2025年广东省九年级中考数学二轮专题复习课件：专题4折叠问题

专题4　折叠问题 基本模型 模型解读 折叠前后的图形全等，因此前后的线段相等，前后的角相 等，通常会考查全等、相似、等腰三角形等知识.若折叠后 产生新的直角三角形，往往利用勾股定理建立方程来求线段 的长. 类型一　三角形折叠 例1：(1)(2024·凉山州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是 边AB上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A'处时，恰好 CA'⊥AB. 若BC＝2，则CA'＝ ⁠. 2 　 (2)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点 D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF， DF交AC于点G. 若 ＝ ，则tan A＝ 　 　. 　 [变式1](1)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，将 Rt△ABC沿MN折叠，使点A落在边BC上的点D处.若AM＝2，则 tan∠CND的值为 ⁠. 　 (2)(2024·泰州模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线 CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜75°)，与射线AB相 交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB 相交于点E. 若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ⁠ ⁠. 22.5°或45° 或67.5°　 类型二　平行四边形、菱形折叠 例2：(教材母题改编)如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3 cm， 将纸片沿对角线AC对折，边BC的对应边B'C与边AD交于点E，此时 △CDE恰为等边三角形.求： (1)AD的长； 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，△CDE是等边三角形， ∴AB＝CD＝3cm，∠D＝∠ECD＝∠CED＝60°，DE∥BC. ∴∠BCB'＝∠CED＝60°. ∵△ACB'是由△ACB折叠得到的， ∴∠BCA＝∠B'CA＝ ∠BCB'＝30°. ∴∠ACD＝∠B'CA＋∠ECD＝90°. ∴∠CAD＝90°－∠D＝30°.∴AD＝2CD＝2×3＝6 (cm). 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，△CDE是等边三角形， ∴AB＝CD＝3cm，∠D＝∠ECD＝∠CED＝60°，DE∥BC. ∴∠BCB'＝∠CED＝60°. ∵△ACB'是由△ACB折叠得到的， ∴∠BCA＝∠B'CA＝ ∠BCB'＝30°. ∴∠ACD＝∠B'CA＋∠ECD＝90°. ∴∠CAD＝90°－∠D＝30°.∴AD＝2CD＝2×3＝6 (cm). 类型二　平行四边形、菱形折叠 例2：(教材母题改编)如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3 cm， 将纸片沿对角线AC对折，边BC的对应边B'C与边AD交于点E，此时 △CDE恰为等边三角形.求： (2)重叠部分的面积. 解：(2)由(1)，得△ACD为直角三角形，∠CAD＝30°，CD＝3 cm， ∴AC＝3 cm.∴S△ADC＝ AC·CD＝ cm2. ∵△CDE是等边三角形，CD＝3 cm， ∴S△CDE＝ ×32＝ (cm2). ∴S重叠＝S△ACD－S△CDE＝ － ＝ (cm2). 解：(2)由(1)，得△ACD为直角三角形，∠CAD＝30°，CD＝3 cm， ∴AC＝3 cm.∴S△ADC＝ AC·CD＝ cm2. ∵△CDE是等边三角形，CD＝3 cm， ∴S△CDE＝ ×32＝ (cm2). ∴S重叠＝S△ACD－S△CDE＝ － ＝ (cm2). [变式2](1)(2024·宜昌模拟)如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点 A在长边CD上的点A'处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四 边形A'EBC的周长为 ⁠. 第(1)题图 16　 (2)(2024·济南模拟)如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点 D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P. 若∠ABC＝30°， AP＝2，则PE的长等于 ⁠. 第(2)题图 ＋ 　 (3)(教材母题改编)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB 上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在 点B'，C'处，线段EC'与线段AF交于点G，连接DG，B'G. 求证：①∠1＝∠2； 证明：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB. ∴∠2＝∠FEC. 由折叠的性质，得∠1＝∠FEC， ∴∠1＝∠2. 证明：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB. ∴∠2＝∠FEC. 由折叠的性质，得∠1＝∠FEC， ∴∠1＝∠2. (3)(教材母题改编)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB 上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在 点B'，C'处，线段EC'与线段AF交于点G，连接DG，B'G. 求证：②DG＝B'G. 证明：②由(1)，得∠1＝∠2，∴EG＝FG. ∵AB∥DC，∴∠DEG＝∠EGF. 由折叠的性质，得EC'∥B'F， ∴∠B'FG＝∠EGF. ∴∠DEG＝∠B'FG. 由折叠的性质，得BF＝B'F. ∵DE＝BF，∴DE＝B'F. 在△DEG和△B'FG中， ∴△DEG≌△B'FG(SAS).∴DG＝B'G. 证明：②由(1)，得∠1＝∠2，∴EG＝FG. ∵AB∥DC，∴∠DEG＝∠EGF. 由折叠的性质，得EC'∥B'F， ∴∠B'FG＝∠EGF. ∴∠DEG＝∠B'FG. 由折叠的性质，得BF＝B'F. ∵DE＝BF，∴DE＝B'F. 在△DEG和△B'FG中， ∴△DEG≌△B'FG(SAS).∴DG＝B'G. 类型三　矩形折叠 例3：如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，使 点C落在边AD上的点F处，过点F作FG∥CD，交BE于点G，连接CG. (1)判断四边形CEFG的形状，并说明理由； 解：(1)四边形CEFG是菱形. 理由如下： 由折叠的性质，得△BCE≌△BFE， ∴∠BEC＝∠BEF，CE＝FE. ∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠BEC. ∴∠FGE＝∠FEG. ∴FG＝FE. ∴FG＝EC. ∴四边形CEFG是平行四边形. ∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形. 解：(1)四边形CEFG是菱形. 理由如下： 由折叠的性质，得△BCE≌△BFE， ∴∠BEC＝∠BEF，CE＝FE. ∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠BEC. ∴∠FGE＝∠FEG. ∴FG＝FE. ∴FG＝EC. ∴四边形CEFG是平行四边形. ∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形. 例3：如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，使 点C落在边AD上的点F处，过点F作FG∥CD，交BE于点G，连接CG. (2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积. 解：(2)∵在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF， ∴∠BAF＝∠FDE＝90°，AD＝BC＝BF＝10. ∴AF＝ ＝8.∴DF＝10－8＝2. 设EF＝x，则CE＝x，DE＝6－x. ∵∠FDE＝90°，∴22＋(6－x)2＝x2，解得x＝ . ∴CE＝ .∴S四边形CEFG＝CE·DF＝ ×2＝ . 解：(2)∵在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF， ∴∠BAF＝∠FDE＝90°，AD＝BC＝BF＝10. ∴AF＝ ＝8.∴DF＝10－8＝2. 设EF＝x，则CE＝x，DE＝6－x. ∵∠FDE＝90°，∴22＋(6－x)2＝x2，解得x＝ . ∴CE＝ .∴S四边形CEFG＝CE·DF＝ ×2＝ . [变式3]如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8.把△BCD沿对角 线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交 AD于点G. 点E，F分别是 C'D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D 落在点D'处，点D'恰好与点A重合. (1)求证：△ABG≌△C'DG； 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠BAG＝∠C＝90°. 由折叠的性质，得△BCD≌△BC'D， ∴CD＝C'D，∠C＝∠DC'G＝90°.∴AB＝C'D. 在△ABG和△C'DG中， ∴△ABG≌△C'DG(AAS). 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠BAG＝∠C＝90°. 由折叠的性质，得△BCD≌△BC'D， ∴CD＝C'D，∠C＝∠DC'G＝90°.∴AB＝C'D. 在△ABG和△C'DG中， ∴△ABG≌△C'DG(AAS). [变式3]如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8.把△BCD沿对角 线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交 AD于点G. 点E，F分别是 C'D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D 落在点D'处，点D'恰好与点A重合. (2)求tan∠ABG的值； 解：(2)由(1)，得△ABG≌△C'DG， ∴AG＝C'G，∠ABG＝∠C'DG，即∠ABG＝∠EDH. 设AG＝x，则C'G＝x. ∴BG＝BC'－C'G＝BC－C'G＝8－x. 在Rt△ABG中，x2＋62＝(8－x)2，解得x＝ . ∴AG＝ .∴tan∠ABG＝ ＝ ＝ . 解：(2)由(1)，得△ABG≌△C'DG， ∴AG＝C'G，∠ABG＝∠C'DG，即∠ABG＝∠EDH. 设AG＝x，则C'G＝x. ∴BG＝BC'－C'G＝BC－C'G＝8－x. 在Rt△ABG中，x2＋62＝(8－x)2，解得x＝ . ∴AG＝ .∴tan∠ABG＝ ＝ ＝ . [变式3]如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8.把△BCD沿对角 线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交 AD于点G. 点E，F分别是 C'D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D 落在点D'处，点D'恰好与点A重合. (3)求EF的长. 解：(3)∵△AEF由△DEF翻折所得， ∴EF垂直平分AD. ∴HD＝ AD＝4. ∵tan∠ABG＝tan∠EDH＝ ＝ ，∴EH＝4× ＝ . ∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，∴HF∥AB. ∴HF是△ABD的中位线.∴HF＝ AB＝3. ∴EF＝EH＋HF＝ ＋3＝ . 解：(3)∵△AEF由△DEF翻折所得， ∴EF垂直平分AD. ∴HD＝ AD＝4. ∵tan∠ABG＝tan∠EDH＝ ＝ ，∴EH＝4× ＝ . ∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，∴HF∥AB. ∴HF是△ABD的中位线.∴HF＝ AB＝3. ∴EF＝EH＋HF＝ ＋3＝ . 类型四　正方形折叠 例4：如图，正方形ABCD的边长为2，点E是边AD上一动点，将△ABE 沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交线段CD于点F，连接DG，EF. (1)当∠ABE＝30°时，求证：BF＝2CF； 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠C＝90°. 由折叠的性质，得△ABE≌△GBE， ∴∠ABE＝∠GBE＝30°. ∴∠CBF＝90°－30°－30°＝30°. ∴在Rt△CBF中，BF＝2CF. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠C＝90°. 由折叠的性质，得△ABE≌△GBE， ∴∠ABE＝∠GBE＝30°. ∴∠CBF＝90°－30°－30°＝30°. ∴在Rt△CBF中，BF＝2CF. 例4：如图，正方形ABCD的边长为2，点E是边AD上一动点，将△ABE 沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交线段CD于点F，连接DG，EF. (2)当DG取得最小值时，求AE的长； 解：(2)如图，连接BD. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°. ∵AB＝AD＝2，∴BD＝ ＝2 . 由折叠的性质，得AB＝BG＝2. ∵DG≥BD－BG，∴DG≥2 －2. ∴当D，G，B三点共线时，DG最小. 解：(2)如图，连接BD. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°. ∵AB＝AD＝2，∴BD＝ ＝2 . 由折叠的性质，得AB＝BG＝2. ∵DG≥BD－BG，∴DG≥2 －2. ∴当D，G，B三点共线时，DG最小. ∴DG的最小值为2 －2. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°. 由折叠的性质，得∠BGE＝∠A－90°， ∴∠DGE＝90°.∴DG＝EG＝2 －2. 由折叠的性质，得△ABE≌△GBE，∴AE＝GE＝2 －2. ∴DG的最小值为2 －2. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°. 由折叠的性质，得∠BGE＝∠A－90°， ∴∠DGE＝90°.∴DG＝EG＝2 －2. 由折叠的性质，得△ABE≌△GBE，∴AE＝GE＝2 －2. 例4：如图，正方形ABCD的边长为2，点E是边AD上一动点，将△ABE 沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交线段CD于点F，连接DG，EF. (3)当点E运动到AD的中点时，求线段GF的长. (3)当点E运动到AD的中点时，AE＝DE＝1. 由折叠的性质，得AE＝GE，∠EGF＝∠EDF＝90°，BG＝AB＝2， ∴DE＝GE. 在Rt△EDF和Rt△EGF中， ​ ∴Rt△EDF≌Rt△EGF(HL). ∴DF＝GF. 设DF＝GF＝x，则CF＝2－x，BF＝2＋x. 在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2， ∴22＋(2－x)2＝(2＋x)2， 解：(3)当点E运动到AD的中点时，AE＝DE＝1. 由折叠的性质，得AE＝GE，∠EGF＝∠EDF＝90°，BG＝AB＝2， ∴DE＝GE. 在Rt△EDF和Rt△EGF中， ∴Rt△EDF≌Rt△EGF(HL). ∴DF＝GF. 设DF＝GF＝x，则CF＝2－x，BF＝2＋x. 在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2， ∴22＋(2－x)2＝(2＋x)2， 解得x＝ .∴GF＝ . 解得x＝ .∴GF＝ . 解：[变式4](2024·通辽模拟)在综合与实践课上，老师让同学们以“正方 形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把 纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M 处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ. (1)如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝ ⁠； [变式4](2024·通辽模拟)在综合与实践课上，老师让同学们以“正方 形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 30°　 解得x＝ .∴GF＝ . 解：[变式4](2024·通辽模拟)在综合与实践课上，老师让同学们以“正方 形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把 纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M 处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ. [变式4](2024·通辽模拟)在综合与实践课上，老师让同学们以“正方 形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： (2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图2，判断 ∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由. 解：(2)∠MBQ＝∠CBQ. 理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°. 由折叠的性质，得△ABP≌△MBP， ∴AB＝BM，∠A＝∠BMP＝90°. ∴BC＝AB＝BM，∠BMQ＝∠C＝90°. ∵BQ＝BQ， ∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ. ∴∠MBQ＝∠CBQ. 解：(2)∠MBQ＝∠CBQ. 理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°. 由折叠的性质，得△ABP≌△MBP， ∴AB＝BM，∠A＝∠BMP＝90°. ∴BC＝AB＝BM，∠BMQ＝∠C＝90°. ∵BQ＝BQ， ∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ. ∴∠MBQ＝∠CBQ. $$