第13讲 二次函数(1)（课件PPT）-【解密中考】2024年中考数学讲义（湖北专用）

第13讲　二次函数(1) 2024《解密中考》 ——湖北数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别为函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2．二次函数的三种解析式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中点__________为二次函数图象的顶点坐标，对称轴为直线x＝h； 二次函数的图象与性质 (h，k) 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 (3)交点式(两根式)：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标． 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 3．二次函数的图象与性质 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) a的符号 a＞0 a＜0 大致图象 (抛物线) 开口方向 开口向上，并向上无限延伸 开口向下，并向下无限延伸 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．(北师九下P30随堂练习T1改编) 在下列关于x的函数中，一定是二次 函数的是(　　) A．y＝－3x B．xy＝2 C．y＝ax2＋bx＋c D．y＝2x2＋5 2．二次函数y＝2x(1－x)的一般形式为______________，一次项系数为 __________，常数项为__________． D y＝－2x2＋2x 2 0 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 3．把二次函数y＝6x－2－3x2化成y＝a(x－h)2＋k的形式是________________． 4．(人教九上P38探究改编) 已知二次函数y＝－2x2－4x＋1，则下列关于 该函数的说法正确的是(　　) A．该函数图象与x轴的交点坐标是(0，1) B．当x＞－1时，y的值随x值的增大而增大 C．当x取0和－2时，所得到的y的值相同 D．当x＝－1时，y有最小值3 y＝－3(x－1)2＋1 C 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 确定二次函数解析式最常用的方法为待定系数法，一般步骤如下： 待定系数法求函数解析式 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 5．抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点(2，8)，则该抛 物线的表达式为__________． 6．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛 物线的解析式为_______________． 7．(人教九上P47习题T4改编) 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点(－1，0)，(5，0)，与y轴交于点(0，－5)，则这条抛物线的解析式为________________． y＝2x2 y＝－x2＋4x－3 y＝x2－4x－5 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．二次函数图象的平移变换 (1)抛物线顶点式的平移 二次函数图象的平移、对称 [左加右减自变量，上加下减常数项] 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 (2)抛物线一般式的平移 平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 口诀 y＝ax2＋bx＋c 向左平移m个单位长度 y＝a(x＋m)2＋b(x＋m)＋c 左加右减自变量(x) 向右平移m个单位长度 y＝a(x________)2＋b(x________)＋c 向上平移m个单位长度 y＝ax2＋bx＋c＋m 上加下减常数项(c) 向下平移m个单位长度 y＝ax2＋bx＋c______ －m －m －m 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2.二次函数图象的对称变换 －a －c 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 (2)y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)关于y轴对称的函数是y2＝ax2－bx＋c(a≠0). 因为抛物线的形状未变，开口方向未变，所以a__________；对称轴改 变，y1的对称轴是__________，y2的对称轴就应该是_______；y1与y轴的 交点坐标是(0，c)，关于y轴对称后，与y轴的交点未变，所以c______. 不变 不变 (3)y1＝a(x－h)2＋k关于原点对称的函数是y2＝－a(x＋h)2－k，此时必须 将抛物线化成顶点式研究． 因为y1＝a(x－h)2＋k的顶点是(h，k)，关于原点对称后的顶点是(____， ______)，抛物线形状不变，开口方向相反，所以a变为______． －h －k －a 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 8．将抛物线y＝2(x－3)2＋2向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位 长度，得到抛物线的解析式为(　　) A．y＝2(x－5)2－1 B．y＝2(x－5)2＋1 C．y＝2(x－1)2－1 D．y＝2(x－1)2＋1 9．如果某二次函数的图象与已知二次函数y＝x2－2x的图象关于y轴对 称，那么这个二次函数的解析式是_____________． A y＝x2＋2x 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 10．(北师九下P36习题T1改编) 将抛物线y＝3x2＋1沿x轴翻折，则得到 的新抛物线的解析式为______________． 11.若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与抛物线y＝x2－4x＋3的图象关 于y轴对称，则函数y＝ax2＋bx＋c的解析式为________________． 12．(人教九上P44思考改编) 将抛物线y＝x2－6x＋9绕坐标原点旋转 180°后，得到的新抛物线的解析式为________________． y＝－3x2－1 y＝x2＋4x＋3 y＝－x2－6x－9 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根． 二次函数与方程(组)、不等式的关系 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 b2－4ac的符号 b2－4ac______0 b2－4ac＝0 b2－4ac______0 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的个数 两个交点 _____个交点 无交点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0实数根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 ＞ ＜ 一 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2.二次函数与不等式 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围； (2)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴下方时，对应的x的取值范围． 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 13．关于x的一元二次方程x2＋x＝n有两个不相等的实数根，则抛物线 y＝x2＋x－n的顶点在第__________象限． 14．(人教九上P47习题T4改编) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＞0 的解集为_____________． 三 －3＜x＜5 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 (2023·成都) 如图，二次函数y＝ax2＋x－6的图象与x轴交于 A(－3，0)，B两点，下列说法正确的是(　　) 二次函数的图象与性质综合应用 命题点 1 A．抛物线的对称轴为直线x＝1 C．A，B两点之间的距离为5 D．当x＜－1时，y的值随x值的增大而增大 C 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] ∵二次函数y＝ax2＋x－6的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点， ∴0＝9a－3－6，解得a＝1. ∵a＝1＞0，抛物线开口向上，当x＜－1时，y的值随x值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； 当y＝0时，x2＋x－6＝0，即x1＝－3，x2＝2.∴B (2，0)，∴AB＝5，故C选项正确，符合题意．故选C. 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式1 (2023·泸州) 已知二次函数y＝ax2－2ax＋3(其中x是自变量)， 当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为(　　) A．0＜a＜1　　　　　　　 B．a＜－1或a＞3 C．－3＜a＜0或0＜a＜3 D．－1≤a＜0或0＜a＜3 D 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 A　 　 B　 　C　 　D A 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2023·徐州) 在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x＋1)2＋3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应 的函数表达式为(　　) A．y＝(x＋3)2＋2　 B．y＝(x－1)2＋2 C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x＋3)2＋4 [解析] 将二次函数y＝(x＋1)2＋3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝(x＋1－2)2＋3－1，即y＝(x－1)2＋2. 故选B. 二次函数图象的平移、对称变换 命题点 2 B 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2023·衡阳) 已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的 解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4). 则下列结论正确的是(　　) A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2 二次函数与方程(组)、不等式 命题点 3 B 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] 关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为抛物线y＝x2＋2x－3与直线y＝m的交点的横坐标，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为抛物线y＝x2＋2x－3与直线y＝n的交点的横坐标．由图可知，x1＜x3＜x4＜x2.故选B. 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 A．2a＋b＝0 B．4a－2b＋c＞0 C 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2023·广西) 将抛物线y＝x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位， 得到的抛物线是(　　) A．y＝(x－3)2＋4 B．y＝(x＋3)2＋4 C．y＝(x＋3)2－4 D．y＝(x－3)2－4 A 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 1 2 3 4 5 总目录 2．(2023·大连) 已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最 大值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 D 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 1 2 3 4 5 总目录 3．在平面直角坐标系中，函数图象A与二次函数y＝x2＋x－2的图象关于x轴对称，而函数图像B与图象A关于y轴对称，那么函数图象B对应的 函数关系式为________________． y＝－x2＋x＋2 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 1 2 3 4 5 总目录 4．(2022·大庆) 已知函数y＝mx2＋3mx＋m－1的图象与坐标轴恰有两 个公共点，则实数m的值为__________． 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 1 2 3 4 5 总目录 5．(2023·绍兴) 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c. (1)当b＝4，c＝3时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当－1≤x≤3时，求y的取值范围． 解：①∵b＝4，c＝3，∴y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7.∴顶点坐标为(2，7). ②∵－1≤x≤3中含有顶点(2，7)， ∴当 x＝2 时，y有最大值7. ∵2－(－1)＞3－2， ∴当x＝－1 时，y有最小值为－2. ∴当－1≤x≤3时，－2≤y≤7. 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 1 2 3 4 5 总目录 (2)当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3.求二次函数的表达式． 解：∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3， ∴抛物线的对称轴在y轴的右侧．∴b＞0. ∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，∴c＝2. ∴b＝±2. ∵b＞0，∴b＝2. ∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋2. 返回首页 第13讲　二次函数(1) 首页 1 2 3 4 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P22～23第13讲 [三种解析式之间的关系：顶点式一般式交点式] 对称轴 直线x＝－或直线x＝(x1，x2为抛物线上y值相等的两点的横坐标) 顶点 坐标 最值 抛物线有最低点，当x＝－时，y有最小值，y最小值＝ 抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值，y最大值＝ 增减性 在对称轴的左侧，即当x＜－时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即当x＞－时，y随x的增大而增大，简记“左减右增” 在对称轴的左侧，即当x＜－时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即当x＞－时，y随x的增大而减小，简记“左增右减” 已知条件 设解析式 对称轴 求解 图象上的三点坐标 一般式：y＝ax2＋bx＋c x＝－ 代入对应条件所给的点坐标，求出所设参数(如a，b，c，h等)的值，再代回所设的解析式中 顶点＋另一点坐标 顶点式：y＝a(x－h)2＋k x＝h 与x轴的两个交点＋另一点坐标(不在x轴上) 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) x＝ 已知条件 设解析式 对称轴 求解 顶点是原点＋另一点坐标 y＝ax2 y轴 代入对应条件所给的点坐标，求出所设参数(如a，b，c，h等)的值，再代回所设的解析式中 对称轴为y轴(顶点在y轴上)＋另两点坐标 y＝ax2＋c y轴 顶点在x轴上＋另两点坐标 y＝a(x－h)2 x＝h 原点＋另外两点坐标 y＝ax2＋bx x＝－ (1)y1＝ax2＋bx＋c关于x轴对称的函数是y2＝－ax2－bx－c. 因为抛物线的形状未变，只是开口方向相反，所以a变为__________； 对称轴未变，y1的对称轴是__________，y2的对称轴也应该是__________；  y1与y轴的交点坐标是(0，c)，关于x轴对称后就是(0，__________). x＝－ x＝－ x＝－ x＝ B．抛物线的顶点坐标为 ∴二次函数解析式为y＝x2＋x－6＝2－，对称轴为直线x＝－，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ☞变式2 (2023·安徽)已知反比例函数y＝在第一象限内的图象与一次函数y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x2－bx＋k－1的图象可能为(　　) ☞变式 (2023·东营) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝－1，若点A的坐标为，则下列结论正确的是(　　) C．x＝2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根 D．点，在抛物线上，当x1＞x2＞－1时，y1＜y2＜0 1或－ 又∵＝3， $$