据离心率公式即可； 【详解】（1）， ，所以． 8．（23-24高二上·河南驻马店·期末）如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，与椭圆交于点B，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由离心率的定义分别表示出，即可得到，结合三角恒等变换化简，再由正弦型函数的值域，即可得到结果. 【详解】设，，则， 又，则，， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以，则， 所以，则的最小值为. 故答案为： 9．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点A、B为椭圆（）上任意两个动点，动点P在直线上，若恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知椭圆C的离心率的取值范围为 【答案】 【分析】求出给定椭圆的蒙日圆方程，由已知可得直线与该蒙日圆相离，建立不等式求出离心率范围即得. 【详解】依题意，直线都与椭圆相切， 因此直线所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 由点A、B为椭圆上任意两个动点，动点P满足为锐角，得点在圆外， 又动点P在直线上，因此直线与圆相离， 于是，解得，则，解得， 所以椭圆C的离心率的取值范围为. 故答案为： 双曲线的标准方程 1．（23-24高二上·河南许昌·期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得； 若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，无解. 综上所述，. 故选：D. 2．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出椭圆的焦点坐标和离心率，结合题意求出双曲线的a、b，即可求解. 【详解】由题意知，对于椭圆， 焦点为和，离心率为. 设双曲线的标准方程为， 又双曲线的离心率与椭圆的离心率之积为1， 所以双曲线的离心率为，即， 又，所以，， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知焦点在轴上的双曲线实轴长为4，渐近线方程为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】依题意， 由于双曲线的焦点在轴上， 且渐近线方程为， 所以，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：D 4．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知曲线，下列命题错误的是（    ） A．若，则是双曲线 B．若，则是椭圆 C．若，则是圆 D．若，则是两条直线 【答案】BCD 【分析】 就的关系或符号分类讨论后可得正确的选项. 【详解】对于A，当时，异号，故曲线是双曲线，故A正确； 对于B，若，则曲线是圆，故B错误； 对于C，若，则曲线不存在，故C错误； 对于D，若，满足，但曲线不存在，故D错误. 故选：BCD. 5．（20-21高二上·福建福州·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】直接根据双曲线的焦点在x轴上，列不等式组，即可解出m的范围. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 可得：，解得. 故答案为：. 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的离心率为2，请写出一个的标准方程： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据双曲线离心率和的关系，可得到，只要满足以上关系的即可 【详解】因为离心率为，， 所以的标准方程为（答案不唯一）， 与对应分母的比值为3或都对. 故答案为：（答案不唯一） 7．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知双曲线：（，）的离心率为2，右焦点（）到直线：的距离为5. (1)求的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）由离心率公式、平方关系以及右焦点（）到直线：的距离为5，列方程组即可求解. 【详解】（1）依题意，可得，解得，，， ∴的方程为. 8．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）由点到直线的距离公式及实轴与虚轴定义计算即可得； 【详解】（1）设双曲线焦点为，一条渐近线方程为， 所以该焦点到渐近线的距离为， 又双曲线实轴比虚轴长2，故，即， 故双曲线的方程为； 双曲线的定义、几何性质的应用 1．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设点在第一象限，连接、，根据对称性可得四边形为矩形，从而得到，即可表示出点坐标，代入方程，求出，即可得解. 【详解】依题意可得，关于原点对称，不妨设点在第一象限，连接、， 又，则四边形为矩形， 所以，则， 所以，即，即，又，解得， 所以. 故选：D 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线方程可设双曲线，代入运算，即可得双曲线方程，进而可得实轴长. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 可设双曲线， 代入可得：， 则双曲线，即， 可知，所以C的实轴长为. 故选：B. 3．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知双曲线：，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的实半轴长为 D．双曲线的渐近线方程为 【答案】AB 【分析】根据给定的双曲线方程，求出实半轴长、虚半轴长、半焦距，再逐项计算判断即可. 【详解】双曲线：的标准方程为， 则双曲线的实半轴长、虚半轴长， 半焦距， 所以双曲线的离心率，故A正确； 双曲线的虚轴长为，B正确； 双曲线的实半轴长为，故C错误； 双曲线的渐近线方程为，故D错误． 故选：． 4．（23-24高二上·河南·期末）已知曲线，则（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线 C．存在实数，使得过点 D．当时，直线总与曲线相交 【答案】ABC 【分析】A：根据的正负以及大小关系判断；B：先表示出双曲线方程，然后可知渐近线方程；C：代入于曲线方程，然后判断方程是否有解即可；D：考虑时的情况. 【详解】当时，，所以方程表示的曲线是椭圆，故A正确； 当时，方程为，所以，其渐近线方程为，即，故B正确； 令，整理得且，此方程有解，故C正确； 当时，曲线为双曲线，直线为的一条渐近线，此时无交点，故D错误. 故选：ABC. 5．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是双曲线上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程求出其渐近线方程，设，进而表示出点到双曲线的两条渐近线的距离之积的表达式，结合在双曲线上，化简，即可得答案. 【详解】由双曲线的方程知， 渐近线方程为，即， 设，由题意，得，即， 点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以． 故选：C． 7．（23-24高二上·河南信阳·期末）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左支交于点A，B，若则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义结合勾股定理求得，再利用勾股定理求出即可得解. 【详解】依题意，设，则，， 由，得，在中，， 整理得，因此， ， 在中，有，整理得， 显然，即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为． 故选：C 8．（23-24高二上·河南新乡·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为 . 【答案】 【分析】根据渐近线方程得到双曲线方程，求出，进而求出焦距. 【详解】由题可知，解得，所以， 故的焦距为. 故答案为： 双曲线的几何性质——离心率 1．（23-24高二上·河南漯河·期末）双曲线（）的一条渐近线为，则其离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到，再由离心率公式计算可得. 【详解】双曲线（）的渐近线为， 依题意可得，则双曲线的离心率. 故选：B 2．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离、圆的弦长公式及勾股定理建立关系求得，即可求出离心率. 【详解】令点，双曲线E 的渐近线方程为， 由对称性不妨取直线，取中点，连接，则， ，而， 由，得，在中，， 则，解得， 所以双曲线 E的离心率. 故选：A 3．（23-24高二下·河南·期末）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线和圆的位置关系求出点到直线距离，结合点到渐近线的距离求出，最后求出离心率即可. 【详解】根据题意得，圆心到的渐近线的距离为 设双曲线的一条渐近线方程为，则， . 故选：D． 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线，如图，过的右焦点作直线与的两条渐近线分别交于点，与轴交于点，若，且，则的离心率为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线渐近线方程和题设条件可得，利用相似形求出与，借助于倍角公式和三角函数定义得方程，化简即得. 【详解】在中，因,可设，则， 因，则,即，则， 故.由三角形相似可知，因此. 又因，所以.设，则， 故，又中，， 故得，即，从而， 故得，从而离心率为. 故选：B. 5．（23-24高二上·河南南阳·期末）双曲线：（）的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用，即可求解. 【详解】的离心率. 故选：D 6．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为 . 【答案】/1.5 【分析】由双曲线离心率公式结合基本不等式即可求解. 【详解】，， 由题意得， 则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 7．（23-24高二上·河南郑州·期末）松脆辛香的品客薯片蕴藏着数学、物理、哲学的奥秘，它的形状叫双曲抛物面（马鞍面），其标准方程为（，），当时截线方程为：（，），如图从的一个焦点射出的光线，经过，两点反射后，分别经过点和，且反射光线的反向延长线交于的另一个焦点．已知，，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】分别延长交双曲线的左焦点为，根据题意得，且，设，则，，设，则，再根据求出的值，从而可得，，再根据离心率的定义即可求解. 【详解】 如图，分别延长交双曲线的左焦点为， 因为，两边平方得，，所以， 因为，所以， 设，则，， 设，则， 又， 所以，所以， 所以，又，， 所以， 所以， 所以离心率为， 故答案为：. 8．（23-24高二上·河南·期末）已知直线过双曲线的左焦点，与左支交于两点，双曲线的右焦点为，若，则双曲线的离心率为 . 【答案】2 【分析】设，利用双曲线定义结合已知求出，再借助等腰三角形及余弦定理计算即得. 【详解】设，由双曲线定义得，则， ，又，于是，即， 在等腰中，，在中，由余弦定理得： ，即， 解得，所以双曲线的离心率. 故答案为：2 9．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知，，且，则和可分别作为（    ） A．双曲线和抛物线的离心率 B．双曲线和椭圆的离心率 C．椭圆和抛物线的离心率 D．两双曲线的离心率 【答案】A 【分析】由题意可得，结合圆锥曲线离心率范围即可得解. 【详解】由题意，，且， 所以，解得， 所以和可分别作为双曲线和抛物线的离心率. 故选：A. 10．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，如图，过的直线与C交于点A，与y轴交于点B，，，设C的离心率为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用平面向量的知识，结合椭圆的定义与勾股定理求得所需线段关于的表示，从而利用离心率的定义与余弦定理逐一分析判断各选项即可. 【详解】因为，，所以，， 对于A，依题意，设，则， 如图，在中，， 则，故或(舍去)， 所以，故A正确； 对于B，由选项A知，，则， 在中，，即，故B正确； 对于C，在中，，故C错误； 对于D，由选项C可得，， 在中，，整理得， 故，故D正确. 故选：ABD. 抛物线的定义及应用 1．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点到直线的距离为， 所以点到抛物线准线的距离为， 由抛物线的定义得，. 故选：D. 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】A 【分析】由圆的切线的性质可求得，结合抛物线方程计算可得点横坐标，即可得点到的准线的距离. 【详解】如图所示： 设切点为Q，则， 则， 设，则由两点间距离公式得到， 解得，因为，所以， 因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为. 故选：A. 3．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上（点在第一象限），若，则 ． 【答案】 【分析】作垂直轴于点，根据题意利用抛物线的定义与直角三角形的性质分析求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线， 作垂直轴于点， 若，则， 不妨设，则， 由勾股定理可知，则， 所以，解得，所以． 故答案为：． 4．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知是抛物线的焦点，纵坐标为的点在上，且，是上两点，直线不与轴垂直，且直线关于轴对称． (1)求的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）根据抛物线的定义求参； 【详解】（1）由题知，点的横坐标为， 根据抛物线的定义知，， 解得或4（舍去）， 的方程为． 5．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知动点与定点的距离等于点到的距离，设动点的轨迹为曲线．椭圆的一个焦点与曲线的焦点相同，且长轴长是短轴长的倍． (1)求与的标准方程； 【答案】(1)； 【分析】（1）利用抛物线与椭圆的定义与性质即可得解； 【详解】（1）由抛物线定义可知，曲线为抛物线，为抛物线的焦点， 则，所以的方程为； 由，即，又， 所以，故椭圆的标准方程. 6．（23-24高二上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小1． (1)求点的轨迹的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）根据抛物线定义求出轨迹方程； 【详解】（1）曲线上的动点到点的距离比到直线的距离小1， 动点到直线的距离与它到点的距离相等． 故所求轨迹为以原点为顶点，开口向右的抛物线，且， ． 点的轨迹的方程为． 抛物线的标准方程 1．（23-24高二上·河南驻马店·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化为标准方程，然后可得. 【详解】将抛物线方程化为标准方程得， 所以，抛物线开口向上，且，故焦点坐标为. 故选：C 2．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为4，到轴的距离为3，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据抛物线定义得到方程，求出答案. 【详解】由抛物线定义得，解得. 故选：B 3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与轴的交点坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，得到答案. 【详解】直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为， 故，解得，抛物线的标准方程为． 故选：D． 4．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知，，直线，相交于，直线，的斜率分别为，，则（    ） A．当时，点的轨迹为除去，两点的椭圆 B．当时，点的轨迹为除去，两点的圆 C．当时，点的轨迹为除去，两点的双曲线 D．当时，点的轨迹为除去，两点的抛物线 【答案】ABC 【分析】针对各个选项，设，利用轨迹法的步骤，求轨迹方程，即可判断选项. 【详解】根据题意知：，，设， 对选项，， 化简可得， 点的轨迹为除去,点的椭圆，故A正确； 对B选项,，, 化简可得，， 点的轨迹为除去，两点的圆，故B正确； 对C选项，，, 化简可得，, 点的轨迹为除去，两点的双曲线，故C正确； 对D选项，, 化简可得，,点的轨迹不是除去，两点的抛物线，故D错误． 故选：ABC 5．（23-24高二上·河南信阳·期末）方程（m为常数）表示的曲线可能是（   ） A．两条直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【分析】分类讨论的取值范围，结合二元二次方程的特征即可得解. 【详解】当时，方程为，即，表示两条直线，故A正确； 当时，方程为，表示椭圆，故B正确； 当时，方程，表示双曲线，故C正确； 当时，，显然方程不表示任何曲线； 由于方程没有一次项，方程不可能表示抛物线，故D错误. 故选：ABC. 6．（23-24高二上·河南信阳·期末）方程（为常数）表示的曲线可能是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【分析】 根据题意取不同的值代入方程，可得方程所表示的曲线的形状，从而可得出答案. 【详解】解析：若，方程表示直线；若，方程表示椭圆； 若，方程表示双曲线；，方程不表示任何曲线； 由于方程没有一次项，方程不可能表示抛物线． 故选：ABC． 7．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则抛物线的标准方程为 .（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据即可得答案. 【详解】抛物线的焦点到准线的距离为2，即，， 当焦点在轴正半轴时，抛物线的标准方程为， 当焦点在轴负半轴时，抛物线的标准方程为， 当焦点在轴正半轴时，抛物线的标准方程为， 当焦点在轴负半轴时，抛物线的标准方程为， 故答案为：. 8．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，． (1)求的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解； 【详解】（1）由题知，， 由抛物线的定义知，， ，的方程为． 9．（17-18高二上·北京东城·期中）已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解； 【详解】（1）由抛物线过点，且， 得 所以抛物线方程为； 抛物线的几何性质 1．（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线的标准方程是，则它的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线方程与准线的关系，可得答案. 【详解】因为，所以，所以抛物线的准线方程为. 故选：A. 2．（23-24高二上·河南·期末）已知圆与抛物线的准线相切，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】写出抛物线的准线方程，由圆的方程得圆心和半径，由已知得圆心到准线的距离为半径，从而求出. 【详解】因为 ，所以抛物线准线为 又 ，所以圆心坐标为 ，半径为2 由已知得：圆心到准线的距离为半径，则 ，所以 故选：C. 3．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．直线AQ与抛物线相切 D． 【答案】AC 【分析】将代入抛物线可得，即可判断ABD,根据直线与抛物线联立后判别式为0，即可求解. 【详解】将代入中可得，故，,A正确，B错误， ,则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确， 由于轴，所以不成立，故D错误， 故选：AC 4．（23-24高二下·河南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是上位于第一象限的动点，点为与轴的交点，则下列说法正确的是（    ） A．到直线的距离为2 B．以为圆心，为半径的圆与相切 C．直线斜率的最大值为2 D．若，则的面积为2 【答案】ABD 【分析】A选项，求出焦点坐标和准线方程，得到答案；B选项，由抛物线焦半径公式可得B正确；C选项，当直线与抛物线相切时，的斜率取得最大值．设直线，联立抛物线方程，根据根的判别式得到方程，求出直线斜率的最大值；D选项，设，根据焦半径公式得到方程，求出，求出三角形面积. 【详解】A选项，易知，准线，所以到直线的距离为2，A选项正确； B选项，由抛物线的定义，点到准线的距离等于，所以以为圆心，为半径的圆与相切，B选项正确； C选项，当直线与抛物线相切时，的斜率取得最大值．设直线， 与抛物线联立可得：，令得：， 所以直线斜率的最大值为1，C选项错误； D选项，，设，则，解得， 所以的面积为，D选项正确. 故选：ABD． 5．（23-24高二上·河南郑州·期末）抛物线：的焦点是，准线与对称轴相交于点，过点的直线与相交于，两点（点在第一象限），，垂足为，则下列说法正确的是（    ） A．若以为圆心，为半径的圆经过点，则是等边三角形 B．两条直线，的斜率之和为定值 C．已知抛物线上的两点，到点的距离之和为8，则线段的中点的纵坐标是4 D．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的焦半径即可判断A；利用联立方程和韦达定理，结合斜率公式即可求解B；由抛物线的定义结合中点坐标公式判断C；由题意可知外接圆圆心的纵坐标为，结合抛物线的定义分析求解可判断D； 【详解】对于A，由抛物线的定义知，， 因为以为圆心，为半径的圆与相交于和两点，所以， 所以为等边三角形，故A正确； 对于B，设直线的方程是，代入并消去得， 设，，则，. ，，所以 ， 所以两条直线，的斜率之和为定值，故B正确； 对于C，设，则，即， 则线段的中点的纵坐标为，故C错误； 对于D，因为的外接圆与抛物线的准线相切， 所以圆心在抛物线上，且圆心在线段OF的垂直平分线， 可知外接圆圆心的纵坐标为， 所以外接圆半径为，故D正确. 故选：ABD. 6．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知抛物线：的焦点关于直线：的对称点恰在的准线上，则 . 【答案】#或2 【分析】先分与讨论，结合点关于直线对称即可求解. 【详解】依题得，抛物线：的焦点，准线为 当时，直线：，则焦点关于直线的对称点为，不在准线上， 则，，设，则线段的中点为. ∵，关于直线：对称， ∴点在直线上，即，解得①， 又，∴，即②，由①②可得. 故答案为： 直线与抛物线 1．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线与抛物线交于A，B两点，则（O为抛物线顶点）的值为（   ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程求得，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】由，得，易得， 设，则， . 故选：B. 2．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为． (1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程； 【答案】(1)和 【分析】（1）由抛物线性质得到点，直曲联立，令判别式得零，解出斜率，得到切线方程； 【详解】（1） 由抛物线C的方程为，则其准线方程为 由于点P的纵坐标为0，所以点P为，过P作抛物线C的切线，由题意知斜率存在且不为0，设其斜率为k则切线方程为 联立 由于直线与抛物线C相切，可知，即 此时抛物线C的两条切线方程分别为和. 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）过抛物线：的焦点的直线交于，两点，若，且，则（    ） A． B．直线的斜率为 C．以线段为直径的圆与的准线相切 D．（为坐标原点）的面积为 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的焦点弦的性质即可根据选项逐一求解. 【详解】根据对称性，不妨设直线的倾斜角为（），准线方程，, 过作， 由于，同理可得, 由，，可得，，故A正确； ，则，又由抛物线的对称性知直线的斜率，故B错误； 设线段的中点为，过，，分别作准线的垂线，垂足依次为，易知， ∴以线段为直径的圆与的准线相切，故C正确； ，其中，分别为，到轴的距离， ∵，∴，故D正确. 故选：ACD 4．（2024·辽宁抚顺·一模）已知抛物线的准线方程为，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．设，则周长的最小值为4 C．以为直径的圆与轴相切 D．若，则直线的斜率为或 【答案】ACD 【分析】由抛物线的定义表示出，即可判断A；利用抛物线的定义和几何关系结合图形可判断B；画出大致图象，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合抛物线定义判断选项C；联立直线与抛物线，然后由条件和根与系数的关系即可判定D. 【详解】抛物线的准线方程为， 所以，则，所以抛物线， 易知直线的斜率不为零，设其方程为， 联立，设，整理可得：， 易知，可得， ， 所以的最小值为，故A正确； 如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，， 根据抛物线的定义可得， 所以周长为, 由图可知，当与点等高时，有最小值， 最小值为到准线的距离，其值为， 所以，所以周长的最小值是，故B错误； 如图，取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为， 因为，是梯形的中位线， 由抛物线的定义可得， 所以， 所以以为直径的圆与轴相切，故C正确； 因为，，解得， ，解得， ，因此D正确； 故选：ACD. 5．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，． (2)过作斜率为的直线与交于，两点，的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 【答案】 (2)或． 【分析】（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，利用弦长公式计算出，再根据点到直线的距离公式计算出点到直线的距离，根据面积公式建立等式计算即可求解. 【详解】（1）由题知，， 由抛物线的定义知，， ，的方程为． （2）由（1）知，设，， 直线的方程为，代入，整理得， 由题易知，，， ， 到直线的距离为， ，解得， 直线的方程为或． 6．（17-18高二上·北京东城·期中）已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且. (2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 【答案】 (2) 【分析】（2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解. 【详解】（1）由抛物线过点，且， 得 所以抛物线方程为； （2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点， 设，联立 得， 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 则， ，即， 解得或， 又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合， 不符合题意，故舍去； 所以实数的值为. 轨迹方程 1．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，若的坐标，满足方程，则点的轨迹是 （填曲线的类型，填方程不给分）. 【答案】直线 【分析】利用两点间的距离公式及点到直线间的距离公式，即可求解. 【详解】由， 得， 所以等式左边表示点到点的距离， 右边表示点到直线的距离，两距离相等， 而点在直线上， 所以点的轨迹是垂直直线于点的直线. 故答案为：直线. 2．（23-24高二下·河南新乡·期末）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，平面内一动点满足，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，利用题中的条件，求得向量的坐标之间的关系，从而得到，代入圆的方程求得结果； 【详解】（1）    设，则，由，得. 因为点在圆上，所以. 把代入方程，得， 所以的方程为. 3．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知定圆，动圆P过点，且和圆相切． (1)求动圆圆心P的轨迹E的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）根据题意确定，动点P的轨迹E是以为焦点，长轴长为的椭圆，由椭圆的定义即可求出方程. 【详解】（1）圆的圆心为，半径． 设动圆P的半径为r，依题意有．由，可知点在圆内，从而圆P内切于圆，故即． 所以动点P的轨迹E是以为焦点，长轴长为的椭圆. 并且，则，，则，求出=1 则动圆圆心P的轨迹E的方程为：． 4．（23-24高二上·河南·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，若动点的坐标满足方程. (1)试说明动点的轨迹是什么曲线，并求出该曲线的标准方程； 【答案】(1)的轨迹为椭圆， 【分析】（1）由题意，根据椭圆的定义，可知的轨迹为椭圆，从而求出轨迹方程； 【详解】（1）， 表示点到点与到点的距离之和为8， 根据椭圆的定义，可知的轨迹为椭圆， 因此，故. 故动点的轨迹方程为. 5．（23-24高二上·河南漯河·期末）求符合下列条件的曲线方程： (2)以轴，轴为对称轴，且同时过两点的圆锥曲线的标准方程. 【答案】 (2) 【分析】（2）首先判断不可能为抛物线，设为，代入点的坐标得到方程组，解得即可. 【详解】（2）依题意该圆锥曲线不可能为抛物线，故设曲线方程为， 则，解得， 所以曲线方程为. 6．（23-24高二上·河南漯河·期末）动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小. (1)求动点的轨迹的方程； 【答案】(1); 【分析】（1）利用几何意义转化为坐标运算，即可得抛物线方程； 【详解】（1）设动点的坐标为， 由动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小1， 可得：，移项平方得：， 整理得：， 所以动点的轨迹的方程为； 7．（23-24高二上·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：，． (1)求动点的轨迹的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）由题意得点到点的距离与到直线的距离相等，设，则，化简可得结论； 【详解】（1）由题意可知是线段的中点，因为，所以为的中垂线， 即，又因为，即点到点的距离与到直线的距离相等， 设，则，化简得， 所以动点的轨迹的方程为． 焦点三角形 1．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知为坐标原点，是椭圆：上位于轴上方的点，为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】结合题意和椭圆的性质，将边长全部用a表示出来，勾股定理列出方程求解即可. 【详解】 如图，设椭圆的左焦点为，连接， 因为，结合椭圆的对称性可知，四边形为矩形， 设，则，，， 在中，， 化简整理得，所以，， 在中，， 所以， 故选：B. 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】利用椭圆，双曲线的定义求出，进而可求出，，利用余弦定理求出，进而可得，最后利用面积公式计算即可. 【详解】不妨设为左焦点，为右焦点，为两曲线在第一象限的交点， 则由已知得， 则， ， ， 则， 所以. 故选：A. 3．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知为双曲线左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心若，则点到焦点的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可得，根据，得的内切圆的半径为，再根据内切圆的性质可得，结合可求得，利用勾股定理可求得点到焦点的距离． 【详解】由题意知，，，所以，，， 又由双曲线的定义可知， 设的内切圆的半径为， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 设圆与的三边，，分别相切于，，三点，连接，，，如下图所示： 由内切圆的性质可得，，， 因为，所以， 即，由， 所以，，因为，， 所以，即点到焦点的距离是． 故选：B． 4．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（    ） A．直线与直线的斜率之积为 B．的最小值为 C．若，则的周长为 D．点P到两条渐近线的距离之积 【答案】BCD 【分析】由双曲线的定义和条件，易得结论；设，则，计算直线与直线的斜率之积，其到两条渐近线的距离之积，判断选项A、D；利用双曲线的定义和性质可判断选项B、C. 【详解】 如图，， 设，则， 又，故A错误； 由双曲线的焦点弦的性质，可得过焦点垂直于轴的弦的长度最小， 即的最小值为，故B正确； 由双曲线的定义得， 所以， 故的周长为， 故C项正确； 由双曲线的渐近线方程为， 可得点P到两条渐近线的距离之积为 ，D正确. 故选：BCD 5．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 6．（23-24高二上·河南·期末）已知是双曲线的左､右焦点，为上一点，且（为坐标原点），，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据条件得出，在中，根据条件，得到，再根据双曲线的定义得出，即可建立等式，从而求出结果. 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 因为，所以， 在中，，所以为等边三角形，所以， 根据双曲线定义可得， 在中，由勾股定理可得，整理得， 所以，解得， 所以的离心率为. 故答案为：. 7．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆：（）的长轴长为10，离心率为. (1)求的方程； (2)若的左焦点为，直线：与交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出即可得出答案. （2）先联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求出；再利用点到直线距离公式求出点到直线的距离；最后根据三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为（）. 由题可知，，解得，. 所以. 所以的方程为. （2） 设，. 联立方程,可得， 则，， 故. 由题可知， 所以点到直线的距离， 故的面积为. 弦长、中点弦问题 1．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知点为动直线：所过的定点，若椭圆截直线所得的弦被点平分，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据题意求出直线的定点，设直线与椭圆的两个交点为，，利用点差法求解斜率. 【详解】即，所以. 设直线与椭圆的两个交点为，，则 ①②得， 又，， 所以， 即. 故答案为： 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是离心率为2的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 【答案】15 【分析】由点差法得到，同理得到，从而得到. 【详解】因为双曲线的离心率为2，所以， 不妨设， 因为点在上，所以，两式相减， 得， 因为点是的中点，所以， 所以，即， 所以，同理， 因为，所以． 故答案为：15 3．（23-24高二下·河南新乡·期末）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，平面内一动点满足，记的轨迹为曲线. (2)已知为的右焦点，过点且斜率为的直线交于两点，过点且斜率为的直线交于两点，且，求四边形面积的最大值. 【答案】 (2) 【分析】（2）设直线与直线斜率为，根据，得，设，与第一问中所求的椭圆方程联立，消元，利用韦达定理以及弦长公式，化简代入，得，，再把四边形面积拆成三角形即可求解. 【详解】（1）    设，则，由，得. 因为点在圆上，所以. 把代入方程，得， 所以的方程为. （2）设的倾斜角为，由题意得，则， 设的倾斜角为，由题意得， 因为，所以，即. 综上，. 由题意得，设， 联立得， 则 所以 . 同理可得. . 令，由， 得，则. 由，得，所以， 因为在上单调递增，所以， 故四边形面积的最大值为. 4．（23-24高二下·河南·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，为坐标原点，当时，． (2)过的另一条直线交于两点，设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的最大值． 【答案】 (2) 【分析】（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可利用弦长公式求解,结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）设焦距为，当时，将代入椭圆方程可得， ，解得， 所以，又，解得， 所以的方程为； （2）设直线， 与椭圆线方程联立可得，， 由韦达定理，， 所以 ， 同理可得，， ，因为，所以， 故 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为． 5．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程． 【答案】 (2) 【分析】（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得m的值，则直线的方程可求. 【详解】（1）由已知长轴为，短轴长为4， 可得，， 则椭圆C的标准方程为：； （2）依题意， 解得， 因为，可得， 且， 因为， 解得， 所以直线的方程为l：． 直线与椭圆、双曲线的综合问题 1．（23-24高二上·河南驻马店·期末）法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．圆的方程为 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为 D．当点为时，直线的方程为 【答案】BD 【分析】利用椭圆的性质，找特殊位置容易求得圆的方程，结合直线与圆的位置关系，可以推出. 【详解】当切线的切点分别为椭圆上顶点和右顶点时，可以得到两切线的交点为，所以蒙日圆的方程为，故A不正确； 四边形面积为：，只需求出的最小值，而的最小值为点到直线的距离，所以的最小值为，故B正确； 设,则，故， 所以， 又，当且仅当取等号， 而的最小值，故的最小值8，故等号取不到，故C不正确； 当点为时，点，，，四点共以为直径圆上， 所以这个圆的方程为，与圆方程联立，可得直的方程为，故D正确. 故选：BD. 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 【答案】AD 【分析】先联立椭圆与直线的方程，得一元二次方程，用判别式求的取值范围，进而判断选项A、B；得出韦达定理形式，求弦长的表达式，判断选项C；得到中点的坐标形式，判断选项D. 【详解】设两点的坐标为：， 联立椭圆与直线的方程， 得：， 由判别式，得，即，选项A正确，选项B不正确； 韦达定理：， 弦长， 当时，弦长取最大值，，选项C不正确； 由直线，线段中点的坐标为， 即，所以点的坐标满足直线方程，选项D正确. 故选：AD. 3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知过双曲线左焦点且倾斜角为60°的直线与C交于点A，与y轴交于点B，且A是的中点，则C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先利用斜率和点求出直线的方程，令得B的坐标，利用中点坐标关系求出点A的坐标，将A的坐标代入双曲线方程，结合离心率定义及范围，计算即可求解. 【详解】由题意，，所以直线的方程为， 令得，因为A是的中点，所以， 将点代入得， 结合化简得，所以， 所以或，所以或， 又，所以，所以. 故答案为： 4．（23-24高二上·河南周口·期中）已知椭圆：的上顶点为，左焦点为，且，在直线上. (2)设直线与交于，两点，且四边形为平行四边形，求的方程. 【答案】 (2) 【分析】（2）根据题意，设直线的方程为，联立椭圆方程得，由韦达定理得，再利用条件得，从而得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为椭圆的上顶点为，左焦点为，均在直线上， 令，得，令，得到，所以，得到， 所以，故椭圆的标准方程为. （2）因为四边形为平行四边形，则直线过中点，易知直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 由，消得到， 易知，直线与椭圆恒有两个交点，又由韦达定理知，， 又，， 因为四边形为平行四边形，所以，得到， 又，，代入， 整理得，即， 将代入，得到，即， 所以或，又，故舍去， 所以，直线的方程为，即.    5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． (2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 【答案】 (2) 【分析】（2）求出，设直线方程为，联立椭圆方程，利用即可. 【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 由椭圆的定义知，， 可得，所以， 所以椭圆的标准方程为:. （2）已知，所以，设直线方程为， 由方程组消去，得， 该方程的判别式， 由，得， 此时与有且只有一个公共点，所以的方程为:. 6．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知椭圆：的短轴长为，且椭圆经过点． (2)若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】 (2) 【分析】由题意可得直线的斜率不为，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，因为，所以，整理可得参数的值，即求出直线的方程． 【详解】（1）由短轴长为，可得，即， 将代入可得：，解得， 所以椭圆的方程为：； （2）显然直线的斜率不为，设直线的方程为，设，， 联立，整理得：，得，，且， 因为，所以，所以， 即，即， 所以，整理可得：，解得， 所以直线的方程为：，即 7．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点．当垂直于长轴时，． (2)椭圆上是否存在点，使得当绕点转到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 (2)存在； 【分析】（2）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理以及中点坐标公式，即可根据平行四边形的性质求解. 【详解】（1）解：当垂直于长轴时，设直线的方程为， 联立直线与椭圆可得， 故由题意得解得 椭圆的标准方程为：． （2）假设椭圆上是存在点，设为，使得四边形为平行四边形． ,显然当直线的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为：， 联立与消去得， 判别式， 设，，则， 则 则中点坐标为，中点坐标为， 则,解得， 代入椭圆方程化简得，解得． 此时， 所以椭圆上是存在点，使得四边形为平行四边形．    8．（23-24高二上·河南·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，若动点的坐标满足方程. (2)设为曲线上的一个不在轴上的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线于两点，记的面积为，求的最大值. 【答案】 (2) 【分析】（2）由题意可得的面积等于的面积，设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理可得，令，则可由基本不等式求出的最大值. 【详解】（1）， 表示点到点与到点的距离之和为8， 根据椭圆的定义，可知的轨迹为椭圆， 因此，故. 故动点的轨迹方程为. （2）因为，所以的面积等于的面积， 即的面积为. 不妨设直线的方程为， 联立 消去并整理得， 由韦达定理得， 所以. 不妨令，此时， 所以， 当且仅当，即时，取最大值. 综上，当时，的面积取得最大值为.    9．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知动点与定点的距离等于点到的距离，设动点的轨迹为曲线．椭圆的一个焦点与曲线的焦点相同，且长轴长是短轴长的倍． (2)有心圆锥曲线（椭圆，圆，双曲线）有下列结论：若为曲线上的点，过点作的切线，则切线的方程为．利用上述结论，解答问题：过作椭圆的切线（为切点），求的面积． 【答案】 (2) 【分析】（2）先根据题意得到直线的方程，联立方程求得，进而求得弦长，再利用点线距离公式求得点到直线的距离，从而得解. 【详解】（1）由抛物线定义可知，曲线为抛物线，为抛物线的焦点， 则，所以的方程为； 由，即，又， 所以，故椭圆的标准方程. （2）设， 由上述结论知，过点的椭圆的切线方程分别为， 因为在两条切线上，所以， 即， 则点的坐标都满足方程， 故直线的方程为，    联立，得，解得， 所以， 而点到直线的距离， 所以. 10．（23-24高二上·河南开封·期末）已知离心率为的椭圆与拋物线有共同的焦点是椭圆上任意一点，且的最小值是1． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，若，求直线的方程． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据离心率和的最小值求出椭圆的方程，根据共焦点得出抛物线的方程； （2）根据弦长公式和抛物线的定义列出方程求解即可. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，由椭圆的离心率是，得， 因为的最小值为，所以， 所以椭圆的方程为． 因为椭圆的焦点坐标为，椭圆与抛物线有共同的焦点， 所以，所以拋物线的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，不符合条件，舍去．    当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立得，， ． 所以． 联立，得， ， 则， 因为，所以，解得． 所以直线的方程为或． 圆锥曲线的综合问题——范围与最值问题 1．（23-24高二上·河南郑州·期末）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆：的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左、右顶点，连线的斜率之积为，则的值不可能为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】CD 【分析】设，，根据题意，推出，再由椭圆的面积，可得，从而求出和的值，以及的取值范围，然后计算即可． 【详解】设，，则①， 由题意知，，， 因为点与椭圆左、右顶点，连线的斜率之积为， 所以，即②， 由①②可得，， 所以， 由椭圆的面积为，知，即， 所以，， 因为点在椭圆上，且，， 所以,,，即,， 所以,,,， 对比选项可知，的值不可能为0和2． 故选：CD． 2．（23-24高二上·河南许昌·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，若M，N为C上关于原点对称的两点，则（    ） A．C的标准方程为 B． C． D．四边形的周长随的变化而变化 【答案】ABC 【分析】对于A，利用已知求出方程即可，对于B，运用椭圆的定义结合基本不等式‘1’的代换处理即可，对于C，设出点，求斜率定值即可，对于D，运用椭圆的定义转化为定值即可. 【详解】 由题意得，上顶点为，离心率为，故，，， 故C的标准方程为，显然A正确， 连接，由对称性得， 结合椭圆的定义得， 故， 当且仅当时取等，故B正确， 设，，而，故， 故，，故，故C正确， 易知四边形的周长为，为定值，故D错误. 故选：ABC 3．（23-24高二下·河南开封·期末）过抛物线上一点P作圆的切线，切点为A，B，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．可能取到3 D．可能取到4 【答案】AD 【分析】对于AB，要使最大，只需最大，结合锐角三角函数定义以及两点间距离公式得出的范围即可判断；对于CD，结合等面积法得到，结合的范围即可判断. 【详解】 对于AB，圆的圆心为，半径为， 设，，要使最大，只需最大， 即只需，等号成立当且仅当， 所以的最大值为，的最大值为，故A正确，B错误； 对于CD，由以上分析可知，的取值范围是，的取值范围是， 显然，，由等面积法有， 所以， 又的取值范围是， 所以的取值范围是，故C错误，D正确. 故选：AD. 4．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，解得、，即可得解； （2）解法一：设，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由整理得到，即可表示出，从而求出其最小值； 解法二：设，，联立直线与双曲线方程，即可求出、，即可得到，同理得到，从而得到，再由基本不等式计算可得. 【详解】（1）由双曲线C的一条渐近线方程为，且双曲线过， 所以，解得， 故双曲线的方程为. （2）解法一：设，直线的方程为， 联立，得， 则，且， 由，即，即， 即， 即，整理得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 方法二：由题意知直线的斜率存在且不等于， 设，， 由，即， 联立，解得， 则，同理，其中， 故， 而 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 5．（23-24高二上·河南·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的的距离为3，离心率为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)经过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率、焦点到渐近线的距离为3及求出可得答案； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，由韦达定理代入得，再根据的范围可得答案. 【详解】（1）由题意得，其中， 由题得，所以，即， 又焦点到渐近线的距离为3，所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）显然直线的斜率存在，设其方程为， 联立直线与的方程，得消去得， 因为直线与的两支分别交于点，所以， 得，设，则， ， 综上，的取值范围是. 6．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知点，抛物线的焦点为为抛物线上的点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的定义求得，从而得解. 【详解】依题意，，设抛物线的准线为， 分别过点作，为垂足，则，如图， 则， 所以周长. 故答案为：. 7．（23-24高二上·安徽淮北·阶段练习）已知抛物线，直线与抛物线交于两点，与圆交于两点在第一象限，则的最小值为 . 【答案】 【分析】分别在，时，结合抛物线的性质证明，结合图象可得，再利用基本不等式求其最小值. 【详解】因为抛物线M的方程为，所以抛物线M的焦点为，准线， 则直线过抛物线的焦点F， 当时，联立与可得， 所以，则； 当时，如图， 过作轴于K，设抛物线的准线交y轴于E， 则，得， 则，同理可得，所以， 化圆N：为，则圆N的圆心为F，半径为1， 所以 ，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 8．（23-24高二上·河南·期末）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，且直线的斜率为. (2)若直线与交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值. 【答案】 (2) 【分析】（2）利用直线和椭圆的位置关系求面积即可. 【详解】（1）依题意可得， 由，得， 所以的方程为. （2） 易知不与轴平行，设其方程为， 由得， 由，得. 设，则①， ，即， 所以， 将①代入，整理得，即，解得或（舍去）， 所以直线的方程为，即直线过定点. 令，则， ， 当，即时，最大，且最大值为. 9．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆 点 P 为E 上落在第一象限的动点，P 关于原点对称的点为 Q，点 A 在E 上满足. .记直线 PQ，AQ，AP 的斜率分别为，，.且满足. (3)若，求面积的最大值. 【答案】 (3) 【分析】 （3）设直线的方程为，利用韦达定理表示出三角形面积，再由换元法及基本不等式可求解. 【详解】（1）证明：设点,，则， 点,在椭圆上，故满足椭圆的方程， 所以， ，， ， 所以. （2）因为，， 所以，又，所以， 即，所以，故离心率为. （3）若，则由（2）可知，椭圆的方程为，根据题意则直线的斜率不等于0. 设直线的方程为，则 联立，解得，从而可得，也即， 代入中得，即， 再联立得， 该方程有两个不同实根，由韦达定理可得， 又因， ， ， 因此 令当且仅当时等号成立从而可得 ，因此当时取最小值， 此时可得的最大值为. 因此当且仅当取得最大值为. 圆锥曲线的综合问题——定值与定点问题 1．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足. (2)过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上. 【答案】 (2)证明见解析 【分析】（2）解法一（非对称韦达）：设点的坐标及直线的方程为，联立直线与椭圆的方程组，化简写出韦达定理，然后表示出直线、的方程相除结合韦达定理化简即可；解法二（齐次化）：设不过点的直线的方程，由题意求出的值，然后表示出直线、的斜率，设点，结合椭圆方程化简分析即可. 【详解】（1）如图所示：    根据题意，，设点的坐标为，由于点在椭圆上， 所以，得， 则， 解得，所以椭圆的标准方程为. （2）解法一（非对称韦达）： 由题意如图所示：    设点，可设直线的方程为：， 联立，得， 由根与系数的关系，， 直线的方程：，① 直线的方程：，② ①②得， 因为， 所以，解得， 因此，点在定直线上. 解法二（齐次化）： 由题意如图所示：    设不过点的直线的方程为：， 由于直线过，所以. 设，点. 椭圆的方程转化为，，代入直线的方程得， ，即， 即，由根与系数的关系，， 又由题意可得：，所以两式相除得：， 即，解得， 所以点在定直线上. 2．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知椭圆的离心率为是的左､右焦点，椭圆上一个动点到的最短距离为点在上. (2)若为直线上任意一点，直线的斜率之积为，平面内是否存在定点满足恒成立.若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（2）设，由直线的斜率之积为，可得，由对称性知，若存在点满足恒成立，则在轴上，设，则，可得，解得，适合题意. 【详解】（1） 由已知，， 椭圆的方程为. （2）设，因为直线的斜率之积为， 则， 整理得， 又在上， ， ① 由对称性知，若存在点满足恒成立，则在轴上， 设，则， 即， 将①代入，得：， 解得，适合题意， 即存在定点，满足恒成立. 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆的左、右焦点为，，且经过点，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于（异于点）两点. (2)若以为直径的圆过点，求证直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】 (2)证明见解析， 【分析】（2）若直线的斜率不为0时，设，与椭圆联立，利用韦达定理以及，可求出，进而可得直线过定点. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 则，，， 可得，即，则， 所以椭圆的标准方程为； （2）由题意可知：. 若直线的斜率不为0时，设，， 联立方程，消去得， 则，可得，， 又因为，， 由题意可知：， 则， 整理得， 则， 又因为，则，可得， 整理得，即直线：过定点； 若直线的斜率为0，则，， 又因为，， 由题意可知：，即 且，解得，此时直线：，不合题意； 综上所述：直线过定点. 4．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆，F为右焦点，A为右顶点，B为上顶点，． (2)已知MN为C的一条过原点的弦（M，N不同于点A）． （ⅰ）求证：直线AM，AN的斜率之积为定值，并求出该值； （ⅱ）若直线AM，AN与y轴分别交于点D，E，且△ADE面积的最小值为，求椭圆C的方程． 【答案】 (2)（ⅰ）证明见解析，； （ⅱ） 【分析】（2）（ⅰ）采用设点法，得到斜率表达式，最后根据点在椭圆上代入化简即可； （ⅱ）计算出坐标，写出面积表达式，根据上一小问斜率之积为定值的结论结合基本不等式即可. 【详解】（2）（ⅰ）设，，，则，，， 由，得， 所以为定值． （ⅱ）记，，则直线，所以，同理， 所以， 所以，当且仅当时“”成立，此时， 所以椭圆D的方程为：． 5．（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知椭圆经过点，且其右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点． (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由； (3)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)存在， (3)证明见解析 【分析】（1）根据已知直接列方程组可得； （2）设直线的方程，代入椭圆消元，记线段的中点为R，由可得直线为直线的垂直平分线，利用韦达定理表示出R坐标，从而可得直线的方程，求其与x轴的交点，然后可得； （3）设直线AB的方程，借助韦达定理表示出直线方程，然后求其与x轴的交点，然后可证. 【详解】（1）因为椭圆右焦点为，且经过点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，设直线的方程为：，，代入， 得，恒成立. 设，，线段的中点为，则， 则，由， 得， 所以直线为直线的垂直平分线，直线的方程为：， 令得：点的横坐标， 因为，所以，所以. 线段上存在点，使得，其中. . （3）设直线的方程为：，，代入， 得， 因为过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于A，两点， 所以由，得：， 设，，，则，， 则直线的方程为， 令，得 . 易知当直线AB斜率为0时，直线也过点. 所以直线过定点. 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由点到直线的距离公式及实轴与虚轴定义计算即可得； （2）讨论直线的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，即可证明. 【详解】（1）设双曲线焦点为，一条渐近线方程为， 所以该焦点到渐近线的距离为， 又双曲线实轴比虚轴长2，故，即， 故双曲线的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点， 则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为， 将代入，得，将代入，得， 则，； 当直线的斜率存在，设直线，且， 联立，消去并整理得， 因为动直线与双曲线恰有1个公共点， 所以，得， 设动直线与的交点为，与的交点为， 联立，得，同理得， 则， 因为原点到直线的距离， 所以， 又因为，所以，即， 故的面积为定值，且定值为. 7．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知是抛物线的焦点，纵坐标为的点在上，且，是上两点，直线不与轴垂直，且直线关于轴对称． (2)求证：直线过定点； 【答案】 (2)证明见解析 【分析】（2）先设直线再把对称关系转化为斜率和为0，应用韦达定理求出定点即可； 【详解】（1）由题知，点的横坐标为， 根据抛物线的定义知，， 解得或4（舍去）， 的方程为． （2） 由（1）知． 设，，直线的方程为，代入，整理得， 则，，． 直线，关于轴对称， ， ， ，， 直线过定点． 8．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为． (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值． 【答案】 (2)证明见解析 【分析】（2）由点斜式设出直线方程，直曲联立，由判别式为零，得到关于的一元二次方程，再由韦达定理得到斜率之积为定值. 【详解】（1） 由抛物线C的方程为，则其准线方程为 由于点P的纵坐标为0，所以点P为，过P作抛物线C的切线，由题意知斜率存在且不为0，设其斜率为k则切线方程为 联立 由于直线与抛物线C相切，可知，即 此时抛物线C的两条切线方程分别为和. （2） 点P在抛物线C的准线上，设 由题意知过点P作抛物线C的切线，斜率存在且不为0， 设其斜率为k则切线方程为 联立 由于直线与抛物线C相切，可知，即 而抛物线C的两条切线的斜率，即为方程的两根 故. 9．（23-24高二上·河南漯河·期末）动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小. (2)已知点，过的直线与交于两点，分别与交于点. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 【答案】 (2)证明见解析，. 【分析】（2）①利用直线过轴上的已知点，与抛物线联立方程组的两个交点纵坐标之积为定值，再假设直线方程，再利用两交点纵坐标之积为定值，得到定点坐标； ②求这两个三角形的面积时，都只需要用到它们的纵坐标，然后都转化到两点的纵坐标上来，再利用韦达定理把面积转化到关于系数的函数上来求解最值即可. 【详解】（1）设动点的坐标为， 由动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小1， 可得：，移项平方得：， 整理得：， 所以动点的轨迹的方程为； （2） ①设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标，则， 设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标则， 设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标则， 设直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，由交点坐标则， 而，即，解得， 所以直线为，即直线过定点； ②与面积之和为 ， 当时，即垂直于轴时，面积之和取到最小值. 10．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知抛物线的焦点为，为原点，第一象限内的点在上，，且的面积为. (1)求的方程； (2)若，是上与不重合的两动点，且，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据，可得，由面积公式即可求出，从而得到抛物线方程； （2）设直线的方程为：，，，联立方程结合韦达定理可得，， 由，利用向量关系化简可得：，从而得到，的关系，即可证明. 【详解】（1）由题可得，由，可得的横坐标为， 因为点在第一象限内，则， 所以，解得：， 所以抛物线方程为 （2）由(1)可得：，， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为：，，， 所以， 联立方程，可得：， 所以，即，，， 因为，所以， 则， 化简得：， 则， 所以， 解得：，或， 当时，即，且， 所以，所以直线过定点为， 当时，即，且， 所以，所以直线过定点为，即点，不满足题意，舍去； 综上：直线过定点为 圆锥曲线的综合问题——证明与存在性问题 1．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知双曲线：（，）的离心率为2，右焦点（）到直线：的距离为5. (2)设过点的直线与的右支交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，（异于点），证明：. 【答案】 (2)证明见解析 【分析】（2）设直线的方程为，，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式求得表达式，再结合中点坐标公式得点坐标，以及垂直直线的斜率之积得直线方程，联立直线：，得点坐标，由弦长公式即可得表达式，然后即可得，进而即可得解. 【详解】（1）依题意，可得，解得，，， ∴的方程为. （2） 设直线的方程为，， 联立方程可得，消去可得. 设，， 则，. ∵过点的直线与的右支交于，两点， ∴，即， ∴. 由题可知，， ∴. ∴. 2．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知双曲线过点，离心率为，斜率为k的直线l交双曲线C于A，B两点，且直线的斜率之和为0． (1)求双曲线C的方程； (2)是否存在直线l，使得是以P为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用离心率与双曲线过点得到关于的方程，解之即可得解； （2）假设存在这样的直线，联立直线与椭圆方程得到，从而利用直线的斜率之和为0求得，再由等腰三角形三线合一求得，再检验即可得解. 【详解】（1）根据题意，，即， 所以，则， 因为双曲线过点， 所以，即，解得，则. 所以双曲线的方程为. （2）假设存在直线满足题意，设直线方程为， 联立，得， 由， 设，则， 由，得，即， 整理得，. 有， 整理得，， 当时，直线为，显然过点，不满足题意； 所以，即，直线， 因为是以为顶点的等腰三角形， 设的中点，则，即， 由，得，解得， 此时，故这样的直线不存在.    3．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，过的直线交于、两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．的面积为定值 D．若在轴上，则为直角三角形 【答案】ABD 【分析】利用焦点坐标求出抛物线方程，利用抛物线性质解决焦点弦相关问题. 【详解】由椭圆的方程可知，椭圆的右焦点坐标为，则抛物线焦点为， 所以，抛物线的标准方程为，准线方程为， 抛物线的焦点弦中，通径最短，通径长为，则，A选项正确； 显然直线的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为，， 联立，得，， 得，，所以，， 则， 因为与垂直，所以直线的斜率为，其方程为， 联立，解得，即， 所以点M到直线AB的距离， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，即选项B正确； 的面积 当且仅当时，等号成立，所以的面积最小值为4，即选项C错误； 若在轴上，则，此时为通径，设，， ，，满足， 则为直角三角形，D选项正确. 故选：ABD 4．（23-24高二上·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：，． (2)过点的直线交轨迹于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与轨迹的另一交点为，的中点为，证明：，，三点共线． 【答案】 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得点到点的距离与到直线的距离相等，设，则，化简可得结论； （2）设直线的方程为，设点，，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理求解点坐标，证明，，三点纵坐标相等即可． 【详解】（1）由题意可知是线段的中点，因为，所以为的中垂线， 即，又因为，即点到点的距离与到直线的距离相等， 设，则，化简得， 所以动点的轨迹的方程为． （2）证明：设直线的方程为，设点，， 联立，得，显然， 由韦达定理可得，， 又因为直线的方程为， 将代入，可得，即点， 所以， 因为，则， 所以直线的方程为， 联立，得，则， 故，， 故G，，三点纵坐标相同，即三点共线． 5．（23-24高二上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小1． (2)已知直线过点，与轨迹交于，两点．求证：直线与直线的倾斜角互补． 【答案】 (2)证明见解析 【分析】（2）设的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，计算出，得到结论. 【详解】（1）曲线上的动点到点的距离比到直线的距离小1， 动点到直线的距离与它到点的距离相等． 故所求轨迹为以原点为顶点，开口向右的抛物线，且， ． 点的轨迹的方程为． （2）证明：由题知直线的斜率存在且不为零， 设的方程为， 联立得， ，所以. 设，，    ，． ， ，． 即直线与直线的倾斜角互补． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$