第5讲 一次方程(组)（课件PPT）-【解密中考】2024年中考数学讲义（湖北专用）

第5讲　一次方程(组) 2024《解密中考》 ——湖北数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 1．性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，结果仍相等.即如果a＝b，那么a±c＝b±c. 等式的性质 3．传递性：若a＝b，b＝c，则_________． a＝c 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．(人教七上P81内文改编) 下列运用等式性质正确的是_________．(填序号) ①若a＝3，则a2＝3a3； ②若－a＝－b，则a＝b； ③若a＝b，则a－3＝3－b； ②④ 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．定义：只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数都是_________，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程． 一元一次方程 1 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2．解一元一次方程的一般步骤与注意事项 8－2(2x＋1)＝x 8－4x－2＝x 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2．(北师七上P137例7改编) 若x＝2是方程2(x＋k)＝k＋5的解，则k＝_________． 1 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 解：去分母，得2(x＋1)－4＝8＋(2－x). 去括号，得2x＋2－4＝8＋2－x. 移项，得2x＋x＝8＋2－2＋4. 合并同类项，得3x＝12. 系数化为1，得x＝4. 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．相关概念 二元一次方程(组) 二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都 是_______的方程 二元一次方程组 方程组中一共含有两个未知数，含有每个未知数 的项的次数都是_______，并且一共有两个方程 二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解 1 1 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2．解二元一次方程组的基本思想：消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 3．二元一次方程组的解法 (1)代入消元法：当方程组中一个方程的常数项为0或者方程组中某个未知数的系数为1或者－1时，用代入消元法比较简单． (2)加减消元法：当两个方程中某个未知数的系数相同、互为相反数或成整数倍数关系时，用加减消元法比较简单． 4．三元一次方程组的解法：解三元一次方程组的思想是“转化”，通过消元将“三元”转化为“二元”，再将“二元”转化为“一元”． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 解：将②代入①，得_____________，解得_______.将_______代入②， 得y＝_________. ∴方程组的解为_________. 3x＋2x＝10 x＝2 x＝2 4 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 解：②－①，得_________， 解得_________． ①＋②×3，得_________，解得_________. ∴方程组的解为_________． 4y＝4 y＝1 8x＝16 x＝2 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 一次方程(组)的应用 常考类型 相关知识 购买问题 总价＝单价×数量 甲单价×甲数量＋乙单价×乙数量＝总价 甲数量＋乙数量＝总数量 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 常考类型 相关知识 销售利润问题 售价＝标价×折扣(例如打八折就是“标价×0.8”) 销售额＝售价×销量 利润＝售价－进价＝进价×利润率 工程问题 工作总量(常设为1)＝工作效率×工作时间 甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 常考类型 相关知识 行程问题 基本量的关系：路程＝速度×时间 相遇问题(相向而行)： 全路程＝速度和×相遇所用时间 追及问题： ①同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程 ②同时不同地出发：前者走的路程＋两者间距离＝追者走的路程 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 常考类型 相关知识 行程问题 环形问题： ①环形追及：快者路程－慢者路程＝环形周长 ②环形相遇：甲路程＋乙路程＝环形周长 航行问题：顺水速度＝静水速度_________水流速度 逆水速度＝静水速度_________水流速度 ＋ － 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 常考类型 相关知识 分段计费问题 解决此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案 方案选择问题 方案选择问题是一元一次方程中的难点所在，根据已知条件得到方程后，根据未知数之间的关系得到多种方案，选择最优方案进行解题 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 6．(人教七上P100例1改编) 某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓需要两个螺母与之配套，如何安排生产才能让螺栓和螺母正好配套？设安排x名工人生产螺栓，其余 工人生产螺母，根据题意所列方程为___________________． 2×12x＝18(28－x) 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 7．数学文化 (北师八上P115内文改编) 《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”学了方程(组)后，我们可以快速解决这个问题．如果设鸡有x只，兔有y只，那么可列方程组为 _____________． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 [解析] 把x与y的值代入方程计算得到a＋2b的值，原式变形后代入计算即可求出值． 方程(组)的解与解方程(组) 命题点 1 则2a＋4b－5＝2(a＋2b)－5＝2×3－5＝6－5＝1. 1 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解答]　解：①×2＋②，得5x＝25， 解得x＝5. 把x＝5代入①，得5－2y＝1， 解得y＝2. 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 解：①＋②，得3x－y＝1.④ ①＋③，得4x＝4，解得x＝1. 把x＝1代入④，得 3－y＝1，解得y＝2. 把x＝1，y＝2代入①，得 1－4＋z＝0，解得z＝3. 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 【销售问题】(2023·安徽)根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价． 一次方程(组)的实际应用 命题点 2 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解答] 解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元， 答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为 50元． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式1 【“盈不足”问题】数学文化 《九章算术》是中国古代“算经十书”最重要的一部，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”意思是说：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？ 解：设共有x人，依题意，得 8x－3＝7x＋4，解得x＝7. 7×7＋4＝53(元). 答：共有7个人，这个物品的价格是53元． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式2 【配套问题】一套餐桌由一张桌子和六把椅子组成．如果1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子，现有15立方米的木料，请你设计一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？ 解：设用x立方米的木料做桌子，用y立方米木料做椅子，根据题意，得 答：用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成 餐桌． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式3 【积分问题】“校长杯”校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．七年级“星梦”足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？ 解：设该队胜了x场，平了y场，由题意，得 答：该队胜了5场，平了2场． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式4 【工程问题】一项工程，甲队单独完成需要40天，乙队单独完成需要50天，现甲队单独做4天后两队合作． (1)求甲、乙两队合作多少天才能完成该工程； 解：设甲、乙两队合作x天才能完成该工程，根据题意，得 答：甲、乙两队合作20天才能完成该工程． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)在(1)的条件下，甲队每天的施工费为3 000元，乙队每天的施工费为 3 500元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元． 解：甲队费用为3 000×(20＋4)＝72 000(元)； 乙队费用为3 500×20＝70 000(元). 72 000＋70 000＝142 000(元). 答：完成此项工程需付给甲、乙两队共142 000元． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式5 【方案选择问题】“中国竹乡”安吉县有着丰富的毛竹资源.某企业已收购毛竹52.5吨．根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利100元；如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利1 000元；如果进行精加工，每天可加工0.5吨，每吨可获利5 000元．由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月(30天)内将这批毛竹全部销售．企业为此研究了两种方案： 方案一：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利_________元． 解：方案一：52 500 [1 000×52.5＝52 500(元).] 52 500 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直 接销售，则可获利_________元． 问：是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并 且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说 明理由． 78 750 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 解：方案二：78 750　[0.5×30×5 000＋(52.5－0.5×30)×100＝78 750(元).] 由已知分析存在第三种方案． 设粗加工x天，则精加工(30－x)天，依题意，得8x＋0.5×(30－x)＝52.5，解得x＝5. 30－x＝25. ∴销售后所获利润为1 000×5×8＋5 000×25×0.5＝102 500(元). 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式6 【分段计费问题】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.90 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.90 超过30吨的部分 6.00 0.90 (说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费) 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 已知小王家7月用水16吨，交水费43.2元；8月份用水25吨，交水费75.5元． (1)求a，b的值； 解：由题意，得 由①，解得a＝1.8. 将a＝1.8代入②，解得b＝2.8. ∴a＝1.8，b＝2.8. 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)如果小王家9月份上交水费156.1元，则小王家这个月用水多少吨？ 解：1.8＋0.9＝2.7(元)，2.8＋0.9＝3.7(元)， 6＋0.9＝6.9(元). ∵17×2.7＋(30－17)×3.7＝94(元)， 156．1＞94， ∴小王家9月份用水超过30吨． 设小王家这个月用水x吨，由题意，得 2.7×17＋3.7×13＋(x－30)×6.9＝156.1. 解得x＝39. ∴小王家这个月用水39吨． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (3)小王家10月份忘记了去交水费，当他11月份去交水费时发现两个月一共用水50吨，其中10月份用水超过30吨，一共交水费215.8元，其中包含30元滞纳金，求小王家11月份用水多少吨？(滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”) 解：设小王家11月份用水y吨，分两种情况： ①当y≤17时，2.7y＋2.7×17＋3.7×13＋(50－30－y)×6.9＝215.8－30. 解得y＝11. ②当17＜y＜20时，17×2.7＋(y－17)×3.7＋2.7×17＋3.7×13＋(50－30－y)×6.9＝215.8－30. 解得y＝9.125(舍去). ∴小王家11月份用水11吨． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2023·无锡)下列4组数中，不是二元一次方程2x＋y＝4的解的是 (　　) D 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 A．1 B．2 C．4 D．8 D 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 3．数学文化 (2023·连云港) 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天 可追上慢马，由题意得(　　) D C．240(x－12)＝150x D．240x＝150(x＋12) 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 4．(原创) 如图，OA＝OB，A，B两处的托盘各放一个砝码．若欲将支 架平衡，不可能的措施是(　　) A．在A处托盘增加砝码 B．将B处托盘砝码减轻 C．将支点O向B处移动 D．在A，B两处托盘增加相同的砝码 D 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 5．(2023·自贡) 某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量． 解：设该客车的载客量为x人， 根据题意，得4x＋30＝5x－10， 解得x＝40. 答：该客车的载客量为40人． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 6．(2023·吉林) 2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1 300元；如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2 300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格． 解：设每箱A种鱼的价格为x元，B种鱼的价格为y元，由题意，得 答：每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 解：设天头长为6x cm，地头长为4x cm， 则左、右边的宽为x cm.根据题意，得 100＋6x＋4x＝4×(27＋2x)， 解得x＝4. ∴6x＝6×4＝24. 答：边的宽为4 cm，天头长为24 cm. 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P6～7第5讲 2．性质2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等．即如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，那么＝(c≠0). ④若＝，则a＝b； ⑤若a＝b，则 ＝. 步骤 例：2－＝ 注意事项 去分母 __________________ 不要漏乘不含分母的项 去括号 ________________ 括号前面是“－”号时，去括号时注意变号 移项 －4x－x＝－8＋2 移项要变号 合并同类项 －5x＝－6 系数相加，字母及其指数均不变 系数化为1 x＝ 分子、分母不要颠倒 3．(人教七上P97例3)解方程：－1＝2＋. 4．用代入消元法解方程组： 5.用加减消元法解方程组： 利润率＝×100% (2022·雅安) 已知是方程ax＋by＝3的解，则代数式2a＋4b－5的值为_________． 把代入ax＋by＝3，得a＋2b＝3. (2023·常德) 解方程组： 所以原方程组的解是 ☞变式 解方程组： ∴原方程组的解为 由题意，得 解得 解得 解得 ×4＋x＝1，解得x＝20. A． B． C． D． 2．(2023·南充) 关于x，y的方程组的解满足x＋y＝1，则4m÷2n的值是(　　) A．＝ B．＝－12 解得 7．(2023·北京) 对联是中华传统文化的瑰 宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处 分别称为天头和地头，左、右空白处统称为 边．一般情况下，天头长与地头长的比是 6∶4，左、右边的宽相等，均为天头长与地 头长的和的.某人要装裱一副对联，对联的 长为100 cm，宽为27 cm.若要求装裱后的长 是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．(书法作品选自《启功法书》) $$