5.4 二次函数与一元二次方程考点分类提优训练2024-2025学年苏科版数学九年级下册

二次函数 5.4 二次函数与一元二次方程提优训练 考点一 二次函数与坐标轴的交点问题 1．（24-25九年级上·河北唐山·期中）拋物线的图象与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，解答本题的关键是明确抛物线与轴的交点就是时的值． 将代入抛物线解析式，求出相应的的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：∵抛物线， ∴当时，， 即抛物线与轴的交点坐标是， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）二次函数的图象与轴的交点是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求出当函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴二次函数的图象与轴的交点是和， 故选：D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）二次函数与坐标轴的交点个数是（    ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，分别令，求出的值，令，求出的值，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴令时，则， ∴二次函数经过， ∴令时，则， ∴， 解得 ∴二次函数经过， 则二次函数与坐标轴的交点个数是有两个交点， 故选：B． 4．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）二次函数的图象与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键． 根据轴上点的坐标特征，把代入解析式，计算出对应的函数值即可得到交点坐标． 【详解】解：把代入解析式得， 解得， ∴二次函数的图象与轴交点坐标为， 故选： C． 5．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 根据与y轴交点坐标的特点，即时，求解即可． 【详解】解：， 当时，， ∴与轴的交点坐标为， 故选：B． 6．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）若，()是关于的方程()的两个实数根，则实数，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，令抛物线解析式，得到抛物线与轴交点的横坐标为，，再结合图象得抛物线与交点，即交点横坐标为，，从而确定出，，，的大小关系，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：令抛物线解析式， 当，， 解得：，， ∴抛物线与轴交点的横坐标为，， ∴抛物线与交点，横坐标为，， ∵，， ∴如图， ∴， 故选：． 考点二 图像法解一元二次方程的根 1．如表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 那么最接近方程的一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．观察表格可得更接近于，得到所求方程的近似根即可． 【详解】解：观察表格得：当时，函数值为，接近于0，即方程的一个近似根为． 故选：B． 2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）根据下表列出的二次函数的几组x与y的对应值，判断一元二次方程的其中一个解的取值范围是（   ） x 2.23 2.24 2.25 2.26 y 0.04 0.31 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要二次函数和一元二次方程的关系，正确估计一元二次方程的根的取值范围是解题的关键，仔细看表，可发现y的值和最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当x取2.24与2.25之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 故关于x的一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：C． 3．（24-25九年级上·广东珠海·期中）下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：那么最接近方程的一个根是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程根的关系；观察表格可得更接近于，得到所求方程的近似根即可． 【详解】解：观察表格得：方程的一个根是 故选：B． 4．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次函数确定一元二次方程的根的取值范围．从表中可以看出当时，，当时，，所以能使成立的一定在范围内． 【详解】解：整理方程 得到：， 令， 由表中数据可知：当时，， 当时，， 当时，即时， 一定有． 故选：B． 考点三 二次函数与一元一次不等式之间的关系 1．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 2．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得的自变量的取值范围就是直线落在二次函数的图象上方的部分对应的自变量的取值范围． 【详解】根据图象可得出：当时，的取值范围是：． 故答案为：． 3．如图，抛物线与直线交于、两点，则当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数函数值比较，解决的办法是首先求出交点坐标，然后根据图象找到上方部分，即可解答． 【详解】解：抛物线与直线交点为，，， 由图象知，当时，的取值范围， 故答案为：． 4．直线与抛物线的图象如图，当时，的取值范围为 【答案】或/或 【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与抛物线的图象交点的横坐标分别为， ∴当时，的取值范围为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 考点四 根据二次函数与x轴的交点个数求参 1．（23-24九年级下·河南周口·单元测试）二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点，根据二次函数的定义得到，根据决定抛物线与x轴的交点个数可得到，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】 解：二次函数的图象与x轴有交点，且， 且， 故选：A 2．（24-25九年级上·山东泰安·期中）若抛物线与轴有两个不相同的交点，那么实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确二次函数(是常数，)的交点与一元二次方程根之间的关系，决定抛物线与轴的交点个数．本题抛物线与轴有两个交点，则，然后解不等式即可． 【详解】∵抛物线与轴有两个不同的交点 ∴ 解得： 故选：B． 3．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与x轴的交点问题，分与两种情况，当时，该函数为一次函数，与x轴有交点；当时，若函数图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程中，由此可解． 【详解】解：当时，函数为，与x轴有交点； 当时，若函数图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程中， 即， ∴， ∴且， 综上，函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是． 故选D． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象，当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．如图所示，直线在图示位置时，直线与新图象有3个交点，即可求解；当直线在如图所示的中间位置时图象有4个交点，综上即可得到答案． 【详解】解：如图所示，直线l、n在图示位置时，直线与新图象有3个交点， ，令，则或，则点， 将点的坐标代入，得， 解得：， 二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，对应的函数表达式为：， 联立， 整理得：， 解得：， 由图可以看出： 当时，直线与这个新图象有3个或4个交点， 故选：D． 8．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解决二次函数与一元二次方程的关系问题．根据“关于x的方程在的范围内有解，”转化为与在时有交点，利用二次函数解析式求出函数值在时的最大最小值，即可解题． 【详解】解：， 二次函数对称轴为，且二次函数在对称轴处取得最小值， ，且，，离对称轴越远，函数值越大， 当时，二次函数的最大值为， 在时，关于x的方程有解， 即可以看在与在时有交点， ， 故选：D． 6．对于一个函数，如果自变量取时，函数值也等于，那么我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，理解并掌握不动点的概念是解题的关键， 由函数的不动点概念得出是方程的两个实数根，由可得且当时，据此列不等式组求解即可. 【详解】解：由题意知是方程的两个实数根且， 整理得:， ∵有两个不相等的实数根且， ∴①， 令，画出该二次函数的草图如下:    ∵， ∴当时，即②， ①②联立解得：． 故选：A． 提优训练 1．（24-25九年级上·贵州·期中）抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的交点坐标，令，即，即可求出结果． 【详解】解：令，即 ∴抛物线与轴的交点坐标为：． 故选：D． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）二次函数的图象与两坐标轴的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与轴和轴的交点问题．首先用判断图象与轴的交点情况；再结合解析式判断与轴交点的情况即可解答． 【详解】解：令，则， ∵， ∴图象与轴有两个交点； 当时，， ∴函数图象与轴有一个交点， ∴二次函数与坐标轴有个交点． 故选：D． 3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数的对称轴为直线，则a的值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系；求出抛物线与x轴的交点坐标，这两点关于抛物线对称轴对称，则有，从而可求得a的值． 【详解】解：令， 解得：， 即抛物线交x轴于点； ∵抛物线与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称， ∴， 解得：； 故选：B． 4．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，或， 故选：B． 5．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题；求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】根据图象可得，，则的取值范围是， 故选：B． 6．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（    ）．    A．若直线与函数图象至少有个公共点，则的取值范围是 B．图象与坐标轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．当时，函数有最大值是 【答案】C 【分析】利用图象法可判断选项错误；函数图象与坐标轴有个交点，故选项错误；利用图象法可判断选项正确；函数没有最大值，故选项错误． 【详解】解：， 函数图象关于直线对称，点坐标为，    A. 若直线与函数图象至少有个公共点，则的取值范围是，原说法错误，故选项不符合题意； B. 图象与坐标轴的交点为，，，原说法错误，故选项不符合题意； C. 当或时，函数值随值的增大而减小，该说法正确，故选项符合题意； D. 函数没有最大值，原说法错误，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，将二次函数化成顶点式，求抛物线与轴的交点坐标，求抛物线与轴的交点坐标，二次函数的最值等知识点，理解题意，能够灵活运用上述知识点解决问题是解题的关键． 7．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图是抛物线的部分图象，该图象的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，则关于的一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查图象法解不等式，先根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点，图象法求不等式的解集即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点的坐标是， ∴与轴的另一个交点坐标为， 由图象可知：一元二次不等式的解集是或； 故选A． 8．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，点，，在二次函数的图象上，则方程的一个近似值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关．根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， ∴当时，，时，， ∴当时，， ∴只有选项D符合， 故选：D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·广西河池·期中）二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，分析题意，根据二次函数的图象与x轴有两个交点，可得一元二次方程有两个不相等的实数根，再根据根的判别式求解． 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个交点， 有两个不相等的实数根，且， ， 解得， 的取值范围是且． 故答案为：且． 10．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，某学习小组在研究函数的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”方程的近似负整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象的交点问题：把要求方程根的问题转化为函数图象的交点问题是解题关键．方程的解可化为函数与直线的交点的横坐标，利用数形结合思想即可判断求解． 【详解】解：方程的解可化为函数与直线的交点的横坐标， 如图： 由图象可知，函数与直线的交点有三个，最左边的交点横坐标近似为， ∴方程的近似负整数解为， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·天津静海·期中）已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为 ，当时，的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象与x轴的交点，正确理解不等式和函数的关系是解题的关键． 根据函数图象中的数据，即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，该函数的顶点坐标是，即当时，， 故一元二次方程的解为； 该函数与轴的交点为和， 故当时，轴的取值范围为或， 故答案为：；或． 12．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知关于x的二次函数，当取互为相反数的任意两个实数时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等，可以得到该函数的对称轴为轴，从而可以得到的值，然后即可求得该函数与轴的交点，即可得到一元二次方程的两根，再将这两个根相乘，即可解答本题． 【详解】解：二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等， ∴该函数的对称轴为直线， 解得， ∴二次函数， ∴当时，，解得，， ∴一元二次方程的两根是，， ∴一元二次方程的两根之积是， 故答案为：． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是利用了数形结合的思想，首先根据与的图象关于轴对称，所以点、与点、关于轴对称，根据点、的坐标得到点、的坐标，再根据函数图像的位置关系得到不等式的解集． 【详解】 解：与的图象关于轴对称， 直线与抛物线的交点、与点、也关于轴对称， 如下图所示： ，， ，， 从函数图象上可得：不等式的解集是， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查的是抛物线与轴的交点，确定直线的位置是本题解题的关键．如图，当直线在的位置时，符合题设条件，即可求解． 【详解】解：如图，当直线在的位置时，符合题设条件， 由二次函数知，其对称轴为， 当时，， 则翻折后根据图形的对称性，直线的表达式为：， 即， 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图所示：抛物线与x轴相交于，两点，与直线相交于，两点． (1)求，两点坐标． (2)求，两点坐标． (3)写出当时的取值范围    【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，根据抛物线与直线的交点解不等式； （1）令解方程，即可求解； （2）联立直线与抛物线解析式，解方程组即可求解； （3）根据抛物线开口向下，以及与直线的交点坐标，写出直线在抛物线下方的部分的自变量的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 解得：， ∴ （2）解：解方程组，得 或， ∴ （3）解：∵抛物线开口向下，与直线相交于两点． ∴当时， 16．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)若该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为0和2，求函数的表达式； (2)若该函数与x轴有两个交点，求k的取值范围； (3)若在范围内，该函数的最大值与最小值的差为4，求k的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，先求出的取值范围值是解题的关键． （1）根据该函数图象与轴的两个交点横坐标分别为0和2，求出对称轴，得到的值即可． （2）根据该函数与轴有两个交点，即可． （3）利用对称轴判断在哪取得最大值和最小值，作差就得到结论． 【详解】（1）解：该函数图象与轴的两个交点横坐标分别为0和2， 该函数图象的对称轴是直线． 又的对称轴是直线， 即函数的表达式是． （2） ． 该函数与轴有两个交点， ． 即：． （3）在范围内， ． 解得：． 函数图象开口向下且对称轴是直线， 时，有最大值，， 时，有最小值，． 该函数的最大值与最小值的差为4， ，即． 解得：（舍去），． 的值是5． 17．（24-25九年级上·广西河池·期中）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解一元二次不等式：． 解：①设，解得：，． 所以，抛物线与轴的交点坐标为和． ②画出二次函数的大致图象（如图一所示）． ③由图象知： 当或时，函数图象位于轴上方，此时，即， 所以，一元二次不等式的解集为：，或． 通过对上述的学习，用类似的方法解一元二次不等式：． 解：①设，解之，得：______， 所以，抛物线与轴的交点坐标为______． ②请在图二中画出二次函数的大致图象． ③由图象知： 当______时，函数图象位于轴下方，此时，即， 所以，一元二次不等式的解集为：______． 【答案】①，；和；②画图见解析；③， 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系、二次函数的图象、抛物线与轴的交点坐标、熟练掌握二次函数与不等式的关系是解决问题的关键． ①设，解方程，得出抛物线与轴的交点坐标； ②画出二次函数的大致图象； ③由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即，即可得出结果． 【详解】解：①设，解之，得：，， 所以，抛物线与轴的交点坐标为和， 故答案为：，；和； ②画出二次函数的大致图象（如图所示）， ③由图象知： 当时，函数图象位于轴下方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为：． 故答案为：，． 18．（24-25九年级上·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中利用五点描点法画出函数的图象（注：先用铅笔描画，再用水笔涂黑） x 0 1 2 3 4 y    (1)填写表格数据 (2)建立平面直角坐标系、描点、连线 (3)依据图象直接写出的自变量x取值范围 ． 【答案】(1)，0，1，0， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了画二次函数图象，利用函数图象解不等式，正确画出函数图象是解答本题的关键． （1）把x的值分别代入函数解析式计算即可求出y的值； （2）根据表格数据标点，然后连线即可； （3）根据图象写出答案即可． 【详解】（1）解：填写表格   x   0 1 2 3   4   y 0 1 0 （2）解：如图，    （3）解：由图象可知，的自变量x取值范围． 故答案为：． 19．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)若点在该函数图象上 当时，则的取值范围为___________； 当（t为常数）时，随的增大而减小，则的取值范围是__________． 【答案】(1)见解析； (2)； 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用列表、描点、连线的方法画二次函数图象的方法，以及能够结合图象，分析函数的性质． 先列表，再用描点，最后用平滑的曲线连接即可得出该函数的图象； 根据中的图象，即可得出的取值范围；先得出其对称轴，即可根据图象分析其增减性，得出结论． 【详解】（1）解：列表如下： 二次函数如图所示： （2）解：由图可知：当时，的取值范围为， 故答案为：； 由图可知，该二次函数对称轴为直线， 随的增大而减小， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数 5.4 二次函数与一元二次方程提优训练 考点一 二次函数与坐标轴的交点问题 1．拋物线的图象与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象与轴的交点是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）二次函数与坐标轴的交点个数是（    ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 4．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）二次函数的图象与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）若，()是关于的方程()的两个实数根，则实数，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 考点二 图像法解一元二次方程的根 1．如表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 那么最接近方程的一个根是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）根据下表列出的二次函数的几组x与y的对应值，判断一元二次方程的其中一个解的取值范围是（   ） x 2.23 2.24 2.25 2.26 y 0.04 0.31 A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东珠海·期中）下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：那么最接近方程的一个根是(   ) A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（   ） A． B． C． D． 考点三 二次函数与一元一次不等式之间的关系 1．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 2．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，的取值范围是 ． 3．如图，抛物线与直线交于、两点，则当时，的取值范围为 ． 4．直线与抛物线的图象如图，当时，的取值范围为 考点四 根据二次函数与x轴的交点个数求参 1．（23-24九年级下·河南周口·单元测试）二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（） A．且 B．且 C． D． 2．（24-25九年级上·山东泰安·期中）若抛物线与轴有两个不相同的交点，那么实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象，当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．对于一个函数，如果自变量取时，函数值也等于，那么我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 提优训练 一、选择题 1．（24-25九年级上·贵州·期中）抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）二次函数的图象与两坐标轴的交点个数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数的对称轴为直线，则a的值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．不确定 4．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 5．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（    ）．    A．若直线与函数图象至少有个公共点，则的取值范围是 B．图象与坐标轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．当时，函数有最大值是 7．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图是抛物线的部分图象，该图象的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，则关于的一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 8．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，点，，在二次函数的图象上，则方程的一个近似值可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·广西河池·期中）二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，某学习小组在研究函数的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”方程的近似负整数解为 ． 11．（24-25九年级上·天津静海·期中）已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为 ，当时，的取值范围为 ． 12．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知关于x的二次函数，当取互为相反数的任意两个实数时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为 ． 13．如图，抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是 ． 14．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为 ． 三、解答题 15．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图所示：抛物线与x轴相交于，两点，与直线相交于，两点． (1)求，两点坐标． (2)求，两点坐标． (3)写出当时的取值范围    16．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)若该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为0和2，求函数的表达式； (2)若该函数与x轴有两个交点，求k的取值范围； (3)若在范围内，该函数的最大值与最小值的差为4，求k的值． 17．（24-25九年级上·广西河池·期中）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解一元二次不等式：． 解：①设，解得：，． 所以，抛物线与轴的交点坐标为和． ②画出二次函数的大致图象（如图一所示）． ③由图象知： 当或时，函数图象位于轴上方，此时，即， 所以，一元二次不等式的解集为：，或． 通过对上述的学习，用类似的方法解一元二次不等式：． 解：①设，解之，得：______， 所以，抛物线与轴的交点坐标为______． ②请在图二中画出二次函数的大致图象． ③由图象知： 当______时，函数图象位于轴下方，此时，即， 所以，一元二次不等式的解集为：______． 18．（24-25九年级上·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中利用五点描点法画出函数的图象（注：先用铅笔描画，再用水笔涂黑） x 0 1 2 3 4 y    (1)填写表格数据 (2)建立平面直角坐标系、描点、连线 (3)依据图象直接写出的自变量x取值范围 ． 19．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)若点在该函数图象上 当时，则的取值范围为___________； 当（t为常数）时，随的增大而减小，则的取值范围是__________． 学科网（北京）股份有限公司 $$