专题05 因式分解（6大经典基础题+4大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题05 因式分解 一、题型01 判断是否是因式分解 1．（23-24八年级上·云南红河·期末）下列从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·云南文山·期末）下列多项式从左到右的变形是分解因式的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·云南昆明·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 二、题型02 提公因式法分解因式 5．（22-23八年级下·云南昭通·期末）在多项式中，各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）因式分解： ． 7．（22-23八年级上·云南昆明·期末）因式分解： ． 8．（23-24八年级下·云南文山·期末）已知，，则 ． 三、题型03 平方差公式分解因式 9．（23-24八年级下·云南文山·期末）下列多项式能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 10．（2013·江苏盐城·一模）分解因式： ． 11．（19-20七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： ． 12．（2023·云南昆明·一模）因式分解： ． 13．（19-20九年级·吉林长春·阶段练习）因式分解： ． 14．（18-19八年级上·湖南长沙·期中）分解因式： ． 四、题型04 完全平方公式分解因式 15．（23-24八年级上·云南临沧·期末）若分解因式能用完全平方公式分解因式，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 16．（23-24八年级上·云南保山·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 17．（22-23八年级上·云南昭通·期末）已知是的三边长，且满足，则此三角形是（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 18．（22-23八年级下·云南红河·期末）分解因式： ． 19．（21-22八年级上·云南昭通·期末）所谓完全平方式，就是对一个整式M，如果存在另一个整式N，使M＝N2，则称M是完全平方式，如、，则称、是完全平方式．下列各式中是完全平方式的有 ． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 20．（21-22八年级上·云南昭通·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题： (1)因式分解：． (2)因式分解：． 五、题型05 综合提公因式法和公式法 21．（2019·江苏徐州·二模）因式分解 ． 22．（19-20七年级下·北京顺义·期末）分解因式： . 23．（23-24八年级上·云南昆明·期末）分解因式： ． 24．（23-24八年级上·云南昆明·期末）分解因式： ． 25．（2017·海南海口·一模）分解因式： ． 26．（2011·江西南昌·中考真题）分解因式： ． 27．（2013·四川眉山·一模）因式分解： ． 28．（2011·广东深圳·中考真题）分解因式：a3－a= 29．（23-24八年级上·云南昆明·期末）【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． ①用配方法分解因式 例1：分解因式． 解：． ②用配方法求值 例2：已知求的值． 解：原方程可化为，，即， ，，，，． ③用配方法确定范围 例3：，利用配方法求M的最小值． 解： ，当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，．试比较P，Q的大小． 30．（19-20八年级上·云南临沧·期末）分解因式： （1）；                        （2）． 31．（22-23八年级上·云南红河·期末）因式分解： (1)； (2)． 32．（23-24八年级上·云南昆明·期末）分解因式： (1)； (2)． 六、题型06因式分解在有理数简算中的应用 33．（23-24八年级下·云南文山·期末）计算： ． 34．（23-24七年级下·广东清远·期末）计算∶ ． 35．（23-24八年级上·山东东营·期中）分解因式 (1)； (2)．（用简便方法计算） 七、题型07判断能否用公式法分解因式 36．（22-23七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 37．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 39．（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 40．（22-23八年级上·福建厦门·期末）要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（    ） A．1 B． C． D． 八、题型08 十字相乘法 41．（22-23八年级上·四川南充·期末）下列因式分解最后结果正确的是（　　） A． B． C． D． 42．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）分解因式： (1)； (2)． 43．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 44．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 九、题型09 分组分解法 45．（21-22八年级下·云南楚雄·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法，分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．例如： 请你仿照以上方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2) 46．（19-20八年级上·辽宁大连·期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。 过程为：； 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）三边a，b，c满足，判断的形状. 十、题型10 因式分解的应用 47．（22-23八年级下·云南文山·期末）已知，，则的值是（    ） A．14 B．36 C．48 D．64 48．（22-23八年级上·湖南衡阳·期中）若分解因式的结果为，则m的值为（   ） A． B． C． D． 49．（23-24八年级上·云南昆明·期末）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式： 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：原式 又是一个非负数， ． ． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______；（直接写出结果） 当______时，多项式有最小值，这个最小值是______； (2)利用配方法，已知，，为的三条边，，求的周长． 50．（23-24八年级上·云南普洱·期末）观察下列分解因式的过程： 解：原式 ． 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法． (1)请你运用上述配方法分解因式：； (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求周长的最小值． 51．（22-23八年级上·云南昆明·期末）（1）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式①______． （2）【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）．根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为②______．（结果写成整式的积的形式） （3）【知识运用】已知，，求的值． 52．（21-22八年级上·重庆·期末）阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求xy的值； (2)已知a、b、c分别为的三边长，且满足，若c是的最大边长，且c为奇数，求的周长． 53．（22-23八年级上·云南红河·期末）感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图 1 中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_____________ ； 应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图 2 所示 的是棱长为的正方体被分割线分成 8 块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为 ； 拓展：（3）如图 3，棱长为 x 的实心大正方体切除一个棱长为 y 的小正方体，剩余部分按如图所示的 方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为 ，乙长方体的体积为 ， 丙长方体的体积为 ，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为． 根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图 2 与图 3 中的 x 与 y 的值分别相等，且满足，，其中，求的值． 试卷第10页，共11页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 因式分解 一、题型01 判断是否是因式分解 1．（23-24八年级上·云南红河·期末）下列从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：．，等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，是用完全平方公式进行的因式分解，故该选项符合题意； 故选：D. 2．（23-24八年级下·云南文山·期末）下列多项式从左到右的变形是分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，逐项判定即可得答案． 【详解】解：A、，结果不是乘积形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、，结果不是乘积形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、是因式分解，故此选项符合题意； D、原计算错误，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级上·云南昆明·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，利用因式分解的定义判断即可．因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 【详解】解：A．符合因式分解的定义，故A选项符合题意； B．是整式的乘法，不是因式分解，故B选项不符合题意； C．，是整式的乘法，不是因式分解，故C选项不符合题意； D．，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用十字相乘法或因式分解法把各选项进行因式分解即可． 【详解】解：A．，原分解错误； B．，分解后的结果不是积的形式，是和的形式，原分解错误； C．，原分解分解错误； D．，分解正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是因式分解，熟知因式分解的十字相乘法和提取公因式法是解题的关键． 二、题型02 提公因式法分解因式 5．（22-23八年级下·云南昭通·期末）在多项式中，各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多项式的公因式来进行求解即可． 【详解】解： ， 是多项式中各项的公因式． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多项式的公因式，理解多项式的公因式是解答关键． 6．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（22-23八年级上·云南昆明·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用提公因式法因式分解即可． 【详解】． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·云南文山·期末）已知，，则 ． 【答案】42 【分析】本题考查了因式分解及代数式求值，利用提公因式法可得，把，代入计算即可求解，正确利用因式分解对原式进行转化是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 三、题型03 平方差公式分解因式 9．（23-24八年级下·云南文山·期末）下列多项式能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题关键．根据平方差公式分解因式的方法逐项判断即可得． 【详解】解：A、不能用平方差公式因式分解，则此项不符合题意； B、，能用平方差公式因式分解，则此项符合题意； C、不能用平方差公式因式分解，则此项不符合题意； D、不能用平方差公式因式分解，则此项不符合题意； 故选：B． 10．（2013·江苏盐城·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可，正确应用平方差公式是解题关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 11．（19-20七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】利用平方差公式：，进行两次分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12．（2023·云南昆明·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式因式分解是解题的关键． 13．（19-20九年级·吉林长春·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 14．（18-19八年级上·湖南长沙·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了运用平方差公式分解因式，注意运算的准确性即可. 【详解】解：， 故答案为： 四、题型04 完全平方公式分解因式 15．（23-24八年级上·云南临沧·期末）若分解因式能用完全平方公式分解因式，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，先根据两平方确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵多项式能用完全平方公式分解因式， 又∵， ∴ ， 解得 ． 故选：C． 16．（23-24八年级上·云南保山·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、，是因式分解，但是因式分解错误，不符合题意； C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，是因式分解，符合题意； 故选：D． 17．（22-23八年级上·云南昭通·期末）已知是的三边长，且满足，则此三角形是（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】先将运用公式法进行因式分解，再根据非负数的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 是等边三角形， 故选：B． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握利用公式法进行因式分解、非负数的性质是解答此题的关键． 18．（22-23八年级下·云南红河·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 19．（21-22八年级上·云南昭通·期末）所谓完全平方式，就是对一个整式M，如果存在另一个整式N，使M＝N2，则称M是完全平方式，如、，则称、是完全平方式．下列各式中是完全平方式的有 ． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【答案】①②⑥ 【分析】根据完全平方式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：①，因此①是完全平方式； ②，因此②是完全平方式； ③由于，因此不是完全平方式，故③不符合题意； ④由于，因此不是完全平方式，故④不符合题意； ⑤由于，因此不是完全平方式，故⑤不符合题意； ⑥，因此⑥是完全平方式； 综上所述，是完全平方式的有①②⑥． 故答案为：①②⑥． 【点睛】本题考查的是完全平方式，熟记完全平方式的结构特征是解题的关键． 20．（21-22八年级上·云南昭通·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题： (1)因式分解：． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）令，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解． 【详解】（1）解： ＝； （2）解：令，则原式变为， 故． 【点睛】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解，能够熟练的运用整体思想及完全平方公式是解题关键． 五、题型05 综合提公因式法和公式法 21．（2019·江苏徐州·二模）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，综合提公因式和公式法即可求解． 【详解】解；原式， 故答案为： 22．（19-20七年级下·北京顺义·期末）分解因式： . 【答案】 【分析】本题考查了利用提取公因式法、完全平方公式因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 23．（23-24八年级上·云南昆明·期末）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解．先提公式后，再用平方差公式即可分解因式． 【详解】． 故答案为： 24．（23-24八年级上·云南昆明·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】 故答案为：． 25．（2017·海南海口·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 ． 【详解】解： 原式 ． 故答案为： 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法因式分解的综合运用， 因式分解要遵循“一提二看三检查”原则． 26．（2011·江西南昌·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 27．（2013·四川眉山·一模）因式分解： ． 【答案】y（x+2）（x-2） 【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可 【详解】解：x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x﹣2）（x+2）． 故答案为：y（x﹣2）（x+2）． 【点睛】题目主要考查提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 28．（2011·广东深圳·中考真题）分解因式：a3－a= 【答案】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 29．（23-24八年级上·云南昆明·期末）【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． ①用配方法分解因式 例1：分解因式． 解：． ②用配方法求值 例2：已知求的值． 解：原方程可化为，，即， ，，，，． ③用配方法确定范围 例3：，利用配方法求M的最小值． 解： ，当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，．试比较P，Q的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，分解因式，构成三角形的条件： （1）仿照题意进行配方得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）把原式变形为，利用非负数的性质求出，再根据构成三角形的条件进行求解即可； （3）利用作差法求出，进而得到，即． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即 ∴； （3）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．（19-20八年级上·云南临沧·期末）分解因式： （1）；                        （2）． 【答案】(1)3a（x+y）2；(2) 【分析】（1）先提取公因式3a，再利用公式法分解因式即可． （2）先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解因式即可； 【详解】解：（1） ＝3a（x2+2xy+y2） ＝3a（x+y）2 （2） ＝ = = 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 31．（22-23八年级上·云南红河·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式进行因式分解，即可作答． （2）先进行提公因式，再进行平方差公式法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（23-24八年级上·云南昆明·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解本题的关键； （1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）． 六、题型06因式分解在有理数简算中的应用 33．（23-24八年级下·云南文山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 34．（23-24七年级下·广东清远·期末）计算∶ ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 35．（23-24八年级上·山东东营·期中）分解因式 (1)； (2)．（用简便方法计算） 【答案】(1) (2)36 【分析】本题主要考查了分解因式，有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式，准确计算． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 七、题型07判断能否用公式法分解因式 36．（22-23七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 37．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键．利用完全平方公式和平方差公式进行逐项判断即可． 【详解】解：A、在实数范围内不能用公式法因式分解，符合题意； B、，在实数范围内能用完全平方公式因式分解，不符合题意； C、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； D、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； 故选：A． 38．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法分解因式的方法是解题的关键． 根据乘法公式，分解因式的概念“把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做分解因式”进行判定即可求解． 【详解】解：①，不能用公式法分解因式，不符合题意； ②，能用公式法分解因式，符合题意； ③，不能用公式法分解因式，不符合题意； ④，不能用公式法分解因式，不符合题意； ⑤，能用公式法分解因式，符合题意； 综上所述，能用公式法分解因式的有②⑤，共2个， 故选：A ． 39．（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键． 利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可． 【详解】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：A． 40．（22-23八年级上·福建厦门·期末）要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A.是完全平方公式因式分解，不合题意； B.不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； C.，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； D. ，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 八、题型08 十字相乘法 41．（22-23八年级上·四川南充·期末）下列因式分解最后结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义及分解方法，逐个判断得结论．本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法和十字相乘法是解决本题的关键． 【详解】解：，故选项A分解不正确； ，故选项B分解正确； 由于仍能因式分解，即 故选项C分解不正确； ，故选项D分解不正确． 故选：B． 42．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解-十字相乘法和提公因式法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． （1）原式利用十字相乘法分解即可； （2）原式提取，再利用十字相乘法分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 43．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)， 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解分解可得； （3）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为，则2；3； ∴； （2）解：一次项为：，则常数项为， 则； （3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 44．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴或 或或 ， 整数的值可能是或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， ． 九、题型09 分组分解法 45．（21-22八年级下·云南楚雄·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法，分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．例如： 请你仿照以上方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分成，前者利用平方差公式分解后，再利用提取公因式分解即可； （2）分成，前者利用完全平方公式分解后，再利用平方差公式分解因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ² ； 【点睛】本题主要考查了完全平方公式及平方差公式，能正确给多项式分组是解决本题的关键． 46．（19-20八年级上·辽宁大连·期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。 过程为：； 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）三边a，b，c满足，判断的形状. 【答案】（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等边三角形 【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可； （2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可． 【详解】解：（1）9x2-6xy+y2-16 =（3x-y）2-42 =（3x-y+4）（3x-y-4）； （2）∵a2-ab-ac+bc=0 ∴a（a-b）-c（a-b）=0， ∴（a-b）（a-c）=0， ∴a=b或a=c或a=b=c， ∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键． 十、题型10 因式分解的应用 47．（22-23八年级下·云南文山·期末）已知，，则的值是（    ） A．14 B．36 C．48 D．64 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．提公因式分解得到，再整体代入数据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 48．（22-23八年级上·湖南衡阳·期中）若分解因式的结果为，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，即可得出． 【详解】解：∵分解因式的结果为， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 49．（23-24八年级上·云南昆明·期末）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式： 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：原式 又是一个非负数， ． ． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______；（直接写出结果） 当______时，多项式有最小值，这个最小值是______； (2)利用配方法，已知，，为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)；2； (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，完全平方公式， （1）先利用十字相乘法分解因式即可；再将多项式配方，根据题例解答即可； （2）将等式配方后，利用非负数的性质求出，，的值，进而求解即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）， ， ∵是一个非负数， ． ． 可知当时，有最小值，这个最小值是； 故答案为：，2，； （2），，为的三条边，， ， ， ∴， ∴， 的周长为． 50．（23-24八年级上·云南普洱·期末）观察下列分解因式的过程： 解：原式 ． 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法． (1)请你运用上述配方法分解因式：； (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求周长的最小值． 【答案】(1) (2)满足题意得周长的最大值为11 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并能运用配方法是关键． （1）依据题意，由，再利用平方差公式进行计算可以得解； （2）依据题意，将移项并配方得，从而求出，，再由三边关系进行判断，可得周长的最大值． 【详解】（1）解由题意， ． （2）由题意，， ． ． ． ． ． 又为正整数， 周长的最小， ． ． 答：满足题意得周长的最大值为11． 51．（22-23八年级上·云南昆明·期末）（1）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式①______． （2）【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）．根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为②______．（结果写成整式的积的形式） （3）【知识运用】已知，，求的值． 【答案】【知识再现】；【知识迁移】；【知识运用】100． 【分析】（1）由题意可知，图1 阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，图2剪拼后一个长方形长为，宽为，据此列等式即可得到答案； （2）由题意可知，图3的体积为大正方形体积减小正方形体积，图4切割拼成的几何体正面面积为，高为，据此列等式即可得到答案； （3）先利用完全平方公式求出，再根据结论对进行变形，即可计算求值． 【详解】（1）【知识再现】解：根据题意可得：， 故答案为：； （2）【知识迁移】解：根据题意可得：， 故答案为：； （3）【知识运用】，， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用数形结合的方法解决问题是解题关键． 52．（21-22八年级上·重庆·期末）阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求xy的值； (2)已知a、b、c分别为的三边长，且满足，若c是的最大边长，且c为奇数，求的周长． 【答案】(1)9 (2)14或16 【分析】（1）根据材料，将x2－2xy＋2y2＋6y＋9= 0因式分解得：（x－y）2＋（y＋3）2 = 0，可求出x、y的值，继而可求出结果； （2）将因式分解得：，可求出a、b的值，然后根据三角形的三边关系和c是△ABC的最大边长，且c为奇数，求得c的值，即可得到结果． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴． ∴． ∴，． ∴，． ∴． 即xy的值是9． （2）解：∵， ∴． ∴． ∴，． ∴，． ∵，， ∴． 又∵c为奇数， ∴或． ∴三角形的周长为或． 【点睛】此题主要考查了因式分解方法的应用和三角形的三条边之间的关系，解答此题的关键是掌握材料中因式分解的方法，明确三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． 53．（22-23八年级上·云南红河·期末）感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图 1 中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_____________ ； 应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图 2 所示 的是棱长为的正方体被分割线分成 8 块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为 ； 拓展：（3）如图 3，棱长为 x 的实心大正方体切除一个棱长为 y 的小正方体，剩余部分按如图所示的 方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为 ，乙长方体的体积为 ， 丙长方体的体积为 ，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为． 根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图 2 与图 3 中的 x 与 y 的值分别相等，且满足，，其中，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）用两种方法表示图 1 中的大正方形的面积即可得解． （2）用两种方法表示图 2中正方体的体积即可得解． （3）将和用含有，的式子表示出来即可得解． 【详解】解：（1）图 1 中的大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， 因此可得． 故答案为：． （2）图 2中正方体的体积可以表示为，也可以表示为， 因此可得． 故答案为：． （3），， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解法应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键． 试卷第32页，共32页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$