第19讲 等腰三角形（课件PPT）-【解密中考】2024年中考数学讲义（湖北专用）

第19讲　等腰三角形 2024《解密中考》 ——湖北数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 1．有两条边__________的三角形叫做等腰三角形． 2．相等的两条边叫做__________，另一条边叫做底边，两腰所夹的角 叫做__________角，底边与腰的夹角叫做__________角． 等腰三角形 相等 腰 顶 底 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 3．等腰三角形的性质 (1)等腰三角形两腰__________； (2)等腰三角形两底角相等(简称：_____________)； (3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合(简 称：__________)； (4)等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边中线(或高或顶角平分线)所在直线(1条). 相等 等边对等角 三线合一 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 4．等腰三角形的判定 (1)有两条边__________的三角形是等腰三角形； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：_____________). 相等 等角对等边 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．(人教八上P77练习T2改编) 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论：①AD＝BD；②BD＝CD；③∠1＝∠2；④∠B＝∠C.其中一定成立的是__________．(填序号) ②③④ 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2．(人教八上P79练习T1改编) 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝ AC，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中的等腰三角形共有_____个． 3 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．__________都相等的三角形叫做等边三角形． 2．等边三角形的性质 (1)等边三角形三边都相等； (2)等边三角形三个内角都相等，都等于__________； (3)等边三角形每条边上都存在__________合一； (4)等边三角形是__________对称图形，对称轴是每条边上的中线(或高或顶角平分线)所在直线(3条). 等边三角形 三边 60° 三线 轴 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 3．等边三角形的判定 (1)三条边都__________的三角形是等边三角形； (2)三个角都__________的三角形是等边三角形； (3)有一个角是60°的__________三角形是等边三角形． 相等 相等 等腰 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 3．(人教八上P80练习T2改编) 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠C＝ 60°，AD是BC边上的高，DE∥AC.若AE＝3，则BC的长为(　　) D A.3 B.4 C.5 D.6 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．线段的垂直平分线：经过线段__________并且__________于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2．轴对称图形的对称轴是任何一对__________所连线段的垂直平分线．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对________所连线段的垂直平分线． 3．性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的__________的距离相等． 4．判定：到一条线段两端点距离__________的点在这条线段的垂直平分线上． 线段的垂直平分线 中点 垂直 对应点 对应点 两个端点 相等 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交 AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是________. 40° 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 (2022·盘锦) 如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F. (1)如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系：EF＝ __________． 等腰三角形的性质与判定 命题点 1 备用图 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ∵EF⊥AB，∴∠EFD＝∠CGD＝90°. 又∵∠EDF＝∠CDG，DE＝CD， ∴△EDF≌△CDG(AAS)，∴EF＝CG. 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°， 图1 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)如图2.若∠ACB＝90°，完成以下问题： ①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由； 图2中，过点C作CH⊥AB于点H. ∵EF⊥AB， 与(1)同理，可证△EDF≌△CDH. ∴DF＝DH. 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ∴AD＋DF＝AD＋DH＝AH. 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠CAH＝45°. ∴△ACH是等腰直角三角形． 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长． [如图，过点C作CG⊥AB于点G. ∵EF⊥AB， 与(1)同理可证，△EDF≌△CDG， ∴DG＝DF＝1. ∵AD＝3，∴当点F在点A，D之间时，有 AG＝1＋3＝4. 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 当点D在点A，F之间时，如图， AG＝AD－DG＝3－1＝2. 与①同理可证△ACG是等腰直角三角形， 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2023·滨州) 已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小 为(　　) A．14° B．16° C．24° D．26° 等边三角形性质与判定 命题点 2 B 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] 如图，过点P作PD∥AB交AC于点D，作PE∥AC交AB于点E， 则四边形AEPD为平行四边形．∴DP＝AE. ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°. ∵PD∥AB， ∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP＝∠BAC＝60°，∴△CDP为等边三角形． ∴CP＝DP＝CD＝AE. 同理可证△BEP为等边三角形． 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ∴BP＝EP＝BE. ∴△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形． ∵∠APC＝104°， ∴∠APB＝180°－∠APC＝76°. ∴∠APE＝∠APB－∠BPE＝16°， ∠PAE＝∠APC－∠B＝44°， ∠AEP＝180°－∠BEP＝120°. ∴以线段AP，BP，CP为边的三角形的三个内角分别为16°，44°，120°. ∴最小内角的大小为16°. 故选B. 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [点睛]　本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形外角性质等，根据题意正确画出图形，推理论证得到△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形是解题关键． 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 线段的垂直平分线 命题点 3 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] 如图，设MN交CD于点T. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3. 由题意，得AT垂直平分线段CD， ∴CT＝TD＝1，AD＝AC＝3. 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [点睛]　本题考查基本作图，平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解线段的垂直平分线的性质与尺规作图的作法，灵活运用所学知识解决问题． 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2022·武汉八年级期末) 如图，网格中的每个小正方形的顶点称作 格点，图中A，B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的 个数为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 B 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 2．(2023·甘肃) 如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心， DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝(　　) A．20° B．25° C．30° D．35° C 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 3．如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于点Q，BE交AD 于点P，下列说法：①AE＋BD＝AB；②∠APE＝∠C；③AQ＝BQ； ④BP＝2PQ.其中一定正确的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 B 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 4．(2022·十堰八年级期末) 如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE＝DF；②DE＋DF＝ AD；③DM平分∠EDF；④AB＋AC＝2AE.其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 11或13 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 6．(2022·苏州) 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边 BC的长为3，则腰AB的长为__________． 6 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 7．(2022·孝感八年级期末) 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB，∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F.求证： (1)△ABD是等边三角形； 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 证明：连接BD. ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∵∠BAC＝120°， 又∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形． 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)BE＝AF. 证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠DAF＝60°，BD＝AD. ∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＝∠ADF. 在△BDE与△ADF中， ∴△BDE≌△ADF(ASA).∴BE＝AF. 返回首页 第19讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P34～35第19讲 AC [解答]　解：AC [图1中，过点C作CG⊥AB于点G. ∴∠A＝∠B＝×(180°－120°)＝30°. ∴CG＝AC，即EF＝AC.] [解答]　解：①AD＋DF＝AC.理由如下： ∴AH＝AC.∴AD＋DF＝AC. [解答]　解：②AC长为4或2. 与①同理可证△ACG是等腰直角三角形，∴AC＝AG＝4； ∴AC＝AG＝2. 综合上述，线段AC的长为4或2.] (2022·盘锦) 如图，四边形ABCD为平行四边形，AB＝2，BC＝3.按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN.若直线MN恰好经过点A，则平行四边形ABCD的面积是__________． 4 ∴AT＝＝＝2. ∴S平行四边形ABCD＝CD·AT＝2×2＝4. 5．(2022·广安) 若(a－3)2＋＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为_________． ∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC. ∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°. $$