勾股方程的运用 2024-2025学年湘教版八年级数学下册

勾股方程的运用 2024-2025学年湘教版八年级数学下册 类型一：折叠类问题 解题思路： 1、 折叠的性质：对应角相等，对应边相等；折痕垂直于对应点的连线； 折痕可看作角平分线 2、 设x，在直角三角形中构造勾股方程 1 . 如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为________． 2 . 如图，直角三角形纸片的两直角边，，现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，则的长为 ． 3. 如图，在中，，，点分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使A点落在边上的处，，则的长度为______：的长度为______． 4 . 如图，长方形中：，．点E为射线上的一动点，将沿折叠，得到（点A的对应点为）并连接、，当为等腰三角形，的长是______． 5. 如图，点E在长方形纸片的边上，已知，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为． (1)求证：； (2)求折叠后的长． 6 . 如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 7 . 如图1，在长方形中，已知，，，，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到． (1)填空：______；（用含t的代数式表示） (2)求证：； (3)如图2，射线恰好经过点B，试求此时t的值； (4)当射线与边交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得？若存在，直接写出所有符合题意t的值；若不存在，请说明理由 类型二：实际应用问题 解题思路：1、根据题意找和差倍分的等量关系，注意相等的量 2、设x，在直角三角形中构造勾股方程 1 . 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? ”翻译成数学问题是：如图所示，在 中，， 求的长， 如果设，则可列方程为（        ） A． B． C． D． 2 .《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（       ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 3. 《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（       ） A．  B． C． D． 4 .小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( ) A．2 m B．2.5 m C．2.25 m D．3 m 5 . 在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树跑到离树处的池塘A 处，另一只爬到树顶C后直接跃到A 处，如果两只猴子所经过的路程相等，且路程以直线计算，试求这棵树的高度． 6 .为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB＝25 km，CA＝15 km，DB＝10 km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？ 7 . “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 8 . 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得，直接写出边上的高为______． （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 9 . 如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的周长． (2)问t满足什么条件时，为直角三角形？ (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 学科网（北京）股份有限公司 $$