第15讲 函数的综合应用(1)（课件PPT）-【解密中考】2024年中考数学讲义（湖北专用）

第15讲　函数的综合应用(1) 2024《解密中考》 ——湖北数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 1．方案选择问题 (1)选择最优方案或方案选取：当给定x值选取方案时，将x的值代入解析式，判断y值结果大小；给定y值选取方案时，将y的值代入解析式，判断x值结果大小；当x，y值均未给定时，若为两种方案的选取，将两个方案的函数关系式组成不等式，求解对应的x的取值范围． (2)利润最大或费用最少：一般由图象、题干中的数量关系或费用关系列出不等式，求出自变量的取值范围，然后利用一次函数的增减性求最少费用或最大利润． 一次函数的实际应用一般涉及的问题 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 总目录 2．分段函数问题：要解决分段函数问题，首先要确定分段点，这个分段点就是函数图象突变的地方，同时也是我们主要考虑问题的地方，然后根据函数分段的定义，分别计算出每个区间的函数值，这就相当于我们把一个大问题分解成了几个小问题，每个小问题都是一个一次函数问题． 3．行程问题、工程问题 (1)找起点：结合自变量及函数的取值范围，在函数图象中找出对应点； (2)找特殊点：交点——两个函数图象在此处表示相同的量；转折点——图象的倾斜度或增减性在此处发生变化； (3)判断图象趋势：判断函数的增减性，平行于x轴表示在这个过程中函数值保持不变； (4)看图象与坐标轴交点：即此时另外一个量为0. 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 总目录 1．为绿化校园，某校计划购进A，B两种树苗共21棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． (1)y与x的函数关系式为________________； (2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的 方案．并求出该方案所需费用为__________. y＝－20x＋1 890 1 690元 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 总目录 2．小明从家步行到学校需走的路程为1 800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行__________米． 350 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 (2023·泸州) 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ 方案选 命题点 1 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解答] 解：设该商场节后每千克A粽子的进价为x元， 解得x＝10或x＝－12(舍去). 经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意． 答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元． 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过 4 600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ [解答] 解：设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，根据题意，得 12m＋10(400－m)≤4 600，解得m≤300， w＝(20－12)m＋(16－10)(400－m)＝2m＋2 400. ∵2＞0，∴w随着m增大而增大， 当m＝300时，w取得最大值，最大利润为2×300＋2 400＝3 000(元). 答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3 000元． 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2023·绥化) 某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A，B两型客车(每种型号的客车至少租用一辆).A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载客 多少人？ 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解答] 解：设每辆A型车、B型车坐满后分别载客x人、y人，由题意，得 答：每辆A型车、B型车坐满后分别载客40人、55人． 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10 辆，总租金不高于5 500元，并将全校420 人载至目的地．该校有几种租车方案？哪 种租车方案最省钱？ [解答] 解：设租用A型车m辆，则租用B型车 (10－m)辆，由题意，得 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ∵m取正整数，∴m＝5，6，7，8. ∴共有4种租车方案． 设总租金为w元，则 w＝500m＋600(10－m)＝－100m＋6 000. ∵－100＜0，∴w随着m的增大而减小， ∴当m＝8时，w最小． ∴租8辆A型车，2辆B型车最省钱． 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (3)在这次活动中，学校除租用A，B两型客 车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知 从学校到夏令营目的地的路程为300千米， 甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校 出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．下 图是两车离开学校的路程s(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米. 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解答] 解：设s甲＝kt，s乙＝k1t＋b. 由题意可知，甲车的函数图象经过(4，300)；乙车的函数图象经过(0.5，0)，(3.5，300)两点． ∴s甲＝75t，s乙＝100t－50. 令s乙－s甲＝25，即100t－50－75t＝25， 解得t＝3； 或300－75t＝25， 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2023·连云港) 目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯： 分段函数 命题点 2 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第一阶梯 0～400 m3(含400)的部分 2.67元/m3 若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100 m3，200 m3. 第二阶梯 400～1 200 m3(含1 200)的部分 3.15元/m3 第三阶梯 1 200 m3以上的部分 3.63元/m3 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (1)一户家庭人口为3人，年用气量为200 m3，则该年此户需缴纳燃气费 用为__________元； [解答] 解：534 [200×2.67＝534(元).] 534 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为x m3(x＞1 200)，该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式； [解答] 解：根据题意，得y＝400×2.67＋(1 200－400)×3.15＋3.63(x－ 1 200)＝3.63x－768， ∴y与x的函数表达式为 y＝3.63x－768(x＞1 200). 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3 855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？(结果精确到1 m3) [解答] 解：∵400×2.67＋(1 200－400)×3.15＝3 588(元)，3 588＜3 855， ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯． 由(2)知，当y＝3 855时， 3.63x－768＝3 855， 解得x≈1 273.6. 又∵2.67×(100＋400)＋3.15×(1 200＋200－500)＝4 170(元)，4 170＞ 3 855， 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 且2.67×(100＋400)＝1 335(元)，1 335＜3 855， ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但未达到第三阶梯． 设乙户年用气量为a m3，则 2.67×500＋3.15(a－500)＝3 855， 解得a＝1 300. 1 300－1 273.6＝26.4≈26(m3). 答：该年乙户比甲户多用约26 m3的燃气． [点睛]　本题考查一次函数的应用，关键是写出函数解析式． 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2023·宁波) 某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午 7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路(如图1)到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地60 km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s(km)与所用时间t(h)的函数关系如图2所示． 行程问题 命题点 3 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值； [分析]　设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将s＝100代入解析式求出a的值即可； 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ∴s＝40t＋20. 当s＝100时，40t＋20＝100， 解得t＝2，∴a＝2. ∴大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s＝40t＋20，a的值 为2. 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． [分析]　先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段时间即可得解． 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解答] 解：由函数图象可得，军车的速度为60÷1＝60(km/h). 设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为x h，根据题意，得 60(2－x)＝100， 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2023·新疆) 随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：   A超市 B超市 优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满100元返30元 (1)当购物金额为80元时，选择_________超市(填“A”或“B”)更省钱；当 购物金额为130元时，选择__________超市(填“A”或“B”)更省钱； A B 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 1 2 3 总目录 解：A　B [∵80＜100， ∴A超市八折优惠，B超市不优惠， ∴选择A超市更省钱； ∵100＜130＜200， ∴A超市应付：130×0.8＝104(元)； B超市应付：130－30＝100(元). ∵104＞100，∴选择B超市更省钱．] 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 1 2 3 总目录 (2)若购物金额为x(0≤x＜200)元时，请分别写出它们的实付金额y(元)与购物金额x(元)之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ 解：①当0≤x＜100时，A超市八折优惠，B超市不优惠， ∴选择A超市更省钱． ②当100≤x＜200时，A超市函数表达式为y＝0.8x，B超市函数表达式为y＝x－30. 当0.8x＜x－30，即150＜x＜200时，选择A超市更省钱； 当0.8x＝x－30，即x＝150时，A，B两超市花费一样多； 当0.8x＞x－30，即100≤x＜150时，选择B超市更省钱． 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 1 2 3 总目录 解：不一定，例： 当100≤x＜200时，设优惠率为P， 当900≤x1＜1 000时，设优惠率为Q， 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 1 2 3 总目录 ∵xx1＞0， ∴当x1－9x＞0时，P－Q＞0，即购物金额小时，享受的优惠率大， ∴在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大． 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 1 2 3 总目录 2．(2023·金华) 兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程s(米)与哥哥离开学校的时间t(分)的函数关系． (1)求哥哥步行的速度． ∴哥哥步行的速度为100米/分． 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 1 2 3 总目录 (2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧． ①求图中a的值； 解：①根据妺妺到书吧前的速度为200 米/分，可知DE的解析式的k为200， 设DE所在直线为s＝200t＋b，将(10，800) 代入上式，得800＝200×10＋b， 解得b＝－1 200. ∴DE所在直线为s＝200t－1 200. 当s＝0时，200t－1 200＝0，解得t＝6. ∴a＝6. 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 1 2 3 总目录 ②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由． 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 1 2 3 总目录 解：②能追上． 如图，根据哥哥的速度没变，可得BC， OA的解析式的k值相同，妹妹的速度减 小但仍大于哥哥的速度，将妹妹的行程 图象补充完整． 设BC所在直线为s＝100t＋b1，将B(17， 800)代入上式，得800＝100×17＋b1， 解得b1＝－900， ∴BC所在直线的解析式为s＝100t－900. ∵妺妺的速度是100×1.6＝160(米/分)， 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 1 2 3 总目录 ∴设FG所在直线为s＝160t＋b2，将F(20，800)代入上式，得800＝160×20＋b2， 解得b2＝－2 400， ∴FG所在直线的解析式为s＝160t－2 400. ∴1 900－1 600＝300(米)，即追上时兄妺俩离家300米远． 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 1 2 3 总目录 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 1 2 3 总目录 (1)A，B两地之间的距离是__________千米，a＝__________； ∴A，B两地之间的距离是60千米． ∵货车到达B地填装货物耗时15分钟， 60 1 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 1 2 3 总目录 (2)求线段FG所在直线的函数解析式； ∴线段FG所在直线的函数解析式为y＝－60x＋120. 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 1 2 3 总目录 (3)货车出发多少小时两车相距15千米？(直接写出答案即可) [设货车出发x小时两车相距15千米． 由题意，得巡逻车的速度为 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 1 2 3 总目录 ①当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则 ②当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则 ∴货车装货过程中两车不可能相距15千米； 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 1 2 3 总目录 ④当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米，则 ⑤当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则 返回首页 第15讲　函数的综合应用(1) 首页 1 2 3 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P26～27第15讲 根据题意，得－4＝， 解得 解得5≤m≤. 解得t＝. ∴在甲乙两车第一次相遇后，当t＝3或时，两车相距25千米． [解答] 解：由函数图象可得，大巴速度为＝40(km/h)， 解得x＝. 答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为 h． (3)对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为20%.若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明． 则有P＝， 则有Q＝， ∴P－Q＝－＝. 解：由图可得A， ∴v＝＝100(米/分). 联立解得 3．(2023·齐齐哈尔) 一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y(千米)与货车出发时间x(小时)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： 解：60　1　[∵80×＝60(千米)， ∴a＝＋＝1.] 解：设线段FG所在直线的解析式为y＝kx＋ b，将F，G代入上式，得 解得 解：当货车出发小时或小时或小 时时，两车相距15千米． 60÷＝25(千米/小时). 25－15＝80x， 解得x＝－(舍去)； 25＋15＝80x，解得x＝； ③∵25×＝35＜60－15＝45， 25＋15＋＝60， 解得x＝； 25－＝15， 解得x＝.] $$