专题07圆（9大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（湖北专用）

专题07 圆 垂径定理 1．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）直径为的中，弦，则点到弦的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，在中，以为直径的经过点．以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线分别交弦、劣弧于点，连接．下列结论正确的是（    ） A． B． C．点为弦的中点 D．点为劣弧的中点 3．（23-24九年级上·湖北·期末）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，于点．“会圆术”给出长的近似值计算公式：．若，则的长为（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在半径为2的中，弦，弦，且， 弧、弦、圆心角、圆周角 1.（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，是的直径，弦，若， 则 ． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，．若，，则的度数为 ．    3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，的两条弦相交于点，若，则 ． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，过A，C两点的交线段于D点，交于E点，交于F，则的最大值为 . 5．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）点是所在平面内一点，满足，点是，的角平分线的交点，若，则的度数为 ． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，分别与相切于A,B两点，C是上异于A,B的点，连接．若，则的大小是 ． 7．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知，在中，，，以为直径的圆经过的外心，则的长为 ． 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）四边形是的外切四边形，若，则的度数是 ． 9．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，四边形是的内接四边形，．若的半径为5，则弧的长为 ． 10．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，为的直径，过上一点作的平分线交于点D，的平分线交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点． (1)求证：； (2)若以点为顶点的四边形是正方形，试判断的形状，并说明理由． 12．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，为的直径，为的半径，的弦与相交于点F，的切线交的延长线于点E，．求证：垂直平分． 点和圆的位置关系 1.（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为2作，判断原点与的位置关系为（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．以上都有可能 2．（23-24九年级上·湖北·期末）在正方形中，以点为圆心，长为半径作，下列说法错误的是（    ）． A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆上 D．点在圆上 直线和圆的位置关系 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）的直径是4，圆心O到直线l的距离是2，则直线l与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相离或相交 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，圆心在上，与相切，为切点．则的（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，I是的内心，连接，若，则的长是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，若的半径为4，圆心O到某条直线的距离为3，则这条直线可能是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知的半径是，点P是直线l上一点，且．那么直线l与的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 7．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，的长度分别为，，，与分别与直线、、相切（与分别在直线的异侧），若的半径为，的半径为，则为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在平面中，已知的半径等于，点在直线上，则圆心到直线的距离（    ） A．等于 B．最小值为 C．最大值为 D．不等于 正多边形和圆 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，⊙O的半径是2，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值是（    ） A．3.1 B．3 C．1+ D．2 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）正六边形的周长是12，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 求弧长 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知一个圆心角为，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示（A，B两点触地放置），向右滚动工件至点B再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是（    ） A．6 B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，边长为1的正方形的顶点，在半径为1的圆上，顶点，在圆内，将正方形沿圆的内壁按逆时针方向作无滑动的滚动，当点再一次落在圆上时，点运动的路径长为 ． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图所示，四边形为正方形，在等腰中，，若绕点A顺时针旋转，D、B的对应点分别为F、H，直线与直线相交于点P，则点P运动的路径长度是 ．    4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知一个圆锥底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 ． 5．（23-24九年级上·湖北·期末）如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆形铁皮的直径是 ．    6．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，如图1，为水面截线，为台面截线，，，，．将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动．如图2，则操作后剩余水的截面周长为 ．    求阴影部分面积 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，与相切于点，，且的直径为，，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，为非直径弦，以为边作，边交于点D，且点D是劣弧的中点，是的角平分线． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求阴影部分的面积． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，已知是的直径，B、C为圆上的点，、，垂足分别为E、F．    (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点都在上． (1)求扇形的面积； 网格作图 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点是格点，与网格线分别交于点，．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先在优弧上画点，使得，再画的平分线，交于点； (2)在图2中，是上一点，先画将点绕点逆时针旋转的对应点，再画弦． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点、、均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，完成下列各题： (1)在图1中，先画出圆心，再画的中点； (2)在图2中，先在上画出点，使；再在弦上画出点，使． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点. B，C为格点，以线段为直径的交纵向格线于A点，连接. 仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示. (1)在图1中作出圆心O； (2)在图1中作平分交于D点： (3)在图1中作绕D点顺时针旋转后的线段； (4)在图2的中作弦. 4．（23-24九年级上·湖北·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在下列所给定的网格中完成画图． (1)在图1中，，，三点是格点，是经过，，的圆上一点，请画出的中点，再在上画点，使； (2)在图2中，，都在格点上，为经过，的圆上一点，请先画出该圆的圆心，再在上画点，使得． 5．（23-24九年级下·湖北·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)如图（1），先画的中点，连接，再在上找一点，使得； (2)如图（2），点是格点，延长交于点，先过点作的切线，再在上找一点，使得． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)在图①中，A、B、C三点是格点，D是圆和网格线的交点，请你画出经过A、B、C三点的圆的圆心O，并在该圆上画出点E，使（画出1个点E即可）； (2)在图②中，经过格点A和格点B，圆心O也在格点上，点C是和网格线的交点，请在上作出点D，使得，并过点C作的切线． 7．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，过格点A，B，C，点D为与格线交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． (1)画圆心O，并过点B作的切线BE； (2)作弦，并在上画点G，使． 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．，两点为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)如图（1），点是格点，先画的角平分线，再在劣弧上画点，使； (2)如图（2），所对的圆心角是，先画等边三角形，再过点画此圆的切线． 圆的综合题 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与x轴交于A，B两点，D是以为圆心，2为半径的上一动点，E为中点，则线段的长可能为（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5 2.（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，圆中互相垂直的弦，与圆心的距离分别为，，这时圆内被分为①②③④四个部分．如果用，，，分别表示这四个部分的面积，则可表示（    ） A． B． C． D．0 3.（23-24九年级上·湖北武汉·期末）古代数学家阿基米德曾经提出一个定理：一个圆中一条由两条长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图（1），弦，是的一条折弦，点是的中点，过点作于，则．根据这个定理解决问题： 如图（2），边长为的等边内接于，点为优弧上的一点．，则的周长是 ． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）“数缺形时少直观，形无数时难人微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点，，两点均在轴上，且，，则为 （用含、的代数式表示），的最大值为 ． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，当过，，三点的圆面积最小时，则 ． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在正方形铁皮上，以A为圆心剪下一个圆心角为的扇形，剩余部分剪一个半径为r的圆形，使之恰好围成一个圆锥．若，则r的最大值是 ． 7．（23-24九年级上·湖北·期末）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图（1），点P是线段上的一动点，过点P作轴交抛物线于点Q，连接，若平分，求点P的坐标； (3)如图（2），过A，B，C三点作，直线交于点M，N，交抛物线于点E，F． 若，求t的值 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，为上一点，且，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 10．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，矩形内接于．请仅用无刻度的直尺完成画图，并回答问题． (1)如图（1），画出圆心O； (2)如图（2），E为上一点，，画出弧的中点P； (3)如图（3），E为上一点，四边形是菱形． ①试判断直线是否经过点O，并简要说明理由； ②与相交于点G，在上画点M，使． 11．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，在中，为的外接圆，点为优弧的中点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 12．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，，，分别与相切于点，，，且∥，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 13．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)如果，于．求证：． 14．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，O为边上一点，过点C且经过边上的点D，． (1)求证：为的切线； (2)延长交于点E，连接，若且，求的半径． 15．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）菱形的顶点B，C，D在上，O在线段上. (1)如图1，若是的切线，求的大小； (2)如图2，若，，与交于点E，求的长. 16．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，经过点A，与矩形的两边相切，切点分别为E，F，与边相交于点G．连并延长交边于点P． (1)求证：； (2)若，直接写出的长． 17．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在矩形中，点为线段上任一点．    (1)若，请在图中用尺规作图画出所有符合要求的点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆 垂径定理 1．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）直径为的中，弦，则点到弦的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，作于，如图，根据垂径定理得到，然后根据勾股定理计算的长即可．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．勾股定理，熟练运用垂径定理是解题的关键． 【详解】解：连接，作于，如图， ∵，， ∴，， ∴在中，， 即点到弦的距离为， 故选：． 2．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，在中，以为直径的经过点．以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线分别交弦、劣弧于点，连接．下列结论正确的是（    ） A． B． C．点为弦的中点 D．点为劣弧的中点 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的作图及意义，直径所对的圆周角是直角，相等的圆周角所对的弧相等，根据，得出，即可作答． 【详解】∵以为直径的经过点， ∴， 由作图可知， ∴，即点为劣弧的中点， 故D选项正确，其他选项无法证明， 故选：D． 3．（23-24九年级上·湖北·期末）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，于点．“会圆术”给出长的近似值计算公式：．若，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由已知求得与的数量关系，与的数量关系，将代入即可得解． 【详解】解：连接， ， ， 是的中点，， 三点共线， ， ， ， ， ， ，， ，即， ， 故选：B． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在半径为2的中，弦，弦，且，则与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图， 过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图， 过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是． 故答案为：． 弧、弦、圆心角、圆周角 1.（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，是的直径，弦，若， 则 ． 【答案】65 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的特征，根据直径所对的圆周角是直角，再利用平行线的性质得到，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ，， ， ， 故答案为：65． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，．若，，则的度数为 ．    【答案】/38度 【分析】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵为直径，即， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，的两条弦相交于点，若，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得结论． 【详解】解：∵所对的圆周角是， ∴ 故答案为：． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，过A，C两点的交线段于D点，交于E点，交于F，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】取的中点G，连接，，过点作于点H，根据圆周角定理得出，根据直角三角形性质得出，根据平行线的性质得出，得出，根据垂线段最短得出，即可得出，求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：取的中点G，连接，，过点作于点H，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，平行线的性质，角所对的直角边等于斜边的一半，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，得出． 5．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）点是所在平面内一点，满足，点是，的角平分线的交点，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查圆相关知识，涉及外心、角平分线性质和圆周角定理以及分类讨论思想，设，根据角平分线性质得设，①点与点在直线的同侧时，，②点与点在直线的异侧时，，即可解得答案． 【详解】解：设， ∵点是，的角平分线的交点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ①点与点在直线的同侧时，如图， ，则，得； ②点与点在直线的异侧时，在点O同侧的圆弧上取一点E，连接和，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 则，得； 综合①②，或． 故答案为：或． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，分别与相切于A,B两点，C是上异于A,B的点，连接．若，则的大小是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质．如图，连接，利用切线的性质结合四边形的内角和定理求解，再分两种情况讨论，结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，（即）分别在优弧与劣弧上， ，分别与相切于A，B两点， ， ∵， ， ． 故答案为：或． 7．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知，在中，，，以为直径的圆经过的外心，则的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况画出图形：情况1为当外心在内部时，情况2为当外心在外部时，根据圆心角与圆周角的关系易得为或，再作出边上的高，利用勾股定理解直角三角形，求出的长． 【详解】解：设是以为直径的圆，点O是的外心． 情况1，如图，当点O在内部时，根据圆心角与圆周角的关系得：， 作于点E，则是等腰直角三角形，， 由勾股定理有，即，， ， ； 情况2，如图，当点O在外部时，根据圆心角与圆周角的关系得： ， 作的延长线于点F，则是等腰直角三角形，， 由勾股定理有，即，， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理、勾股定理解直角三角形、等腰直角三角形的性质等，灵活运用相关知识并画出图形分类讨论是解决问题的关键． 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）四边形是的外切四边形，若，则的度数是 ． 【答案】/102度 【分析】本题主要考查了切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理及其推论．令四边形与分别相切于点E、F、G、H，连接，通过证明，即可求解． 【详解】解：令四边形与分别相切于点E、F、G、H， 连接， ∵是的外切四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，四边形是的内接四边形，．若的半径为5，则弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，根据圆周角的性质，计算出弧所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵． ∴， ∴， ∴弧的长为． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，为的直径，过上一点作的平分线交于点D，的平分线交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理． （1）由三角形外角的性质、圆周角定理及角平分线的定义可得，，，即可得，根据等角对等边可得； （2）利用圆周角定理，推出，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ， ∴； （2）解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵平分，平分，且， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∵，， 解得， ∴, ∴． 11．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点． (1)求证：； (2)若以点为顶点的四边形是正方形，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】(）连接，根据切线的判定及切线的性质可知，，再根据切线长的定理及余角的定义，最后利用等腰三角形的判定及等量代换解答即可． （）根据正方形的性质可知是等腰直角三角形。再利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵是直径，， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵当以点为顶点的四边形是正方形时，， ∴是直角三角形， 由（1）可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理、圆周角定理，等腰三角形的性质及判定，等腰直角三角形的性质，余角的定义及性质，正方形的性质，连接得垂直，构造出等腰三角形，利用“等角的余角相等”是解题的关键． 12．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，为的直径，为的半径，的弦与相交于点F，的切线交的延长线于点E，．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查切线的性质，等腰三角形的性质，根据是的切线，可得，，根据等边对等角可得，，根据对顶角相等可得，通过等量代换可得，进而可证，结合可得垂直平分． 【详解】证明：如图，连接， ∵切于点C， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分． 点和圆的位置关系 1.（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为2作，判断原点与的位置关系为（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案． 【详解】解：∵点， ∴． ∵的半径为2，且， ∴点O在外． 故选：A． 2．（23-24九年级上·湖北·期末）在正方形中，以点为圆心，长为半径作，下列说法错误的是（    ）． A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆上 D．点在圆上 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点到圆心之间的距离的大小关系．设正方形的边长为，用勾股定理求得点到的圆心之间的距离，为的半径，通过比较二者的大小，即可得到结论． 【详解】解：设正方形的边长为， 则，， ， 点在外，点在圆上，点在圆上，点在圆内， 故选：D． 直线和圆的位置关系 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）的直径是4，圆心O到直线l的距离是2，则直线l与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相离或相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线和圆的位置关系，判断直线l与的位置关系，求出圆心与直线的距离是关键．根据圆心与直线的距离直接判断位置即可． 【详解】解：∵的直径为4， ∴半径， ∵圆心O到直线l的距离为2，即， ∴ ∴直线l与的位置关系是相切． 故选：B． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆相离的判定，根据相离的判定逐项验证即可得到答案，熟记直线与相离，得到圆心到直线的距离大于半径是解决问题关键． 【详解】解：的半径为5，若直线与相离， 由相离定义可知圆心到直线的距离大于半径5， 根据四个选项中的距离可知，只有6符合要求， 故选：A． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，圆心在上，与相切，为切点．则的（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 如图：连接，由圆周角定理可得，再根据切线的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：如图：连接，则， ∴， ∴， ∵与相切，为切点， ∴, ∴． 故选C． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，I是的内心，连接，若，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作于，于，于，根据已知条件推出四边形是正方形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论； 本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作于，于，于，   ， 四边形是矩形， ∵是的内心， , 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， , , , , , , , , , , ， 故选：D． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，若的半径为4，圆心O到某条直线的距离为3，则这条直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：相交、相切与相离，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系即可作出判断． 【详解】解：∵的半径为4，圆心O到某条直线的距离为3， ∴，即圆心到直线的距离小于半径， ∴该直线与圆相交， 由图知，与相交； 故选：B． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知的半径是，点P是直线l上一点，且．那么直线l与的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．根据题意先判断直线与圆的位置关系为相交，即可得到本题答案． 【详解】解：∵的半径是，点P是直线l上一点，且， ∵， ∴直线l与位置关系为相交， ∴直线l与的公共点的个数是个， 故选：C． 7．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，的长度分别为，，，与分别与直线、、相切（与分别在直线的异侧），若的半径为，的半径为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与、、的切点分别为D、E、F，与、、的切点分别为G、M、N．连接、、、、、，则四边形、是正方形，则，，根据 切线长定理可得，，由此即可求出的值． 本题主要考查了正方形的判定和性质，切线的性质和切线长定理，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“过圆外一点向圆引的两条切线长相等”，熟练掌握切线的相关性质是解题的关键． 【详解】 如图，设与直线、、的切点分别为D、E、F，与直线、、的切点分别为G、M、N．连接、、、、、，则四边形、是正方形， 则，, 由切线长定理得，， ，， ， ， 又， ， ． 故选：C． 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在平面中，已知的半径等于，点在直线上，则圆心到直线的距离（    ） A．等于 B．最小值为 C．最大值为 D．不等于 【答案】C 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，根据题意可判断直线与相切，熟记直线与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径等于，点在直线上， ∴直线与相切或相交， ∴圆心到直线的距离最大值为， 故选：C． 正多边形和圆 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，⊙O的半径是2，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值是（    ） A．3.1 B．3 C．1+ D．2 【答案】B 【分析】过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论． 本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，过作于， 在正十二边形中，     ， ∴正十二边形的面积为, ， , 的近似值为3， 故选：B． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）正六边形的周长是12，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定．过点O作于点G，证明是等边三角形，求出，得出，根据即可求解． 【详解】解：过点O作于点G，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 求弧长 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知一个圆心角为，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示（A，B两点触地放置），向右滚动工件至点B再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点经过的路径；确定点O的路径是关键；点O的路径是两个半径为3且圆心角为的弧，而平移的距离是一条线段，其长度是扇形工件的弧长，利用弧长公式可求得圆心O所经过的路线长． 【详解】解：∵， ∴， 当旋转到与地面垂直时，旋转角度为，此时点O的路径是半径为3且圆心角为的弧；扇形工件继续旋转时，点O的路径是一条线段，直至垂直地面，其长度是扇形工件的弧长；扇形工件继续绕A旋转，直到点A落地，此时点O的路径是半径为3且圆心角为的弧； ∴圆心O所经过的路线长为：； 故选：C． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，边长为1的正方形的顶点，在半径为1的圆上，顶点，在圆内，将正方形沿圆的内壁按逆时针方向作无滑动的滚动，当点再一次落在圆上时，点运动的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质及其应用问题以及弧长公式．画出图形，找到每一次的旋转角度和旋转中心以及弧长，利用弧长公式解答即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由图可得：连接，，，， ， ，，，为等边三角形， B到的运动轨迹是以A为圆心的弧形 ， 由旋转的性质可得： 连接，由题意得为正方形的对角线，则 ， ， ， ， 点的运动路径长为， 故答案为：． 【详解】详解片段 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图所示，四边形为正方形，在等腰中，，若绕点A顺时针旋转，D、B的对应点分别为F、H，直线与直线相交于点P，则点P运动的路径长度是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是掌握正方形四边相等，四个角都是直角，旋转前后对应角相等，对应边相等，对应边的夹角等于旋转角． 根据题意画出图形，通过证明，得出，进而得出，则点P在以为直径的圆上运动，连接，当绕点A顺时针旋转时，点A和点P重合，此时，根据弧长公式，即可解答． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到，四边形为正方形， ∴，，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴点P在以为直径的圆上运动， 连接， ∵， ∴点D为中点， ∴，    当绕点A顺时针旋转时，点A和点P重合， 此时， ∴点P经过的路程为， 故答案为：．    4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知一个圆锥底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了圆锥的有关计算和弧长公式，根据底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长以及弧长公式求解即可，正确理解圆锥的母线长是圆锥侧面展开图的扇形半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解决本题的关键． 【详解】设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，根据题意，得 ， ， 圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·湖北·期末）如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆形铁皮的直径是 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．连接，根据扇形圆心角为，得到三点共线，为的直径，首先求得扇形的弧长，再求出圆锥的母线长，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，   ， 三点共线，为的直径， 围成圆锥的底面半径为1， ， ， ， ， ， 该圆形铁皮的直径是， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，如图1，为水面截线，为台面截线，，，，．将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动．如图2，则操作后剩余水的截面周长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查圆的基本性质，涉及垂径定理、勾股定理和弧长公式，根据题意得圆的半径，连接，过点O作交于点H，根据勾股定理可求得，利用弧长公式可求得，即可得到剩余水的截面周长． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 在中，， 连接，过点O作交于点H，如图， ∵，， ∴，， ∴， 则， ∵， ∴操作后剩余水的截面周长为． 故答案为：． 求阴影部分面积 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，与相切于点，，且的直径为，，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及切线性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形面积和扇形面积公式等知识，根据题意，阴影部分面积可间接表示为面积与扇形面积的差，求出线段长代入面积公式求解即可得到答案，熟练掌握不规则图形面积求法及切线性质是解决问题关键． 【详解】解：连接，如图所示：    与相切于点， ， 的直径为，， ， 均为等腰直角三角形， ， ，， 阴影部分的面积为， 故选：C． 2．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，为非直径弦，以为边作，边交于点D，且点D是劣弧的中点，是的角平分线． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，扇形面积公式等； （1）连接，，，由线段垂直平分线判定定理得由等腰三角形的性质得，从而可得，即可求证； （2）由垂径定理得，设，由直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，可求出，由即可求解； 掌握切线的判定方法“连半径，证垂直”，割补法求面积是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接，，， 点D是劣弧的中点， ， ， ， ， ， 又∵是的角平分线， ， ， 即， 是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）可知，， 在中， ， ， ， ， 设，则有 ， 在中， ， ， 解得：，(舍去)， ， ． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，已知是的直径，B、C为圆上的点，、，垂足分别为E、F．    (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理，等边三角形的性质，扇形的面积计算． （1）先根据垂径定理得出则，进而得出答案； （2）先得出为等边三角形，再推出，得出，得出，进而得出答案． 【详解】（1）（1）证明：∵， ∴E为中点． ∵O为中点， ∴ ∵， ∴则， ∴； （2）解：连接，    ∵． ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴ 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点都在上． (1)求扇形的面积； (2)将这个扇形围成一个圆锥，直接写出圆锥的底面半径和高． 【答案】(1) (2)圆锥的底面半径为，高为 【分析】（1）先判断过圆心O，，然后由勾股定理求扇形的半径，再根据面积公式求解即可； （2）利用底面周长等于展开图的弧长，可求得半径径的长度，然后利用勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】（1）连接，， ∵， ∴过圆心O， ∴， ∵从中剪出一个圆心角的扇形， ∴． ∵， ∴， ∴扇形半径为； ∴； （2）设围成圆锥的底面半径为r，则， 解得， ∵圆锥的母线长， ∴圆锥的高为． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 网格作图 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点是格点，与网格线分别交于点，．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先在优弧上画点，使得，再画的平分线，交于点； (2)在图2中，是上一点，先画将点绕点逆时针旋转的对应点，再画弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度的直尺画图，圆周角定理，圆的对称性，矩形的性质，旋转的性质等知识； （1）与半径垂直的直径与优弧的交点即为点C，连接，则；取格点P，连接交于点D，连接，则平分； （2）取顶点都是格点的等腰直角三角形，绕O逆时针旋转即可得点M的对应点F；连接交半径于点G，连接交于点E，连接并延长交于点N，连接，则． 【详解】（1）解：所画图如下： （2）解：所画图如下： 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点、、均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，完成下列各题： (1)在图1中，先画出圆心，再画的中点； (2)在图2中，先在上画出点，使；再在弦上画出点，使． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）首先根据题意得到的中点是的圆心M，进而利用网格的特点得到的中点； （2）根据同弧所对的圆周角相等即可证明，然后根据网格的特点和圆直径的性质得到，然后利用勾股定理求出，证明出，即可得到． 【详解】（1）如图所示，圆心，点即为所求；    ∵由网格可得， ∴ ∴是的直径， ∴的中点是的圆心M， ∴由网格的特点可得，点N即为的中点； （2）如图所示，    根据网格中对称的性质得到， ∴； 由网格的特点得， ∴ ∵是直径 ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆中直角所对的弦是直径，勾股定理和全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点并运用． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点. B，C为格点，以线段为直径的交纵向格线于A点，连接. 仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示. (1)在图1中作出圆心O； (2)在图1中作平分交于D点： (3)在图1中作绕D点顺时针旋转后的线段； (4)在图2的中作弦. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点O即可； （2）连接点A和线段的垂直平分线与的交点D即可； （3）连接，由垂直平分线的性质可得，由直径所对的圆周角为可知，,则点绕D点顺时针旋转后的对应点为点C，连接并延长交于点H，延长交的延长线于点E，则点E即为点绕D点顺时针旋转后的对应点，连接，即为所求； （4）证明四边形是矩形，则Q是的中点，由垂径定理得到，由可知为三条高的交点，连接，延长交于点M，则，连接，则即为所求. 【详解】（1）如图所示，点O即为所求， 理由如下：由网格的特点可知，点O和点G分别是所在矩形的对角线交点，也是所在格线的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴点O即为所求圆心； （2）如图所示，即为所求， 理由如下：∵，是直径， ∴， ∴， 即平分交于D点； （3）如图所示，线段即为所求， 理由如下：∵垂直平分， ∴， ∵是直径， ∴， ∴点绕D点顺时针旋转后的对应点为点C， 连接并延长交于点H， ∴是的直径， ∴， 延长交的延长线于点E， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴点E即为点绕D点顺时针旋转后的对应点，连接，即为所求； （4）如图所示，即为所求， 理由如下：由（1）可知，点A和点N关于直线轴对称， ∴垂直平分， ∴， 则， ∴四边形是矩形， ∴点Q是的中点， ∴， ∵， ∴点T为三条高的交点， 连接，延长交于点M， ∴， ∴. 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、矩形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质、三角形的性质等知识，根据相关定理准确作图是解题的关键. 4．（23-24九年级上·湖北·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在下列所给定的网格中完成画图． (1)在图1中，，，三点是格点，是经过，，的圆上一点，请画出的中点，再在上画点，使； (2)在图2中，，都在格点上，为经过，的圆上一点，请先画出该圆的圆心，再在上画点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，作的垂直平分线，取点，连接，使，则为直径，的交点为圆心，取点，连接，使，则，与的交点即为，由垂径定理得，点为的中点，连接交于，连接交于，由可得，，则点即为所求； （2）如图2，作的垂直平分线，作，交圆于点，连接，则，为直径，交于点，则点即为圆心，点向左2个单位，向上2个单位为点，连接并延长交于点，则，连接，则，即点即为所求． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线，格点向右3个单位，向上1个单位为点，连接， ∴， ∴为直径， 如图1，记的交点为，则为圆心，格点向左3个单位，向下1个单位为点，连接， ∴， ∴， 记与的交点即为， 由垂径定理得，点为的中点， 连接交于，连接交于， ∴， ∴，则点即为所求； （2）解：如图2，作的垂直平分线，作，交圆于点，连接， ∴， ∴为直径， 记交于点，则点即为圆心，点向左2个单位，向上2个单位为点，连接并延长交于点， ∴， 连接， ∵， ∴，即点即为所求． 【点睛】本题考查了直角所对的弦为直径，垂径定理，同圆中相等的圆周角所对应的弧相等，同弧所对的圆周角相等，作等腰三角形等知识．熟练掌握直角所对的弦为直径，垂径定理，同圆中相等的圆周角所对应的弧相等，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 5．（23-24九年级下·湖北·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)如图（1），先画的中点，连接，再在上找一点，使得； (2)如图（2），点是格点，延长交于点，先过点作的切线，再在上找一点，使得． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】本题主要考查无刻度的直尺网格画图，圆周角定理，正方形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）通过数格点，确定的中点，构造正方形，再根据正方形性质即可得到； （2）连接，过点作的垂线，即可得到的切线，通过数格点，可得的中点，再根据垂直平分线的性质和判定，即可确定点，令． 【详解】（1）解：如图，连接，通过数格点，可得的中点，即点，连接，延长至点，通过数格点，令，再通过数格点可取点，令，再连接， ∵， ∴四边形为菱形， ∵点为的中点，为圆心， ∴，即， ∴四边形为正方形， ∴． （2）解：如图，连接，过点作的垂线，即为的切线，连接，通过数格点，可得的中点，连接过圆心并反向延长交于点，可得垂直平分，连接并延长交于点，此时垂直平分，即， 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)在图①中，A、B、C三点是格点，D是圆和网格线的交点，请你画出经过A、B、C三点的圆的圆心O，并在该圆上画出点E，使（画出1个点E即可）； (2)在图②中，经过格点A和格点B，圆心O也在格点上，点C是和网格线的交点，请在上作出点D，使得，并过点C作的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质． （1）取格点，作，则是等腰直角三角形，则，则； （2）取与格线的交点，作射线交线段于点，作射线交于点D，此时；连接，作等腰直角三角形，连接，取与格线的交点，作射线交线段于点，则直线是过点C的的切线． 【详解】（1）解：如图所示；    （2）解：如图，；    过点C的的切线，如图所示．    ． 7．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，过格点A，B，C，点D为与格线交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． (1)画圆心O，并过点B作的切线BE； (2)作弦，并在上画点G，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查切线的画法，圆心画法，平行线画法，圆周角画法． （1）根据圆心定义及切线定义即可画出； （2）根据平行线定义及圆周角定义即可画出． 【详解】（1）解：∵过格点A，B，C，点D为与格线交点， ∴取格点上的点A，B，H，C，连接，相交于点，即为圆心， ∵直径的纵横比为，化简纵横比可为，即切线纵横比应为， ∴取格点，连接交点即为点，连接即为切线，如下图所示： （2）解：连接，用无刻度直尺平移至点A画直线交于点， 连接，作交于点，则， ∴， 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．，两点为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)如图（1），点是格点，先画的角平分线，再在劣弧上画点，使； (2)如图（2），所对的圆心角是，先画等边三角形，再过点画此圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆周角定理，格点作图，网格的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． （1）首先找到的中点G，然后连接交于点D，即为的角平分线；根据网格的特点作交圆于点E即可为所求； （2）首先根据网格的特点作出的垂直平分线交圆于点F，连接，即可画出等边三角形；延长，交于点E，延长，交于点H，连接，交延长线于点G，作直线即为所求． 【详解】（1）解：如图，角平分线，点E即为所求；    ∵点G是的中点 ∴ ∴ ∴是的角平分线； ∵ ∴ ∴ ∴； （2）如图所示，等边，切线即为所求； ∵所对的圆心角是， ∴所对的圆周角是，即 ∵垂直平分线 ∴ ∴是等边三角形； ∴ ∵垂直平分线 ∴是圆的直径 ∴ ∵四边形是圆内接四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点A是的中点 同理可证，点B是的中点 ∴ ∵是等边三角形 ∴是等边三角形； ∵垂直平分线 ∴垂直平分线 ∴点G是的中点 ∵点B是的中点 ∴ ∵是等边三角形 ∴经过点B的直径垂直 ∴经过点B的直径垂直 ∵点B在圆上 ∴是圆的切线． 圆的综合题 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与x轴交于A，B两点，D是以为圆心，2为半径的上一动点，E为中点，则线段的长可能为（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5 【答案】B 【分析】解一元二次方程可得、，即，再利用勾股定理求得，再根据中位线定理可得，进而即可求解． 【详解】解：连接， 设点、，则、是方程的两个根， 解得，， ∴、， ∴， ∵， ∴， ∵E为中点，O为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， 即， ∴， ∴的长可能为2.5， 故选：B．    【点睛】本题考查解一元二次方程、勾股定理、三角形中位线定理及三角形的三边关系，熟练掌握角形中位线定理及三角形的三边关系是解题的关键． 2.（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，圆中互相垂直的弦，与圆心的距离分别为，，这时圆内被分为①②③④四个部分．如果用，，，分别表示这四个部分的面积，则可表示（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了圆的性质，矩形的性质；将，平移至，设交点分别为，则四边形是矩形，依题意，，根据中心对称的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，将，平移至，设交点分别为，则四边形是矩形，依题意，， 根据中心对称的性质可得，如图所示， ∴ 故选：A． 3.（23-24九年级上·湖北武汉·期末）古代数学家阿基米德曾经提出一个定理：一个圆中一条由两条长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图（1），弦，是的一条折弦，点是的中点，过点作于，则．根据这个定理解决问题： 如图（2），边长为的等边内接于，点为优弧上的一点．，则的周长是 ． 【答案】/ 【分析】过点Q作于T，在上截取，连接，，先求出，得到等腰直角，利用勾股定理求得，再证明，得，从而利用等腰三角形三线合一性质得出，即可得出，则，即可由三角形周长公式求解． 【详解】解：如图，过点Q作于T，在上截取，连接，， ∵等边 ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 由题意可得：，， 在和中， ， ， ， ， ， ∴ ∴ ∴的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）“数缺形时少直观，形无数时难人微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点，，两点均在轴上，且，，则为 （用含、的代数式表示），的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，一点到圆上一点的最值问题，根据勾股定理分别求出，进而可得；由勾股定理得到，进而得到，故当O、C、P三点共线，且点C在线段上时有最大值，即此时有最大值，据此求出的最大值即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵P在以点为圆心，以1为半径的圆上， ∴当O、C、P三点共线，且点C在线段上时有最大值，即此时有最大值， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，34． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，当过，，三点的圆面积最小时，则 ． 【答案】/ 【分析】设为经过三点的圆的圆心，设与交于点，连接，设， 则，进而得出，勾股定理求得，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，设为经过三点的圆的圆心，设与交于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∴ 设， 则， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴是的直径， ∵是圆内接四边形， ∴， ∴，则是等边三角形 ∴，则 ∴ 在中， 在中， ∵是的直径， ∴当取得最小值时，的面积最小， ∴当时，的面积最小， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直角所对的弦是直径，二次函数的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在正方形铁皮上，以A为圆心剪下一个圆心角为的扇形，剩余部分剪一个半径为r的圆形，使之恰好围成一个圆锥．若，则r的最大值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了圆锥的计算，切线的性质，根据题意，当与和都相切时，最大，采用数形结合的方法是解题的关键． 【详解】     , 当与和都相切时，最大， 如图，过点作于点， 则，四边形为正方形， ，， , , 解得， 即的最大值是1， 故答案为：1． 7．（23-24九年级上·湖北·期末）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图（1），点P是线段上的一动点，过点P作轴交抛物线于点Q，连接，若平分，求点P的坐标； (3)如图（2），过A，B，C三点作，直线交于点M，N，交抛物线于点E，F． 若，求t的值 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据题意，把，代入中，由此得到该抛物线的解析式； （2）根据该抛物线的解析式，可以得到B点坐标为，，由轴，平分，得到，作轴于点H，则 ，求出直线的解析式为：，设，则，由，得到答案． （3）根据已知条件，求出，过点I作轴于点G，并反向延长交于H，连接，，则，，抛物线与圆的对称性，得到，令，根据一元二次方程根与系数的关系，得到，再利用勾股定理，得到答案． 【详解】（1）解：由题意得： 抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点， 代入得：， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． （2）解∶∵该抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：，， 故B点坐标为， ， ， 又轴，平分， ， ， 如图1，作轴于点H， 则， 设直线的解析式为：， 把代入，得：，即， ∴直线的解析式为：， 设， 则， ， 又， ， 即， 解得：（舍）， 此时， 点的坐标为： （3）解：经过A，B，C三点， ∴点I也在线段的垂直平分线上，即抛物线的对称轴， ∵点I也在线段的垂直平分线上，， 垂直平分， ∴点I在上， ， 如图3，过点I作轴于点G，并反向延长交，连接，， 则，， ， ∵抛物线与都是轴对称图形，且它们具有相同的对称轴， ，， ， ， ， 令， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，抛物线与圆的对称性，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键． 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，为上一点，且，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）由垂径定理可得，由此可得，根据同弧或等弧对的圆周角相等可得； （2）连接，由勾股定理可得，则，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出x的值，即可知的长． 本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，同弧或等弧对的圆周角相等以及勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：是的直径，， ， 又， ， ， ． （2）解：连接， ， ， 又，， ， ，， ， 由（1）可知， ∴； 设， ， 在中， ， 解得：， ， ． 9．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)13 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基本知识． （1）欲证明，只要证明即可； （2）过点O作于点E，交于点F，连接，根据 得出，在中利用勾股定理求出，设的半径为r，则，利用勾股定理求出r即可． 【详解】（1）证明：， ， ，即， ； （也可通过证明三角形全等解决） （2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，， ，， 又，， ， ， 在中，， 设的半径为，中，， ， 解得，即的半径为13． 10．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，矩形内接于．请仅用无刻度的直尺完成画图，并回答问题． (1)如图（1），画出圆心O； (2)如图（2），E为上一点，，画出弧的中点P； (3)如图（3），E为上一点，四边形是菱形． ①试判断直线是否经过点O，并简要说明理由； ②与相交于点G，在上画点M，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接，的交点即为圆心O； （2）连接交于点Q，连接并延长交圆O于点P，点P即为所作； （3）①根据垂径定理的推论即可解题；②延长交于点，连接，交于点，连接并延长交于点，则点即为所作． 【详解】（1）解：连接，的交点即为圆心O； （2）解：连接交于点Q，连接并延长交圆O于点P，点P即为所作； 连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）①直线必经过点O，理由为： 连接，， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴直线必经过点O； ②延长交于点，连接，交于点，连接并延长交于点，则点即为所作． 则，为矩形， ∴，，， ∴， ∵为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图，掌握角所对的弦是直径，圆的轴对称性，矩形的中心对称，垂径定理的推论，掌握几何图形的对称性是解题的关键． 11．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，在中，为的外接圆，点为优弧的中点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了圆周角定理，中位线性质，勾股定理，平行线的性质，垂直平分线的判定和性质，等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）连接并延长交于点，连接，根据圆周角定理，等弧所对的弦相等，进而判断为的垂直平分线，再根据平行线的性质即可证明； （2）设的半径为，根据中位线性质可得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接， 为的外接圆，， ∴为的直径，， 点为优弧的中点， ， 为的垂直平分线． ， ， 是圆的半径， 是的切线． （2）解：设的半径为， 由（1）知为的中位线， ． 在中，， 在中，， ， ， 解得，或（舍去），故的半径为3． 12．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，，，分别与相切于点，，，且∥，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，由切线长定理及三角形全等的判定与性质得到，，再由平行性质即可得证； （2）由（1）中，利用勾股定理得到，进而运用等面积法求出，再运用勾股定理及切线长定理即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ，，分别与相切于，，三点， 由切线长定理可得， 在和中， ， ， ； 同理可得； ， ， ， ， ； （2）解：连接，如图所示： 由（1）可知， 在中，， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 由切线长定理得，， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及切线性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、垂直判定、勾股定理、等面积法求线段长等知识，熟练掌握切线性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理是解决问题的关键． 13．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)如果，于．求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，全等三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． （1）根据圆周角定理和角平分线的定义得到，然后根据等角对等边即可得到结论； （2）先求得，证明，然后证明，再根据全等三角形的对应边相等得到结论． 【详解】（1）连接， ∵点是的内心， ． ． ． （2）连接交于，连接． 同（1）得 点在线段的垂直平分线上． 又点在的垂直平分线上 垂直平分，即：，且． ． ． 14．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，O为边上一点，过点C且经过边上的点D，． (1)求证：为的切线； (2)延长交于点E，连接，若且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意连接，利用全等三角形判定及性质即可判定切线； （2）根据题意判定为等腰直角三角形，利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】（1）解：连接， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵为半径， ∴为的切线； （2）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，， 则，，， 在和中，和， 即， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形判定及性质，等腰直角三角形判定及性质，勾股定理． 15．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）菱形的顶点B，C，D在上，O在线段上. (1)如图1，若是的切线，求的大小； (2)如图2，若，，与交于点E，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）连接，则可得；由菱形的性质及等腰三角形的性质得，由此可求得，进而求得结果； （2）连接，过点B作于F，过点O作于N；由菱形的性质及勾股定理可求得的长；设圆的半径的r，则在中由勾股定理可求得r的值； 由面积相等则可求得，再由勾股定理及等腰三角形的性质即可求得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， 即； ∵四边形是菱形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点B作于F，过点O作于N； ∵四边形是菱形，， ∴， 由勾股定理得； 设圆的半径的r，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，菱形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，综合运用这些性质与定理是解题的关键． 16．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，经过点A，与矩形的两边相切，切点分别为E，F，与边相交于点G．连并延长交边于点P． (1)求证：； (2)若，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的定义，矩形的性质，正方形的判定和性质，正确画出辅助线，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，通过证明，四边形是正方形，即可求证； （2）连接，过点O作，则，通过证明四边形是矩形，得出，再根据勾股定理得出，易得，最后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； （2）解：连接，过点O作， ∵，四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵，， ∴， ∴． 17．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在矩形中，点为线段上任一点．    (1)若，请在图中用尺规作图画出所有符合要求的点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或8． 【分析】本题主要考查尺规作图、圆的性质、勾股定理、矩形的性质等相关知识点． （1）以为直径作圆即可，与交点即为P； （2）连接，过作垂直于点，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：取中点O，以O为圆心，长为半径作圆，交于P，如下图所示，点和都符合要求，   ； （2）解：连接，过作垂直于点，    ∵四边形是矩形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵O为中点，∴， ∴在中，， ∴； 同理，； 综上，的长为2或8． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$