2025年广东省九年级中考数学二轮专题复习课件：专题7圆与相似、函数、特殊四边形

专题7　圆与相似、函数、特殊四边形 类型一　圆与相似 例1：(2024·遂宁模拟)如图，四边形 ABCD内接于☉O，AB为☉O的直 径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M，交BC的延长线 于点N，且∠ADM＝∠DAC. (1)求证：MN是☉O的切线； 解：(1)证明：如图，连接OD交AC于点H. ∵AD＝CD，∴ ＝ .∴半径OD⊥AC. ∴∠AHO＝90°. ∵∠ADM＝∠DAC，∴AC∥MN. ∴∠MDO＝∠AHO＝90°.∴半径OD⊥MN. ∵OD是☉O的半径，∴MN是☉O的切线. 解：(1)证明：如图，连接OD交AC于点H. ∵AD＝CD，∴ ＝ .∴半径OD⊥AC. ∴∠AHO＝90°. ∵∠ADM＝∠DAC，∴AC∥MN. ∴∠MDO＝∠AHO＝90°.∴半径OD⊥MN. ∵OD是☉O的半径，∴MN是☉O的切线. 例1：(2024·遂宁模拟)如图，四边形 ABCD内接于☉O，AB为☉O的直 径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M，交BC的延长线 于点N，且∠ADM＝∠DAC. (2)求证：AD2＝AB·CN； 解：(2)证明：如图，连接BD. ∵AB为☉O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°. 由(1)，得AC∥MN， ∴∠ACD＝∠CDN，∠DNC＝∠ACB＝90°＝∠ADB. ∵ ＝ ，∴∠ABD＝∠ACD. ∴∠ABD＝∠CDN. ∴△CDN∽△ABD. ∴ ＝ .∵AD＝CD，∴ ＝ .∴AD2＝AB·CN. 例1：(2024·遂宁模拟)如图，四边形 ABCD内接于☉O，AB为☉O的直 径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M，交BC的延长线 于点N，且∠ADM＝∠DAC. (3)当AB＝6， sin ∠ACD＝ 时，求AM的长. 解：(3)由(1)(2)，得∠ABD＝∠CDN＝∠ACD，∠ADB＝∠BNM＝ ∠AHO＝∠MDO＝90°， ∴ sin ∠ABD＝ sin ∠CDN＝ sin ∠ACD＝ . ∵AB＝6，∴AD＝AB· sin ∠ABD＝6× ＝2 . ∵AD＝CD，∴CD＝2 . ∴CN＝CD· sin ∠CDN＝2 × ＝2. ∴DN＝ ＝ ＝2 . 解：(3)由(1)(2)，得∠ABD＝∠CDN＝∠ACD， ∠ADB＝∠BNM＝∠AHO＝∠MDO＝90°， ∴ sin ∠ABD＝ sin ∠CDN＝ sin ∠ACD＝ . ∵AB＝6，∴AD＝AB· sin ∠ABD＝6× ＝2 . ∵AD＝CD，∴CD＝2 . ∴CN＝CD· sin ∠CDN＝2 × ＝2. ∴DN＝ ＝ ＝2 . ∵∠CND＝∠CHD＝∠NDH＝90°， ∴四边形CNDH是矩形.∴CH＝DN＝2 . ∵OD⊥AC，∴AC＝2CH＝4 . 在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ＝2. ∵AC∥MN，∴ ＝ ，即 ＝ .∴AM＝6. ∵∠CND＝∠CHD＝∠NDH＝90°， ∴四边形CNDH是矩形.∴CH＝DN＝2 . ∵OD⊥AC，∴AC＝2CH＝4 . 在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ＝2. ∵AC∥MN，∴ ＝ ，即 ＝ .∴AM＝6. [变式1](2024·广安模拟)如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O，交 斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接 OE，DE. (1)求证：DE是☉O的切线； 解：(1)证明：如图，连接OD，BD. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°. ∴∠BDC＝180°－∠ADB＝90°. ∵点E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC. ∵OB，OD是☉O的半径，∴OB＝OD. 又∵OE＝OE，∴△ODE≌△OBE. ∴∠ODE＝ ∠OBE＝90°. ∴半径OD⊥DE. ∴DE是☉O的切线. 解：(1)证明：如图，连接OD，BD. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°. ∴∠BDC＝180°－∠ADB＝90°. ∵点E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC. ∵OB，OD是☉O的半径，∴OB＝OD. 又∵OE＝OE，∴△ODE≌△OBE. ∴∠ODE＝∠OBE＝90°. ∴半径OD⊥DE. ∴DE是☉O的切线. [变式1](2024·广安模拟)如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O，交 斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接 OE，DE. (2)若 sin C＝ ，DE＝5，求AD的长； 解：(2)由(1)，得DE＝BE＝EC，∠ADB＝∠BDC＝∠ABC＝90°. ∵DE＝5，∴BC＝10. ∵ sin C＝ ，∴ ＝ .∴BD＝8. ∵∠C＋∠CBD＝∠ABD＋∠CBD＝90°， ∴∠ABD＝∠C. ∴ sin ∠ABD＝ sin C＝ .∴ ＝ . 设AD＝4x，则AB＝5x. 由勾股定理，得AD2＋BD2＝AB2， ∴(4x)2＋82＝(5x)2，解得x＝ (负值舍去). ∴AD＝4x＝4× ＝ . 解：(2)由(1)，得DE＝BE＝EC，∠ADB＝∠BDC＝∠ABC＝90°. ∵DE＝5，∴BC＝10. ∵ sin C＝ ，∴ ＝ .∴BD＝8. ∵∠C＋∠CBD＝∠ABD＋∠CBD＝90°， ∴∠ABD＝∠C. ∴ sin ∠ABD＝ sin C＝ .∴ ＝ . 设AD＝4x，则AB＝5x. 由勾股定理，得AD2＋BD2＝AB2， ∴(4x)2＋82＝(5x)2，解得x＝ (负值舍去). ∴AD＝4x＝4× ＝ . [变式1](2024·广安模拟)如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O，交 斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接 OE，DE. (3)求证：2DE2＝CD·OE. 解：(3)证明：由(1)(2)，得∠BDC＝∠OBE＝90°，BE＝DE. ∵点O是AB的中点，点E是BC的中点， ∴OE∥AC，BC＝2BE. ∴BC＝2DE. ∴∠C＝∠OEB. ∴△BCD∽△OEB. ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴2DE2＝CD·OE. 解：(3)证明：由(1)(2)，得∠BDC＝∠OBE＝90°，BE＝DE. ∵点O是AB的中点，点E是BC的中点， ∴OE∥AC，BC＝2BE. ∴BC＝2DE. ∴∠C＝∠OEB. ∴△BCD∽△OEB. ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴2DE2＝CD·OE. 类型二　圆与函数 例2：如图，已知半径为5的☉M经过x轴上的一点C，与y轴交于A，B 两点，连接AM，AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6. (1)判断☉M与x轴的位置关系，并说明理由； 解：(1)☉M与x轴相切.理由如下： 如图，连接CM. ∵AC平分∠OAM，∴∠OAC＝∠CAM. 又∵MA＝MC，∴∠CAM＝∠ACM. ∴∠OAC＝∠ACM. ∴OA∥MC. 解：(1)☉M与x轴相切.理由如下： 如图，连接CM. ∵AC平分∠OAM，∴∠OAC＝∠CAM. 又∵MA＝MC，∴∠CAM＝∠ACM. ∴∠OAC＝∠ACM. ∴OA∥MC. ∵OA⊥x轴，∴MC⊥x轴. ∵CM是☉M的半径，∴☉M与x轴相切. ∵OA⊥x轴，∴MC⊥x轴. ∵CM是☉M的半径，∴☉M与x轴相切. 例2：如图，已知半径为5的☉M经过x轴上的一点C，与y轴交于A，B 两点，连接AM，AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6. (2)求AB的长； 解：(2)如图，过点M作MN⊥y轴于点N. ∵MA＝MB，∴AN＝BN＝ AB. ∵∠MCO＝∠AOC＝∠MNA＝90°， ∴四边形MNOC是矩形.∴MN＝CO，CM＝ON＝5. 设AO＝m，则CO＝MN＝6－m.∴AN＝5－m. 在Rt△ANM中，由勾股定理，得AM2＝AN2＋MN2， ∴52＝(5－m)2＋(6－m)2， 解得m＝2或m＝9(不符合题意，舍去). ∴AN＝3.∴AB＝2AN＝6. 解：(2)如图，过点M作MN⊥y轴于点N. ∵MA＝MB，∴AN＝BN＝ AB. ∵∠MCO＝∠AOC＝∠MNA＝90°， ∴四边形MNOC是矩形.∴MN＝CO，CM＝ON＝5. 设AO＝m，则CO＝MN＝6－m.∴AN＝5－m. 在Rt△ANM中，由勾股定理，得AM2＝AN2＋MN2， ∴52＝(5－m)2＋(6－m)2， 解得m＝2或m＝9(不符合题意，舍去). ∴AN＝3.∴AB＝2AN＝6. 例2：如图，已知半径为5的☉M经过x轴上的一点C，与y轴交于A，B 两点，连接AM，AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6. (3)连接BM并延长交☉M于点D，连接CD，求直线CD的解析式. 解：(3)如图，连接AD与CM交于点E. ∵BD是☉M的直径，∴∠BAD＝90°. ∴AD∥x轴.∴AD⊥MC. 由勾股定理，得AD＝BD2－AB2＝8.∴点D(8，－2). 由(2)，得点C(4，0). 设直线CD的解析式为y＝kx＋b(k≠0). ∴ 解得 ∴直线CD的解析式为y＝－ x＋2. 解：(3)如图，连接AD与CM交于点E. ∵BD是☉M的直径，∴∠BAD＝90°. ∴AD∥x轴.∴AD⊥MC. 由勾股定理，得AD＝BD2－AB2＝8.∴点D(8，－2). 由(2)，得点C(4，0). 设直线CD的解析式为y＝kx＋b(k≠0). ∴ 解得 ∴直线CD的解析式为y＝－ x＋2. [变式2]如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝ x＋4分别与x轴、y 轴相交于A，B两点，点P(x，y)为直线l在第二象限的点. (1)求A，B两点的坐标； 解：(1)∵直线y＝ x＋4分别与x轴、y轴相交于A，B两点，∴当x＝0 时，y＝4； 当y＝0时，x＝－8. ∴点A(－8，0)，B(0，4). 解：(1)∵直线y＝ x＋4分别与x轴、y轴相交于A，B两点， ∴当x＝0时，y＝4； 当y＝0时，x＝－8. ∴点A(－8，0)，B(0，4). [变式2]如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝ x＋4分别与x轴、y 轴相交于A，B两点，点P(x，y)为直线l在第二象限的点. (2)设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范 围； 解：(2)∵点P(x，y)为直线l在第二象限的点， ∴点P . ∴S△APO＝ OA× ＝4× ＝2x＋16(－8＜x＜0). ∴S关于x的函数解析式为S＝2x＋16(－8＜x＜0). 解：(2)∵点P(x，y)为直线l在第二象限的点， ∴点P . ∴S△APO＝ OA× ＝4× ＝2x＋16(－8＜x＜0). ∴S关于x的函数解析式为S＝2x＋16(－8＜x＜0). [变式2]如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝ x＋4分别与x轴、y 轴相交于A，B两点，点P(x，y)为直线l在第二象限的点. (3)作△PAO的外接圆☉C，延长PC交☉C于点Q，当△POQ的面积最小 时，求☉C的半径. 解：(3)∵点A(－8，0)，B(0，4)，∴OA＝8，OB＝4. 在Rt△AOB中，由勾股定理， 得AB＝ ＝ ＝4 . ∵PQ是☉C的直径，∴∠POQ＝90°. ∵∠BAO＝∠Q，∴tan Q＝tan∠BAO＝ ＝ . ∴ ＝ .∴OQ＝2OP. ∴S△POQ＝ OP×OQ＝ OP×2OP＝OP2. ∴当S△POQ最小时，OP最小. ∵点P在线段AB上运动，∴当OP⊥AB时，OP最小. 解：(3)∵点A(－8，0)，B(0，4)，∴OA＝8，OB＝4. 在Rt△AOB中，由勾股定理， 得AB＝ ＝ ＝4 . ∵PQ是☉C的直径，∴∠POQ＝90°. ∵∠BAO＝∠Q，∴tan Q＝tan∠BAO＝ ＝ . ∴ ＝ .∴OQ＝2OP. ∴S△POQ＝ OP×OQ＝ OP×2OP＝OP2. ∴当S△POQ最小时，OP最小. ∵点P在线段AB上运动，∴当OP⊥AB时，OP最小. ∴S△AOB＝ ×OA×OB＝ ×AB×OP. ∴OP＝ ＝ ＝ . ∵ sin Q＝ sin ∠BAO，∴ ＝＝ .∴PQ＝8.∴☉C的半径为4. ∴S△AOB＝ ×OA×OB＝ ×AB×OP. ∴OP＝ ＝ ＝ . ∵ sin Q＝ sin ∠BAO，∴ ＝ . ∴PQ＝8.∴☉C的半径为4. ∴ ＝ . 类型三　圆与特殊四边形 例3：如图，在菱形ABCD中，点O是对角线BD上一点(BO＞DO)， OE⊥AB，垂足为点E，以OE为半径的☉O分别交DC于点H，交EO 的延长线于点F，EF与DC交于点G. (1)求证：BC是☉O的切线； 解：(1)证明：如图，过点O作OM⊥BC于点M. ∵BD是菱形ABCD的对角线， ∴∠ABD＝∠CBD. ∵OM⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OM. ∴BC是☉O的切线. 解：(1)证明：如图，过点O作OM⊥BC于点M. ∵BD是菱形ABCD的对角线， ∴∠ABD＝∠CBD. ∵OM⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OM. ∴BC是☉O的切线. 例3：如图，在菱形ABCD中，点O是对角线BD上一点(BO＞DO)， OE⊥AB，垂足为点E，以OE为半径的☉O分别交DC于点H，交EO 的延长线于点F，EF与DC交于点G. (2)若点G是OF的中点，OG＝2，DG＝1. 求：① 的长； 解：(2)①∵点G是OF的中点，OF＝OH，∴OG＝ OH. ∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD. ∴∠OGH＝90°.∴ sin ∠GHO＝ ＝ . ∴∠GHO＝30°.∴∠GOH＝60°. ∴∠HOE＝120°.∵OG＝2，∴OH＝4. ∴由弧长公式，得 的长为 ＝ π. 解：(2)①∵点G是OF的中点，OF＝OH，∴OG＝ OH. ∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD. ∴∠OGH＝90°.∴ sin ∠GHO＝ ＝ . ∴∠GHO＝30°.∴∠GOH＝60°. ∴∠HOE＝120°.∵OG＝2，∴OH＝4. ∴由弧长公式，得 的长为 ＝ π. 例3：如图，在菱形ABCD中，点O是对角线BD上一点(BO＞DO)， OE⊥AB，垂足为点E，以OE为半径的☉O分别交DC于点H，交EO 的延长线于点F，EF与DC交于点G. (2)若点G是OF的中点，OG＝2，DG＝1. 求：②AD的长. 解：(2)②如图，过点A作AN⊥BD于点N. 在Rt△DOG和Rt△BOE中，∠DOG＝∠BOE，且DG＝1，OG＝2， OE＝OH＝4， ∴tan∠DOG＝tan∠BOE. ∴ ＝ ＝ .∴BE＝2. ∴OD＝ ，OB＝2 .∴BD＝3 . ∴DN＝ BD＝ . ∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD. ∴∠CDB＝∠ABD，∠ABD＝∠ADB. ∴∠ADB＝∠CDB. 解：(2)②如图，过点A作AN⊥BD于点N. 在Rt△DOG和Rt△BOE中，∠DOG＝∠BOE， 且DG＝1，OG＝2，OE＝OH＝4， ∴tan∠DOG＝tan∠BOE. ∴ ＝ ＝ .∴BE＝2. ∴OD＝ ，OB＝2 .∴BD＝3 . ∴DN＝ BD＝ . ∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD. ∴∠CDB＝∠ABD，∠ABD＝∠ADB. ∴∠ADB＝∠CDB. 又∵∠AND＝∠DGO，∴△DOG∽△DAN. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴AD＝ . 又∵∠AND＝∠DGO，∴△DOG∽△DAN. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴AD＝ . [变式3]如图，在▱ABCD中，AC＝BC，过A，B，C三点的☉O与AD 相交于点E，连接CE. (1)求证：AB＝CE； 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D. ∵四边形ABCE是圆的内接四边形， ∴∠B＋∠AEC＝180°. 又∵∠DEC＋∠AEC＝180°， ∴∠DEC＝∠B. ∴∠D＝∠DEC. ∴CD＝CE. ∴AB＝CE. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D. ∵四边形ABCE是圆的内接四边形， ∴∠B＋∠AEC＝180°. 又∵∠DEC＋∠AEC＝180°， ∴∠DEC＝∠B. ∴∠D＝∠DEC. ∴CD＝CE. ∴AB＝CE. [变式3]如图，在▱ABCD中，AC＝BC，过A，B，C三点的☉O与AD 相交于点E，连接CE. (2)求证：CD与☉O相切； 解：(2)证明：如图，过点C作CH⊥AB于点H. ∵AC＝BC，∴AH＝BH. ∴点O在CH上. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD. ∴CH⊥CD，即OC⊥CD. ∵OC是☉O的半径， ∴CD与☉O相切. 解：(2)证明：如图，过点C作CH⊥AB于点H. ∵AC＝BC，∴AH＝BH. ∴点O在CH上. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD. ∴CH⊥CD，即OC⊥CD. ∵OC是☉O的半径， ∴CD与☉O相切. [变式3]如图，在▱ABCD中，AC＝BC，过A，B，C三点的☉O与AD 相交于点E，连接CE. (3)若☉O的半径r＝5，AB＝8，求 sin ∠ACE的值. 解：(3)如图，连接OE，OA，过点C作CF⊥AD于点F，过点O作 OM⊥AE于点M. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠B＝∠D，AB＝CD＝8. ∵AH＝BH，AB＝8，∴AH＝BH＝4. ∵AO＝5，CH⊥AB，∴OH＝ ＝3. ∴CH＝CO＋OH＝8.∴AC＝ ＝4 . ∴AC＝BC＝AD＝4 . ∵∠B＝∠D，∠CFD＝∠CHB，∴△CDF∽△CBH. 解：(3)如图，连接OE，OA，过点C作CF⊥AD于点F，过点O作 OM⊥AE于点M. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠B＝∠D，AB＝CD＝8. ∵AH＝BH，AB＝8，∴AH＝BH＝4. ∵AO＝5，CH⊥AB，∴OH＝ ＝3. ∴CH＝CO＋OH＝8.∴AC＝ ＝4 . ∴AC＝BC＝AD＝4 . ∵∠B＝∠D，∠CFD＝∠CHB，∴△CDF∽△CBH. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴DF＝ . ∵CD＝CE，CF⊥DA，∴DF＝EF＝ . ∴AE＝AD－DF－EF＝ .∵OE＝OA，OM⊥AD， ∴AM＝EM＝ AE＝ ，∠EOM＝ ∠AOE. ∵∠ACE＝ ∠AOE，∴∠ACE＝∠EOM. ∴ sin ∠ACE＝ sin ∠EOM＝ ＝ . ∴ ＝ .∴ ＝ .∴DF＝ . ∵CD＝CE，CF⊥DA，∴DF＝EF＝ . ∴AE＝AD－DF－EF＝ .∵OE＝OA，OM⊥AD， ∴AM＝EM＝ AE＝ ，∠EOM＝ ∠AOE. ∵∠ACE＝ ∠AOE，∴∠ACE＝∠EOM. ∴ sin ∠ACE＝ sin ∠EOM＝ ＝ . $$