专题01 一元二次方程（7大重点题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（新疆专用）

专题01 一元二次方程 1一元二次方程的概念 1．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，①，②，③，④是一元二次方程的是（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是一元二次方程，符合题意， ②含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意， ③不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意， ④时一元二次方程，符合题意； 综上：①④是一元二次方程， 故选：D． 2．（22-23九年级上·新疆·期末）若关于x的一元二次方程为的解是，则的值是（    ） A．2022 B．2023 C．2020 D．2021 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程为的解是， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零．把代入方程，解得的值．注意：二次项系数不为零． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得， 解得或1； 又， 即； 所以． 故选：C 4．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 5．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，是一元二次方程的是（  ） ①，②，③，④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．据此对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：①是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③不是整式方程，不是一元二次方程； ④是一元二次方程． 故选：D． 6．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）若一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，把代入方程计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·新疆和田·期末）方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（）未知数的最高次数是；（）二次项系数不为；（）是整式方程；（）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：． 8．（23-24九年级下·新疆喀什·期末）将一元二次方程化成一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式， ，根据题意移项，即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式是， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·新疆昌吉·期末）若是方程的一个根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的解代入方程使方程左右两边相等．将代入方程得到有关的方程，然后求解即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， 解得：， 故答案为：1． 10．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的性质，整体代入求法代数式的值． 把代入一元二次方程，求得的值，然后整体代入即得结果． 【详解】把代入， 得，， 即． ∴ ． 故答案为：． 11．（23-24九年级上·新疆喀什·期末）是关于x的一元二次方程，则   ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的概念，根据概念列出等式并求解，即可解题． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， 且，解得，， 综上所述，， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·新疆喀什·期末）方程的二次项系数是 ；常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，对于一元二次方程，为二次项系数，为一次项系数，为常数项．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：的二次项系数为，常数项为， 故答案为：①② 13．（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）已知一元二次方程有一个根为，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得：， 故答案为：． 2一元二次方程的解法 1．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可求解． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 即． 故选：D． 2．（23-24九年级上·新疆昌吉·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是会用配方法解一元二次方程．根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 3．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期末）一元二次方程配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项变形为，再将两边同时加9，即可把左边配成完全平方式，进而得到答案，熟练掌握配方法的解法步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 移项后，利用完全平方公式进行配方即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 5．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）将方程配方成的形式，则方程的两边需加（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法先把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， ． 故选：A． 6．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先将常数项移到等号右边，再根据完全平方公式进行配方，最后开方，即可解答； （2）将当做一个整体，将等号左边进行因式分解，用因式分解法即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 7．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程；根据直接开平方法解一元二次方程即可求解； 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：； 8．（23-24九年级上·新疆克拉玛依·期末）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用直接开平方法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】（1） ∴ 解得，； （2） ，． 9．（23-24九年级上·新疆昌吉·期末）解方程 (1) (2)； (3)小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 因式分解，得． 则或， 解得． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】(1) (2) (3)他们的解法不正确； 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 解得：； （2）， 或 解得：； （3）他们的解法不正确； 正确解法如下： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． 10．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．左边写成完全平方式后，再开方进行计算即可． 【详解】 ， 或， 解得：或 11．（23-24九年级上·新疆和田·期末）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程： （1）运用配方法进行解一元二次方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解一元二次方程先移项再提公因式，令每个因式为0，即可作答． 【详解】（1）解： 则 那么 ∴ 解得 即 （2）解： 解得 即 12．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， ； (2) ，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求出x的值即可； （2）利用配方法求出x的值即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， 解得 ，． 13．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期末）解下列方程∶ (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解∶， ∵． ∴． ∴方程有两个不相等的实数根 ∴． 即，． （2）解： ， ， 或 ∴，． 14．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）解方程：． 【答案】（1）或； 【分析】本题考查解一元二次方程．先将常数项移项到等号右侧利用配方法解方程； 【详解】解：∵， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 即：， ∴或； 15．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解下列方程∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， 即， ， ． 16．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， 解得； （2）解： ， 或， 解得． 17．（23-24九年级上·新疆喀什·期末）解方程： (1) (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握公式法，配方法，因式分解法解方程是关键； （1）先计算，再利用求根公式解方程即可； （2）把方程化为，再利用配方法解方程即可； （3）把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】（1）解： ∵，，，，         ∴， ∴，； （2）解： ∴， 则， ∴， 解得：，； （3）解： ∴，       ∴， 则或，            解得：，． 18．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）用适当的方法解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：   ∴   ∴ ∴   ∴   （2）解：   ∴   ∴ ∴或   ∴， 19．（23-24九年级上·新疆喀什·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （3）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解： ∴，， ∴， 解得： （3）解： ∴， ∴或 解得： 20．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了因式分解法，配方法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法，配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接利用因式分解法解方程即可； （2）直接利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得，，； （2）解：， ， ， ∴， 解得，． 21．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）移项后，利用直接开方法求解可得； （2）利用配方法求解可得； （3）利用因式分解法求解可得； （4）利用直接开方法求解可得． 【详解】（1）解：， 移项得， 开方得， ∴，； （2）解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， ∴，； （3）解：， 移项得， 因式分解得， ∴或， ∴，； （4）解：， 开方得， ∴或， ∴，． 3根与系数关系问题 1．（23-24九年级上·新疆和田·期末）已知关于x的方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系可得出，，，将其代入中即可求出结论．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程的两根分别为，， ∴，， 则， 故答案为：6． 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出，，再将其代入，即可求出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为： 3．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，是方程的两个根，则 . 【答案】2023 【分析】直接利用根与系数的关系直接求解即可． 【详解】，是方程的两个根， 那么， 则 故答案为：2023 4．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实根为、，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． （1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入计算即可求出的值． 【详解】（1）证明：， ， 则方程有两个不相等的实数根； （2）∵，     ∴， 即  ， ， ∴ 5．（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）已知关于的方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解一元二次方程； （1）有两个实数根，则，根据可求得的取值范围； （2）根据根与系数的关系得出，，代入中，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，， ∴， 解得：． （2）∵方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或． ∵， ∴． 6．（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，当时，求的值． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）由方程根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由根与系数的关系，可求，，代入求值即可． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得； （2）当时，方程为， ，， ． 4根据判别式求参数 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若关于x的方程与有一个相同的实数根，则m的值为（    ） A．3 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】本题考查根据方程根的情况求求参数，可联立解方程组．用其中一个未知数表示另一个未知数，解出x关于m的代数式，再代入其中一个方程，即可求得m值． 【解答】解：由方程得由方程得． 则有，即． 把代入方程， 得方程，从而解得． 故选：A． 2．（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）关于x的一元二次方程，有实数解，则b的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的定义．熟练掌握有实数根，则是解题的关键． 根据，且，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，且， 解得，且， 故选：D． 3．（23-24九年级上·福建漳州·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则满足条件的实数b的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．据此得出关于b的方程，求出b的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：A． 4．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的条件，熟练掌握根的判别式，写出相应不等式并求解是解题的关键．根据且，计算即可． 【详解】解：方程有实数根， ， 解得：， 故选：D. 5．（22-23九年级上·新疆·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出且，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 故选：D． 6．（22-23九年级上·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有两个实数根可知判别式，解出a的范围，再综合一元二次方程的定义即可得到答案． 【详解】 关于x的一元二次方程有两个实数根 且 且 故选：C． 7．（22-23九年级上·新疆和田·期末）已知关于x的一元二次方程．求证：不论m取何值时，该方程总有两个实数根． 【答案】证明见详解 【分析】根据根的判别式的符号来证明结论成立． 【详解】证明： 不论取何值时，方程总有两个实数根． 8．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实根为、，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． （1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入计算即可求出的值． 【详解】（1）证明：， ， 则方程有两个不相等的实数根； （2）∵，     ∴， 即  ， ， ∴ 9．（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）已知关于的方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解一元二次方程； （1）有两个实数根，则，根据可求得的取值范围； （2）根据根与系数的关系得出，，代入中，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，， ∴， 解得：． （2）∵方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或． ∵， ∴． 10．（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，当时，求的值． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）由方程根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由根与系数的关系，可求，，代入求值即可． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得； （2）当时，方程为， ，， ． 5应用之增长率问题 1．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）近几年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2013年投入=2015年投入，列出方程求解即可． 【详解】解：设该县投入教育经费的年平均增长率为x， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）向阳村前年的人均年收入为16000元，今年的人均年收入为24520元．设人均年收入的平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用．正确理解题意并根据题意列出方程即可． 【详解】解：设人均年收入的平均增长率为x，则 ． 故选：D． 3．（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）奇台县“江布拉克”旅游人数逐年增加，据统计，年约为万人次，年约为万人次，设旅游人数年均增长率为x，则下列方程正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列一元二次方程是解题的关键． 由题意知，年约为万人次，年约为万人，依题意可列方程． 【详解】解：依题意得，， 故选 ：B． 4．（22-23九年级上·新疆阿克苏·期末）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2018年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2020年底贫困人口减少至1万人．设2018年底至2020年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等量关系为：2018年贫困人口下降率年贫困人口，把相关数值代入计算即可． 【详解】根据题意得：， 故选：B． 5．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某厂家今年一月份的口罩产量是200万个，三月份的口罩产量是300万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为.则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为,利用平均增长率的等量关系“” 即可列出方程． 【详解】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为 由题意得，． 故选A． 6．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）为落实“两免一补”政策，某市2017年投入教育经费4900万元，预计2019年要投入教育经费6400万元．已知2017年至2019年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，设年增长率为x，则可以列方程为 ． 【答案】 【分析】设年增长率为x，根据题意，得即可． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·新疆和田·期末）淄博烧烤风靡全国．家家乐烧烤店今年8月份的盈利额为10万元，预计10月份的盈利额将达14.4万元，设每月增长的增长率为x，则由题意可以列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每月增长的增长率为，依题意得， 故答案为：． 8．（22-23九年级上·新疆和田·期末）疫情期间，市政府为解决市民买药贵的问题，下调了某药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒64元下调至49元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程 ． 【答案】 【分析】设这种药品平均每次降价的百分率为，利用该药品经过两次降价后的价格该药品的原价每次降价的百分率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为， 依题意得：． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按的利润率定价，乙服装按的利润率定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元． (1)求甲乙两件服装的进价各是多少元； (2)由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率． 【答案】(1)甲服装的进价为300元，乙服装的进价为200元； (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设甲服装的进价为元，则乙服装的进价为元，根据公式“总利润总售价总进价”，列出方程并求解即可； （2）利用乙服装的进价为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，设每件乙服装进价的平均增长率为，利用增长率公式列方程并求解即可获得答案． 【详解】（1）解：设甲服装的进价为元，则乙服装的进价为元， 根据题意，可得， 解得， ∴． 答：甲服装的进价为300元，乙服装的进价为200元； （2）∵乙服装的进价为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元， 可设每件乙服装进价的平均增长率为， 则， 解得，（不合题意舍去）． 答：每件乙服装进价的平均增长率为． 6应用之图形面积问题 1．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示求小路的宽是多少？设小路的宽是，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设道路的宽应为米，由题意有 ，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 【详解】解：设道路的宽应为米，由题意有 ． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期末）实验中学有一块长10米，宽7米的矩形小花园，如图，现要在内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与矩形花园的长平行，另两条路与矩形花园的宽平行，其余区域种植花卉，若花卉种植面积为48平方米，求花园中间小路的宽． 【答案】1米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，设花园中间小路的宽为，根据花卉种植面积为48平方米，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设花园中间小路的宽为， 根据题意，得， 解这个方程，得，(不符合题意，舍去)， 答：花园中间小路的宽为1米． 3．（23-24九年级上·新疆喀什·期末）农厂要建一个如图所示的矩形围栏，围栏的一面靠墙（墙长），另外三面用长的篱笆围起来．设围栏的长为． (1)围栏的宽为______；（用含的代数式表示） (2)若该围栏围成矩形的面积为，求矩形围栏边的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系是解题的关键． （1）根据矩形的周长列出代数式即可； （2）列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：三面用长的篱笆围起来，为， ； （2）解：根据题意得：， 整理得， 解得， 由于墙长， ， 故矩形围栏边的长度为． 4．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，矩形绿地长，宽，要在这块绿地上修建宽度相同且与矩形各边垂直的三条道路，使六块绿地面积共，问道路宽应为多少？ 【答案】道路宽为 【分析】设道路宽应为，则根据六块绿地可以合成一个长为、宽为的长方形，其面积为，列方程求解即可． 【详解】解：设道路宽应为， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：道路宽为． 7应用之销售货物问题 1．（23-24九年级上·新疆昌吉·期末）为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批每袋进价25元的农产品，售价为每袋40元，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋． (1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率； (2)该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？ 【答案】(1)三、四这两个月的月平均增长率为 (2)当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店五月份获利3250元 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）直接利用二月销量四月的销量进而求出答案． （2）首先设出未知数，再利用每袋的利润销量二总利润列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：设三、四这两个月的月平均增长率为． 由题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 答：三、四这两个月的月平均增长率为． （2）设当农产品每袋降价元时，该淘宝网店五月份获利3250元． 根据题意可得： 解得：(不合题意，舍去)． 答：当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店五月份获利3250元． 2．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）2023年在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； (2)如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)每个毛绒玩具售价应定为45元． 【分析】本题考查一次函数及一元二次方程的销售利润问题，解题的关键是根据题意得到数量与单价的关系． （1）根据“每天可售出80个，每个售价提高1元，则每天少卖2个”列式整理即可求解； （2）根据利润等于售价销量，列一元二次方程方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∴与之间的函数关系式：； （2）解：根据题意，得：， 解得， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：每个毛绒玩具售价应定为45元． ( 33 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程 1一元二次方程的概念 1．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，①，②，③，④是一元二次方程的是（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①④ 2．（22-23九年级上·新疆·期末）若关于x的一元二次方程为的解是，则的值是（    ） A．2022 B．2023 C．2020 D．2021 3．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 4．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，是一元二次方程的是（  ） ①，②，③，④． A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）若一元二次方程有一个根为，则 ． 7．（23-24九年级上·新疆和田·期末）方程是关于的一元二次方程，则 ． 8．（23-24九年级下·新疆喀什·期末）将一元二次方程化成一般形式是 ． 9．（23-24九年级上·新疆昌吉·期末）若是方程的一个根，则 ． 10．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ． 11．（23-24九年级上·新疆喀什·期末）是关于x的一元二次方程，则   ． 12．（23-24九年级上·新疆喀什·期末）方程的二次项系数是 ；常数项是 ． 13．（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）已知一元二次方程有一个根为，则的值 ． 2一元二次方程的解法 1．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·新疆昌吉·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期末）一元二次方程配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）将方程配方成的形式，则方程的两边需加（    ） A．1 B．4 C． D． 6．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）解方程 (1) (2) 7．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）解方程： 8．（23-24九年级上·新疆克拉玛依·期末）解下列方程 (1)； (2)． 9．（23-24九年级上·新疆昌吉·期末）解方程 (1) (2)； (3)小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 因式分解，得． 则或， 解得． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 10．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解方程：． 11．（23-24九年级上·新疆和田·期末）解下列一元二次方程： (1) (2) 12．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解方程： (1)； (2)． 13．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期末）解下列方程∶ (1)； (2)． 14．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）解方程：． 15．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解下列方程∶ (1) (2) 16．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）解方程： (1) (2) 17．（23-24九年级上·新疆喀什·期末）解方程： (1) (2)； (3)． 18．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）用适当的方法解方程 (1)； (2)． 19．（23-24九年级上·新疆喀什·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 20．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解方程： (1)； (2)． 21．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 3根与系数关系问题 1．（23-24九年级上·新疆和田·期末）已知关于x的方程的两根分别为，，则的值为 ． 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 3．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，是方程的两个根，则 . 4．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实根为、，且，求的值． 5．（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）已知关于的方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求k的值． 6．（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，当时，求的值． 4根据判别式求参数 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若关于x的方程与有一个相同的实数根，则m的值为（    ） A．3 B．2 C．4 D． 2．（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）关于x的一元二次方程，有实数解，则b的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 且 3．（23-24九年级上·福建漳州·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则满足条件的实数b的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 4．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．（22-23九年级上·新疆·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．（22-23九年级上·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 7．（22-23九年级上·新疆和田·期末）已知关于x的一元二次方程．求证：不论m取何值时，该方程总有两个实数根． 8．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实根为、，且，求的值． 9．（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）已知关于的方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求k的值． 10．（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，当时，求的值． 5应用之增长率问题 1．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）近几年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）向阳村前年的人均年收入为16000元，今年的人均年收入为24520元．设人均年收入的平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）奇台县“江布拉克”旅游人数逐年增加，据统计，年约为万人次，年约为万人次，设旅游人数年均增长率为x，则下列方程正确的是(    ) A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·新疆阿克苏·期末）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2018年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2020年底贫困人口减少至1万人．设2018年底至2020年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（   ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某厂家今年一月份的口罩产量是200万个，三月份的口罩产量是300万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为.则所列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）为落实“两免一补”政策，某市2017年投入教育经费4900万元，预计2019年要投入教育经费6400万元．已知2017年至2019年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，设年增长率为x，则可以列方程为 ． 7．（23-24九年级上·新疆和田·期末）淄博烧烤风靡全国．家家乐烧烤店今年8月份的盈利额为10万元，预计10月份的盈利额将达14.4万元，设每月增长的增长率为x，则由题意可以列方程为 ． 8．（22-23九年级上·新疆和田·期末）疫情期间，市政府为解决市民买药贵的问题，下调了某药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒64元下调至49元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程 ． 9．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按的利润率定价，乙服装按的利润率定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元． (1)求甲乙两件服装的进价各是多少元； (2)由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率． 6应用之图形面积问题 1．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示求小路的宽是多少？设小路的宽是，根据题意可列方程为 ． 2．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期末）实验中学有一块长10米，宽7米的矩形小花园，如图，现要在内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与矩形花园的长平行，另两条路与矩形花园的宽平行，其余区域种植花卉，若花卉种植面积为48平方米，求花园中间小路的宽． 3．（23-24九年级上·新疆喀什·期末）农厂要建一个如图所示的矩形围栏，围栏的一面靠墙（墙长），另外三面用长的篱笆围起来．设围栏的长为． (1)围栏的宽为______；（用含的代数式表示） (2)若该围栏围成矩形的面积为，求矩形围栏边的长度． 4．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，矩形绿地长，宽，要在这块绿地上修建宽度相同且与矩形各边垂直的三条道路，使六块绿地面积共，问道路宽应为多少？ 7应用之销售货物问题 1．（23-24九年级上·新疆昌吉·期末）为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批每袋进价25元的农产品，售价为每袋40元，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋． (1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率； (2)该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？ 2．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）2023年在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； (2)如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$