2025年广东省九年级中考数学二轮专题复习课件：专题3与三角形、四边形有关的计算或证明

专题3　与三角形、四边形有关的计算或证明 方法解读：与三角形、四边形有关的计算或证明是中考必考内容.通常会 考查等腰三角形(包括等腰直角三角形、等边三角形)的性质与判定，平行 四边形(包括矩形、菱形、正方形)的性质与判定等内容，往往要借助全 等、相似、勾股定理、锐角三角函数等计算线段的长、角度大小或证明 线段之间的关系，角之间的关系等. 类型一　与三角形有关的计算或证明 例1：如图，点O是Rt△ABC的斜边AB的中点，∠C＝90°，∠A＝ 30°，以点O为旋转中心逆时针旋转△ABC 得到△DEF，且BC∥DF，DF交AB于点G. (1)求证：OG＝FG； 解：(1)证明：如图，连接OF. ∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴CB＝ AB，∠B＝60°. ∵点O是AB的中点，∴OB＝OA＝ AB. ∴OB＝CB. 由旋转的性质，得OE＝OB，FE＝CB， ∠D＝∠A＝30°，∠GFE＝∠C＝90°. 解：(1)证明：如图，连接OF. ∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴CB＝ AB，∠B＝60°. ∵点O是AB的中点，∴OB＝OA＝ AB. ∴OB＝CB. 由旋转的性质，得OE＝OB，FE＝CB， ∠D＝∠A＝30°，∠GFE＝∠C＝90°. ∴OE＝FE. ∴∠EOF＝∠EFO. ∵BC∥DF，∴∠B＝∠OGD＝60°. ∴∠GOE＝∠D＋∠OGD＝90°. ∵∠GFO＝90°－∠EFO，∠GOF＝90°－∠EOF， ∴∠GFO＝∠GOF. ∴OG＝FG. ∴OE＝FE. ∴∠EOF＝∠EFO. ∵BC∥DF，∴∠B＝∠OGD＝60°. ∴∠GOE＝∠D＋∠OGD＝90°. ∵∠GFO＝90°－∠EFO，∠GOF＝90°－∠EOF， ∴∠GFO＝∠GOF. ∴OG＝FG. 例1：如图，点O是Rt△ABC的斜边AB的中点，∠C＝90°，∠A＝ 30°，以点O为旋转中心逆时针旋转△ABC得到△DEF，且BC∥DF， DF交AB于点G. (2)若BC＝4，求BG的长. 解：(2)在Rt△ABC中，∠A＝30°，OA＝OB，BC＝4， ∴OA＝OB＝BC＝4.∴OD＝OA＝4. ∵∠DOG＝180°－∠GOE＝90°，∠D＝30°， ∴OG＝OD·tan 30°＝ .∴BG＝OB－OG＝4－ . 解：(2)在Rt△ABC中，∠A＝30°，OA＝OB，BC＝4， ∴OA＝OB＝BC＝4.∴OD＝OA＝4. ∵∠DOG＝180°－∠GOE＝90°，∠D＝30°， ∴OG＝OD·tan 30°＝ .∴BG＝OB－OG＝4－ . [变式1]如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别 是AB，AC的中点，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α(0°＜ α＜90°)得到△AD'E'，连接 BD'，CE'. (1)求证：BD'＝CE'； 解：(1)证明：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点， ∴AD＝BD＝AE＝EC. 由旋转的性质，得∠DAD'＝∠EAE'＝α，AD'＝AD，AE'＝AE. ∴AD'＝AE'.∴△BD'A≌△CE'A. ∴BD'＝CE'. 解：(1)证明：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点， ∴AD＝BD＝AE＝EC. 由旋转的性质，得∠DAD'＝∠EAE'＝α，AD'＝AD，AE'＝AE. ∴AD'＝AE'.∴△BD'A≌△CE'A. ∴BD'＝CE'. [变式1]如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别 是AB，AC的中点，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α(0°＜ α＜90°)得到△AD'E'，连接 BD'，CE'. (2)如图2，当α＝60°时，设AB与D'E'交于点F，求 的值. 解：(2)如图，连接DD'. ∵∠DAD'＝60°，AD＝AD'，∴△ADD'是等边三角形. ∴∠ADD'＝∠AD'D＝60°，DD'＝DA＝DB. ∴∠DBD'＝∠DD'B＝ ∠ADD'＝30°. ∴∠BD'A＝∠DD'B＋∠AD'D＝90°. ∵∠D'AE'＝90°，∴∠BAE'＝30°.∴∠BAE'＝∠ABD'. 解：(2)如图，连接DD'. ∵∠DAD'＝60°，AD＝AD'，∴△ADD'是等边三角形. ∴∠ADD'＝∠AD'D＝60°，DD'＝DA＝DB. ∴∠DBD'＝∠DD'B＝ ∠ADD'＝30°. ∴∠BD'A＝∠DD'B＋∠AD'D＝90°. ∵∠D'AE'＝90°，∴∠BAE'＝30°.∴∠BAE'＝∠ABD'. 又∵∠BFD'＝∠AFE'，∴△BFD'∽△AFE'.∴ ＝ ＝ . ∵在Rt△ABD'中，tan∠BAD'＝ ＝ ，∴ ＝ . 又∵∠BFD'＝∠AFE'，∴△BFD'∽△AFE'.∴ ＝ ＝ . ∵在Rt△ABD'中，tan∠BAD'＝ ＝ ，∴ ＝ . 例2：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在边 BC上运动(不与点B，C重合)，将直线AD绕点D顺时针旋转45°，交 AC于点E. (1)求证：△ABD∽△DCE； 解：(1)证明：由旋转的性质，得∠ADE＝45°. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°. ∵∠ADB＝∠DAC＋∠C＝∠DAC＋45°， ∠DEC＝∠DAC＋∠ADE＝∠DAC＋45°， ∴∠ADB＝∠DEC. ∴△ABD∽△DCE. 解：(1)证明：由旋转的性质，得∠ADE＝45°. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°. ∵∠ADB＝∠DAC＋∠C＝∠DAC＋45°， ∠DEC＝∠DAC＋∠ADE＝∠DAC＋45°， ∴∠ADB＝∠DEC. ∴△ABD∽△DCE. 例2：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在边 BC上运动(不与点B，C重合)，将直线AD绕点D顺时针旋转45°，交 AC于点E. (2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式； 解：(2)由(1)，得△ABD∽△DCE，∴ ＝ . ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2， ∴BC＝ ＝2 . ∴DC＝BC－BD＝2 －x，CE＝AC－AE＝2－y. ∴ ＝ . ∴y关于x的函数解析式为y＝ x2－ x＋2. 解：(2)由(1)，得△ABD∽△DCE，∴ ＝ . ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2， ∴BC＝ ＝2 . ∴DC＝BC－BD＝2 －x，CE＝AC－AE＝2－y. ∴ ＝ . ∴y关于x的函数解析式为y＝ x2－ x＋2. 例2：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在边 BC上运动(不与点B，C重合)，将直线AD绕点D顺时针旋转45°，交 AC于点E. (3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长. 解：(3)①当AE＝DE时，有∠DAE＝∠ADE＝45°， ∴∠AED＝90°，即DE⊥AC. ∵∠DAE＝∠C＝45°，∴AD＝CD. ∴点E为AC的中点.∴AE＝CE＝ AC＝1； ②当AD＝DE时，由(1)，得△ABD∽△DCE，∴△ABD≌△DCE. ∴AB＝CD＝2，BD＝CE＝BC－CD＝2 －2. ∴AE＝AC－CE＝4－2 ； 解：(3)①当AE＝DE时，有∠DAE＝∠ADE＝45°， ∴∠AED＝90°，即DE⊥AC. ∵∠DAE＝∠C＝45°，∴AD＝CD. ∴点E为AC的中点.∴AE＝CE＝ AC＝1； ②当AD＝DE时，由(1)，得△ABD∽△DCE，∴△ABD≌△DCE. ∴AB＝CD＝2，BD＝CE＝BC－CD＝2 －2. ∴AE＝AC－CE＝4－2 ； ③当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠DAE＝90°.∴点D与点B重合，不符合题意，则AD≠AE. 综上所述，AE的长为1或4－2 ③当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠DAE＝90°.∴点D与点B重合，不符合题意，则AD≠AE. 综上所述，AE的长为1或4－2 [变式2]如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC 上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB. 求证：(1)∠CAE＝∠BAF； 证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵CF＝BE，∴CF－EF＝BE－EF. ∴CE＝BF. 在△ACE和△ABF中， ∴△ACE≌△ABF(SAS).∴∠CAE＝∠BAF. 证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵CF＝BE，∴CF－EF＝BE－EF. ∴CE＝BF. 在△ACE和△ABF中， ∴△ACE≌△ABF(SAS).∴∠CAE＝∠BAF. [变式2]如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC 上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB. 求证：(2)CF·FQ＝AF·BQ. 证明：(2)由(1)，得△ACE≌△ABF， ∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF. ∵AE2＝AQ·AB，AC＝AB，∴ ＝ . ∴△ACE∽△AFQ. ∴∠AEC＝∠AQF. ∴∠AEF＝∠BQF. ∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE. ∴∠BQF＝∠AFE. ∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ. ∴ ＝ . ∴CF·FQ＝AF·BQ. 证明：(2)由(1)，得△ACE≌△ABF， ∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF. ∵AE2＝AQ·AB，AC＝AB，∴ ＝ . ∴△ACE∽△AFQ. ∴∠AEC＝∠AQF. ∴∠AEF＝∠BQF. ∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE. ∴∠BQF＝∠AFE. ∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ. ∴ ＝ . ∴CF·FQ＝AF·BQ. 类型二　与四边形有关的计算或证明 例3：如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上 一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF，DE交于点G. (1)当点E运动到AB的中点时，求证：四边形DFEC是平行四边形； 解：(1)证明：如图，连接DF，CE. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD＝2. ∵点E为AB的中点，∴AE＝BE＝ AB＝ ×2＝1. ∴AF＝AE＝1.∴EF＝AF＋AE＝2. ∴EF＝CD. ∴四边形DFEC是平行四边形. 解：(1)证明：如图，连接DF，CE. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD＝2. ∵点E为AB的中点，∴AE＝BE＝ AB＝ ×2＝1. ∴AF＝AE＝1.∴EF＝AF＋AE＝2. ∴EF＝CD. ∴四边形DFEC是平行四边形. 例3：如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上 一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF，DE交于点G. (2)当CG＝2时，求AE的长. 解：(2)如图，过点C作CH⊥AB交AB的延长线于点H. 设AE＝AF＝m，则EF＝2m. ∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥EF. ∴△CDG∽△FEG. ∴ ＝ .∴ ＝ . ∵CD＝CG＝2，∴FG＝EF＝2m. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，BC＝AB＝2. ∴∠CBH＝∠DAB＝60°. ∵ sin ∠CBH＝ sin 60°＝ ＝ ＝ ，∴CH＝ . ∵ cos ∠CBH＝ cos 60°＝ ＝ ＝ ，∴BH＝1. 解：(2)如图，过点C作CH⊥AB交AB的延长线于点H. 设AE＝AF＝m，则EF＝2m. ∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥EF. ∴△CDG∽△FEG. ∴ ＝ .∴ ＝ . ∵CD＝CG＝2，∴FG＝EF＝2m. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，BC＝AB＝2. ∴∠CBH＝∠DAB＝60°. ∵ sin ∠CBH＝ sin 60°＝ ＝ ＝ ，∴CH＝ . ∵ cos ∠CBH＝ cos 60°＝ ＝ ＝ ，∴BH＝1. 在Rt△CFH中，CF＝2＋2m，CH＝ ，FH＝3＋m， 由勾股定理，得CF2＝CH2＋FH2，即(2＋2m)2＝()2＋(3＋m)2， 解得m1＝ ，m2＝－2(不符合题意，舍去).∴AE＝ . 在Rt△CFH中，CF＝2＋2m，CH＝ ，FH＝3＋m， 由勾股定理，得CF2＝CH2＋FH2，即(2＋2m)2＝()2＋(3＋m)2， 解得m1＝ ，m2＝－2(不符合题意，舍去).∴AE＝ . [变式3]如图，将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处， BC' 交AD于点E，过点C'作C'F∥CD交BD于点F，连接CF. (1)求证：四边形CDC'F是菱形； 解：(1)证明：由翻折的性质，得△BCD≌△BC'D， ∴CD＝C'D，∠CDF＝∠C'DF. ∵C'F∥CD， ∴∠C'FD＝∠CDF. ∴∠C'FD＝∠C'DF. ∴C'F＝C'D. ∴C'F＝CD. ∵C'F∥CD， ∴四边形CDC'F是平行四边形. ∵CD＝C'D， ∴四边形CDC'F是菱形. 解：(1)证明：由翻折的性质，得△BCD≌△BC'D， ∴CD＝C'D，∠CDF＝∠C'DF. ∵C'F∥CD， ∴∠C'FD＝∠CDF. ∴∠C'FD＝∠C'DF. ∴C'F＝C'D. ∴C'F＝CD. ∵C'F∥CD， ∴四边形CDC'F是平行四边形. ∵CD＝C'D， ∴四边形CDC'F是菱形. [变式3]如图，将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处， BC' 交AD于点E，过点C'作C'F∥CD交BD于点F，连接CF. (2)连接AC'，若CD＝3，BC＝4，求线段C'A的长. 解：(2)如图，连接AC'，设C'F与AD交于点G. ∵AB∥CD∥C'F，AB＝CD＝C'F， ∴四边形ABFC'是平行四边形.∴C'A＝FB. ∵CD＝3，BC＝4，∴C'F＝3，BD＝ ＝5. ∵AB∥C'F，∴△DFG∽△DBA. ∴ ＝ ＝ . 解：(2)如图，连接AC'，设C'F与AD交于点G. ∵AB∥CD∥C'F，AB＝CD＝C'F， ∴四边形ABFC'是平行四边形.∴C'A＝FB. ∵CD＝3，BC＝4，∴C'F＝3，BD＝ ＝5. ∵AB∥C'F，∴△DFG∽△DBA. ∴ ＝ ＝ . 设DF＝a.∴ ＝ ＝ .∴FG＝ a，DG＝ a. ∴C'G＝C'F－FG＝3－ a. 在Rt△DGC'中，C'D2＝C'G2＋DG2， ∴32＝(3－ a)2＋( a)2，解得a1＝ ，a2＝0(不符合题意，舍去). ∴DF＝ .∴FB＝BD－DF＝5－ ＝ .∴C'A＝FB＝ . 设DF＝a.∴ ＝ ＝ .∴FG＝ a，DG＝ a. ∴C'G＝C'F－FG＝3－ a. 在Rt△DGC'中，C'D2＝C'G2＋DG2， ∴32＝(3－ a)2＋( a)2，解得a1＝ ，a2＝0(不符合题意，舍去). ∴DF＝ .∴FB＝BD－DF＝5－ ＝ .∴C'A＝FB＝ . 例4：如图，在△ABC中，AB＝AC， AD为边BC上的中线，点E为AD 的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF. (1)求证：四边形ADCF是矩形； 解：(1)证明：∵AB＝AC，AD为边BC上的中线， ∴BD＝CD，AD⊥BC. ∵点E为AD的中点，∴AE＝DE. ∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB＝90°. 在△AEF和△DEB中， ∴△AEF≌△DEB(ASA).∴AF＝BD. ∵BD＝CD，∴AF＝CD. ∴四边形ADCF是平行四边形. ∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形. 解：(1)证明：∵AB＝AC，AD为边BC上的中线， ∴BD＝CD，AD⊥BC. ∵点E为AD的中点，∴AE＝DE. ∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB＝90°. 在△AEF和△DEB中， ∴△AEF≌△DEB(ASA).∴AF＝BD. ∵BD＝CD，∴AF＝CD. ∴四边形ADCF是平行四边形. ∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形. 例4：如图，在△ABC中，AB＝AC， AD为边BC上的中线，点E为AD 的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF. (2)若BC＝12， sin ∠ACB＝ ，求EF的长. 解：(2)∵BC＝12，∴BD＝CD＝6. ∵ sin ∠ACB＝ ＝ ，∴在Rt△ACD中，AD＝8，AC＝10. ∵点E为AD的中点，∴AE＝ED＝ AD＝4. 在Rt△BED中，BE＝ ＝2 . 由(1)，得△AEF≌△DEB， ∴EF＝BE＝2 . 解：(2)∵BC＝12，∴BD＝CD＝6. ∵ sin ∠ACB＝ ＝ ，∴在Rt△ACD中，AD＝8，AC＝10. ∵点E为AD的中点，∴AE＝ED＝ AD＝4. 在Rt△BED中，BE＝ ＝2 . 由(1)，得△AEF≌△DEB， ∴EF＝BE＝2 . [变式4]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于 CD的对称图形为△CED. (1)求证：四边形OCED是菱形； 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴DO＝CO＝BO＝AO. ∵△EDC和△ODC关于CD对称， ∴DE＝DO，CE＝CO. ∴DE＝EC＝CO＝DO. ∴四边形OCED是菱形. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴DO＝CO＝BO＝AO. ∵△EDC和△ODC关于CD对称， ∴DE＝DO，CE＝CO. ∴DE＝EC＝CO＝DO. ∴四边形OCED是菱形. [变式4]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于 CD的对称图形为△CED. (2)连接AE，交CD于点K，若AB＝6，BC＝ ，求 sin ∠EAD的值. 解：(2)如图，连接EO并延长交AB于点F，交CD于点M. 由(1)，得四边形OCED是菱形， ∴OE⊥CD，EM＝OM，DM＝CM. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD⊥AB. ∴EF⊥AB. ∴AD∥EF. ∴∠EAD＝∠AEF. 解：(2)如图，连接EO并延长交AB于点F，交CD于点M. 由(1)，得四边形OCED是菱形， ∴OE⊥CD，EM＝OM，DM＝CM. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD⊥AB. ∴EF⊥AB. ∴AD∥EF. ∴∠EAD＝∠AEF. ∵OD＝OB，DM＝CM，∴OM是△DCB的中位线. ∴OM＝ BC＝ .∴OF＝ME＝OM＝ .∴EF＝ . 在Rt△AEF中，AF＝ AB＝3， ∴AE＝ ＝ .∴ sin ∠EAD＝ sin ∠AEF＝ ＝ . ∵OD＝OB，DM＝CM，∴OM是△DCB的中位线. ∴OM＝ BC＝ .∴OF＝ME＝OM＝ .∴EF＝ . 在Rt△AEF中，AF＝ AB＝3， ∴AE＝ ＝ .∴ sin ∠EAD＝ sin ∠AEF＝ ＝ . $$