2025年广东省九年级中考数学二轮专题复习课件：专题8隐圆问题

专题8　隐圆问题 模型一　定点＋定长 基本模型 模型解读 在☉O中，OA＝OB＝OC＝OD. 若有AB＝AC＝AD，则B， C，D三点在以点A为圆心， AB为半径的圆上. 例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝44°，点D是△ABC外 一点，且AD＝AC，则∠BDC的度数为 ⁠. 22°　 [变式1](1)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是边BC 上一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称 点M，则线段MC的最小值为(　A　) A. 2 B. C. 3 D. 第(1)题图 A (2)如图，MN是一把靠在墙上的梯子，且MN＝4，∠ABC＝90°，点E 为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2，当梯子下滑的时 候，DE的最小值为 ⁠. 第(2)题图 2 －2　 模型二　直角对直径 基本模型 模型解读 在☉O中，若AB是直径，点 C在圆上，则∠ACB＝90°. 若有AB是固定线段，点C为 动点，且总有∠ACB＝ 90°，则点C在以AB为直径 的圆上. 例2：如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，点P是 △ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小 值为 ⁠. 2　 [变式2](1)(2024·天水模拟)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上， AB＝5，AC＝4，点D是 上的一个动点，连接AD. 过点C作 CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值是 ⁠. －2　 (2)如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且 满足DE＝CF，连接AE和DF，交于点P，连接CP. ①请写出AE与DF的位置关系，并说明理由； 解：①AE⊥DF. 理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°. 在△ADE和△DCF中， ∴△ADE≌△DCF(SAS).∴∠DAE＝∠CDF. ∵∠ADE＝90°， ∴∠ADP＋∠CDF＝90°.∴∠ADP＋∠DAE＝90°. ∴∠APD＝180°－90°＝90°.∴AE⊥DF. 解：①AE⊥DF. 理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°. 在△ADE和△DCF中， ∴△ADE≌△DCF(SAS).∴∠DAE＝∠CDF. ∵∠ADE＝90°， ∴∠ADP＋∠CDF＝90°.∴∠ADP＋∠DAE＝90°. ∴∠APD＝180°－90°＝90°.∴AE⊥DF. (2)如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且 满足DE＝CF，连接AE和DF，交于点P，连接CP. ②由于点E，F的移动，使得点P也随之运动.若AD＝10，请求出线段 CP的最小值，并求出点P的运动路径长. 解：②如图，∵点P在运动中保持∠APD＝90°，设正方形ABCD的中 心为点O， ∴点P的运动路径是以AD为直径的圆的 (去除端点D，O). 设AD的中点为G. 连接CG交圆弧于点P，此时CP最小. ∵四边形ABCD是正方形，AD＝10， ∴CD＝AD＝10，DG＝ AD＝5. 在Rt△CDG中，CG＝ ＝5 ， ∴CP＝CG－GP＝5 －5，即CP的最小值为5 －5. 解：②如图，∵点P在运动中保持∠APD＝90°，设正方形ABCD的中 心为点O， ∴点P的运动路径是以AD为直径的圆的 (去除端点D，O). 设AD的中点为G. 连接CG交圆弧于点P，此时CP最小. ∵四边形ABCD是正方形，AD＝10， ∴CD＝AD＝10，DG＝ AD＝5. 在Rt△CDG中，CG＝ ＝5 ， ∴CP＝CG－GP＝5 －5，即CP的最小值为5 －5. ∵点P的运动轨迹为 ，∴ ＝ ＝ π， 即点P的运动路径长为 π. ∵点P的运动轨迹为 ，∴ ＝ ＝ π， 即点P的运动路径长为 π. 模型三　定弦＋定角 基本模型 模型解读 在☉O中，若弦AB长度固 定，则弦AB所对的圆周角都 相等(注意：弦AB在劣弧上也 有圆周角，需要根据题目灵活 运用). 若有固定线段AB，线段AB 所对的∠C已知，根据圆的 知识可知点C并不是唯一固 定的点，点C只要在☉O的 优弧ACB上即可. 例3：如图，△ABC为等边三角形，AB＝3，若点P为△ABC内一动点， 且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为 ⁠. [变式3]在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3.点D为平面上一 个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 ⁠. 　 － 　 模型四　四点共圆 基本模型 模型解读 直径所对的圆周角为直角；反过来，两个共斜边的直角三角形的四个顶点定在以斜边为直径的圆上. 圆的内接四边形的对角互补；反过来，若四边形的对角互补，则它的四个顶点共圆，圆心为任意两边的垂直平分线的交点. 例4：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6，射线 CM⊥BC，点D是边BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD交射 线CM于点E，连接DE. 若BD＝1，求AE的长. 解：∵CM⊥BC，AE⊥AD， ∴∠DAE＝∠DCE＝90°. ∴A，C，D，E四点共圆. ∴∠AED＝∠ACD. ∴tan∠AED＝tan∠ACD. ∴ ＝ ＝ . ∵AD＝ ＝ ＝ ， ∴AE＝2 . 解：∵CM⊥BC，AE⊥AD， ∴∠DAE＝∠DCE＝90°. ∴A，C，D，E四点共圆. ∴∠AED＝∠ACD. ∴tan∠AED＝tan∠ACD. ∴ ＝ ＝ . ∵AD＝ ＝ ＝ ， ∴AE＝2 . [变式4]如图，在正方形ABCD中，点E，N分别为边BC，AB的中点， 且AE与DN相交于点F，连接CF，求tan∠CFE的值. 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC，∠B＝∠BAD＝90°. ∵点E，N分别为边BC，AB的中点， ∴AN＝ AB，BE＝ BC. ∴AN＝BE. 在△ABE和△DAN中， ∴△ABE≌△DAN(SAS).∴∠AEB＝∠DNA， 即∠AEB＝∠ANF. ∴∠NAF＋∠AEB＝∠NAF＋∠ANF＝90°. 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC，∠B＝∠BAD＝90°. ∵点E，N分别为边BC，AB的中点， ∴AN＝ AB，BE＝ BC. ∴AN＝BE. 在△ABE和△DAN中， ∴△ABE≌△DAN(SAS).∴∠AEB＝∠DNA， 即∠AEB＝∠ANF. ∴∠NAF＋∠AEB＝∠NAF＋∠ANF＝90°. ∴∠NFA＝90°.∴∠EFD＝90°.∵∠DCE＝90°， ∴C，D，F，E四点共圆. 如图，连接DE，则∠CFE＝∠CDE. ∴tan∠CFE＝tan∠CDE＝ ＝ . ∴∠NFA＝90°.∴∠EFD＝90°.∵∠DCE＝90°， ∴C，D，F，E四点共圆. 如图，连接DE，则∠CFE＝∠CDE. ∴tan∠CFE＝tan∠CDE＝ ＝ . $$