5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第2课时）（教学设计）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第 2 课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教学设计 1、 教学目标 1. 掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公 式及两角和与差的正弦公式的方法, 达到逻辑推理核心素 养学业质量水平一的层次. 2. 能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和 与差的正切公式, 达到逻辑推理核心素养学业质量水平一 的层次. 3. 会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单 的三角函数的求值、化简、计算等, 达到数学运算核心素养 学业质量水平二的层次. 4. 熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运 用, 了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法, 达到 逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次. 2、 重点难点 教学重点： 1.能通过三角函数的定义及平面上两点间的距离公式推导出两角差的余弦公式. 2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行化简、求值． 3.两角和的余弦公式、两角和与差的正弦和正切公式的 推导过程及运用. 教学难点： 1.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等； 2.两角和与差的正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 3、 学情分析&教材分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 4、 学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式. 2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等． 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法． 5、 导入新知 同学们，大家知道川剧中的“变脸”表演吗？相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽，为了生存把自己脸部用不同的方式勾画出不同的形态，人们用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术，神奇的表演让观众叹为观止，在三角函数中也有这样的“表演者”，上一节我们学习的两角差的余弦公式就是这样的“表演者”之一，利用它的变换可以解决许多三角变换问题，但仅仅这一个公式还很难满足我们的需要，比如遇到两角差的正弦、正切，两角和的正弦、余弦、正切的时候，该公式无法直接运用，今天我们就利用两角差的余弦公式的“变脸”，对公式进一步拓展． 同学们先回忆一下:两角差的余 弦公式是如何表示的? 你们是否还想探讨下面这几个 一、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式 问题1　请同学们写出两角差的余弦公式． 2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 思考 由公式出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 下面以公式为基础来推导其他公式． 问题2　试比较cos(α－β)和cos(α＋β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？ 例如，比较与．并注意到与之间的联系：，则由公式，有 于是得到了两角和的余弦公式，简记作． ． 这里用到的是加法和减法的联系．也可用换元的观点来考虑：由于公式对于任意， 都成立，那么把其中的换成后，也一定成立．由此，也可推得公式． 问题3 : 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式? 探究 上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化．你能根据，及诱导公式五(或六)，推导出用任意角，的正弦、余弦表示，的公式吗？ 通过推导，可以得到： 注意点： (1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”． (2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序． 问题4:怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的 正切公式? 探究 你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从，出发，推导出用任意角，的正切表示，的公式吗？ 思考 5 : 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式? 通过推导，可以得到： 公式，，给出了任意角，的三角函数值与其和角的三角函数值之间的关系，为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式． 类似地，，，都叫做差角公式． 探究 和(差)角公式中，，都是任意角，如果令为某些特殊角，就能得到许多有用的公式，你能从和(差)角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？ 例3 已知，是第四象限角，求，，的值． 解：由，是第四象限角，得． 所以． 于是有， ， ． 思考 1: 在本题中, ,那么对任意角 ,此等式成立吗? 若成立,你能否证明? 思考 2 若把条件中的“ 是第四象限角”去掉,结果 如何呢? 归纳总结: 本题是运用和 (差) 角公式求解的基础题, 解题的关键是根据 所在的象限及 的值,利用同角 三角函数式求出 及 的值,再代人相应的和 (差) 角公式求解. 思考 由以上解答可以看到，在本题条件下有．那么对于任意角，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？ 【变式】已知；求的值. 【答案】 【分析】根据，解得，再对进行化简计算即可. 【详解】由， 解得. 所以 . 反思感悟　探究解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式． 例4 利用和(差)角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 分析：和、差角公式把的三角函数式转化成了，的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简． 解：(1)由公式，得． (2)由公式，得． (3)由公式，及．得． 点评 本例体现了对公式的全面理解. (1) 是两角差 的正弦公式的逆用; (2) 是两角和的余弦公式的逆用; (3) 是先用 代替式中的 1,再逆用两角和的正切公 式.需要我们牢记各个公式的形式, 以免出现代人错误公 式的情况. 【师生互动】教师指导学生完成例题,并总结解 决问题的方法. 例 1 要注意角 所在的象限,确保 符号正确. 例 2 则是和差角公式的逆向应用, 需要让学生牢记各个公式的元素,以免 错用公式,得出错误的结论. 学生分两组板演，尝试求解、答题， 教师适时适当指导,评析. 【变式】下列化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用三角函数的和角公式判断AB，逆用三角函数的和角公式判断CD，从而得解. 【详解】对于A， ，故A正确. 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB 反思感悟　给值求值的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． (2）此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围． 6、 能力提升 题型一　给角求值 【练习1】化简求值 （1）tan 10°tan 20°＋ (tan 10°＋tan 20°). （2）tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°. 【答案】（1）1；（2） 【解析】（1）由化简即可求解． （2）由化简即可求解． 【详解】（1） （2） . 【感悟提升】利用公式C(α－β)求值的常见类型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解． (2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，然后利用两角差的余弦公式求解． (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解． 题型二： 给值求值 【练习2】已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值； （2）利用诱导公式结合两角和的正切公式可求得所求代数式的值. 【详解】（1）解：由，，得， 所以． ． （2）解：． 【感悟提升】给值求值问题的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系． (2)在运用两角差的余弦公式进行解题时，可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有①α＝(α＋β)－β；②α＝－；③2α＝(α＋β)－(β－α)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 题型三　给值求角 【练习3】若，，且，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】根据韦达定理，可得的值，根据两角和的正切公式，化简整理，结合的范围，即可得答案. 【详解】、是方程的两个根， 由韦达定理可得，，，，， ， 则，则， 则． 故答案为： 反思感悟　解决给值求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值． 7、 课堂总结 本节我们学习了两角和与差的 正弦、余弦和正切公式，我们要熟记 公式,学会灵活运用. 1．知识清单： (1)公式的推导． (2)给角求值、给值求值、给值求角． (3)公式的正用、逆用、变形用． 2．方法归纳：构造法． 3．常见误区：求值或求角时忽视角的范围． 1. 两角和与差的余弦公式: 2. 两角和与差的正弦公式: 3. 两角和与差的正切公式: 4. 类型的变换及应用. 8、 作业设计 1.教材第 220 页练习第 4,5 题. 2. 教材第 229 页习题 5.5 第 4 , 5 题. 9、 板书设计 第 2 课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 一、复习引入 两角差的余弦公式 3.两角和与差的正切公式 四、归纳小结 二、知识形成 1. 两角和的余弦公式 cos 2. 两角和与差的正弦公式 三、应用举例 例 1 例 2 练习 五、布置作业 练习（第217页） 1．利用公式证明： （1）； （2）． 1．证明：（1） ， （2）． 2．利用公式求的值． 2． ． 3．已知，求的值． 3．解析：，，， ． 4．已知，是第二象限角，求的值． 4．解析： ，是第二象限角，， ． 5．已知，求的值． 5．解析： ，． ． ． 练习（第220页） 1．利用和（差）角公式，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 1．解析：（1） (2) ． (3) ． (4) ． 2．（1）已知，求的值； （2）已知，是第三象限角，求的值； （3）已知，求的值． 2．解析：（1），，， （2），是第三象限角，， ． （3）． 3．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 3．解析：（1）． （2）． （3）． （4）． （5） ． （6） ． 4．化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 4．解析：（1）． （2）． （3）． （4） ． 5．已知，是第三象限角，求的值． 5．解析：由已知得即，即， 所以．又是第三象限角，所以． 因此，． 练习（第223页） 1．已知，求的值． 1．解析： ，，， 又，，，，． 2．已知，求的值． 2．解析： ，，． 3．已知，求的值． 3．解析：，，又，， 从而有，，． 4．已知，求的值． 4．解析：，，， 或． 5．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 5．解析：（1）； （2）； （3）； （4）． 信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表 前面在“对数的发明”中曾经谈到，纳皮尔利用对教制作了0°~90°每隔1'的八位三角函数表．应当说，纳皮尔仅仅凭借手工运算得到这个三角函数表的工作量是非常大的，这也显示出他超人的毅力和为科学献身的精神，今天，我们可以利用已经学会的三角函数知识以及算法知识，借助信息技术，容易地制作出非常精确的三角函数表，下面我们借助信息技术来作一个每隔的八位三角函数表． 用计算工具可得：． 以此作为初始值，利用， 就可以写出一个程序框图(如右图所示)，然后通过信息技术得到一个正弦函数的三角函数表． 请同学们根据上述思路，自己编写程序，得出一个三角函数表． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$