2025年广东省九年级中考数学二轮专题复习课件：专题9反比例函数与几何综合

专题9　反比例函数与几何综合 类型一　反比例函数与三角形综合 1. 如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于 A(1，2)，B(－2， n)两点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； 解：(1)把点A(1，2)代入反比例函数y＝ 中，得k2＝2. ∴反比例函数的解析式为y＝ . 把点B(－2，n)代入反比例函数y＝ 中，得n＝－1. ∴点B(－2，－1).把点A，B的坐标代入一次函数y＝k1x＋b中， 得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋1. 解：(1)把点A(1，2)代入反比例函数y＝ 中，得k2＝2. ∴反比例函数的解析式为y＝ . 把点B(－2，n)代入反比例函数y＝ 中，得n＝－1. ∴点B(－2，－1).把点A，B的坐标代入一次函数y＝k1x＋b中， 得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋1. 1. 如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于 A(1，2)，B(－2， n)两点. (2)根据图象，直接写出满足k1x＋b＞ 的x的取值范围； 解：(2)－2＜x＜0或x＞1. 1. 如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于 A(1，2)，B(－2， n)两点. (3)若点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶4，求点P的坐标. 解：(2)－2＜x＜0或x＞1. (3)∵ ＝ ＝ ，∴BP＝4AP. 设点P(x，x＋1)， 则(x＋2)2＋(x＋1＋1)2＝16[(x－1)2＋(x＋1－2)2]， 解得x＝ 或x＝2(不符合题意，舍去). ∴x＋1＝ ＋1＝ .∴点P的坐标为(， ). 解：(3)∵ ＝ ＝ ，∴BP＝4AP. 设点P(x，x＋1)， 则(x＋2)2＋(x＋1＋1)2＝16[(x－1)2＋(x＋1－2)2]， 解得x＝ 或x＝2(不符合题意，舍去). ∴x＋1＝ ＋1＝ .∴点P的坐标为(， ). 2. 如图，点A(a，2)在反比例函数y＝ 的图象上，AB∥x轴，且交y轴 于点C，交反比例函数y＝ 的图象于点B，已知AC＝2BC. (1)求直线OA的解析式； 解：(1)把点A(a，2)代入y＝ 中，得 ＝2， ∴a＝2.∴点A(2，2). 设直线OA的解析式为y＝mx(m≠0). 则2m＝2，解得m＝1. ∴直线OA的解析式为y＝x. 解：(1)把点A(a，2)代入y＝ 中，得 ＝2， ∴a＝2.∴点A(2，2). 设直线OA的解析式为y＝mx(m≠0). 则2m＝2，解得m＝1. ∴直线OA的解析式为y＝x. 2. 如图，点A(a，2)在反比例函数y＝ 的图象上，AB∥x轴，且交y轴 于点C，交反比例函数y＝ 的图象于点B，已知AC＝2BC. (2)求反比例函数y＝ 的解析式； 解：(2)由(1)，得点A(2，2). ∵AB∥x轴，AC＝2BC， ∴AC＝2.∴BC＝1.∴点B(－1，2). 把点B(－1，2)代入y＝ 中，得k＝－2. ∴反比例函数的解析式为y＝－ . 解：(2)由(1)，得点A(2，2). ∵AB∥x轴，AC＝2BC， ∴AC＝2.∴BC＝1.∴点B(－1，2). 把点B(－1，2)代入y＝ 中，得k＝－2. ∴反比例函数的解析式为y＝－ . 2. 如图，点A(a，2)在反比例函数y＝ 的图象上，AB∥x轴，且交y轴 于点C，交反比例函数y＝ 的图象于点B，已知AC＝2BC. (3)点D为反比例函数y＝ 上一动点，连接AD交y轴于点E，当点E为 AD的中点时，求△OAD的面积. 解：(3)设点D(t，－ ). ∵点A(2，2)，∴AD的中点E的坐标为(， ). ∴ ＝0，解得t＝－2. ∴点D(－2，1)，E(0， ).∴OE＝ . ∴S△OAD＝ OE·(xA－xD)＝ × ×4＝3. 解：(3)设点D(t，－ ). ∵点A(2，2)，∴AD的中点E的坐标为(， ). ∴ ＝0，解得t＝－2. ∴点D(－2，1)，E(0， ).∴OE＝ . ∴S△OAD＝ OE·(xA－xD)＝ × ×4＝3. 3. (2024·眉山模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴 交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，2)，与反比例函数y＝ 在第四象限 内的图象交于点C(6，a). (1)求反比例函数的解析式； 解：(1)把点A，B的坐标分别代入y＝kx＋b中， 得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝－ x＋2.把点C(6，a)代入一次函数中，得a ＝－1. ∴点C的坐标为(6，－1). 把点C(6，－1)代入反比例函数y＝ 中，得m＝－6. ∴反比例函数的解析式为y＝－ . 解：(1)把点A，B的坐标分别代入y＝kx＋b中， 得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝－ x＋2.把点C(6，a)代入一次函数中，得a ＝－1. ∴点C的坐标为(6，－1). 把点C(6，－1)代入反比例函数y＝ 中，得m＝－6. ∴反比例函数的解析式为y＝－ . 3. (2024·眉山模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴 交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，2)，与反比例函数y＝ 在第四象限 内的图象交于点C(6，a). (2)当kx＋b＞ 时，直接写出x的取值范围； (3)在双曲线y＝ 上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角 三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(2)x＜－2或0＜x＜6. 解：(2)x＜－2或0＜x＜6. (3)设点P(t，－ ). ∵BP2＝AB2＋AP2，AB2＝20， ∴20＋(t－4)2＋ ＝t2＋ ，解得t＝1或3. ∴－ ＝－6或－2.∴点P的坐标为(1，－6)或(3，－2). (3)设点P(t，－ ). ∵BP2＝AB2＋AP2，AB2＝20， ∴20＋(t－4)2＋ ＝t2＋ ，解得t＝1或3. ∴－ ＝－6或－2.∴点P的坐标为(1，－6)或(3，－2). 4. 如图，一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝ 在第一象限交于 M(2，8)，N两点，NA⊥x轴于点A，点O为坐标原点，四边形OANM 的面积为38. (1)求反比例函数及一次函数的解析式； 解：(1)把点M(2，8)代入y＝ 中，得k2＝16. ∴反比例函数的解析式为y＝ . 如图，过点M作MB⊥OA于点B，设点N(x， ). 易知S△OMB＝8. ∴S梯形ABMN＝S四边形OANM－S△OMB＝30＝ (8＋ )×(x－2)， 解：(1)把点M(2，8)代入y＝ 中，得k2＝16. ∴反比例函数的解析式为y＝ . 如图，过点M作MB⊥OA于点B，设点N(x， ). 易知S△OMB＝8. ∴S梯形ABMN＝S四边形OANM－S△OMB＝30＝ (8＋ )×(x－2)， 解得x＝－ (不符合题意，舍去)或x＝8.∴点N(8，2). 把点M，N的坐标代入y＝k1x＋b中， 得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝－x＋10. 解得x＝－ (不符合题意，舍去)或x＝8.∴点N(8，2). 把点M，N的坐标代入y＝k1x＋b中， 得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝－x＋10. 4. 如图，一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝ 在第一象限交于 M(2，8)，N两点，NA⊥x轴于点A，点O为坐标原点，四边形OANM 的面积为38. (2)点P是反比例函数第三象限内的图象上的一动点，请简要描述使 △PMN的面积最小时点P的位置(不需证明)，并求出点P的坐标和 △PMN面积的最小值. 解：(2)与直线MN平行，且在第三象限与反比例函数y＝ 有唯一公 共点P时，△PMN的面积最小. 设与直线MN平行的直线的解析式为y＝－x＋n. 当与y＝ 在第三象限有唯一公共点时，方程－x＋n＝ (x＜0)有唯 一解， 即x2－nx＋16＝0有两个相等的实数根.∴Δ＝n2－4×1×16＝0. 解：(2)与直线MN平行，且在第三象限与反比例函数y＝ 有唯一公 共点P时，△PMN的面积最小. 设与直线MN平行的直线的解析式为y＝－x＋n. 当与y＝ 在第三象限有唯一公共点时，方程－x＋n＝ (x＜0)有唯 一解， 即x2－nx＋16＝0有两个相等的实数根.∴Δ＝n2－4×1×16＝0. 解得n＝－8或n＝8(不符合题意，舍去). ∴与直线MN平行的直线的解析式为y＝－x－8. ∴方程－x－8＝ 的解为x＝－4.经检验，x＝－4是原方程的解. 解得n＝－8或n＝8(不符合题意，舍去). ∴与直线MN平行的直线的解析式为y＝－x－8. ∴方程－x－8＝ 的解为x＝－4.经检验，x＝－4是原方程的解. 当x＝－4时，y＝ ＝－4.∴点P(－4，－4). 如图，过点P作AN的垂线，交NA的延长线于点Q，交y轴于点D，延 长MB交PQ于点C. 当x＝－4时，y＝ ＝－4.∴点P(－4，－4). 如图，过点P作AN的垂线，交NA的延长线于点Q，交y轴于点D，延 长MB交PQ于点C. 根据题意，得PQ＝12，CQ＝6，PC＝6，MC＝12，NQ＝6. ∴S△PMN＝S△MPC＋ －S△PNQ＝ ×6×12＋ ×(12＋6)×6－ ×12×6＝54. 根据题意，得PQ＝12，CQ＝6，PC＝6，MC＝12，NQ＝6. ∴S△PMN＝S△MPC＋ －S△PNQ＝ ×6×12＋ ×(12＋6)×6－ ×12×6＝54. 综上所述，点P的坐标为(－4，－4)，△PMN面积的最小值为54. 综上所述，点P的坐标为(－4，－4)， △PMN面积的最小值为54. 类型二　反比例函数与特殊四边形综合 5. (2024·聊城模拟)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A(－1，4)，B(a，－1)两点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； 解：(1)把点A(－1，4)代入反比例函数中，得m＝－4. ∴反比例函数的解析式为y＝－ . 把点B(a，－1)代入反比例函数中，得a＝4.∴点B(4，－1). 将点A(－1，4)，B(4，－1)分别代入y＝kx＋b，得 解 得 ∴一次函数的解析式为y＝－x＋3. 解：(1)把点A(－1，4)代入反比例函数中，得m＝－4. ∴反比例函数的解析式为y＝－ . 把点B(a，－1)代入反比例函数中，得a＝4.∴点B(4，－1). 将点A(－1，4)，B(4，－1)分别代入y＝kx＋b，得 解 得 ∴一次函数的解析式为y＝－x＋3. 5. (2024·聊城模拟)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A(－1，4)，B(a，－1)两点. (2)点P(n，0)在x轴的负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝ 的图象于点Q，连接PQ. 当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36， 求n的值. 解：(2)设AB与x轴交于点C. 把y＝0代入一次函数y＝－x＋3中，得x＝3. ∴点C(3，0).∴OC＝3. ∵BQ∥AP，BQ＝AP，∴四边形APQB为平行四边形. ∵四边形APQB的面积为36， ∴S△ABP＝18＝ CP·(yA－yB)＝ (3－n)×5，解得n＝－ .∴n的值为 － . 解：(2)设AB与x轴交于点C. 把y＝0代入一次函数y＝－x＋3中，得x＝3. ∴点C(3，0).∴OC＝3. ∵BQ∥AP，BQ＝AP，∴四边形APQB为平行四边形. ∵四边形APQB的面积为36， ∴S△ABP＝18＝ CP·(yA－yB)＝ (3－n)×5，解得n＝－ . ∴n的值为－ . 6. 如图，直线y＝ x与双曲线y＝ (k≠0)交于A，B两点，点A的坐标 为(m，－3)，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x 轴于点D，且BC＝2CD. (1)求k的值并直接写出点B的坐标； 解：(1)把点A(m，－3)代入直线y＝ x 中， 得 m＝－3，解得m＝－2. ∴点A(－2，－3). 把点A(－2，－3)代入反比例函数中，得k＝6. ∴反比例函数的解析式为y＝ ，点B的坐标为(2，3). 解：(1)把点A(m，－3)代入直线y＝ x 中， 得 m＝－3，解得m＝－2. ∴点A(－2，－3). 把点A(－2，－3)代入反比例函数中，得k＝6. ∴反比例函数的解析式为y＝ ，点B的坐标为(2，3). 6. 如图，直线y＝ x与双曲线y＝ (k≠0)交于A，B两点，点A的坐标 为(m，－3)，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x 轴于点D，且BC＝2CD. (2)点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB＋GC的最小值； 解：(2)∵BC＝2CD，∴CD＝ BD. ∴yC＝ yB＝ 1. 把y＝1代入y＝ 中，得x＝6，∴点C(6，1). 如图，作点C关于y轴的对称点E，连接BE交y轴于 点G，连接CG. ∴点E(－6，1)，GC＝GE. ∴BE＝ ＝ 2 . ∴GB＋GC＝GB＋GE≥BE. ∴当E，B，G三点共线时，GB＋GC最小，最小值 为2 . 解：(2)∵BC＝2CD，∴CD＝ BD. ∴yC＝ yB＝1. 把y＝1代入y＝ 中，得x＝6，∴点C(6，1). 如图，作点C关于y轴的对称点E，连接BE交y轴于 点G，连接CG. ∴点E(－6，1)，GC＝GE. ∴BE＝ ＝2 . ∴GB＋GC＝GB＋GE≥BE. ∴当E，B，G三点共线时，GB＋GC最小，最小值 为2 . 6. 如图，直线y＝ x与双曲线y＝ (k≠0)交于A，B两点，点A的坐标 为(m，－3)，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x 轴于点D，且BC＝2CD. (3)点P是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得 四边形ABPQ是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐 标；若不存在，请说明理由. 解：(3)存在.点P(，0)或(0， ). 解：(3)存在.点P(，0)或(0， ). 7. (2024·广东)【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y＝ax(a＞0)上第一象限 内的两个动点(OD＞OB)，以线段 BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x 轴.反比例函数y＝ 的图象经过点A. 【构建联系】 (1)求证：函数y＝ 的图象必经过点C； 解：(1)证明：设点B(m，ma)，则点A . ∵AD∥x轴，∴点D的纵坐标为 . 将y＝ 代入y＝ax中，得 ＝ax， ∴x＝ .∴点D .∴点C . 将x＝ 代入y＝ 中，得y＝am， ∴函数y＝ 的图象必经过点C. 解：(1)证明：设点B(m，ma)，则点A . ∵AD∥x轴，∴点D的纵坐标为 . 将y＝ 代入y＝ax中，得 ＝ax， ∴x＝ .∴点D .∴点C . 将x＝ 代入y＝ 中，得y＝am， ∴函数y＝ 的图象必经过点C. (2)如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为点E，当点E落在 y轴上，且点B的坐标为(1，2)时，求k的值； 解：(2)∵点B(1，2)在直线y＝ax上，∴a＝2. ∴直线的解析式为y＝2x. ∴点A的横坐标为1，点C的纵坐标为2. ∵函数y＝ 的图象经过点A，C， ∴点C ，A(1，k).∴点D .∴DC＝k－2. ∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为点E， ∴BE＝BC＝ －1，∠BED＝∠BCD＝90°.∴ ＝ ＝2＝ . 如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，过点B作BF⊥y轴于点F. 解：(2)∵点B(1，2)在直线y＝ax上，∴a＝2. ∴直线的解析式为y＝2x. ∴点A的横坐标为1，点C的纵坐标为2. ∵函数y＝ 的图象经过点A，C， ∴点C ，A(1，k).∴点D .∴DC＝k－2. ∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为点E， ∴BE＝BC＝ －1，∠BED＝∠BCD＝90°.∴ ＝ ＝2＝ . ∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线. ∴∠HED＋∠BEF＝90°，∠BEF＋∠FBE＝90°. ∴∠HED＝∠FBE. ∵∠DHE＝∠EFB＝90°， ∴△DHE∽△EFB. ∴ ＝ ＝ ＝2. ∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线. ∴∠HED＋∠BEF＝90°，∠BEF＋∠FBE＝90°. ∴∠HED＝∠FBE. ∵∠DHE＝∠EFB＝90°， ∴△DHE∽△EFB. ∴ ＝ ＝ ＝2. 如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，过点B作BF⊥y轴于点F. 图1 图1 ∵BF＝1，DH＝ ，∴HE＝2，EF＝ .∴HF＝2＋ . 根据题意，得HF＝DC，∴2＋ ＝k－2.∴k＝ . ∵BF＝1，DH＝ ，∴HE＝2，EF＝ .∴HF＝2＋ . 根据题意，得HF＝DC，∴2＋ ＝k－2.∴k＝ . 【深入探究】 (3)如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为点E. 当点E，A 重合时，连接AC交BD于点P. 以点O为圆心，AC长为半径作☉O. 若 OP＝3 ，当☉O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围. 解：(3)把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为点E，当点E，A重合 时，有AC⊥BD. ∵四边形ABCD为矩形， ∴四边形ABCD为正方形.∴∠ABP＝∠DBC＝45°. ∴AB＝BC＝CD＝DA＝ ＝ AP，AP＝PC＝BP＝ AC， BP⊥AC. ∵BC∥x轴，∴直线y＝ax为第一、三象限的夹角平分线. ∴y＝x. 当☉O过点B时，如图2，过点D作DH∥x轴交y轴于点H. ∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线. ∵以点O为圆心，AC长为半径作☉O，OP＝3 ， 解：(3)把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为点E，当点E，A重合 时，有AC⊥BD. ∵四边形ABCD为矩形， ∴四边形ABCD为正方形.∴∠ABP＝∠DBC＝45°. ∴AB＝BC＝CD＝DA＝ ＝ AP，AP＝PC＝BP＝ AC， BP⊥AC. ∵BC∥x轴，∴直线y＝ax为第一、三象限的夹角平分线. ∴y＝x. 当☉O过点B时，如图2，过点D作DH∥x轴交y轴于点H. ∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线. ∵以点O为圆心，AC长为半径作☉O，OP＝3 ， 图2 　 ∴OP＝OB＋BP＝AC＋BP＝2AP＋AP＝3AP＝3 .∴AP＝ . ∴AB＝AD＝ AP＝2，BD＝2AP＝2 ，BO＝AC＝2AP＝2 . ∵AB∥y轴，∴△DHO∽△DAB. ∴ ＝ ＝ .∴ ＝ ＝ ＝2. ∴HO＝HD＝4.∴HA＝HD－DA＝4－2＝2. ∴点A(2，4).∴k＝2×4＝8； ∴OP＝OB＋BP＝AC＋BP＝2AP＋AP＝3AP＝3 .∴AP＝ . ∴AB＝AD＝ AP＝2，BD＝2AP＝2 ，BO＝AC＝2AP＝2 . ∵AB∥y轴，∴△DHO∽△DAB. ∴ ＝ ＝ .∴ ＝ ＝ ＝2. ∴HO＝HD＝4.∴HA＝HD－DA＝4－2＝2. ∴点A(2，4).∴k＝2×4＝8； 当☉O过点A时，根据点A，C关于直线OD对称，得☉O必过点C，如 图3，连接AO，CO，过点D作DH∥x轴交y轴于点H. ∵AO＝OC＝AC，∴△AOC为等边三角形.∴∠AOC＝60°. 图3 ∵OP⊥AC，∴∠AOP＝∠COP. ∴∠AOP＝ ×60°＝30°. ∴AP＝tan 30°×OP＝ ×3 ＝ ＝PD. ∴AC＝BD＝2AP＝2 . ∴AB＝AD＝ AP＝2 ，OD＝OP＋PD＝3 ＋ . ∵AB∥y轴，∴△DHO∽△DAB. ∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ ＝ .∴HO＝HD＝3＋ . ∴HA＝HD－DA＝3＋ －2 ＝3－ . ∴点A(3－ ，3＋ ).∴k＝(3－ )×(3＋ )＝6. ∵OP⊥AC，∴∠AOP＝∠COP. ∴∠AOP＝ ×60°＝30°. ∴AP＝tan 30°×OP＝ ×3 ＝ ＝PD. ∴AC＝BD＝2AP＝2 . ∴AB＝AD＝ AP＝2 ，OD＝OP＋PD＝3 ＋ . ∵AB∥y轴，∴△DHO∽△DAB. ∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ ＝ .∴HO＝HD＝3＋ . ∴HA＝HD－DA＝3＋ －2 ＝3－ . ∴点A(3－ ，3＋ ).∴k＝(3－ )×(3＋ )＝6. ∴当☉O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8. ∴当☉O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8. 图3 $$