精品解析：重庆市万州中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年重庆市万州中学教育集团八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式：中，是分式的共有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义：形如， A、B是整式，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意是常数，不是字母． 【详解】解：在中，分式有，共2个． 故选B． 2. 对于分式，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 3. 已知m、n是实数，且，那么点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，根据点的坐标判断其所在的象限，解题的关键在于能够准确求出m、n的值．先根据绝对值和平方的非负性求出m、n的值，然后判断其所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴点在第四象限， 故选D． 4. 李老师每天早上都去公园锻炼，他从家里步行到公园，在公园里打太极拳锻炼身体，然后步行回家，在这个过程中，李老师和家的距离y与时间x的对应图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断． 【详解】解：图象应分三个阶段，第一阶段：步行到离家较远的公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大，故选项A、B不符合题意； 第二阶段：打了一会儿太极拳，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变； 第三阶段：跑步回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故选项C不符合题意，并且这段的速度大于第一阶段的速度，则选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查函数图象问题，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的倾斜度判断运动的速度是解决本题的关键． 5. 已知一次函数的图象如图所示，则的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一次函数图象和一次函数的性质，根据是一次函数的图象经过一、三、四象限得出k，b的取值范围解答即可． 【详解】解：因为一次函数的图象经过一、三、四象限， 可得：，，则 所以直线的图象经过一、三、四象限，即不经过第二象限． 故选：B 6. 关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A. 图象过点 B. 其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到 C. 随的增大而增大 D. 图象经过一、二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，因此图象不经过点，故A选项结论错误； 的图象向上平移3个单位长度得到的图象，故B选项结论正确； ，因此随的增大而减小，故C选项结论错误； 图象经过一、二、四象限，故D选项结论错误； 故选B． 7. 若关于的方程无解，则的值为（ ） A. 或 B. 0或5 C. 或5 D. 0或 【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行求解即可.掌握分式方程无解的条件，是解题的关键. 【详解】解：两边同时乘得： 整理得： 当时，，此时方程无解 当时， 此时时，方程无解， 即：或 当时，，即; 当时，，此时不成立; 综上，或， 故选：A． 8. 已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象位于二、四象限，，解不等式即可得结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查反比例函数图象的性质：时，图象是位于一、三象限时，图象是位于二、四象限，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，…，观察每次变换前后的三角形的变化规律，找出规律，推测的坐标分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图中各点的坐标的变化，依次写出，．再根据点的坐标变化的特点写出的坐标即可． 【详解】解：， ； ， ； 故选：D． 【点睛】此题考查了坐标与图形的变化，正确写出前几个点的坐标、找出坐标变化的规律是解答此题的关键． 10. 一列数，，，……满足，，，……以此类推，且规定：，，，……，其中m为正整数，则以下说法中正确的有（ ） ① ②当时， ③若恒成立，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的规律性问题； ①根据题意求出，再根据和之间的关系求和即可；②根据题意求出，表示出，然后计算时的值即可；③根据得出，移项得，求出的最值，即可得到m的取值范围． 【详解】解：①由题意得：，，，…， ∴， ∴， ∴，正确； ②由题意得：， ， ，…， ∴， ∴ ， ∴当时，，错误； ③∵，恒成立， ∴恒成立，即， ∵， ∴，正确； 综上，正确的有2个， 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 若分式的值为0，则=______． 【答案】1 【解析】 【分析】分式的值为0，即是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：1 【点睛】本题考查分式的值为0的条件，关键在于理解值为0的条件． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，分式分母不为零．利用二次根式和分式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 13. 一次函数中，当时，；当时，，则一次函数解析式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，能得出关于k、b的方程组是解此题的关键． 【详解】解：设一次函数解析式为：，代入得： ，解得， ∴一次函数解析式为， 故答案为：． 14. 若，则分式的值为______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】取原式倒数，可得，再取原式的倒数并变形得：，最后代入求值即可． 【详解】解：由得， ∴， 而， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算法则是解答此题的关键． 15. 如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】图象法解不等式即可． 【详解】解：由图象可知，时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式．解题的关键是掌握图象法解不等式． 16. 若数使关于的不等式组的解集为，且使关于的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数的和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先由一元一次不等式组的解集确定，，再由分式方程的解得情况确定且，，从而确定符合条件的a的值，然后求和． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵关于的不等式组的解集为， ∴，解得， 解分式方程得且， ∵关于的分式方程的解为负数， ∴，解得且， 综上，且， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法是解决本题的关键． 17. 如图，反比例函数的图象上有一点，轴于点，点为直线上一点，连接，，若的面积是6，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征．设直线与轴的交点为，连接，则，根据题意得到，，利用同底等高的两个三角形面积相等得到，即，解得值即可． 【详解】解：设直线与轴的交点为，连接，则， 反比例函数的图象上有一点，轴于点， ， ，， 轴于点， ∴轴， 的面积是6， ， ， ． 故答案为：8． 18. 对于任一个四位正整数，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差等于3，则称为“吉安数”，例如：，∵且，是“吉安数”．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称正整数为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“吉安数”为，则这个数为______；若是“吉安数”，记，当是一个完全平方数时，则满足条件的“吉安数”的最大值为______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“吉安数”的概念列方程求出a的值，进而求出这个数；首先根据题意设，然后根据“吉安数”的概念求解判断即可． 【详解】∵一个“吉安数”为， ∴ 解得， ∴这个数为； ∵是一个完全平方数 ∴设，x是正整数， ∴ 当时， ∵若是“吉安数”，是一个四位正整数 ∴不符合题意，应舍去， ∴当时， ∵， ∴9461是一个“吉安数”， ∴满足条件的“吉安数”的最大值为9461． 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了新定义的理解和掌握，熟记“吉安数”的概念是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算和解分式方程，掌握负整数指数次幂的运算和分式方程的解法是解题的关键． （1）先去绝对值，计算零指数次幂，立方根和负整数指数次幂，然后合并解题即可； （2）先去分母转化为整式方程，解整式方程并验根即可解题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 经检验：是原方程的增根， ∴原方程无解． 20. 如图，在中，点D为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴，（ ① ） 在和中， ∴（ ② ） ∴ ③ ， 在和中 ∴（ ④ ） ∴， ∴（ ⑤ ）． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）①线段中点的定义；②；③，④；⑤内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】（1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）先证明 得到，再证明 得到，由此即可证明． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，作与已知角相等的角的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 21. 先化简，再求值：其中． 【答案】原式，； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号里算式，再分解因式约分，化到最简代入求解即可得到答案； 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出一次函数时，自变量的取值范围； （3）点P为反比例函数图象上第一象限的一点，若，求P点坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）P点坐标 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合： （1）先把点A坐标代入一次函数解析式中求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）借助图象得到时自变量的取值范围即可； （3）先求出点C的坐标，进而求出的面积，进而根据三角形面积公式求出点P的纵坐标即可得到答案． 【小问1详解】 ∵点在图象上 ∴， ∴，点A在上， ， ∴反比例函数的解析式； 【小问2详解】 ∵在上， ∴ 根据图象可得，当或，时； 【小问3详解】 ∵与x轴相交点C， ∴，， 设P在第一象限反比例的坐标， ， ，， ∴P点坐标． 23. 阳春三月催新芽，植树造林正当时，为提升人们的环保意识，传播普及“植绿、护绿、爱绿”的生态文明意识，同时又为大家创造亲身体验劳动的乐趣，感受美化环境的意义．开心农场在3月初推出了植树活动．农场购入甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花费了4000元，购买乙种树苗花费了5400元，已知购买一棵甲种树苗比购买一棵乙种树苗多花4元，且购买的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍． （1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元？ （2）适逢植树节在周末，且天气晴好，不断有客户预约参加植树活动，于是农场决定第二次购入甲、乙两种树苗共300棵．在第二次购买中，一棵甲种树苗的价格比第一次购买时的价格降低了12.5%，一棵乙种树苗的价格比第一次购买时的价格减少了4元．如果第二次购买甲、乙两种树苗的总费用不超过10000元，那么该农场第二次最多可购买甲种树苗多少棵？ 【答案】（1）购买一棵甲种树苗需要40元，购买一棵乙种树苗需要36元；（2）该农场第二次最多可购买甲种树苗133棵． 【解析】 【分析】（1）设购买一棵乙种树苗需要x元，则购买一棵甲种树苗需要(x＋4)元，根据“购买的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍”，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论； （2）设设该农场第二次购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（300－y）棵，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过10000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】解：（1）设购买一棵乙种树苗需要x元，则购买一棵甲种树苗需要(x＋4)元， 由题意，得：， 解得：x＝36， 经检验：x＝36是原方程的解， ∴x＋4＝40， 答：购买一棵甲种树苗需要40元，购买一棵乙种树苗需要36元； （2）40×（1－12.5%）＝35（元）， 36－4＝32（元）， 设该农场第二次可购买甲种树苗y棵， 由题意，得：35y＋32（300－y）≤10000， 解得：y≤， ∴y的最大整数值为133， 答：该农场第二次最多可购买甲种树苗133棵． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 24. 如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 【答案】（1）当时，；当时，； （2） 函数图象如图： 当时，y随t的增大而增大； （3）t的值为3或 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用周长减去即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可； （3）利用分别求解即可． 【小问1详解】 解：当时， 连接， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴； 当时，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，即； 当时，即，解得， 故t的值为3或． 【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A在x轴上，，，且、，交y轴于M， （1）求点C的坐标； （2）在x轴上有一动点P，当的值最小时，求此时P的坐标． （3）点N为x轴上一动点，若，求点N的坐标； 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点C、B作轴，轴，垂足点D、E．构造一线三直角全等模型，结合线段与坐标的关系，计算解答即可． （2）运用轴对称原理，构造轴对称计算的最小值即可． （3）设，则，根据题意，得，结合，建立等式计算即可． 【小问1详解】 过点C、B作轴，轴，垂足点D、E． ，， ∴， ∴， ∵、， ∴，， ∴，， ∴，， ∵点C在第二象限， 故． 【小问2详解】 作B关于x轴的对称点，连接交x轴点P，此时，最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， 故解析式为， 故； 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， 故解析式为， 当时，， 故． 【小问3详解】 ∵、， 设，则，， ∴， ∵，，且、， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴或， 故或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一线三直角全等模型，线段和最小计算，两点间距离公式的应用，绝对值的应用，熟练掌握待定系数法，一线三直角全等模型，线段和最小计算是解题的关键． 26. 在中，，点D是边上一动点，点E是直线上的点，且． （1）如图1，若，，且，求线段的长； （2）如图2，若，的延长线交的延长线于点F，求证：； （3）如图3，若，且，过点C作交的延长线于点M，连接，点N为线段的中点，连接，，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明：在的延长线上截取，连接， 设，则，， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四点在以为直径的圆上， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，然后在等腰中求的长； （2）在的延长线上截取，连接，设，求出，则四点在以为直径的圆上，进而得到解题即可； （3）先证明得到，由轴对称可以得到作点B关于的对称点，连，交于点N，这时最小，解题即可求出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 即， ， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∴， 作点B关于的对称点，连，交于点N，这时最小，过点C作于点H， ∵，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 点N为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年重庆市万州中学教育集团八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式：中，是分式的共有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 对于分式，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知m、n是实数，且，那么点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 4. 李老师每天早上都去公园锻炼，他从家里步行到公园，在公园里打太极拳锻炼身体，然后步行回家，在这个过程中，李老师和家的距离y与时间x的对应图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数的图象如图所示，则的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A. 图象过点 B. 其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到 C. 随的增大而增大 D. 图象经过一、二、三象限 7. 若关于的方程无解，则的值为（ ） A. 或 B. 0或5 C. 或5 D. 0或 8. 已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，…，观察每次变换前后的三角形的变化规律，找出规律，推测的坐标分别是（ ） A. B. C. D. 10. 一列数，，，……满足，，，……以此类推，且规定：，，，……，其中m为正整数，则以下说法中正确的有（ ） ① ②当时， ③若恒成立，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 若分式的值为0，则=______． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 13. 一次函数中，当时，；当时，，则一次函数解析式为____________． 14. 若，则分式的值为______． 15. 如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于x的不等式的解集是______． 16. 若数使关于的不等式组的解集为，且使关于的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数的和为_______． 17. 如图，反比例函数的图象上有一点，轴于点，点为直线上一点，连接，，若的面积是6，则的值为______． 18. 对于任一个四位正整数，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差等于3，则称为“吉安数”，例如：，∵且，是“吉安数”．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称正整数为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“吉安数”为，则这个数为______；若是“吉安数”，记，当是一个完全平方数时，则满足条件的“吉安数”的最大值为______ 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）解方程： 20. 如图，在中，点D为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴，（ ① ） 在和中， ∴（ ② ） ∴ ③ ， 在和中 ∴（ ④ ） ∴， ∴（ ⑤ ）． 21. 先化简，再求值：其中． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出一次函数时，自变量的取值范围； （3）点P为反比例函数图象上第一象限的一点，若，求P点坐标． 23. 阳春三月催新芽，植树造林正当时，为提升人们的环保意识，传播普及“植绿、护绿、爱绿”的生态文明意识，同时又为大家创造亲身体验劳动的乐趣，感受美化环境的意义．开心农场在3月初推出了植树活动．农场购入甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花费了4000元，购买乙种树苗花费了5400元，已知购买一棵甲种树苗比购买一棵乙种树苗多花4元，且购买的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍． （1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元？ （2）适逢植树节在周末，且天气晴好，不断有客户预约参加植树活动，于是农场决定第二次购入甲、乙两种树苗共300棵．在第二次购买中，一棵甲种树苗的价格比第一次购买时的价格降低了12.5%，一棵乙种树苗的价格比第一次购买时的价格减少了4元．如果第二次购买甲、乙两种树苗的总费用不超过10000元，那么该农场第二次最多可购买甲种树苗多少棵？ 24. 如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A在x轴上，，，且、，交y轴于M， （1）求点C的坐标； （2）在x轴上有一动点P，当的值最小时，求此时P的坐标． （3）点N为x轴上一动点，若，求点N的坐标； 26. 在中，，点D是边上一动点，点E是直线上的点，且． （1）如图1，若，，且，求线段的长； （2）如图2，若，的延长线交的延长线于点F，求证：； （3）如图3，若，且，过点C作交的延长线于点M，连接，点N为线段的中点，连接，，当最小时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $