专题04～05二次函数与实际问题、几何问题-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（湖北专用）

专题04 二次函数与实际问题 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：，这个函数图象如图所示．则小球从第到第的运动路径长为（    ） A．20m B．30m C．40m D．50m 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，读懂题目是解题的关键．根据第时小球达到最高点处，再利用函数关系式求出和的函数值，分别求出小球上升和下降的高度，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，当时，小球到达最高点处， 当时，， 即小球从第到第上升的高度为； 当时，， 即小球从第到第下降的高度为； 小球从第到第的运动路径长为， 故选：C． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（米）与经过时间（秒）的关系式为，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（    ） A．4米 B．6米 C．8米 D．12米 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求出小球的最大高度，从而得出结论． 【详解】解：， ∴球从弹起后又回到地面所经过的总路程是米， 故选D． 3．（23-24九年级上·湖北·期末）用一段长度为的篱笆围成一个矩形菜地，能围成菜地的面积不可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 设菜地的长为，面积为，则宽为， ，依题意得，，根据二次函数的图象与性质求最值，然后进行判断作答即可． 【详解】解：设菜地的长为，面积为，则宽为， ， 依题意得，， ∵， ∴当时，面积最大，最大值为， ∴， ∴能围成菜地的面积不可能是， 故选：D． 4．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）“快乐游玩、安全游玩”是各景区游玩的工作宗旨．某景区上午时开门迎接游客进入，下午禁止游客进入．据工作人员统计，上午时该景区已累计进入游客人，从此时开始陆续有游玩结束的游客离开．累计进入景区游客人数(单位：人)与累计离开景区游客人数(单位：人)随统计时间 (单位：h)变化的数据如下表所示： 统计时间x/h 1 2 3 4 累计进入景区游客人数y/人 累计离开景区游客人数z/人 0 探究发现，与，与x之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述． (1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)预计几点钟时，景区内游客人数最多? (3)当景区内游客人数达到人时，将触发人流高峰黄色预警，问什么时间将触发人流高峰黄色预警? 直接写出答案． 【答案】(1)； (2)景区内游客人数最多 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数的解析式，二次函数图象及性质，熟练掌握求函数解析式的方法及二次函数的性质是解题的关键． （1）设，，用表格中的数据代入即可利用待定系数法求解； （2）设剩余人数为，则，即可得到剩余人数与时间的新函数关系，运用二次函数性质计算即可求解； （3）根据题意可得，解一元二次方程即可求解； 【详解】（1）解：设，将，，代入得：， 解得：， ∴与的解析式为：； 设，将，代入得：， 解得：， ∴关于解析式为：． （2）设剩余人数为，则， ∵， 当时，最大， ∵ 当时，即开始统计， ∴当时，即景区内游客人数最多， （3）∵， ∴当 时，， 整理得：， 解得：，（舍） ∵ 当时，即开始统计， ∴当时，即会将触发人流高峰黄色预警； 5．（23-24九年级上·湖北随州·期末）“直播带货”已经成为商家的一种促销重要手段．某商家在直播间销售一种成本为40元/千克的农产品，若按50元/千克销售，每日可售出40千克，经市场调查得知，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克．设日销售利润为y（元），销售价为x（元/千克）． (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若商家想每日销售利润达到600元，又要让消费者得到实惠，则应将销售价定为多少元/千克？ (3)若商家想每天至少销售35千克，当销售价定为每千克多少元时，商家会获得最大日销售利润？最大日销售利润是多少元？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为 (2)要让消费者得到实惠，销售价应定为60元/千克 (3)当销售价定为55元/千克时，商家获得最大日销售利润，最大日销售利润为525元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，一元一次不等式的实际，应用解题的关键在于能够准确读懂题意找到关系式进行求解． （1）设涨价x（元/千克），然后根据当产品的销售价每千克涨1元时每天销售量会减少1千克，进行求解即可； （2）由（1）可得令销售量600千克，代入进行求解即可； （3）每天至少销售35千克，求出销售定价的范围，由（1）知，然后利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意得，， 化简得，， 即与之间的函数关系式为； （2）解：在（1）中，令得，， 解得或， 因为要让消费者得到实惠，所以销售价应定为60元/千克； （3）解：依题意得，，解得． ， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值为525． 答：当销售价定为55元/千克时，商家获得最大日销售利润，最大日销售利润为525元． 6.（23-24九年级上·湖北武汉·期末）某风景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为元/件，销售单价不低于元/件．市场调查发现，该商品每天的销售量不少于件，且销售量（件）与销售单价元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)若某天的销售利润为元，求销售单价； (3)求这种纪念品每天销售的最低利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价为元时，每天的销售利润为元； (3)这种纪念品每天销售的最低利润是元． 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程在实际问题中的应用，正确理解题意，掌握“建模”思想是解题关键． （1）设与的函数关系式为，将，代入即可求解； （2）由题意可得，据此即可求解； （3）根据二次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将，代入得: 与的函数关系式为； （2）解：设每天的利润为元， ， 当时，则， ，， 由题意得 ， ． 答：销售单价为元时，每天的销售利润为元； （3）解：由（2）得， 对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 时，； 当时，随的增大而减小， 时，， 时，． 答：这种纪念品每天销售的最低利润是元． 7．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）小红和小琪在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表．小红站在点处，在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为抛物线（为常数，）的一部分，小琪恰在点处接住沙包，然后跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线（为常数）的一部分．    (1)求，的值； (2)若小红在与点的竖直距离不超过的范围内可以直接接到回传的沙包，当时，小红能否接住沙包？请说明理由． (3)若小红可以接到回传的沙包的范围为与的水平距离不超过，与点的竖直距离不超过的矩形，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)小红不能接住沙包，详见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）将点代入，求出的值，令，求出的值，即为的值； （2）把代入，求出值，根据题意，进行判断即可； （3）根据题意得到小红能接到红包的最低点为：，最高点为，分别求出此时的值，即可得出结果． 读懂题意，正确的计算，是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入，得：， 解得：， ∴， 当时，，即：； （2）小红不能接到沙包；理由如下： ∵小红在与点的竖直距离不超过的范围内可以直接接到回传的沙包， ∴， ∴； 当时：， ∵， ∴小红不能接到沙包； （3）∵小红可以接到回传的沙包的范围为与的水平距离不超过，与点的竖直距离不超过的矩形， ∴，，即：，， 由题意，得：小红能接到红包的最低点为：，最高点为， 当经过时：，解得：； 当经过时：，解得：； ∴的范围为：． 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高出湖面的喷头中向同一侧喷出，每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物线．若记水柱上某一位置与喷头的水平距离为，喷出水流与湖面的垂直高度为． 下表中记录了一个喷头喷出水柱时与的几组数据： 0 1 2 3 4.5 1 (1)如图，以喷泉与湖面的交点为原点，建立如图平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇，顶棚每一处离湖面的距离为．顶棚刚好接触到水柱，求该皮划艇顶棚的宽度． (3)现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游客被喷泉淋湿，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于，已知游船顶棚宽度为，顶棚到湖面的高度为，那么公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动多少才能符合要求？（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)公园应将水管高度至少向上调节米才能符合要求． 【分析】本题主要考查了运用待定函数求函数解析式、二次函数图像的平移、二次函数的应用等知识点，将实际问题转化成二次函数问题是解题的关键． （1）在表格中取三组数据，然后运用待定系数法解答即可； （2）令，求得对应x的值，然后确定两个x之间的距离即可解答； （3）设出二次函数图像平移后的解析式，根据题意列出不等式求解即． 【详解】（1）解：由表格可知：函数图像经过点， 设函数解析式为：， 则有：，解得：， 所以函数解析式为：． （2）解：令，则有，解得：， 所以该皮划艇顶棚的宽度为． （3）解：设公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动才能符合要求，则调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为：， 由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于， ∴，解得：， ∴水管高度至少向上调节米， ∴公园应将水管高度至少向上调节米才能符合要求． 9．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1，一钢球P从斜面顶端A静止滚下，斜面与水平面的夹角为，斜面顶端到水平线的距离为．钢球P在斜面上滚动的路程是滚动时间t的二次函数，部分对应值如下表，钢球P在斜面上滚动的速度是时间的正比例函数，函数图像如图2所示． 0 0.5 1 1.5 … 0 1.25 5 11.25 … (1)求关于t的函数解析式； (2)求钢球P滚至底端B的速度； (3)钢球P滚动至有阻力的水平线上时，滚动路程与时间的关系式为，指的是钢球P在点B的速度大小，T指的是从B开始滚动的时间．若在水平线上的点M处（M在B左侧）有另一钢球Q，当钢球P从A出发时钢球Q同时从M开始向右滚动，已知，且钢球Q滚动的平均速度为，请直接写出两球出发后______秒相撞．（忽略两球半径大小） 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数等知识点．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）依题可设，代入表格数据，，得，待定系数法求解即可； （2）由题意得出，代入（1）中得，求出正比例函数的解析式为，将代入求出速度即可． （3）根据题意列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：（1）依题可设，代入表格数据，，得： ， 解得：， ∴； （2）解：∵，． ∴， 将代入解析式可得：， ∵， ∴， 设正比例函数的解析式为代入坐标得：， ∴， 当时，． 答：钢球P滚动到底端B时的速度为； （3）解：由（2）得，钢球P滚至底端B的时间为2秒， 此时钢球Q滚动的路程， 设钢球P从底端B滚动时间t秒后相撞，由题意得： ， ， 解得或（舍去）， ∴两球出发后相撞的时间为（秒）， 故答案为5． 10．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）有一款自动热水壶，其工作方式是：常规模式下，热水壶自动加热到时，自动停止加热，随后转入冷却阶段，当水温降至时，热水壶又自动加热，______，重复上述过程；若在冷却过程中，按下“再沸腾”键，则马上开始加热，加热到后，又重复上述程序． 如图是常规模式下，冷却、加热过程中水温与时间x（min）之间的函数图象，其中AB段是抛物线的一部分（B是该抛物线的顶点），表示冷却过程；线段表示加热过程．    (1)直接写出抛物线段，线段分别对应的函数解析式； (2)从开始冷却，其间按下“再沸腾”键，马上加热到． ①若按下“再沸腾”键时，水温是，求该冷却、加热过程一共所用时间； ②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min，直接写出按下“再沸腾”键时的水温． 【答案】(1)； (2)①该过程中一共用时；②按下“再沸腾”键时的水温是． 【分析】此题主要考查二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①令，求得两函数的自变量的值，分别计算冷却和加热的时间，据此计算即可求解；②设在冷却到a分钟时按下“再沸腾”键，根据题意得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线段的解析式为：， 将代入，得， 解得， ∴抛物线段的解析式为：， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴； （2）解：①令，则， 解得：（不合题意，舍去）， 同理令，则， 解得：， 冷却所用时间：， 加热所用时间：， ∴该冷却、加热过程一共所用时间为． ②设在冷却到a分钟时按下“再沸腾”键， 由题意得， 解得：或（不合题意，舍去）， 将代入得， ∴按下“再沸腾”键时的水温是． 11．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在投掷实心球的运动中，实心球出手时水平向前的速度为a（单位：），垂直向上的速度为b（单位：），实心球在空中运动时，其水平距离x（单位：m）与时间t的关系为，高度y（单位：m）与时间t的关系为． (1)在小伟同学的一次投掷中，测得，； ①写出x与t的函数关系式为 ；y与t的函数关系式为 ； 根据以上关系，可得y与x的函数关系式为 （不用写出x的取值范围）； ②求出本次实心球的投掷距离． (2)研究表明：在投掷力度一定时，水平速度与垂直向上的速度越接近，则实心球的投掷距离越远，改进投掷方法后，小伟投出了的最佳成绩，若本次投掷中，求实心球在投掷过程中的最大高度． 【答案】(1)①；；② (2)实心球在投掷过程中的最大高度为 【分析】本题是二次函数的应用，考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质． （1）①根据题意即可完成； ②由①中的函数关系式，令，求得的x正数值即可为所求； （2）由题意可得y与x的函数关系式，表明当时，，求得的值，从而可确定出二次函数解析式，即可求得实心球在投掷过程中的最大高度． 【详解】（1）解：①由题意得：，； 由上两式消去t，得：； 故答案为：；； ②对于，令，即， 解得：，（舍去） ∴本次实心球的投掷距离为； （2）解：由题意得，； 消去t得：； ∵小伟投出了的最佳成绩， ∴当时，， 即， 即， 配方得：， 当时，实心球在投掷过程中的最大高度为． 12．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．力度变化时，抛物线的顶点在直线上移动，从而产生一组不同的抛物线（如图2）． (1)若． ①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时，离地面的高度为1m．请直接写出该球在运行过程中离地面的最大高度； ②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m，求该球运行路线的解析式，及此球落地点离发球机的水平距离； (2)球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间，若，直接写出当a满足什么条件时，距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球． 【答案】(1)①4m；②，； (2) 【分析】本题考查二次函数图像及性质， （1）根据二次函数函数性质及题干可知本题答案； （2）利用题意得，结合二次函数顶点坐标公式求得，再根据题意将点坐标代入即可得到本题答案． 【详解】（1）解：①∵抛物线的顶点在直线上移动，， ∴抛物线的顶点在直线上移动， ∵抛物线， ∴， ∵发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时，离地面的高度为1m， ∴此时抛物线与轴交点为， ∴根据对称性：， ∴该球在运行过程中离地面的最大高度为； ②∵发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m， ∴由（1）知：，即：， ∴解得：，， ∴该球运行路线的解析式为：， ∴令，则，解得：或（舍）， ∴此球落地点离发球机的水平距离为； （2）解：若， ∴， ∴，整理得：， ∴， ∵篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间， 又∵距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下， ∴将代入中得：，解得：， ∴将代入中得：，解得：， ∴当时，距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球． 13．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）某商店销售一种水产品，市场调查得数据如下表： 销售价格x（单位：元/千克） 45 50 53 58 月销售量y（单位：千克） 550 500 470 420 月销售成本m（单位：元） 22000 20000 18800 16800 月销售利润w（单位；元） 2750 5000 6110 7560 通过分析，发现该水产品每千克的销售成本是一个常数，月销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足一次函数关系． (1)直接写出该产品每千克的销售成本，并直接写出月销售量y与销售价格x之间的函数关系式（不要求写自变量取值范围）； (2)要确保该产品月销售利润达到8000元，并控制月销售成本不超过12000元，销售价格应定为多少元/千克？ (3)当该产品销售价格为多少元/千克时月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？ 【答案】(1)该产品每千克的销售成本为40元，月销售量y与销售价格x之间的函数关系式为 (2)销售价格应定为80元/千克 (3)当该产品销售价格为70元/千克时月销售利润最大，最大月销售利润是9000元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）根据题意即可求出每千克销售成本，设月销售量y与销售价格x之间的函数关系式为，把代入，求出k和b的值，即可得出函数关系式； （2）根据“月销售成本不超过12000元”列出不等式，求出x的取值范围，再根据总利润=单件利润×销售量，列出方程，求解即可； （3）根据总利润=单件利润×销售量，列出w关于x的函数关系式，结合二次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得： 该产品每千克的销售成本（元）， 设月销售量y与销售价格x之间的函数关系式为， 把代入得： ， 解得：， ∴月销售量y与销售价格x之间的函数关系式为； （2）解：∵月销售成本不超过12000元， ∴， 解得：， ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：销售价格应定为80元/千克； （3）解：根据题意可得： ， ∵， ∴当时，w有最大值9000， 即当该产品销售价格为70元/千克时月销售利润最大，最大月销售利润是9000元． 14．（23-24九年级上·湖北·期末）一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)直接写出抛物线的函数解析式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球 (2)若防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守，他的最大起跳高度是，小明需要站在离球门距离多远的地方才可能防守住这次射门？ (3)在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动________．①；②；③．（填序号即可，） 【答案】(1)，此次射门在不受干扰的情况下能进球 (2)小明需要站在离球门距离为2米以内的地方才可能防守住这次射门 (3)② 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键． （1）先确定抛物线的顶点坐标，再设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求出解析式，当时，求出y的值再与比较，即可知球能不能射进球门； （2）根据抛物线的解析式，令，求出x的值，即可求出答案 （3）根据抛物线平移规律，设出移动后抛物线的解析式，把代入，求出b的值，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为即，， 设抛物线的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； 当时，， ， 此次射门在不受干扰的情况下能进球； （2）解：令，则， 解得：， 防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守， ， 答：小明需要站在离球门距离为2米以内的地方才可能防守住这次射门； （3）解：设小华带球向正前方移动，则移动后的抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， 小华最多可以向球门移动， ， 故答案为：②． 15．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分． (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若淇淇跳起将沙包回传后，嘉嘉又恰在点处接住，则的值是多少？ (3)若嘉嘉在轴上方1m的高度上，且到点前后水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，直接写出符合条件的的整数值． 【答案】(1)的最高点坐标为，，； (2)； (3)符合条件的n的整数值为4和5． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值； （2）将代入即可求解； （3）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴的最高点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为， 令，则； （2）解：由题意得在抛物线上，且， ∴， 解得； （3）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴点A的坐标范围为， 当经过时，， 解得； 当经过时，， 解得； ∴ ∴符合条件的n的整数值为4和5． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数与实际问题 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：，这个函数图象如图所示．则小球从第到第的运动路径长为（    ） A．20m B．30m C．40m D．50m 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（米）与经过时间（秒）的关系式为，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（    ） A．4米 B．6米 C．8米 D．12米 3．（23-24九年级上·湖北·期末）用一段长度为的篱笆围成一个矩形菜地，能围成菜地的面积不可能是（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）“快乐游玩、安全游玩”是各景区游玩的工作宗旨．某景区上午时开门迎接游客进入，下午禁止游客进入．据工作人员统计，上午时该景区已累计进入游客人，从此时开始陆续有游玩结束的游客离开．累计进入景区游客人数(单位：人)与累计离开景区游客人数(单位：人)随统计时间 (单位：h)变化的数据如下表所示： 统计时间x/h 1 2 3 4 累计进入景区游客人数y/人 累计离开景区游客人数z/人 0 探究发现，与，与x之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述． (1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)预计几点钟时，景区内游客人数最多? (3)当景区内游客人数达到人时，将触发人流高峰黄色预警，问什么时间将触发人流高峰黄色预警? 直接写出答案． 5．（23-24九年级上·湖北随州·期末）“直播带货”已经成为商家的一种促销重要手段．某商家在直播间销售一种成本为40元/千克的农产品，若按50元/千克销售，每日可售出40千克，经市场调查得知，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克．设日销售利润为y（元），销售价为x（元/千克）． (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若商家想每日销售利润达到600元，又要让消费者得到实惠，则应将销售价定为多少元/千克？ (3)若商家想每天至少销售35千克，当销售价定为每千克多少元时，商家会获得最大日销售利润？最大日销售利润是多少元？ 6.（23-24九年级上·湖北武汉·期末）某风景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为元/件，销售单价不低于元/件．市场调查发现，该商品每天的销售量不少于件，且销售量（件）与销售单价元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)若某天的销售利润为元，求销售单价； 7．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）小红和小琪在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表．小红站在点处，在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为抛物线（为常数，）的一部分，小琪恰在点处接住沙包，然后跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线（为常数）的一部分．    (1)求，的值； (2)若小红在与点的竖直距离不超过的范围内可以直接接到回传的沙包，当时，小红能否接住沙包？请说明理由． (3)若小红可以接到回传的沙包的范围为与的水平距离不超过，与点的竖直距离不超过的矩形，请直接写出的取值范围． 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高出湖面的喷头中向同一侧喷出，每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物线．若记水柱上某一位置与喷头的水平距离为，喷出水流与湖面的垂直高度为． 下表中记录了一个喷头喷出水柱时与的几组数据： 0 1 2 3 4.5 1 (1)如图，以喷泉与湖面的交点为原点，建立如图平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇，顶棚每一处离湖面的距离为．顶棚刚好接触到水柱，求该皮划艇顶棚的宽度． (3)现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游客被喷泉淋湿，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于，已知游船顶棚宽度为，顶棚到湖面的高度为，那么公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动多少才能符合要求？（直接写出结果） 9．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1，一钢球P从斜面顶端A静止滚下，斜面与水平面的夹角为，斜面顶端到水平线的距离为．钢球P在斜面上滚动的路程是滚动时间t的二次函数，部分对应值如下表，钢球P在斜面上滚动的速度是时间的正比例函数，函数图像如图2所示． 0 0.5 1 1.5 … 0 1.25 5 11.25 … (1)求关于t的函数解析式； (2)求钢球P滚至底端B的速度； (3)钢球P滚动至有阻力的水平线上时，滚动路程与时间的关系式为，指的是钢球P在点B的速度大小，T指的是从B开始滚动的时间．若在水平线上的点M处（M在B左侧）有另一钢球Q，当钢球P从A出发时钢球Q同时从M开始向右滚动，已知，且钢球Q滚动的平均速度为，请直接写出两球出发后______秒相撞．（忽略两球半径大小） 10．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）有一款自动热水壶，其工作方式是：常规模式下，热水壶自动加热到时，自动停止加热，随后转入冷却阶段，当水温降至时，热水壶又自动加热，______，重复上述过程；若在冷却过程中，按下“再沸腾”键，则马上开始加热，加热到后，又重复上述程序． 如图是常规模式下，冷却、加热过程中水温与时间x（min）之间的函数图象，其中AB段是抛物线的一部分（B是该抛物线的顶点），表示冷却过程；线段表示加热过程．    (1)直接写出抛物线段，线段分别对应的函数解析式； (2)从开始冷却，其间按下“再沸腾”键，马上加热到． ①若按下“再沸腾”键时，水温是，求该冷却、加热过程一共所用时间； ②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min，直接写出按下“再沸腾”键时的水温． 11．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在投掷实心球的运动中，实心球出手时水平向前的速度为a（单位：），垂直向上的速度为b（单位：），实心球在空中运动时，其水平距离x（单位：m）与时间t的关系为，高度y（单位：m）与时间t的关系为． (1)在小伟同学的一次投掷中，测得，； ①写出x与t的函数关系式为 ；y与t的函数关系式为 ； 根据以上关系，可得y与x的函数关系式为 （不用写出x的取值范围）； ②求出本次实心球的投掷距离． (2)研究表明：在投掷力度一定时，水平速度与垂直向上的速度越接近，则实心球的投掷距离越远，改进投掷方法后，小伟投出了的最佳成绩，若本次投掷中，求实心球在投掷过程中的最大高度． 12．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．力度变化时，抛物线的顶点在直线上移动，从而产生一组不同的抛物线（如图2）． (1)若． ①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时，离地面的高度为1m．请直接写出该球在运行过程中离地面的最大高度； ②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m，求该球运行路线的解析式，及此球落地点离发球机的水平距离； (2)球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间，若，直接写出当a满足什么条件时，距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球． 13．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）某商店销售一种水产品，市场调查得数据如下表： 销售价格x（单位：元/千克） 45 50 53 58 月销售量y（单位：千克） 550 500 470 420 月销售成本m（单位：元） 22000 20000 18800 16800 月销售利润w（单位；元） 2750 5000 6110 7560 通过分析，发现该水产品每千克的销售成本是一个常数，月销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足一次函数关系． (1)直接写出该产品每千克的销售成本，并直接写出月销售量y与销售价格x之间的函数关系式（不要求写自变量取值范围）； (2)要确保该产品月销售利润达到8000元，并控制月销售成本不超过12000元，销售价格应定为多少元/千克？ (3)当该产品销售价格为多少元/千克时月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？ 14．（23-24九年级上·湖北·期末）一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)直接写出抛物线的函数解析式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球 (2)若防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守，他的最大起跳高度是，小明需要站在离球门距离多远的地方才可能防守住这次射门？ (3)在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动________．①；②；③．（填序号即可，） 15．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分． (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若淇淇跳起将沙包回传后，嘉嘉又恰在点处接住，则的值是多少？ (3)若嘉嘉在轴上方1m的高度上，且到点前后水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，直接写出符合条件的的整数值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数与几何问题 1．（23-24九年级上·湖北·期末）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边），与y轴正半轴交于点C，．直线交抛物线于点D，交x轴于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），E是抛物线上一点，点E到的距离为2，连接交于点G，连接，求与的面积比； (3)如图（2），H是抛物线上直线右侧上一点，连接交于点M，直线交于点N，若，求n值． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)直接写出点A、B、C的坐标； (2)如图1，过点A作直线交抛物线于点P，连接、，若，求点P的坐标； (3)如图2，过点分别作直线交抛物线于点E、F，直线（，且）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段、的中点，若，求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O和点，对称轴为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），直线与抛物线相交于点B，C（B在C的左侧）． ①直线BC与y轴相交于点D，当时，直接写出m的值； ②如图（2），直线与相交于点P，求点P的横坐标． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的右侧），连接，． ①若的面积是10，求k的值； ②作轴交抛物线于点C，连接，若与的面积相等，直接写出k的值． (3)如图2，抛物线与x轴的正半轴交于点E，与y轴交于点F．过点的直线，与抛物线分别相交于M，N两点，若，求m的值． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），点，在抛物线上． (1)填空：________，________，点的坐标为________； (2)如图1，在抛物线上存在一点，使，求点的横坐标； (3)如图2，点是轴下方的抛物线上任意一点，是线段上的一个定点（点不与点、重合），过点作轴的平行线与射线，分别交于，两点，若为定值，求的值． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知直线与抛物线有唯一公共点，直线分别交轴，轴于两点． (1)如图1，当，时，求的值； (2)如图2，当时，过点作直线的垂线交轴于点，求坐标； (3)如图3，当时，平移直线，使之与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，求证：． 7．（23-24九年级上·湖北·期末）已知抛物线的顶点在第一象限，交轴于点，交轴于点．      (1)如图1，若点，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平分四边形的面积，求点的横坐标； (3)如图2，是点左侧一点，是轴下方抛物线上的两点，若四边形是平行四边形，且，求满足条件的最小整数的值． 8．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点到定点的距离，始终等于它到定直线的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线与轴的交点为．其中原点为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为，其中，． 【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线的方程：__________，__________； 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物线上一点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，求点坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为，准线方程为．直线，过抛物线上点作轴垂线，交直线于点，，，当时，请直接写出点横坐标的取值范围． 9．（23-24九年级上·湖北恩施·期末）如图，抛物线与轴交于两点（在左边），与轴交于点，的面积为． (1)直接写出两点坐标以及抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，点在第三象限的抛物线上，求点的坐标； (3)若抛物线上一点，使的面积为的倍，求点的坐标？ (4)若抛物线上有点，点在坐标轴上，要使为平行四边形，求点的坐标？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数与几何问题 1．（23-24九年级上·湖北·期末）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边），与y轴正半轴交于点C，．直线交抛物线于点D，交x轴于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），E是抛物线上一点，点E到的距离为2，连接交于点G，连接，求与的面积比； (3)如图（2），H是抛物线上直线右侧上一点，连接交于点M，直线交于点N，若，求n值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题考查了二次函数与面积类以及定点定值类的综合问题，涉及待定系数法求二次函数和一次函数解析式，因式分解，熟练求解含有参数的函数解析式以及细心化简计算是解决本题的关键． （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）显然，可求直线的解析式为，由题意得，故的面积，的面积，则与的面积比为； （3）设，代入点，可求直线的表达式为：，则，同理可求直线表达式为：，则，由，得，因此得到，化简得：，故或（舍）． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵点B在点A的右边 ∴ 把代入 得出 解得 ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ 设的解析式为 把，代入 得 ∴ ∴直线的解析式为 ∵直线交抛物线于点D，交x轴于点F ∴ ∵点E到的距离为2， ∴的面积， 的面积 ∴； （3）解：设，设直线的表达式为：， 代入点得：， 解得：， ∴直线的表达式为： ∴， ∵，， 同理可求直线表达式为：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 化简得：， ∴或（舍）． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)直接写出点A、B、C的坐标； (2)如图1，过点A作直线交抛物线于点P，连接、，若，求点P的坐标； (3)如图2，过点分别作直线交抛物线于点E、F，直线（，且）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段、的中点，若，求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标为或； (3)证明见解析；定点 【分析】（1）分别令、，求出对应点自变量和函数值，即可得出坐标； （2）设点，利用待定系数法求出直线的函数关系式，进而得出点的坐标，根据和分别表示出面积，再利用，求出的值，即可得到点P的坐标； （3）将点代入直线解析式，进而得出直线，联立抛物线与直线，利用一元二次方程根和系数的关系，得到，进而得到的中点的横坐标，从而得到点，同理可得，利用待定系数法求出直线的解析式为，即可得到直线必经过定点坐标． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， 令，则， 解得：，， ，； 令，则， ； （2）解：由（1）可知，，，， ，，， ， 如图，令直线与轴交于点， 设点，直线的函数关系式为， 则，解得：， 直线的函数关系式为， 令，则， ， ， ，， ， ， ， 当时，解得；当时，解得， 经检验，和是原方程的解， 点P的坐标为或； （3）证明：点在直线上， ， ， 直线， 直线交抛物线于点E、F， 联立， 整理得：， ， 点M为线段的中点， ， 将代入直线，则， ， 同理可得：， 设直线的解析式为， 则，解得：， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 直线必经过一定点，该定点坐标为 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数和坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程根和系数的关系，二次函数与一次函数的交点问题等知识，题目较难，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O和点，对称轴为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），直线与抛物线相交于点B，C（B在C的左侧）． ①直线BC与y轴相交于点D，当时，直接写出m的值； ②如图（2），直线与相交于点P，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)①  ②点P的横坐标为 【分析】本题考查待定系数法，求交点坐标，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）①过点作轴于点，点作轴于点，则有，设点C的坐标为，则点B的坐标为，代入二次函数解析式即可求出； ②求出直线与的解析式，联立求交点坐标即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把和代入得： ，解得：， ∴； （2）解：①过点作轴于点，点作轴于点， 则轴， ∵， ∴， 设点C的坐标为，则点B的坐标为， 又∵点C和点B在抛物线上， ∴解得：； ②由①中方程可得（舍去），， ∴点C的坐标为，则点B的坐标为， 设直线的解析式为，代入得：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，代入得：， 解得， ∴， 解方程组得， ∴点P的横坐标为． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的右侧），连接，． ①若的面积是10，求k的值； ②作轴交抛物线于点C，连接，若与的面积相等，直接写出k的值． (3)如图2，抛物线与x轴的正半轴交于点E，与y轴交于点F．过点的直线，与抛物线分别相交于M，N两点，若，求m的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）根据二次函数平移的特点进行解答即可； （2）①根据，得出，联立可得：，根据根与系数的关系得出，然后根据完全平方公式变形求解即可； ②连接，设分别交轴于，根据的面积与的面积相等，得出，求出，得出点A的纵坐标为，求出，得出，把点代入，求出即可； （3）求出直线的解析式为；设，设直线的解析式为：，求出，得出①，②，求出，代入求出结果即可． 【详解】（1）解：∵向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①设交轴于点，则， ∴， ， ∴， 联立可得：， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②连接，设分别交轴于，如图所示： 则， ∴， 的面积与的面积相等， ， ， 轴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴点A的纵坐标为， ， 解得：（舍去）， ， 把点代入，得：， 解得：． （3）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 设， 设直线的解析式为：， 把代入得： ， 解得：， ， ∴， 即①， 同理得：直线的解析式为： ， 当时，， 直线的解析式为： ， 当时，， ②， 联立①②，解得：，或（舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的平移，求一次函数解析式，三角形面积的计算，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，熟练掌握相关的性质． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），点，在抛物线上． (1)填空：________，________，点的坐标为________； (2)如图1，在抛物线上存在一点，使，求点的横坐标； (3)如图2，点是轴下方的抛物线上任意一点，是线段上的一个定点（点不与点、重合），过点作轴的平行线与射线，分别交于，两点，若为定值，求的值． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）将点，代入计算可得抛物线的解析式，再求出时，的值即可得点的坐标； （2）分两种情况：①点在轴下方的抛物线上；②点在轴上方的抛物线上，根据求解即可得； （3）设点的坐标为，先利用待定系数法求出直线的解析式，再设点的坐标为，则，，从而可得，然后根据点是轴下方的抛物线上任意一点，为定值可求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 当时，，解得或， 则点的坐标为， 故答案为：，，． （2）解：①如图，当点在轴下方的抛物线上时，设交轴于点， 则，， 要使，则， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点）， ，符合题设， ∴此时点的横坐标为； ②如图，当点在轴上方的抛物线上时， 要使，则， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等， ∴点与点关于二次函数的对称轴对称， 二次函数的对称轴为直线， ∴点的坐标为， 综上，点的横坐标为或． （3）解：设点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 设点的坐标为，则，， ∴，， ， ∵点是轴下方的抛物线上任意一点，为定值，即对于在内的任意的值，为定值， ， 解得， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的几何应用、一次函数等知识，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知直线与抛物线有唯一公共点，直线分别交轴，轴于两点． (1)如图1，当，时，求的值； (2)如图2，当时，过点作直线的垂线交轴于点，求坐标； (3)如图3，当时，平移直线，使之与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）当，时，直线，抛物线，联立得：，再根据直线与抛物线有唯一公共点得出，计算即可得出答案； （2）当时，抛物线，联立得：，再结合直线与抛物线有唯一公共点，求出，从而得出，求出，，得到，，证明得出，即，求出，即可得出答案； （3）令、、与轴交点分别为，，，设，，的解析式为：，联立得：，求出，，，联立得：，得出，求出，得出，同理可得，，求出，即可得证． 【详解】（1）解：当，时，直线，抛物线， 联立得：， 直线与抛物线有唯一公共点， ， 解得：； （2）解：当时，抛物线， 联立得：， 直线与抛物线有唯一公共点， ， ， ， 当时，，当时，，解得：， ，， ，， 过点作直线的垂线交轴于点， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在轴的正半轴， ； （3）证明：如图，令、、与轴交点分别为，，， ， 设，，的解析式为：， 联立得：， 解得：， ， 点关于轴的对称点为， ，， 联立得：， 平移直线，使之与抛物线交于两点， ， 令为，代入，得：， 解得：， ：， 令，则， ， 同理可得：：，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 7．（23-24九年级上·湖北·期末）已知抛物线的顶点在第一象限，交轴于点，交轴于点．      (1)如图1，若点，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平分四边形的面积，求点的横坐标； (3)如图2，是点左侧一点，是轴下方抛物线上的两点，若四边形是平行四边形，且，求满足条件的最小整数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入求出m的值即可； （2）连接，先求出点的坐标，设，求出，根据平分四边形的面积，得到，求解出符合题意的n的值即可； （3）过点N作轴，垂足为H，由题意易得为等腰直角三角形，得到，代入，得到关于m的方程，根据，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得 解得 抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，    令，， 解得：， ， ， 抛物线交轴于点， ， 设， 则， 平分四边形的面积， ， 整理，得：， 解得（舍去，不符合题）， 点D的横坐标为； （3）解：如图，过点N作轴，垂足为H，   ，且， ，， 两式相加，得， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 整理为关于m的方程为， 由题意，得， 解得， 此时关于m的方程的两根之和， 当时，m必有正根， 满足条件的最小整数t的值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质等，二次函数与一元二次方程，三角形的面积公式等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 8．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点到定点的距离，始终等于它到定直线的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线与轴的交点为．其中原点为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为，其中，． 【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线的方程：__________，__________； 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物线上一点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，求点坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为，准线方程为．直线，过抛物线上点作轴垂线，交直线于点，，，当时，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】（1），；（2）或；（3）． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，根据交点确定不等式解集等知识，理解题干中焦点与准线的意义，善于利用抛物线上的点到焦点的距离等于此点到准线的距离是解题的关键． （1）根据焦点与准线方程的定义即可求解； （2）设，过点P作准线l的垂线于点N，交x轴于点A，则可得，根据，建立方程即可求得x的值，从而得点P的坐标； （3）由题意得，设直线交准线l于点N，则可分别得点Q与N的坐标，从而得关于x的表达式，利用则可求得x的范围． 【详解】解：（1）∵的焦点为，准线方程为， 而中，， ∴， ∴的焦点坐标为，准线的方程； 故答案为：，； （2）设， 连接，过点P作准线l的垂线于点N，交x轴于点A，如图， 由题意得：， 由（1）知，抛物线的焦点为，准线的方程为； ∵， ∴，； ∵，即， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为或； （3）∵点P的横坐标为x，且点P在抛物线上， ∴， 如图，连接，设直线交准线l于点N，则； 由（1）知，抛物线的焦点为，准线的方程为； ∵轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解，得：； 对于，化简得：， 考虑二次函数，令， 解得：， 即二次函数图象与x轴交于， ∵二次函数的图象开口向上， ∴的解集为：或； 综上，不等式的解集为：， 即x的范围为． 9．（23-24九年级上·湖北恩施·期末）如图，抛物线与轴交于两点（在左边），与轴交于点，的面积为． (1)直接写出两点坐标以及抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，点在第三象限的抛物线上，求点的坐标； (3)若抛物线上一点，使的面积为的倍，求点的坐标？ (4)若抛物线上有点，点在坐标轴上，要使为平行四边形，求点的坐标？ 【答案】(1)，， (2) (3)的面积为的倍时，点的坐标为或 (4)要使为平行四边形，点的坐标为：，或，或，或， 【分析】（1）令，且，可求出，，根据的面积为，可求出，由此即可求解； （2）点在抛物线上，可求出点的坐标，根据，点的纵坐标为，代入二次函数即可求解； （3）根据题意可得的面积为为，设，结合图形面积可得∴，由此即可求解； （4）设，根据平行四边形的性质，中点坐标的计算，分类讨论：点在轴上，四边形是平行四边形；点在轴上，四边形是平行四边形；点在轴上，四边形是平行四边形；点在轴上，该种情况不符合题意；图形结合分析，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点（在左边）， ∴令，且，则， 解得，，， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：点在抛物线上， ∴，即， ∵点在第三象限的抛物线上， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得，，， ∴； （3）解：∵的面积为，的面积为的倍， ∴的面积为为， ∵抛物线上一点， ∴设， ∴， ∴， 当时，整理得，， ∵，方程无实数根， ∴舍去； 当时，整理得，， 解得，，， ∴或， ∴的面积为的倍时，点的坐标为或； （4）解：已知，， ∴，且， ∴， ∵抛物线上有点， ∴设， 第一种情况，如图所示，点在轴上，四边形是平行四边形， 设， ∴的中点坐标为，的中点坐标为， ∴， 解得，，即， ∴， 解得，， ∴，； 第二种情况，如图所示，点在轴上，四边形是平行四边形， ∴， 解得，， 当时，，，则点与点重合，点与点重合， ∴不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意； 第三种情况，如图所示，点在轴上，四边形是平行四边形， 同理，的中点坐标为，的中点坐标为， ∴， 解得，，即， ∴， 解得，， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 第四种情况，如图所示，点在轴上， ∵点在抛物线上，若，则重合， ∴该种情况不符合题意； 综上所示，要使为平行四边形，点的坐标为：，或，或，或，． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法去二次函数解析式，几何图形面积的计算方法，平面直角坐标系中角度的关系，平行四边形的判定和性质，中点坐标的计算方法，图形结合，分类讨论思想是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$