专题06 锐角三角函数（6大重点题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（新疆专用）

专题06 锐角三角函数 1含有三角函数的实数计算 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算∶ ． 【答案】2 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，先根据特殊角的三角函数值得到原式化为，然后进行二次根式的混合运算即可．熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为2． 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）计算：； 【答案】； 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂． 根据二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂计算即可． 【详解】（1）解： ； 3．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）计算：； 【答案】 【分析】此题考查了因式分解法解一元二次方程和实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值以及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值分别进行计算，再把所得的结果相加即可； 【详解】（1）原式 ； 4．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，实数的混合运算． （1）整理得，利用直接开平方法求解即可； （2）先化简各数，代入特殊角的三角函数值，再计算加减即可求解． 【详解】解： 5．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5； (2) 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】（1） ． （2） ． 6．（23-24九年级下·新疆阿克苏·期末）计算：． 【答案】6 【分析】 本题考查了零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义．根据运算法则计算即可，本题的关键是注意各部分的运算法则． 【详解】解：原式， ． 7．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算：． 【答案】3 【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值． 【详解】解：原式 2利用锐角三角函数求长度 1．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，等边三角形的边长为，则等边三角形内切圆的半径为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了内切圆的性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，如图连接，根据等边三角形的边长为，等边三角形内切圆的性质，得到，，根据，计算即可． 【详解】如图，连接， ∵等边三角形的边长为，等边三角形内切圆的性质， ∴， ， ∵， ∴, 故选C． 2．（22-23九年级下·新疆乌鲁木齐·期末）一个边长为的等边三角形与等高，如图放置，与相切于点C，与相交于点 E，则的长为 【答案】3 【分析】本题连接，并过点O作于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边的倍．已知边长为的等边三角形 与等高，说明的半径为 ，即，又，故有，在中，利用锐角三角函数，可得出的长，利用垂径定理即可得出的长． 【详解】解: 连接，并过点O作于F， 为等边三角形，边长为4， 故高为 ，即， 与相切于点C， , 又，故有， 在中，可得 ， 过圆心，且，根据垂径定理易知． 故答案为：3． 3．（22-23九年级上·新疆·期末）如图，是的直径，直线与相切于点，交于点，连接，若． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，解直角三角形： （1）根据切线的性质得出，继而可得，根据圆周角定理可得即可求解． （2）连接，则，解直角三角形得，则，再解得到，则． 【详解】（1）解：∵是的直径，直线与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 4．（22-23九年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，中，，以为直径的交于点D，过点D的切线交于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得到和 ，根据切线的判定定理得到是圆的切线，结合切线长定理得到，再根据等边对等角以及等角的余角相等证明，即得；                      （2）根据（1）中结论和求出长，在中，根据求出的长，根据勾股定理求出边长． 再判定，根据相似三角形对应边成比例的性质进行计算，即得． 此题主要考查了圆切线，切线长定理，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数．熟练掌握切线的判定和性质，切线长定理，圆周角定理推论，正切定义，勾股定理解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，余角性质，是解决本题的关键． 【详解】（1）连接， ∵是直径， ∴， ∴ ， ∵， ∴是的切线． ∵是的切线， ∴(切线长定理)． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 故 ． （2）由(1) 知, ． ∴在中, ， ∴ ， ∵, ， ∴． ∴ ． ∴ ． 解得 ．    5．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，正六边形内接于，半径，求这个正六边形的边长和边心距的长． 【答案】正六边形的边长为4，边心距的长为． 【分析】连结，证出为等边三角形，利用锐角三角函数的定义求即可． 【详解】解：如图，连结， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 答：正六边形的边长为4，边心距的长为． 3根据三角函数条件求角度 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）中，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、非负数的性质、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． 根据非负数的性质可求出和的值，根据特殊角的三角函数值，求出和的值，再根据三角形的内角和是180度，求出的值． 【详解】解：由题意知，， ，， ∴，， ∴， 故答案为：105． 4根据条件求三角函数的值 1．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知在中，，将绕着点旋转，点恰好落在边上的点（不与点重合）处，点落在点处，如果，联结，那么的值为 ． 【答案】 【分析】画出图形，根据将绕着点旋转，点恰好落在边上的点，可得，又，即可得是等边三角形，，从而是等边三角形，，即可得． 【详解】解：如图：    将绕着点旋转，点恰好落在边上的点， ，，， ， ∵， ， ， 是等边三角形，， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 5利用三角函数解决动点问题 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，矩形中，，，是边上的动点，是的中点，以为中心，将绕点顺时针旋转，的对应点为，当在一条直线上时， ． 【答案】 【分析】作辅助线，构建直角三角形，设，利用勾股定理表示的长，即的长，根据同角的三角函数值列比例式表示，同理得，在直角中，利用勾股定理列方程：，求出的值即可． 【详解】解：当、、在一条直线上时，如图所示， 过作，交的延长线于， 设， 由勾股定理得：， 由旋转得：，， ， 是的中点， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， ． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）将一副三角板如图拼接：含角的三角板（）的长直角边与含（角的三角板）的斜边恰好重合．已知，P是上的一个动点，连接． (1)当点P运动到的平分线上时，求的长； (2)当点P在运动过程中出现时，求此时的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）作，在直角中，由直角三角形的特征得，再由正切三角函数得，可求，由，则的长可以求得，然后在直角中利用勾股定理得，即可求解； （2）分两种情况进行讨论：①当P点在的左边时，由余弦函数，可求，由，即可求解；②当P点在的右边时，同理①即可求解． 【详解】（1）解：如图（1），作交于， 在中，，， ， ， 中，， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：①当P点在的左边时，如图（2）所示， 根据（1）中结论，，， 又 ， ； ②当P点在的右边时，如图（3）所示， 同①可得， ； 综上所述：的度数为或． 6利用三角函数解决实际问题 1．（23-24九年级下·新疆喀什·期末）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为多少？（参考数据：，，，，结果保留整数） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，先根据题意可得，再分别解直角三角形求出的长，然后根据线段和差即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：， 则在中，， 在中，， ∴， 答：这栋楼的高度为． 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）在综合实践课上，某学习小组要测量塔的高度，在测量过程中，结合图形进行了操作（如图所示）．在塔前的平地上选择一点，测出塔顶的仰角为，从点向塔底走到达点，测出塔顶的仰角为，求塔AB的高（计算结果精确到，参考数据：，）． 【答案】塔的高约为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用俯角仰角问题，解决本题的关键是要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设（米，再利用的关系，进而可解即可求出答案． 【详解】解：在中， ， ． 在中， ， ， ． 设， ， ． ， ， ． 答：塔的高约为． 3．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，从A处观测铁塔顶部的仰角是30°，向前走30米到达B处，观测铁塔的顶部的仰角是45°，求铁塔的高度（结果保留根号）． 【答案】铁塔的高度为米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．设，进而得到，得到，利用锐角三角函数列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， 设，则：， ∴， 在中，， ∴，即：， 解得：； ∴铁塔的高度为米． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 锐角三角函数 1含有三角函数的实数计算 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算∶ ． 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）计算：； 3．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）计算：； 4．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）计算：； 5．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算： (1)； (2)． 6．（23-24九年级下·新疆阿克苏·期末）计算：． 7．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算：． 2利用锐角三角函数求长度 1．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，等边三角形的边长为，则等边三角形内切圆的半径为（    ） A． B． C．2 D．1 2．（22-23九年级下·新疆乌鲁木齐·期末）一个边长为的等边三角形与等高，如图放置，与相切于点C，与相交于点 E，则的长为 3．（22-23九年级上·新疆·期末）如图，是的直径，直线与相切于点，交于点，连接，若． (1)求的度数； (2)若，求的长． 4．（22-23九年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，中，，以为直径的交于点D，过点D的切线交于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，正六边形内接于，半径，求这个正六边形的边长和边心距的长． 3根据三角函数条件求角度 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）中，若，则 度． 4根据条件求三角函数的值 1．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知在中，，将绕着点旋转，点恰好落在边上的点（不与点重合）处，点落在点处，如果，联结，那么的值为 ． 5利用三角函数解决动点问题 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，矩形中，，，是边上的动点，是的中点，以为中心，将绕点顺时针旋转，的对应点为，当在一条直线上时， ． 2．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）将一副三角板如图拼接：含角的三角板（）的长直角边与含（角的三角板）的斜边恰好重合．已知，P是上的一个动点，连接． (1)当点P运动到的平分线上时，求的长； (2)当点P在运动过程中出现时，求此时的度数． 6利用三角函数解决实际问题 1．（23-24九年级下·新疆喀什·期末）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为多少？（参考数据：，，，，结果保留整数） 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）在综合实践课上，某学习小组要测量塔的高度，在测量过程中，结合图形进行了操作（如图所示）．在塔前的平地上选择一点，测出塔顶的仰角为，从点向塔底走到达点，测出塔顶的仰角为，求塔AB的高（计算结果精确到，参考数据：，）． 3．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，从A处观测铁塔顶部的仰角是30°，向前走30米到达B处，观测铁塔的顶部的仰角是45°，求铁塔的高度（结果保留根号）． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$