26.2.2.4 二次函数 y =ax²+bx+c的图象与性质 教案 2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第4课时 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质 一、教学目标 1.会把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2+k(a≠0)的形式. 2.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象性质． 3.理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系. 二、教学重难点 重点：会把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式. 难点：掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质，运用函数图象的性质解决问题． 三、教学过程 【新课导入】 [复习导入] [课件展示]回顾二次函数y=a(x-h)2+k的性质: 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 【新知探究】 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 [提出问题]问题1：我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？ [师生活动]学生思考问题，想到可以将二次函数y=2x2-4x+5转化成y=a(x-h)2+k的形式，但是应如何转化呢？ 教师提示：可利用“配方法”. 师生配合写出转化过程: 因此,二次函数y=2x2-4x+5图象的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,3). [归纳总结]y=2x2-4x+5 配方 y=2(x-1)2+3 [提出问题]问题2：求二次函数y=ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标. [交流讨论]小组之间交流讨论，将二次函数y=ax2＋bx＋c配方得： y=ax²+bx+c （提取二次项系数） （配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方） （化简：去掉中括号，前三项化为平方形式，后两项合并同类项） [归纳总结]一般地，二次函数 y = ax2+bx+c 可以通过配方化成 y =a(x -h)2+k 的形式，即 因此，抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是， 对称轴是直线x= . [过渡]二次函数 y = ax2+bx+c的图象与性质： 当x<时，y随x的增大而减小； 当x>时，y随x的增大而增大. 当 x =时，函数取最小值，最小值为 . 当x<时，y随x的增大而增大； 当x>时，y随x的增大而减小. 当 x =时，函数取最大值，最大值为. [课件展示]做一做：如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,而且左、右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=x2+x+10表示. (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少? (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少? [师生活动]学生思考问题，教师引导，师生配合得出答案: 方法一：将函数y=x2+x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离. y=x2+x+10=（x2+40x+400）+1=（x+20)2+1 ∴这条抛物线的顶点坐标是(-20,1）. （1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m. （2）同理,右边抛物线的顶点坐标是(20,1）,两条钢缆最低点之间的距离是│-20-20│=40（m）. 方法二：左边钢缆的函数表达式：y=x2+x+10. 由顶点坐标公式， 得=-20,=1. ∴这条抛物线得顶点坐标是(-20,1）. （1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m. （2）同理,右边抛物线的顶点坐标是(20,1）,两条钢缆最低点之间的距离是│-20-20│=40（m）. [方法总结]将二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式: ① 配方法 对称轴：直线x=h 顶点坐标：(h,k) ② 公式法 对称轴：直线x= 顶点坐标： 2.二次函数的图象与系数的关系 [课件展示]问题3：一次函数 y = kx+b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空. 问题4：二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： [归纳总结]二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c之间的关系: 二次函数y=ax2+bx+c的补充性质： 1.关于x轴对称的抛物线解析式为 y=-(ax2+bx+c)= -ax2-bx-c； 2.关于y轴对称的抛物线解析式为y=a(-x)2+b(-x)+c=ax2-bx+c； 3.当=0时，顶点在y轴上； 4.当Δ=b2-4ac=0时，顶点在x轴上，当Δ=b2-4ac>0时 ,抛物线与x轴有两个交点，当Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点； 5.当x=1时，抛物线解析式为y=a+b+c；当x=-1时，抛物线解析式为y=a-b+c. 【课堂小结】 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 ①二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=，顶点是. ②如果a>0,当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大. ③如果a<0,当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小. 【课堂训练】学生完成本课时PPT练习题，教师讲评. 【布置作业】 【板书设计】 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第4课时 二次函数y=ax2 +bx+c的图象与性质 1.二次函数y=ax2 +bx+c的图象与性质 对称轴：x=，顶点：. 当 a>0时,开口向上，当x<时，x↑，y↓；当x>时，x↑，y↑. 当 a<0时,开口向下，当x<时，x↑，y↑；当x>时，x↑，y↓. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y=a(x-h)2+k的图象的关系 y = ax2+bx+c 配方 y =a(x -h)2+k ① 配方法 对称轴：直线x=h 顶点坐标：(h,k) ② 公式法 对称轴：直线x= 顶点坐标： 【教学反思】 本课时主要探究二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 ，在教学中采用启发式、讨论式结合的教学方法，充分地相信学生，鼓励学生大胆地用自己的语言进行归纳，总结二次函数性质. 在教学过程中，注重为学生提供展示自己的机会，这样也利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和提高学生学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$