第20讲 直角三角形及勾股定理（课件PPT）-【解密中考】2024年中考数学讲义（湖北专用）

第20讲　直角三角形及勾股定理 2024《解密中考》 ——湖北数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 1．定义：有两个角互余的三角形是直角三角形． 2．性质 (1)两锐角之和等于90°，即∠A＋∠B＝90°； (2)斜边上的中线等于斜边的__________； (3)30°角所对的直角边等于斜边的__________； (4)勾股定理； (5)若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°. 直角三角形 一半 一半 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 3．判定 (1)有一个角为__________的三角形是直角三角形； (2)勾股定理的逆定理； (3)有两个角__________的三角形是直角三角形； (4)一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形； (5)直径所对的圆周角是直角． 4．周长、面积公式 90° 互余 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．(人教八上P92复习题T7改编) 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， CD是高，∠A＝30°.若AB＝8 cm，则BD＝__________cm. 2 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2．如图，AD是△ABC的中线，若AB＝8，BC＝10，AC＝6，则AD等于 (　　) B A.4 B.5 C.6 D.7 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．性质 (1)两直角边相等，即AC＝BC； 等腰直角三角形 (2)两锐角相等且都等于45°，即∠A＝∠B＝45°； (3)具有等腰三角形、直角三角形的所有性质． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2．判定 (1)顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形； (2)有一个角为__________的直角三角形是等腰直角三角形； (3)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形； (4)有两个角为__________的三角形是等腰直角三角形． 3．周长、面积公式 45° 45° 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 3．[人教八下P28习题T7(2)改编] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A ＝45°，AB＝12，那么BC＝__________． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 4．(人教八下P29习题T14改编) 如图，△ACB 和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，△ACB 的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接BD，若AE＝4，AD＝6，则AC＝__________． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么____________． 2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理及其逆定理 a2＋b2＝c2 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 【温馨提示】 三边长满足a2＋c2＝b2，b2＝a2－c2等，也可判定直角三角形，a，b边不一定是直角边，c边不一定是斜边． 3．勾股数：以构成一个直角三角形三边的一组正整数是勾股数． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 5．(人教八下P24练习T2改编) 如图，图中所有的三角形都是直角三角 形，所有的四边形都是正方形，已知最大正方形E的边长为7，则正方 形A，B，C，D的面积和为__________． 49 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 (2023·宁夏) 将一副直角三角板和一把宽度为2 cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的 斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是(　　) 直角三角形的性质 命题点 1 B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 [解析] 在Rt△ACD中，∠ACD＝45°， ∴∠CAD＝45°＝∠ACD. ∴AD＝CD＝2 cm. 在Rt△BCD中，∠BCD＝60°， ∴∠CBD＝30°.∴BC＝2CD＝4 cm. 故选B. 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 ☞变式 如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD＋ ∠CED＝(　　) A．125°　 B．145°　 C．175°　 D．190° C 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (2023·济宁) 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段 AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于(　　) 直角三角形的判定 命题点 2 A．180°－α B．180°－2α C．90°＋α D．90°＋2α C 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 [解析] 如图，过点B作BG∥CD，连接EG.∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α. ∵BG2＝12＋42＝17，BE2＝12＋42＝17，EG2＝32＋52＝34，∴BG2＋BE2＝EG2. ∴△BEG是直角三角形．∴∠GBE＝90°. ∴∠ABE＝∠GBE＋∠ABG＝90°＋α. 故选C. 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 ☞变式 (2022·泰安) 如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝ 2，AC＝4，则⊙O的半径为(　　) D 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个 等腰直角三角形 命题点 3 D 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 [解析] ∵△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴BA＝CA，DA＝EA，∠BAC＝∠DAE＝90°.∴∠BAD＝∠CAE. ∴△BAD≌△CAE(SAS). ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，故①正确； 设∠ABD＝∠ACE＝x，则∠DBC＝45°－x. ∴∠EMB＝∠DBC＋∠BCM＝∠DBC＋∠BCA＋∠ACE＝45°－x＋45°＋x＝90°. ∴BD⊥CE，故②正确； 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 当点E在BA的延长线上时，如图． 同理可得∠DMC＝90°. ∴∠DMC＝∠EAC. 又∵∠DCM＝∠ECA，∴∠DCM∽△ECA. 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 以A为圆心，AD为半径画圆，如图． ∵∠BMC＝90°， ∴当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小． ∴∠ADM＝∠DME＝∠AEM＝90°. ∵AE＝AD，∴四边形AEMD是正方形． ∴MD＝AE＝1. 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 C 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (2023·无锡) 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝2，若线段MN在边AD上运动，且MN＝1，则BM2＋2BN2的最小值是(　　) 勾股定理及其逆定理 命题点 4 B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 [解析] 过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CE⊥AD于点E. 要使BM2＋2BN2的值最小，则BM和BN越小越好． ∴MN显然在点B的上方(中间位置时). 设MF＝x，则FN＝1－x， 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 ☞变式 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得 AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，这块 菜地的面积是(　　) A．48 m2 B．114 m2 C．122 m2 D．158 m2 B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2023·郴州) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， M是AB的中点，则CM＝__________. 5 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 2．(2023·东营) 一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港，则A，C两港之间的距离为__________km. 50 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 C 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 D 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 5．(2023·日照) 已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以 a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内， 如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2， 则(　　) A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1，S2大小无法确定 C 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 6．(2023·赤峰) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6.F是AB的中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和 面积分别是(　　) A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16 C 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 7．(2023·丽水) 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1， 则CE的长是(　　) A 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P36～37第20讲 周长：C＝a＋b＋c；面积：S＝ab＝ch(其中a，b为两条直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高). 周长：C＝2a＋c；面积：S＝a2＝ch＝c2＝ah(其中a为直角边长，h为斜边c上的高). 6 A．(2－)cm　　　 B．(2－2)cm C．2 cm D．2 cm ∴BD＝＝＝2(cm). ∴AB＝BD－AD＝(2－2)cm. A．2　 B．3　 C．2　 D． (2023·宜宾) 如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，M为射线BD，CE的交点．若AB＝，AD＝1.以下结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC＝；④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为.其中正确的结论有(　　) ∴＝.∵AB＝＝AC，AD＝1＝AE， ∴CD＝AC－AD＝－1， CE＝＝2.∴＝. ∴MC＝，故③正确； ∵BD＝＝＝， ∴CE＝BD＝，BM＝BD－MD＝－1. ∴MC＝CE＋ME＝＋1. ∵BC＝AB＝，∴MB＝＝ ＝＋1.∴△MBC的面积为×(＋1)×(－1)＝，故④正确． 故选D. ☞变式 (2022·宿迁)如图，点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是(　　) A．1 B． C．2 D．4 A． B． C． D．10 ∵∠D＝60°，CD＝2，∴CE＝CD＝. ∵AD∥BC，∴BF＝CE＝. ∴BM2＋2BN2＝BF2＋FM2＋2(BF2＋FN2)＝x2＋3＋2[(1－x)2＋3]＝3x2－4x＋11＝3(x－)2＋.∴当x＝时，BM2＋2BN2的最小值是.故选B. 3．数学文化 (2023·泸州) 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是(　　) A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 4．(2023·菏泽) △ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＋|c－3|＝0，则△ABC是(　　) A． B． C．2 D．1 $$