专题03 旋转（考点串讲，考点聚焦+题型突破+方法技巧+押题猜想）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

九年级数学上学期·期末复习大串讲 专题03 旋转 人教版 01 02 04 03 题型剖析 考点透视 押题预测 思维导图+知识梳理 常用结论+技巧点拨 精选5道期末真题对应考点练 十一大题型典例剖析+变式训练 方法技巧 目 录 01 考点透视 思维导图+知识梳理 思维导图 知识梳理 1.旋转的相关概念 （1）旋转：把一个 绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转. （2）旋转中心定义：旋转过程中，绕着旋转的定点(点O)叫做 ；作用：确定旋转的中心位置。 （3）旋转角定义：旋转过程中，绕 转动的角叫做 ；作用：确定旋转幅度的大小。 （4）对应点：如果图形上的点A经过旋转变为点A',那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 注意：(1)旋转只改变图形在平面中的 ，不会改变图形的 和 ， (2)旋转中心既可以在图形的外部，也可以在图形的内部，还可以在图形上. 平面图形 旋转中心 旋转中心 旋转角 位置 形状 大小 2.旋转的性质 (1)旋转的性质可以用来判断角或线段是否相等，主要方法有两种： ①根据旋转角 、对应点与旋转中心的连线 ，可得角或线段相等； ②根据旋转前、后的图形与原来图形的 、 都相同，可得图形的对应角、对应线段相等. (2)旋转的性质还可以用来计算图形的面积、线段的长度或角的大小. 知识梳理 对应点到旋转中心的距离相等 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 旋转前后的图形全等 线段 角 图形 相等 相等 形状 大小 3.旋转作图 （1）旋转作图的依据：图形上每一点都绕 沿相同方向转动了相同的角度，对应点到旋转中心的 . （2）旋转作图应具备的条件：①已知图形；② ；③ ；④旋转角. 注意：(1)要画一个图形绕某一点旋转一定角度后的图形，一般是先确定出这个图形中的关健点绕旋转中心旋转一定角度后的对应点的 ，然后再确定其他对应线段、对应角的位置，如画三角形、四边形等多边形的旋转图形时，一般先确定各顶点旋转后的位置。 (2)画弧线或圆的旋转图形时，一般先确定它们的 旋转后的位置。 (3)当旋转中心在图形的外部时，画旋转图形的方法不变。 知识梳理 旋转中心 距离相等 旋转中心 旋转方向 位置 圆心 4.中心对称 （1）概念：把一个图形绕着某一个点旋转 ,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做 .这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于中心的对称点. 注意：①有两个图形，能够完全重合，即 都相同； ②位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转 能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的). 知识梳理 5.中心对称的性质 (1)中心对称的性质 ①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且波对称中心所平分。 ②中心对称的两个图形是 图形。 180° 对称中心 形状大小 180° 全等 对称中心 （2）确定中心对称的两个图形的对称中心的方法 方法一：连接任意一对 ，取这条线段的 ，则该中点为对称中心. 方法二：任意连接两对对称点，这两条线段的 就是对称中心。 6.中心对称的作图方法 （1）作图的关键：作出该图形上的 关于对称中心的对称点。 （2）作图步骤： ①分别连接原图形上所有关键点和 ； ②再将以上所连线段 找对称点，使得关键点到对称中心的 和对称点到 的距离相等； ③将对称点按原图形的形状依次连接起来，得到中心对称的图形。 知识梳理 对称点 中点 交点 关键点 对称中心 延长 距离 对称中心 7.中心对称图形 （1）概念：把一个图形绕着某一个点旋转 ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形做作 ，这个点就是它的对称中心. （2）常见中心对称图形及其对称中心 ①平行四边形： . ②矩形： . ③菱形：对角线交点. ④正方形：对角线交点. ⑤线段： . ⑥圆： . 知识梳理 180° 中心对称图形 对角线交点 对角线交点 线段中点 圆心 （3）中心对称图形的性质 ①中心对称图形上的对称点的连线都经过 ，且被对称中心所 . ②过 的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形. ③中心对称图形一定是 图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形.因此，中心对称图形是旋转对称图形的特例. ④中心对称和中心对称图形的区别：中心对称涉及两个图形，中心对称图形只涉及一个图形. 知识梳理 对称中心 平分 对称中心 旋转对称 8.关于原点对称的点的坐标 （1）关于原点对称的点的坐标：关于原点对称的两个点的横、纵坐标均 . 即点P(x,y)关于原点的对称点P'的坐标为 ,反之也成立. （2）与P(x,y)关于坐标轴对称和关于原点对称的点的坐标 知识梳理 名 称 坐标特点 对称点的坐标 关于坐标轴对称 关于轴对称 横坐标相同，纵坐标互为相反数 P1(x,-y) 关于轴对称 横坐标互为相反数，纵坐标相同 P2(-x,y) 关于原点对称 横、纵坐标都互为相反数 P3(-x,-y) 互为相反数 P'(-x,-y) 02 常用结论+技巧点拨 方法技巧 常用结论+技巧点拨 1、旋转性质的应用技巧 利用图形变换中的全等关系，通过变换把一个图形转移到一个新的位置，使题目中的条件得以重新分布和结合，把分散的条件集中并转化为与结论有关的条件，实现化难为易、变未知为已知、将新问题转化为已知的旧问题，从而解决问题.在解决与线段、角度计算或证明有关的实际问题时，常常需要利用旋转或中心对称将题目中分散的已知条件转移并集中到同一个图形中，再利用转化后的图形解决相关的计算或证明问题. 2、对称图形的识别方法 对轴对称图形和中心对称图形的识别是中考的必考内容之一，常以选择题的形式出现，所给图形既有单纯的轴对称图形或单纯的中心对称图形、也有既是轴对称图形又是中心对称图形的图形，解题时一定要看清题目要求.轴对称图形与中心对称图形不是脱离其他知识而独立存在的.轴对称图形和中心对称图形的对比渗透了数学中类比的思想方法；用运动的观点观察和认识图形，则渗透了数学中旋转变换的思想方法. 3、平面直角坐标系中的旋转与作图 在平面直角坐标系中，常常综合考查平移、轴对称和旋转等作图及对称点坐标的关系，而坐标系往往建在方格网中，这就降低了作图难度，解题的关健是利用旋转的性质求点的坐标.作图时注意明确旋转中心、旋转方向、旋转角. 4、截长补短法的巧用 这类题目常常考查三条线段之间数量关系的证明.解决此类问题通常采用“截长补短法”:一种是在“和线段”上截取一部分等于一个“分线段”,再证剩余部分等于另一“分线段”,这种方法叫“截长法”;另一种是延长“分线段”,使其等于“和线段”,再证延长部分等于另一“分线段”,这种方法叫“补短法”. 常用结论+技巧点拨 03 题型剖析 十一大题型典例剖析+变式训练 题型一：判断一个图形由旋转而成的图案 典型例题 题型一：判断一个图形由旋转而成的图案 典型例题 题型一：判断一个图形由旋转而成的图案 典型例题 题型二：找旋转中心、旋转角、对应点 典型例题 题型二：找旋转中心、旋转角、对应点 典型例题 题型二：找旋转中心、旋转角、对应点 典型例题 题型三：求旋转对称图形的旋转角度 典型例题 题型三：求旋转对称图形的旋转角度 典型例题 题型三：求旋转对称图形的旋转角度 典型例题 题型四：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 典型例题 题型四：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 典型例题 题型四：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 典型例题 题型五：根据旋转的性质求解 典型例题 题型五：根据旋转的性质求解 典型例题 题型五：根据旋转的性质求解 典型例题 题型五：根据旋转的性质求解 典型例题 题型六：根据旋转的性质说明线段或角相等 典型例题 题型六：根据旋转的性质说明线段或角相等 典型例题 题型六：根据旋转的性质说明线段或角相等 典型例题 题型七：画旋转图形 典型例题 题型七：画旋转图形 典型例题 题型七：画旋转图形 典型例题 题型八：根据中心对称的性质求面积、线段或角度 典型例题 题型八：根据中心对称的性质求面积、线段或角度 典型例题 题型八：根据中心对称的性质求面积、线段或角度 典型例题 题型九：中心对称图形 典型例题 题型九：中心对称图形 典型例题 题型九：中心对称图形 典型例题 题型十：中心对称图形规律探究问题 典型例题 题型十：中心对称图形规律探究问题 典型例题 题型十：中心对称图形规律探究问题 典型例题 题型十一：关于原点对称的点的坐标 典型例题 题型十一：关于原点对称的点的坐标 典型例题 04 押题预测 精选6道期末真题对应考点练 典型例题 典型例题 典型例题 典型例题 典型例题 感谢您的观看 Thank you 56 【例1】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（    ） A．60° B．90° C．120° D．180° 【答案】C 【解析】解：此图形可看作由一个基本图形旋转120°组成的，故这个角度可以是120°或120°的整数倍，故选C． 【变式1-1】（24-25九年级上·天津北辰·期中）∆ABC和∆BDE是等边三角形，且A，B，D在一条直线上，连接AE，CD交于点P，则下列结论 ①AC//BE；②∠APC=60°；③AE=CD；④∆CBD可以看作是∆ABE绕点B顺时针能转60°而成的；其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】解：∵∆ABC和∆BDE是等边三角形，∴∠CAB=∠DBE=60°，∴AC//BE，故①正确；∵∆ABC和∆BDE是等边三角形，∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+CBE，即∠ABE=CBD，∴∆ABE≌∆CBD(SAS)，∴∠BDC=AEB，∴∠APC=∠EAB+BDC=∠EAB+∠AEB=∠EBD=60°，故②正确； ∵∆ABE≌∆CBD(SAS)，∴AE=CD，故③正确；∵∆ABE≌∆CBD(SAS)，且∠ABC=60°， ∴∆CBD可以看作是∆ABE绕点B顺时针能转60°而成的，故④正确；∴正确的有①②③④，共4个，故选：D． 【变式1-2】（23-24九年级上·天津·期中）如图，∆ABD,∆AEC都是等边三角形．∆ACD可由∆ABE绕点 ， 方向，旋转 角度得到． 【答案】A 顺时针 60 【解析】解：∵∆ABD,∆AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠EAC=60°， ∴∠BAD+∠BAC=∠EAC+∠BAC即∠DAC=∠BAE，∴∆DAC≌∆BAE(SAS)， ∴∆ACD可由∆ABE绕点A顺时针方向旋转60°得到，故答案为：A，顺时针，60． 【例2】（24-25九年级上·贵州黔南·期中）小明在如图所示的6×4方格纸中，将三个顶点都在格点上的∆ABC经过旋转后得到∆DEF，则其旋转中心是（    ） A．格点M B．格点P C．格点Q D．格点N 【答案】C 【解析】解：旋转的性质，旋转中心为对应点连线的中垂线上，连接AD、BE，两条线段的中垂线的交点即为旋转中心．故选C． 【变式2-1】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知点A(2,0)，B(0,4)，C(2,4)，D(6,6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　） A．(3,2) B．(3,3) C．(6,2) D．(4,2) 【答案】D 【解析】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P(4,2)， 【变式2-2】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到∆A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为 ． 【答案】150° 【解析】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到∆A'B'C， ∴BC与B'C是对应边，∴旋转角∠BCB'=180°-30°=150°． 故答案为：150°． 【例3】（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，五角星图案绕着它的中心O旋转，旋转角至少(   )度时，旋转后的五角星能与自身重合． A．60° B．72° C．90° D．100° 【答案】B 【解析】解：该图形被平分成五部分，360°÷5=72°，则旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为72°．故选：B 【变式3-1】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图可以看成是由一个等腰直角三角形旋转若干次形成的，则每次旋转的度数是（   ） A．72° B．60° C．45° D．30° 【答案】C 【解析】解：由图可得：图是由一个等腰直角三角形旋转8次形成的， ∴每次旋转的度数360°÷8=45°;故选：C． 【变式3-2】（24-25九年级上·天津河西·期中）把图中的等边三角形绕着它的两条中线的交点O旋转，要使旋转后的三角形能与自身重合，则旋转角的度数至少为 ． 【答案】120° 【解析】解：∵等边三角形的两条中线的交点O，∴∠OAC=∠OCA=30°，∴∠AOC=180°-30°-30°=120°， ∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．故选：C． 【例4】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）在平面直角坐标系中，将点P(a,b)绕坐标原点O(0,0) 逆时针旋转90°，所得到的对应点P'的坐标为 ． 【答案】(-b,a) 【解析】解：如图，设点P(a,b)位于第二象限，则a<0，b>0，过点P(a,b)作PA⟂x轴于点A，过点P'作P'B⟂y轴于点B，∴PA=b，OA=-a，∠PAO=90°=∠OBP'， ∵将点P(a,b)绕坐标原点逆时针旋转90°得到对应点P'，∴OP'=OP，∠P'OP=90°， ∴∠APO+∠POA=90°=∠BOP'+POA，∴∠APO=∠BOP'， 在∆APO和∆BOP'中， ∠APO=∠BOP', OP=OP', ∠OBP'=∠PAO，∴∆APO≌∆BOP'(AAS)，∴BO=PA=b，BP'=OA=-a， 此时点P'在第三象限，则点P'的坐标为P(-b,a)， 按同样的方法，若点P(a,b)在其它象限，将点P(a,b)绕坐标原点逆时针旋转90°，所得到的对应点P'的坐标仍然为(-b,a)．故答案为：(-b,a)． 【变式4-1】（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt∆ABO绕原点O顺时针旋转90°，得到∆CDO，若AB=4，∠AOB=30°，则旋转后点C的坐标为 ． 【答案】 【解析】解：∵在Rt∆ABO中，AB=4,∠AOB=30°，∴OA=8，∴， ∵Rt∆ABO绕原点O顺时针旋转90°，得到∆CDO，∴，∴． 故答案为：． 【变式4-2】（23-24九年级上·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为(6,0)，将∆ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到∆DBC，则点C的坐标是 ． 【答案】 【解析】解：作CM⟂x轴于M，∵点B的坐标为(6,0)，∴BC=OB=6， ∵∠OBC=60°，∴∠BCM=30°，∴BM=BC=3，， ∴OM=OB-BM=6-3=3，∴．故答案为：． 【例5】（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于A，B两点．过点B的直线交抛物线于点C．点M在抛物线上，横坐标为m(0<m<1)，将点M绕点O旋转90°，恰好落在直线BC上，则点M的坐标为 ． 【答案】(,) 【解析】解：当0<m<1时，过点M作MG⟂y轴于G，过点N作NH⟂x轴于H，则∠OHN=∠OGM=90°， ∵∠HOG=∠MON=90°，∴∠MOG+∠HOM=∠NOH+∠HOM=90°，∴∠NOH=MOG， 又∵ON=OM，∴∆NOH≌∆MOG(AAS)，∴NH=MG，OH=OG，∵M(m,m2-2m-3)， ∴MG=m，OG=-(m2-2m-3)=-m2-2m+3，∴NH=m，OH=-m2+2m+3，∴N(-m2+2m+3,m)， ∵点N恰好落在直线BC上，∴m=(-m2+2m+3)，解得m1=0（不合舍去），m2=，∴M(,)； 【变式5-1】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在∆ABC中，AC=BC，将∆ABC绕点A逆时针旋转60°，得到∆ADE，连接BD，BE． (1)判断∆ABD的形状； (2)求证：求证：BE平分∠ABD． 【解析】（1）解：∆ABD为等边三角形，理由如下： ∵∆ABC绕点A逆时针旋转60°，∴AB=AD，∠BAD=60°，∴∆ABD为等边三角形； （2）证明：∵∆ABC绕点A逆时针旋转60°，∴AE=AC，DE=BC，∵AC=BC，，， ∵∆ABD为等边三角形，，，，即， ，，平分． 【变式5-2】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）等边 中，平分，为边上一点，且，连接． (1)如图1，取中点，连接，猜想：、数量关系_________；位置关系________； (2)如图3，把图2中的绕点顺时针旋转任意角度，然后连接，点为中点，连接，问第（1）问中的结论还成立吗？若成立，请选一种情况证明；若不成立，请说明理由． 【解析】（1）解：如图，延长至，使，连接、、． ∵等边 ，∴，，∵平分，，， ，∴，∵中点，∴，，，四边形是平行四边形，∴，，，在和中，，∴，，， ，∴是等边三角形，，，∴，故答案为：，； 【变式5-2】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）等边 中，平分，为边上一点，且，连接． (1)如图1，取中点，连接，猜想：、数量关系_________；位置关系________； (2)如图3，把图2中的绕点顺时针旋转任意角度，然后连接，点为中点，连接，问第（1）问中的结论还成立吗？若成立，请选一种情况证明；若不成立，请说明理由． （2）解：结论成立． 证明：如图，延长至，使，连接、、、． 由（2）可知，，，， 即，，，四边形是平行四边形，， 在和中，，∴，，， ，∴是等边三角形，，， ∴，故答案为：，；． 【例6】（24-25九年级上·贵州黔南·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，连接．若，则 的度数为 ． 【答案】 【解析】解∶由旋转得， ，． ， 故答案为：． 【变式6-1】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知中，，，，，，点为直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，点在直线上且，则最小值为 ． 【答案】 【解析】解：，，，∵是的外角，∴， 由旋转可知：，，， 在和中，，，，则当时，最小，即最小， ，，，，点到的距离为，的最小值为， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，，可以由绕点顺时针方向旋转得到，其中点与点、点与点是对应点，连接，且，，在同一条直线上，求出，的长． 【答案】， 【解析】解：，，，，， 是由绕点顺时针方向旋转得到，其中点与点、点与点是对应点， ，，，，，， ，，，，． 【例7】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B、C、D的坐标分别为． (1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； (2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； 【解析】（1） （2）解：连接，则：． 【变式7-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在图中画出线段绕着点B顺时针旋转的线段，点E在小正方形的顶点上； (2)在图中画出以为边的等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且的周长为．连接，请直接写出点G到的距离是多少． 【解析】（1）解：如图，线段即为所求； （2）如（1）图，即为所求，点G到的距离是，根据勾股定理得，，，， ，为等腰三角形，周长为，，， ，点G到的距离是． 【变式7-2】（24-25九年级上·广东阳江·期中）如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接． (1)补充完成图形； (2)求证：． 【解析】（1）解：如图所示， （2）解：∵是等边三角形，∴，， ∵线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，∴，，∴， 即，∴，在与中，，∴， ∴，∴，∴． 【例8】（24-25九年级上·四川德阳·期中）如图，直线a、b垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点B，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】6 【解析】解：如图，以点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，过作于点，， 直线a、b垂直相交于点，于点，，四边形是矩形，于点B，且，点的横坐标是，点的对称点是点，根据中心对称的性质可知，点的横坐标是， ，根据中心对称的性质可知，阴影部分的面积之和等于矩形的面积， 阴影部分的面积之和为：，故答案为：． 【变式8-1】（21-22九年级上·江西赣州·期中）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称,要得到△DEF,需要将△ABC绕点O旋转角是 【答案】180° 【解析】根据两个图形成中心对称的含义知，旋转的角度是180°；故答案为：180° 【变式8-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，与关于点成中心对称，，，，求的长． 【答案】 【解析】解：与关于点成中心对称，，∴，、、三点共线， ∵，，， 【例9】（22-23九年级上·江西宜春·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形． (1)在图1中画出一个，使点C在格点上，且是轴对称图形． (2)在图2中画四边形，使点D，E均在格点上，四边形不是矩形，且四边形是中心对称图形． 【解析】（1）解：如图所示，是轴对称图形：   （答案不唯一） （2）解：如图所示，四边形不是矩形，且四边形是中心对称图形：    【变式9-1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）下列各图中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A中图形是中心对称图形，故本选项符合题意； B中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形不是中心对称图形，故本选不项符合题意； D中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 【变式9-2】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（    ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【答案】C 【解析】解：如图所示：   ∴对称中心是点M；故选C． 【例10】（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵，∴点的坐标是．故选：B． 【变式10-1】（21-22九年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，.已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】解：∵，，∴点关于点的对称点， ∵点关于点的对称点为，，，∴， ∵点关于点的对称点为，，，∴， ∵点关于点的对称点为，，，∴， ∵点关于点的对称点为，，，∴， ∵点关于点的对称点为，，，∴， ∵点关于点的对称点为，，，∴， 此时点与点重合．∵，∴与点重合，故，答案为：． 【变式10-2】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第 个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是 ． 【答案】7 【解析】解：由题意可得，点的坐标为，，，，由此可得，点是的坐标，即该点在第7个三角形上； 法一：由图可得点，，所以点，则点，由图可推得点； 法二：由点，，，的坐标，可得点，，所以点． 故答案为7， 【例11】（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知点与点关于原点对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】解：点与点关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式11-1】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）若点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【解析】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式11-2】（24-25九年级上·重庆长寿·期中）点和点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴ 故答案为：． 1．（24-25九年级上·四川·期末）如图，在矩形中，，，将绕点 A按逆时针方向旋转到（点 A，B，E在同一直线上），连接，则 ． 【答案】 【解析】解：∵矩形中，，， ∴，，， ∵将绕点 A按逆时针方向旋转到（点 A，B，E在同一直线上）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在正方形中，，是上一点，，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】2 【解析】解：连接，将绕点逆时针旋转得，连接，，作于， 由旋转可得：，，，，，，，， ，，，，，，，， ，，的最小值为2，故答案为：2． 3．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，是等腰直角三角形，是斜边，点P是内一定点，延长至点，将绕点A旋转后，与重合，如果，那么 ． 【答案】2 【解析】∵绕点旋转后能与重合， ， 故答案为：2． 4．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在菱形中，，，点P是边上一动点，将线段绕点P顺时针旋转得到线段（点B的对应点为点M），当点A与点M的距离最小时，的面积为 ． 【答案】 【解析】解：以A为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，过B作于G，设交延长线于H，当点在点的左侧时，如图： 设，则，∵，∴，，∴， ∵将线段绕点P顺时针旋转得到线段（点B的对应点为点M），∴， ∴，∴，∴，∴，，∴， ∴，∴，∴当时，取最小值，此时， ∴，∴；当点在点的右侧时，如图：同理可得，故答案为：． 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图），则 ；然后将绕点旋转到，当过点时旋转停止，则的长度为 ． 【答案】2 【解析】解：∵四边形是矩形，∴，，， ∵将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上，∴，， ∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴， ∴，，∴， 连接，∵将绕点旋转到，∴，，∵， ∴（）∴，，∴点垂直平分，点垂直平分， ∴，∴，即，∴，故答案为：，． $$