2025年广东省九年级中考数学二轮专题复习课件：专题10二次函数与线段、面积、角度综合

专题10　二次函数与线段、面积、角度综合 类型一　与线段有关 [一题多问] 例1：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A，B(1，0)， 与y轴交于点C，直线y＝ x－2经过点A，C，抛物线的顶点为点D， 对称轴为直线l. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； 解：∵点A，C在直线y＝ x－2上，∴点A(4，0)，C(0，－2). 设抛物线的解析式为y＝a(x－1)·(x－4). 把点C(0，－2)代入y＝a(x－1)(x－4)，得a＝－ . ∴抛物线的解析式为y＝－ (x－1)·(x－4)＝－ (x－ )2＋ . ∴顶点D(， ). 解：∵点A，C在直线y＝ x－2上，∴点A(4，0)，C(0，－2). 设抛物线的解析式为y＝a(x－1)·(x－4). 把点C(0，－2)代入y＝a(x－1)(x－4)，得a＝－ . ∴抛物线的解析式为y＝－ (x－1)·(x－4)＝－ (x－ )2＋ . ∴顶点D(， ). 例1：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A，B(1，0)， 与y轴交于点C，直线y＝ x－2经过点A，C，抛物线的顶点为点D， 对称轴为直线l. (2)设点E为x轴上的一点，且AE＝CE，求点E的坐标； 解：设点E的坐标为(m，0). 由(1)，得点A(4，0)，C(0，－2)， ∴AE＝｜4－m｜，CE＝ .∵AE＝CE， ∴｜4－m｜＝ ，解得m＝ . ∴点E(，0). 解：设点E的坐标为(m，0). 由(1)，得点A(4，0)，C(0，－2)， ∴AE＝｜4－m｜，CE＝ .∵AE＝CE， ∴｜4－m｜＝ ，解得m＝ . ∴点E(，0). (3)在y轴上是否存在一点G，使得GD＋GB的值最小？若存在，求出点 G的坐标；若不存在，请说明理由； 例1：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A，B(1，0)， 与y轴交于点C，直线y＝ x－2经过点A，C，抛物线的顶点为点D， 对称轴为直线l. 解：存在.理由如下： 如图1，作点B关于y轴的对称点B'，连接B'D与y轴交于点G，连接 GB， 则GD＋GB＝GD＋GB'＝B'D. ∴点G即为所求. 由对称，得点B'的坐标为(－1，0). 设直线B'D的解析式为y＝kx＋b(k≠0). 把点B'，D的坐标代入y＝kx＋b， 得 解得 解：存在.理由如下： 如图1，作点B关于y轴的对称点B'，连接B'D与y轴交于点G，连接 GB， 则GD＋GB＝GD＋GB'＝B'D. ∴点G即为所求. 由对称，得点B'的坐标为(－1，0). 设直线B'D的解析式为y＝kx＋b(k≠0). 把点B'，D的坐标代入y＝kx＋b， 得 解得 ∴直线B'D的解析式为y＝ x＋ . ∵点G在y轴上，∴当x＝0时，y＝ .∴点G(0， ). 图1 ∴直线B'D的解析式为y＝ x＋ . ∵点G在y轴上，∴当x＝0时，y＝ .∴点G(0， ). (4)在对称轴l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小？若存在，求出 点F的坐标及△BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由. 例1：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A，B(1，0)， 与y轴交于点C，直线y＝ x－2经过点A，C，抛物线的顶点为点D， 对称轴为直线l. 解：存在.理由如下： ∵点A和点B关于对称轴l对称，AC与l交于点F， ∴AF＝BF. ∴C△BCF＝BC＋CF＋BF＝BC＋CF＋AF＝BC＋AC，即C△BCF最小. 把x＝ 代入y＝ x－2，得y＝－ ，∴点F(，－ ). ∵点A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)， ∴BC＝ ＝ ，AC＝ ＝2 . ∴C△BCF的最小值为 ＋2 ＝3 . 解：存在.理由如下： ∵点A和点B关于对称轴l对称，AC与l交于点F， ∴AF＝BF. ∴C△BCF＝BC＋CF＋BF＝BC＋CF＋AF＝BC＋AC，即C△BCF最小. 把x＝ 代入y＝ x－2，得y＝－ ，∴点F(，－ ). ∵点A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)， ∴BC＝ ＝ ，AC＝ ＝2 . ∴C△BCF的最小值为 ＋2 ＝3 . 类型二　与面积有关 [一题多问] 例2：如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB相交于A(－3，0)， B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为点C，抛物线的顶点为点D，对称 轴l与x轴的交点为点E. (1)如图1，求直线AB的解析式及抛物线的解析式； 解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0). 把点A(－3，0)，B(0，3)代入，得 解得 ∴直线AB的解析式为y＝x＋3. 把点A(－3，0)，B(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c， 得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. 解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0). 把点A(－3，0)，B(0，3)代入，得 解得 ∴直线AB的解析式为y＝x＋3. 把点A(－3，0)，B(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c， 得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. 例2：如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB相交于A(－3，0)， B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为点C，抛物线的顶点为点D，对称 轴l与x轴的交点为点E. (2)如图2，连接BC，点N是线段AB上的一点，作NN'⊥x轴，试确定点 N的位置，使S△ANN'＝S△BOC； 解：由(1)，得y＝－x2－2x＋3， ∴点C(1，0).∴OC＝1. ∵点B(0，3)，∴OB＝3.∴S△BOC＝ OB·OC＝ . 设点N的坐标为(n，n＋3).∴点N'(n，0). ∴S△ANN'＝ AN'·NN'＝ [n－(－3)]·(n＋3)＝ (n＋3)2. ∵S△ANN'＝S△BOC，∴ (n＋3)2＝ ， 解得n1＝ －3，n2＝－ －3(不符合题意，舍去). ∴点N(－3， ). 解：由(1)，得y＝－x2－2x＋3， ∴点C(1，0).∴OC＝1. ∵点B(0，3)，∴OB＝3.∴S△BOC＝ OB·OC＝ . 设点N的坐标为(n，n＋3).∴点N'(n，0). ∴S△ANN'＝ AN'·NN'＝ [n－(－3)]·(n＋3)＝ (n＋3)2. ∵S△ANN'＝S△BOC，∴ (n＋3)2＝ ， 解得n1＝ －3，n2＝－ －3(不符合题意，舍去). ∴点N(－3， ). 例2：如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB相交于A(－3，0)， B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为点C，抛物线的顶点为点D，对称 轴l与x轴的交点为点E. (3)如图3，在抛物线上是否存在一点G，使得S△ACG＝2？若存在，求点 G的坐标；若不存在，请说明理由； 解：存在.理由如下： 设点G的坐标为(g，－g2－2g＋3). 则S△ACG＝ AC·｜yG｜＝ ×[1－(－3)]· ｜－g2－2g＋3｜＝2，解得g1＝－1＋ ，g2＝－1－ ， g3＝－1＋ ，g4＝－1－ . 综上所述，点G的坐标为(－1＋ ，1)或(－1－ ，1)或(－1＋ ，－ 1)或(－1－ ，－1). 解：存在.理由如下： 设点G的坐标为(g，－g2－2g＋3). 则S△ACG＝ AC·｜yG｜＝ ×[1－(－3)]· ｜－g2－2g＋3｜＝2，解得g1＝－1＋ ，g2＝－1－ ， g3＝－1＋ ，g4＝－1－ . 综上所述，点G的坐标为(－1＋ ，1)或(－1－ ，1)或(－1＋ ，－ 1) 或(－1－ ，－1). (4)如图4，点P是抛物线对称轴上的一点，连接BC，AP，BP，当 S△PAB＝3S△OBC时，求点P的坐标. 例2：如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB相交于A(－3，0)， B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为点C，抛物线的顶点为点D，对称 轴l与x轴的交点为点E. 解：∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－1. 设AB与对称轴l交于点F. ∴点F(－1，2). 设点P的坐标为(－1，p).∴FP＝｜2－p｜. ∴S△PAB＝ ×｜2－p｜×3. 又∵S△OBC＝ ，S△PAB＝3S△OBC， ∴ ×｜2－p｜＝3× ，解得p＝－1或5. ∴点P(－1，－1)或(－1，5). 解：∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－1. 设AB与对称轴l交于点F. ∴点F(－1，2). 设点P的坐标为(－1，p).∴FP＝｜2－p｜. ∴S△PAB＝ ×｜2－p｜×3. 又∵S△OBC＝ ，S△PAB＝3S△OBC， ∴ ×｜2－p｜＝3× ，解得p＝－1或5. ∴点P(－1，－1)或(－1，5). 类型三　与角度有关 [一题多问] 例3：如图，抛物线y＝－ x2＋ x＋3 与x轴交于A，B两点，与 y轴交于点C，连接AC，BC，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于 点F，顶点为点M. (1)如图1，已知点R是y轴上的一点，连接AR， 若AR恰好平分∠OAC，求点R的坐标； 解：令x＝0，得y＝3 ，∴点C(0，3 ). 令y＝0，得x1＝－3，x2＝9， ∴点A(－3，0)，B(9，0).∴OA＝3，OC＝3 . ∵tan∠OAC＝ ＝ ，∴∠OAC＝60°. ∵AR平分∠OAC，∴∠OAR＝30°. ∴OR＝OA·tan 30°＝ .∴点R(0， ). 解：令x＝0，得y＝3 ，∴点C(0，3 ). 令y＝0，得x1＝－3，x2＝9， ∴点A(－3，0)，B(9，0).∴OA＝3，OC＝3 . ∵tan∠OAC＝ ＝ ，∴∠OAC＝60°. ∵AR平分∠OAC，∴∠OAR＝30°. ∴OR＝OA·tan 30°＝ .∴点R(0， ). 例3：如图，抛物线y＝－ x2＋ x＋3 与x轴交于A，B两点，与 y轴交于点C，连接AC，BC，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于 点F，顶点为点M. (2)如图2，已知点G是线段BC上的一点，当∠BOG＝60°时，求点G的 坐标； 解：由(1)，得点C(0，3 )，B(9，0)， ∴OC＝3 ，OB＝9.∴BC＝ ＝6 . ∵∠COB＝90°，tan∠CBO＝ ＝ ，∴∠CBO＝30°. 又∵∠BOG＝60°，∴∠OGB＝180°－∠BOG－∠OBG＝90°. ∴OG＝ OB＝ .∵∠BOG＝60°， ∴xG＝ ，yG＝ .∴点G(， ). 解：由(1)，得点C(0，3 )，B(9，0)， ∴OC＝3 ，OB＝9.∴BC＝ ＝6 . ∵∠COB＝90°，tan∠CBO＝ ＝ ，∴∠CBO＝30°. 又∵∠BOG＝60°，∴∠OGB＝180°－∠BOG－∠OBG＝90°. ∴OG＝ OB＝ .∵∠BOG＝60°， ∴xG＝ ，yG＝ .∴点G(， ). 例3：如图，抛物线y＝－ x2＋ x＋3 与x轴交于A，B两点，与 y轴交于点C，连接AC，BC，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于 点F，顶点为点M. (3)如图3，在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得∠CPB＝90°？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 解：存在.理由如下： ∵y＝－ x2＋ x＋3 ＝－ (x－3)2＋4 ，∴点M(3，4 ). 设点P的坐标为(3，a).∴CP＝ ， PB＝ ，BC＝6 . ∵∠CPB＝90°，∴CP2＋PB2＝BC2. ∴32＋(a－3 )2＋62＋a2＝(6 )2，解得a＝ . ∴点P的坐标为(3， )或(3， ). 解：存在.理由如下： ∵y＝－ x2＋ x＋3 ＝－ (x－3)2＋4 ，∴点M(3，4 ). 设点P的坐标为(3，a).∴CP＝ ， PB＝ ，BC＝6 . ∵∠CPB＝90°，∴CP2＋PB2＝BC2. ∴32＋(a－3 )2＋62＋a2＝(6 )2，解得a＝ . ∴点P的坐标为(3， )或(3， ). 例3：如图，抛物线y＝－ x2＋ x＋3 与x轴交于A，B两点，与 y轴交于点C，连接AC，BC，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于 点F，顶点为点M. (4)如图4，已知点H是抛物线上一动点，是否存在点H，使得∠HCB＝ ∠HBC？若存在，求出点H的坐标；若不存在，说明理由. 解：存在.理由如下： 如图，设BC的中点为S，则点S(， ). 过点S作SL⊥BC交x轴于点L，交抛物线于点H，连接CH，BH，此 时点H即为所求. ∵OC＝3 ，OA＝3，OB＝9， ∴由勾股定理，得AC＝6，BC＝6 . ∴∠ACO＝∠CBO＝30°，BS＝ BC＝3 .∴BL＝ ＝6. ∴OL＝OB－BL＝3.∴点L(3，0)，即与点E重合. 设直线SL的解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0). 解：存在.理由如下： 如图，设BC的中点为S，则点S(， ). 过点S作SL⊥BC交x轴于点L，交抛物线于点H， 连接CH，BH，此时点H即为所求. ∵OC＝3 ，OA＝3，OB＝9， ∴由勾股定理，得AC＝6，BC＝6 . ∴∠ACO＝∠CBO＝30°，BS＝ BC＝3 .∴BL＝ ＝6. ∴OL＝OB－BL＝3.∴点L(3，0)，即与点E重合. 设直线SL的解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0). 将点S，L的坐标代入，得 解得 ∴直线SL的解析式为y＝ x－3 . 联立 解得 或 ∴点H(6，3 )或(－9，－12 ). 将点S，L的坐标代入，得 解得 ∴直线SL的解析式为y＝ x－3 . 联立 解得 或 ∴点H(6，3 )或(－9，－12 ). [变式练习] 1. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－2， 0)，B(0，－4)， 其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为点C. (1)求二次函数的解析式； 解：(1)∵二次函数的对称轴为直线x＝1， ∴－ ＝1.∴b＝－2a.∴y＝ax2＋bx＋c＝ax2－2ax＋c. 把点A(－2，0)，B(0，－4)代入， 得 解得 ∴b＝－2a＝－1.∴二次函数的解析式为y＝ x2－x－4. 解：(1)∵二次函数的对称轴为直线x＝1， ∴－ ＝1.∴b＝－2a.∴y＝ax2＋bx＋c＝ax2－2ax＋c. 把点A(－2，0)，B(0，－4)代入， 得 解得 ∴b＝－2a＝－1.∴二次函数的解析式为y＝ x2－x－4. 1. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－2， 0)，B(0，－4)， 其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为点C. (2)若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N. 若 点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标. 解：(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋t(k≠0). 把点A(－2，0)，B(0，－4)代入， 得 解得 ∴直线AB的解析式为y＝－2x－4. ∵点A，C关于直线x＝1对称，∴点C(4，0). 设点M(m，－2m－4)，则点N(m，0). ∴MN＝2m＋4，NC＝4－m. ∵MN＝3NC，∴2m＋4＝3(4－m). ∴m＝ .∴点M的坐标为(，－ ). 解：(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋t(k≠0). 把点A(－2，0)，B(0，－4)代入， 得 解得 ∴直线AB的解析式为y＝－2x－4. ∵点A，C关于直线x＝1对称，∴点C(4，0). 设点M(m，－2m－4)，则点N(m，0). ∴MN＝2m＋4，NC＝4－m. ∵MN＝3NC，∴2m＋4＝3(4－m). ∴m＝ .∴点M的坐标为(，－ ). 2. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，连接AC，直线BC的解析式为y＝x－3. (1)求抛物线的解析式； 解：(1)在y＝x－3中，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝3. ∴点B(3，0)，C(0，－3). 把点B(3，0)，C(0，－3)代入y＝－x2＋bx＋c， 得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3. 解：(1)在y＝x－3中，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝3. ∴点B(3，0)，C(0，－3). 把点B(3，0)，C(0，－3)代入y＝－x2＋bx＋c， 得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3. 2. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，连接AC，直线BC的解析式为y＝x－3. (2)点P为抛物线上的一点，若S△PBC＝ S△ABC，请直接写出点P的坐 标； 解：(2)点P的坐标为(， )或(， ) 或(， )或(， ). 解：(2)点P的坐标为(， )或(， ) 或(， )或(， ). 2. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，连接AC，直线BC的解析式为y＝x－3. (3)点Q是抛物线上的一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标. 解：(3)如图，过点B作BE⊥BC交CQ于点E，过E作EF⊥x轴于点F. ∵OB＝OC，∴∠OCB＝45°. ∵∠ACQ＝45°，∴∠BCQ＝∠OCA. 由(1)，易知点A(1，0)，∴OA＝1. ∵点C(0，－3)，∴OC＝3. 解：(3)如图，过点B作BE⊥BC交CQ于点E，过E作EF⊥x轴于点F. ∵OB＝OC，∴∠OCB＝45°. ∵∠ACQ＝45°，∴∠BCQ＝∠OCA. 由(1)，易知点A(1，0)，∴OA＝1. ∵点C(0，－3)，∴OC＝3. ∴tan∠OCA＝ ＝ .∴tan∠BCE＝ ＝ . 在Rt△OBC中，OB＝OC＝3， ∴BC＝ ＝3 .∴BE＝ . ∵∠OBC＝45°，∴∠EBF＝45°. ∴FE＝BF＝1.∴点E(4，－1). ∴tan∠OCA＝ ＝ .∴tan∠BCE＝ ＝ . 在Rt△OBC中，OB＝OC＝3， ∴BC＝ ＝3 .∴BE＝ . ∵∠OBC＝45°，∴∠EBF＝45°. ∴FE＝BF＝1.∴点E(4，－1). ∴tan∠OCA＝ ＝ .∴tan∠BCE＝ ＝ . 在Rt△OBC中，OB＝OC＝3， ∴BC＝ ＝3 .∴BE＝ . ∵∠OBC＝45°，∴∠EBF＝45°. ∴FE＝BF＝1.∴点E(4，－1). 设直线CE的解析式为y＝kx＋t(k≠0). 则 解得 设直线CE的解析式为y＝kx＋t(k≠0). 则 解得 ∴直线CE的解析式为y＝ x－3.联立 解得 或 (不符合题意，舍去) ∴点Q的坐标为(，－ ). ∴直线CE的解析式为y＝ x－3.联立 解得 或 (不符合题意，舍去) ∴点Q的坐标为(，－ ). $$