第6讲 一元二次方程（课件PPT）-【解密中考】2024年中考数学讲义（湖北专用）

第6讲　一元二次方程 2024《解密中考》 ——湖北数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 1．定义：只含有一个未知数并且未知数的最高次数是__________的整式方程，叫做二元一次方程． 2．一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数).其中二次项系数是 __________，一次项系数是__________，常数项是__________． 一元二次方程及其解法 2 a b c 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 3．一元二次方程的解法 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．(m－2)x|m|＋mx－1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝________． 2．[人教九上P4习题T1(1)改编] 将方程3x2＋1＝6x化成一元二次方程的 一般形式为______________，其中一次项系数为__________，二次项系 数为__________，常数项为__________. 3．[人教九上P7例1(1)改编] 一元二次方程x2－8x＋1＝0配方后可化为____________，它的解为______________________． －2 3x2－6x＋1＝0 －6 3 1 (x－4)2＝15 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是Δ＝_________． 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 b2－4ac Δ与0的大小 与根的关系 Δ＞0 一元二次方程有两个不相等的实数根 Δ＝0 一元二次方程有两个相等的实数根 Δ＜0 一元二次方程无实数根 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2.一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程有两个实数根x1，x2，则x1＋x2＝__________，x1·x2＝ __________． 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 4．下列方程中，有两个相等实数根的是(　　) A．x2＝10　 B．x2＋1＝2x C．x2－2x＝3 D．x2－2x＝0 5．[人教九上P17习题T7(1)改编] 若m，n是一元二次方程x2－3x－8＝0 的两个根，则m2＋n2＝__________. B 25 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 一元二次方程的实际应用 常考类型 相关知识 变化率问题 设原来的量为a，变化后的量为b. (1)当连续两次增长，平均每次增长率为x时， 则______________； (2)当连续两次下降，平均每次下降率为x时， 则______________ a(1＋x)2＝b a(1－x)2＝b 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 常考类型 相关知识 传播问题 若开始数量为a，每轮感染的数量为x，经1轮传染后感染者的数量为__________，经2轮传染后感染者的数量为___________________________ a＋ax a＋ax＋x(a＋ax)＝a(1＋x)2 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 常考类型 相关知识 面积问题 (1)如图1，设空白部分的宽为 x，则S阴影＝______________； (2)如图2、图3、图4，设空白 部分的宽为x，则S阴影＝ ______________ [利用“图形经过平移，它的面 积大小不会改变”的道理，把 纵、横两条路移动一下，使列方程容易些] (a－2x)(b－2x) (a－x)(b－x) 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 常考类型 相关知识 销售问题 (1)利润＝售价－成本，总利润＝每件利润×销售量； (2)销售问题中，单价每涨价a元，就少卖出b件．若涨价y 元，则少卖出__________件 握手问题 若x人中每两人之间握手一次，则握手总次数为 __________ 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 6．(人教九上P22习题T9改编) 如图，要设计一幅宽20 cm，长35 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，设横彩条的宽度是3x cm，那么可列 方程为_______________________________________ 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 7．(北师九上P55习题T1改编) 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．如果要使每天销售饮料获利1 400元，设每箱应降价x元，那么可列方程为_________________________． (12－x)(100＋20x)＝1 400 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 (2023·本溪) 若关于x的一元二次方程x2－x＋k＋1＝0有两个实 数根，则k的取值范围是 __________． 一元二次方程根的判别式 命题点 1 [解析] 根据题意，得 Δ＝(－1)2－4(k＋1)≥0， 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 (2023·抚顺) 若关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0有两个不相 等的实数根，则k的取值范围是 __________． k＜9 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2023·天津) 若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则(　　) A．x1＋x2＝6　　　 B．x1＋x2＝－6 一元二次方程的根与系数的关系 命题点 2 [解析] ∵x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根， ∴x1＋x2＝6，x1x2＝－7. 故选A． A 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 C 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 【增长率问题】(2023·大连) 为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5 000元，2022年用于购买图书的费用是7 200元，求2020～2022年买书资金的平均增长率． [解答] 解：设2020～2022年买书资金的平均增长率为x，根据题意，得 5 000(1＋x)2＝7 200， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去). 答：2020～2022年买书资金的平均增长率为20%. 一元二次方程的实际应用 命题点 3 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 【销售问题】某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元． (1)若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； [解答] 解：设每次下降的百分率为a，根据题意，得 50(1－a)2＝32， 解得a＝1.8(舍去)或a＝0.2＝20%. 答：每次下降的百分率为20%. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6 000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ [解答] 解：设每千克应涨价x元，根据题意，得 (10＋x)(500－20x)＝6 000， 整理，得x2－15x＋50＝0， 解得x1＝5，x2＝10， 因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意． 答：每千克应涨价5元． 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式1 【面积问题】如图，在长为32 m、宽为20 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为 540 m2，设道路的宽为x m，则可列方程为(　　) D A．32×20－32x－20x＝540 B．(32－x)(20－x)＋x2＝540 C．32x＋20x＝540 D．(32－x)(20－x)＝540 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式2 【握手问题】在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手(每两人只握一次).大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有x人，根据 题意，可列方程为(　　) A．x(x＋1)＝21 C．x(x－1)＝21 D 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式3 【传播问题】某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43.若设主干长出x个支 干，则可列方程(　　) A．(1＋x)2＝43 B．x(1＋x)＝43 C．x＋2x＋1＝43 D．x2＋x＋1＝43 D 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式4 【日历问题】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2023年8月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11－3×17＝48，13×15－7×21＝48.不难发现，结果都是48. (1)请证明发现的规律； 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为(a－7)，(a－1)，(a＋1)，(a＋7)， ∴(a－1)(a＋1)－(a－7)(a＋7) ＝a2－1－(a2－49) ＝a2－1－a2＋49 ＝48. ∴将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减后的结果为48. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)若用一个如图所示的菱形框再框出5个数，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数； 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 解：设这5个数中最大数为x，则最小数为(x－14)，根据题意，得 x(x－14)＝435， 整理，得x2－14x－435＝0， 解得x1＝29，x2＝－15(不合题意，舍去). 答：这5个数中的最大数是29. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (3)嘉琪说：她用一个如图所示的菱形框框出5个数，其中最小数与最大数的积是95，直接判断嘉琪的说法是否正确(不必叙述理由). 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 解：嘉琪的说法不正确． [设这5个数中最大数为y，则最小数为(y－14)，根据题意，得 y(y－14)＝95， 整理，得y2－14y－95＝0， 解得y1＝19，y2＝－5(不合题意，舍去). 又∵19在日历的最后一列， ∴不符合题意， ∴嘉琪的说法不正确．] 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2023·遂宁) 我们规定：对于任意实数a，b，c，d有[a，b]*[c，d]＝ac－bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5－2×1＝13. (1)求[－4，3]*[2，－6]的值； 解：[－4，3]*[2，－6]＝－4×2－3×(－6)＝10. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 1 2 3 4 总目录 (2)已知关于x的方程[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围． 解：根据题意，得x(mx＋1)－m(2x－1)＝0， 整理，得mx2＋(1－2m)x＋m＝0. ∵关于x的方程[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0有两个实数根， ∴Δ＝(1－2m)2－4m·m≥0且m≠0， 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 1 2 3 4 总目录 2．(2023·荆州) 已知关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； 解：∵关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－(2k＋4)]2－4k(k－6)＞0，且k≠0， 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 1 2 3 4 总目录 (2)当k＝1时，用配方法解方程． 解：∵关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等当k＝1时， 原方程为x2－(2×1＋4)x＋1－6＝0， 即x2－6x－5＝0. 移项，得x2－6x＝5. 配方，得x2－6x＋9＝5＋9， 即(x－3)2＝14. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 1 2 3 4 总目录 3．(2023·仙桃) 已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0. (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； 证明：∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4(m2＋m) ＝4m2＋4m＋1－4m2－4m ＝1＞0， ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根． 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 1 2 3 4 总目录 (2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a＋b)(a＋2b)＝20，求m的值． 解：∵该方程的两个实数根为a，b， ∵(2a＋b)(a＋2b) ＝2a2＋4ab＋ab＋2b2 ＝2(a2＋2ab＋b2)＋ab 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 1 2 3 4 总目录 ＝2(a＋b)2＋ab， ∴2(a＋b)2＋ab＝20， 即2(2m＋1)2＋m2＋m＝20. 整理，得m2＋m－2＝0， 解得m1＝－2，m2＝1.∴m的值为－2或1. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 1 2 3 4 总目录 4．(2023·郴州) 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意，得1.6(1＋x)2＝2.5， 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 1 2 3 4 总目录 (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 解：设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由题意，得 2.125＋a≤2.5(1＋25%)，解得a≤1. 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人． 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 1 2 3 4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P8～9第6讲 解法 适用情况 直接开平方法 当方程缺少一次项时，即ax2＋c＝0； 适用于形如a(x＋n)2＝b的方程 配方法 适用于所有一元二次方程．将二次项系数化为1后，一次项系数为绝对值较小的偶数时，优先考虑配方法 解法 适用情况 公式法 适用于所有的一元二次方程． 求根公式为x＝____________________________ 因式分解法 利用因式分解可以变成形如x＝0或＝0 x1＝4＋，x＝4－ － ×b (20－2×3x)(35－2×2x)＝20×35× 解得k≤－. k≤－ C．x1x2＝ D．x1x2＝7 ☞变式 (2023·菏泽) 一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根为x1，x2，则＋的值为(　　) A．　 B．－3　 C．3　　 D．－ B．x(x＋1)＝21 D．x(x－1)＝21 解得m≤且m≠0. 解得k＞－且k≠0. 直接开平方，得x－3＝±. 解得x1＝3＋，x2＝3－. ∴a＋b＝－＝2m＋1， ab＝＝m2＋m. 解得x1＝25%，x2＝(不合题意，舍去). $$